ATIVIDADE 02 - CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

Prévia do material em texto

ATIVIDADE 02 - CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
01 - 
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação 
da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções 
que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, 
determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das 
direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por 
um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa 
por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada 
direcional da função no ponto na direção do vetor . 
 
RESPOSTA = RAIZ 2 
 
02 - 
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), 
pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a 
função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume 
de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa 
de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando 
as informações anteriores. (Use ). 
 
RESPOSTA = A temperatura está diminuindo a uma taxa de 1º por segundo no 
instante dado 
 
03 - 
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No 
entanto, e são funções de expressas por e . Para se obter 
a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada 
de em relação a , isto é, , para quando . 
 
RESPOSTA = = 4 
 
04 - A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de 
aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. 
Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa 
retangular é determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no 
ponto na direção do vetor . 
 
RESPOSTA = A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 
unidade 
 
05 - Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são 
funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da 
função com relação à variável é obtida por meio da regra da 
cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável é 
obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da 
função com relação às variáveis e , sabendo 
que e . 
 
 
 
06 - A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor 
gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo 
entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada 
direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo 
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
 
07 - De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma 
função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo 
vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 
1994. 
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o 
ponto P(0,1), assinale a alternativa correta. 
 
 
 
08 - O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados 
no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: 
em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor 
negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a 
todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
 
I - O domínio da função é o 
conjunto . 
II - O domínio da função é o 
conjunto . 
III - O domínio da função é o conjunto . 
IV - O domínio da função é o 
conjunto . 
 
 
 
09 - Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os 
pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma 
constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o 
comportamento de uma função de duas variáveis. 
 
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
10 - O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , 
enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da 
função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os 
valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a 
seguir. 
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).