Prova_1_EQ_CIV_2014_2

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
Curso de Engenharia Qu´ımica
Ca´lculo IV - Primeira Prova
Professora: Flaviana Dutra - Valor: 40 pontos - 10/09/2014
Instruc¸o˜es: • Esta prova e´ individual, sem consulta e tem durac¸a˜o de 90 minutos.
• NA˜O e´ permitido o uso de calculadoras.
• RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS: lembre-se que voceˆ sera´
avaliado pelo que tiver escrito e na˜o pelo que tiver pensado.
• As questo˜es devem ser respondidas na folha de respostas que deve estar devidamente identificada.
Nome: Nota
Questa˜o 1 (16 pontos) Classifique as afirmativas abaixo como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a)
∫ 2
1
∫ ln x
0
f(x, y) dy dx =
∫ ln 2
0
∫ 2
ey
f(x, y) dx dy
b) A integral tripla
∫ ∫ ∫
E
f(x, y, z)dV calcula o volume do so´lido E do espac¸o delimitado pelos planos coordenados e
pelo gra´fico da func¸a˜o f .
Questa˜o 2 (8 pontos) Calcule a massa e estabelec¸a, mas na˜o calcule, as integrais que determinam as coorde-
nadas do centro de massa da laˆmina D cuja densidade densidade de massa e´ σ(x, y) = ln (x2 + y2), sabendo que D e´ a
regia˜o do primeiro quadrante situada entre as curvas x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Questa˜o 3 (8 pontos) Utilize coordenadas polares para combinar a soma∫ 1
1/
√
2
∫ x
√
1−x2
xy dy dx+
∫ √2
1
∫ x
0
xy dy dx+
∫ 2
√
2
∫ √4−x2
0
xy dy dx
em uma u´nica integral dupla. Em seguida, calcule essa integral dupla.
Questa˜o 4 (8 pontos) Calcule o volume do so´lido que esta´ dentro da superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 1 e fora da
superf´ıcie z2 = x2 + y2
LEMBRE-SE:
•
∫ ∫
D
f(x, y) dA =
∫ θ2
θ1
∫ r2
r1
f(r cosθ, r senθ) r dr dθ, onde D = {(r, θ) | θ1 ≤ θ ≤ θ2, r1 ≤ r ≤ r2}
•
∫ ∫ ∫
E
f(x, y, z) dV =
∫ φ2
φ1
∫ θ2
θ1
∫ ρ2
ρ1
f(ρ senφ cosθ, ρ senφ senθ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dθ dφ,
onde E = {(ρ, θ, φ) | ρ1 ≤ ρ ≤ ρ2, θ1 ≤ θ ≤ θ2, φ1 ≤ φ ≤ φ2}
• My =
∫ ∫
D
xσ(x, y) dA e Mx =
∫ ∫
D
yσ(x, y) dA
• Centro de massa:
(
My
M
,
Mx
M
)
Boa Prova!!!