Cálculo Aplicado Várias Variáveis atividade 02

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24/02/2021 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ...
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Usuário DIEGO IOCA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -
202110.ead-29779045.06
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 16/02/21 23:17
Enviado 24/02/21 23:10
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 191 horas, 53 minutos
Resultados
exibidos
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta
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da
resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou
decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere,
então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é
determinada por meio da função . 
  
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto 
 na direção do vetor . 
  
  
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente
9,93 unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu
vetor gradiente são: ,  e . Assim, dado
o ponto (3,4), temos . O vetor  é unitário, então a
derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada:
.
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Pergunta 2
Resposta
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Comentário da
resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis  temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei de
formação da função . Assim, para determinar o domínio da função 
 precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir. 
  
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
  
  
O domínio da função  é o conjunto
.
O domínio da função  é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições
para os valores de  e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 3
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da
variável , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável 
 é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da
cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função  com
relação às variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com relação
à variável . 
  
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Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação à variável , sabendo que  e . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas:
, ,  e . Aplicando a regra da cadeia,
obtemos a expressão da derivada desejada:
. Trocando as expressões
de  e  temos
.
Pergunta 4
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Comentário
da
resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em
um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do
vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em ,
em todos os pontos de uma placa retangular no plano  dada por ,
assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade  no
ponto . 
  
  
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da
densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto
considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é  e sua
norma é , concluímos que a taxa máxima de
aumento da densidade é .
Pergunta 5
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Comentário
da
resposta:
De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma função
diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor
unitário na direção e sentido desejados”. 
  
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: Harbra,
1994. 
  
De acordo com essa definição e considerando a função  e o ponto
P(0,1), assinale a alternativa correta. 
  
  
 na direção de .
 na direção de .
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  e seu
vetor gradiente são: ,  e
. Assim, . Temos ainda que vetor
unitário na direção de  é o vetor . Portanto, a derivada
direcional é .
Pergunta 6
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Resposta Correta:
 
Comentário
da
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis.
Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor
gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem
três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto
  do espaço tridimensional é expresso pela função . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior
taxa de variação do potencial elétrico  no ponto . 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial
elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto
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resposta: é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é
 e sua norma é
, temos que a direção procurada é
.
Pergunta 7
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no
lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em
funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor
negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a
todos os valores que não zeraram o denominador. 
  
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. 
  
I - O domínio da função  é o conjunto
 . 
II - O domínio da função  é o conjunto
 . 
III - O domínio da função  é o conjunto . 
IV - O domínio da função  é o conjunto . 
  
  
  
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que: 
A�rmativa I: Correta. O domínio da função  é o
conjunto . 
A�rmativa IV: Correta. O domínio da função  é o conjunto
.
Pergunta 8
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Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções
das variáveis  e , isto é,  e . A derivada da função
  com relação à variável  é obtida por meio daregra da cadeia
expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida por
meio da expressão . 
  
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
  com relação às variáveis  e , sabendo que  e . 
  
  
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de  com relação a  é: . Já a
derivada parcial de  com relação a  é:
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da
resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da
função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois
vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima
para o vetor unitário do vetor gradiente. 
  
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função  no ponto P(-1,1). 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o
vetor gradiente são: ,  e
. Logo, . Como a direção de
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Quarta-feira, 24 de Fevereiro de 2021 23h13min16s BRT
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da
resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e
um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de
nível  que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente
à função  no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse
ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como
 . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do
plano tangente à função  no ponto P(1,-1). 
  
  
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:
 e .  Calculando o valor da função e suas derivadas
parciais no ponto P(1,-1) temos: ,  e .
Assim, trocando essas informações na equação do plano
 obtemos 
.
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