Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 3 - Tentativa 1 de 3

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Questão 1 de 10
image.png 12.14 KB
A - (1,1)check_circleResposta correta
B - (2,0)
C - (0,2)cancelRespondida
D - (-1,3)
E - (3,-1)
Referência - Questão 1
Questão 2 de 10
Considere um operador linear, ou seja, uma transformação linear, do espaço vetorial V para o espaço vetorial W.
A cada vetor v que pertence ao espaço vetorial V teremos um vetor - resultante da transformação – no espaço vetorial W.
Se aplicarmos o processo inverso, através de um novo operador linear, seja possível obter uma relação que associe cada vetor da transformação no espaço vetorial W a um vetor v do espaço vetorial V, dizemos que o operador linear T admite inversa.
Nessas condições avalie as afirmativas.
I. O operador T(x,y) = (4x, y) admite inversa.
II. O operador T(x,y) = (-2y, x) admite inversa.
III. O operador T(x,y) = (3x+y, 2x-y) admite inversa.
IV. O operador T(x,y) = (-x+2y, 2x-4y) admite inversa.
Assinale a alternativa correta:
A - Apenas I e II estão corretas
B - Apenas III e IV estão corretas
C - Apenas I, II e III estão corretascheck_circleResposta correta
D - Apenas I, III e IV estão corretas
E - Apenas II, III e IV estão corretas 
Referência - Questão 2
I. O operador T(x,y) = (4x, y) admite inversa.image.png 1.3 KBVerdadeiro, pois como o determinante é diferente de zero, o operador admite inversa.
II. O operador T(x,y) = (-2y, x) admite inversa.image.png 1.82 KB
Verdadeiro, pois como o determinante é diferente de zero, o operador admite inversa.
III. O operador T(x,y) = (3x+y, 2x-y) admite inversa.image.png 1.44 KBVerdadeiro, pois como o determinante é diferente de zero, o operador admite inversa.
IV.  O operador T(x,y) = (-x+2y, 2x-4y) admite inversa.
image.png 1.53 KB
Como o determinante é igual a zero, o operador não admite inversa.
 
Portanto, apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
Questão 3 de 10
Uma matriz quadrada nxn é dita diagonalizável, se e somente se, tem n autovetores que são linearmente independentes. Assi, pode-se dizer que uma matriz A é semelhante a uma matriz diagonal D, cujo valor pode ser encontrado por:
Capturar 25.PNG 634 BytesOnde P é uma matriz cujas colunas são respectivamente os n autovetores Linearmente independentes de A. 
Diante disso, encontre uma matriz P de autovetores da matrizCapturar 26.PNG 737 Bytes
UMA -Capturar 27.PNG 730 Bytes
B-Capturar 28.PNG 767 Bytes
C-Capturar 29.PNG 637 Bytescheck_circleResposta correta
D-Capturar 30.PNG 651 Bytes
E-Capturar 31.PNG 678 Bytes
Referência - Questão 3
Solução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 175.
Para encontrar os autovetores é necessário encontrar os autovalores primeiro, com isso:Capturar 32.PNG 5,7 KBEncontrando os autovetores, tem-se:Capturar 33.PNG 12,83 KB
Questão 4 de 10
Dadas as bases:
image.png 1.58 KB
Sendo os vetores:
image.png 2.87 KBAssinale a alternativa que representa a matriz mudança de base de A para B.
A -image.png 1001 Bytescheck_circleResposta correta
B -image.png 998 Bytes
C -image.png 924 Bytes
D -image.png 1006 Bytes
E -
Referência - Questão 4
Capítulo 6
Solução:
Considerando a matriz mudança de base por:
image.png 1.3 KBDados os vetores:
image.png 4.22 KBEscrevendo os vetores da base A relação à base B,
image.png 11.32 KBimage.png 8.96 KB
Logo a matriz é dada por:
image.png 2.37 KB
Questão 5 de 10
Em matemática a parte abstrata é um processo relevante, mas existem vários conceitos que podem ser visualizados geometricamente: um exemplo são os vetores. Assim são os autovetores e os autovalores:
“Geometricamente, a equação do valor próprio (autovalor) Ax=λx implica que numa transformação A, autovetores sofrem apenas mudança na sua magnitude e sinal – a direção de Ax é a mesma direção de x . O autovalor λ indica apenas o tanto que o vetor irá “encolher” ou “esticar” ao sofrer a transformação A.” 
Disponível em: https://biztechbrz.wordpress.com/2010/11/15/autovalores-e-autovetores/ acesso em: 28/04/2020.
Com isso, associe a coluna dos autovalores (λ) com a representação geométrica dos autovetores (Ax=λx) e assinale a alternativa correta:
Capturar 12.PNG 10.7 KB
A - 3,1,2
B - 2,3,1 check_circleResposta correta
C - 1,3,2 
D - 2,1,3 
E - 3,2,1 
Referência - Questão 5
 Solução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 175. 
A descrição em vermelho são dos autovetores e em preto do vetor. 
Assim, quando λ >1 o vetor será multiplicado, vai aumentar, por isso, o autovetor é maior do que o vetor. 
Assim, quando λ <0 o vetor mudará de sentido devido ao sinal negativo, por isso, o autovetor terá sentido oposto ao do vetor é maior.
Assim, quando 0< λ <1 o vetor será multiplicado por um número fracionário ou decimal, vai diminuir, por isso, o autovetor é menor do que o autovetor. 
Logo a sequência correta é: 2,3,1
Questão 6 de 10
Para encontrar autovetores primeiro é necessário encontrar os autovalores, pois os autovalores são associados aos autovetores, inclusive um único autovalor pode ter inúmeros autovetores. Assim: “Sendo A uma matriz de ordem n×n, definimos uma utovalor de A como um escalar λ∈C se existe um vetor v(n×1) não-nulo tal que Av=λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.” Disponível em: https://sites.icmc.usp.br/marialuisa/cursos201002/autovalor_autovetor.pdf, acesso em: 26/04/2020. Com isso, conhecendo a matriz A e sabendo que seus autovalores são 2 e -3, qual dos autovetores abaixo correspondem a matriz A dada e aos seus autovalores?
Capturar 3.PNG 861 Bytes
A -Capturar 8.PNG 1.05 KB
B -Capturar 7.PNG 1013 Bytes
C -Capturar 6.PNG 1.06 KB
D -Capturar 5.PNG 1.05 KBcheck_circleResposta correta
E -Capturar 4.PNG 1.03 KBcancelRespondida
Referência - Questão 6
Solução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 175.
Utilizando a definição de autovalores e autovetores, temos que:
Para autovalor igual a 2
Capturar 9.PNG 4.61 KBPara autovalor igual a -3Capturar 10.PNG 5.17 KB
Questão 7 de 10
Seja o operador linear:
image.png 1.67 KBSabendo-se que admite inversa, assinale a alternativa que representa a inversa de T(x,y,z).
A -image.png 1.53 KB
B -image.png 1.55 KB
C -image.png 1.65 KB
D -image.png 1.62 KB
E -image.png 1.5 KBcheck_circleResposta correta
Referência - Questão 7
Capítulo 6
Solução:
Em forma matricial:
image.png 1.26 KB
Determinando a matriz inversa:
image.png 13.7 KBimage.png 9.63 KB
Questão 8 de 10
image.png 14.95 KB
A -image.png 1.48 KBcheck_circleResposta correta
B -image.png 1.49 KB
C -image.png 1.59 KB
D -image.png 1.61 KB
E -image.png 1.64 KB
Referência - Questão 8
image.png 14.73 KBimage.png 12.57 KBimage.png 19.72 KBimage.png 1.65 KBimage.png 9.88 KBimage.png 20.04 KBimage.png 1.6 KBimage.png 9.52 KBimage.png 20.31 KBimage.png 9.83 KB
Questão 9 de 10
Polinômio característico é dado por meio do determinante de uma matriz igual a zero no estudo de autovetores e autovalores.  “Observe que as raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A. Note também que o autovalor pode ser o número zero (quando o polinômio característico tem raízes zero), embora o autovetor v associado a λ não possa ser o vetor nulo.” Disponível em: https://miltonborba.org/ALGA2/apostilaalgebralinear.pdf, acesso em: 28/04/2020.
Com isso, encontre o polinômio característico da matriz abaixo e assinale a opção correspondente.Capturar 35.PNG 1.13 KB
A -Capturar 36.PNG 1.06 KB
B -Capturar 37.PNG 945 Bytes
C -Capturar 38.PNG 1.02 KB
D -Capturar 39.PNG 1.12 KB
E -Capturar 40.PNG 1.09 KBcheck_circleResposta correta
Referência - Questão 9
Solução: Capítulo 7 do livro de Álgebra Linear página 172.
Calculando o polinômio característico, tem-se:
Questão 10 de 10
Uma transformação linear T: V→V é chamada de operador linear. Todas as propriedades das transformações lineares em geral valem para um operador linear. Para as matrizes quadradas existem propriedades particulares.
Com relação aos operadores lineares invertíveis, avalie as afirmativas:
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A - Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
B - Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
C - Apenas as afirmativasII e III são verdadeiras.
D - Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras 
E - As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.check_circleResposta correta
Referência - Questão 10
Capítulo 6
Resposta:
Verdadeiro, pois para a transformação linear ser inversível, de acordo com as propriedades o núcleo da transformação dever zero.
Verdadeiro, pois toda matriz vezes a sua inversa resulta na matriz identidade.
Verdadeiro, de acordo com as propriedades.
image.png 6.23 KB
Verdadeiro, de acordo com as propriedades.
Logo as afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.