Geometria Euclidiana: Triângulos e Quadriláteros

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Geometria Euclidiana 
Plana e Espacial
Triângulos e quadriláteros
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Conceição Aparecida Cruz Longo
Revisão Textual:
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicarone
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• Triângulos e seus elementos
• Quadriláteros
Nesta unidade abordaremos os triângulos e quadriláteros. 
Apresentaremos algumas propriedades relativas às somas 
dos ângulos internos e externos de um triângulo, os casos de 
congruência de triângulos e classificaremos os quadriláteros.
Triângulos e quadriláteros
Nosso objetivo com esta unidade será identificar os elementos de um triângulo; identificar 
os triângulos quanto às medidas de seus lados e de seus ângulos; compreender a relação 
entre as medidas dos ângulos internos e externos de um triângulo; e reconhecer os casos de 
congruências.
Com relação aos quadriláteros, pretendemos que você reconheça seus elementos e classifique-
os em paralelogramos ou trapézios.
Resolva os exercícios propostos antes de ver a resposta. Refaça os exercícios para verificar 
se realmente aprendeu. 
Organize um horário de estudos para criar o hábito de estudar todos os dias. 
Para seu sucesso, realize as tarefas com organização, clareza e pontualidade. 
Não esqueça de conferir as datas de entrega de atividades e da avaliação. Participe do fórum 
de discussões.
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Contextualização
Dentre os estudos da Geometria, o triângulo consiste na figura mais importante e mais 
simples. A geometria de Euclides reserva um lugar preponderante ao triângulo, pois ele possui 
várias aplicações em situações ligadas ao cotidiano.
Veja alguns exemplos: 
Thinkstock/Getty Images
Enfim, os triângulos e suas aplicabilidades estão presentes em muitas situações do nosso cotidiano.
E os quadriláteros? Possuem também essa aplicabilidade no nosso cotidiano? Vejamos 
alguns exemplos:
 
Thinkstock/Getty Images
Estudar a importância dos triângulos e dos quadriláteros permite entender por que eles são usados 
em construções, móveis, prateleiras, pontes e telhados com diferentes tipos de telhas e angulações.
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Triângulos e seus elementos
Nosso objetivo com esta unidade será classificar figuras geométricas plana; identificar os 
elementos geométricos de triângulos, quadriláteros notáveis e resolver problemas geométricos 
bidimensionais.
Definição
Um triângulo é definido por três pontos não colineares e os três segmentos de reta que têm, 
cada um, dois desses pontos como extremidades.
Indicaremos por ∆ABC o triângulo definido pelos três pontos não colineares A, B e C. É 
indiferente escrever ∆ABC, ∆BCA, ∆ACB.
Já estudamos que os triângulos são polígonos que possuem 3 lados, 3 ângulos internos e 3 
ângulos externos.
No triângulo ABC (∆ABC), podemos destacar os seguintes elementos:
 · Vértices: A, B e C;
 · Lados: AB, BC e AC;
 · Ângulos internos: a, b e c;^^ ^
 · Ângulos externos: α, β e θ.
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Classificação
Podemos classificar os triângulos de duas maneiras:
QUANTO ÀS MEDIDAS DOS LADOS
TRIÂNGULO EQUILÁTERO TRIÂNGULO ISÓSCELES TRIÂNGULO ESCALENO
A
B C
E
D F
H
G I
Triângulo que possui 
todos os lados com 
medidas iguais.
Triângulo que possui pelo 
menos dois lados com 
medidas iguais.
Triângulo que possui 
todos os lados com 
medidas diferentes.
QUANTO ÀS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS
TRIÂNGULO ACUTÂNGULO TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO
Triângulo que possui 
todos os ângulos internos 
agudos.
Triângulo que possui um 
ângulo interno reto.
Triângulo que possui um 
ângulo interno obtuso.
Lembre-se de que um ângulo é agudo quando sua medida é menor que 90°, reto quando sua 
medida é 90° e obtuso quando sua medida é maior que 90° e menor que 180°.
A rigidez também é uma característica muito importante dos triângulos. Entre os polígonos, o 
triângulo é o único com essa característica, sendo todos os demais deformáveis.
Com palitos de sorvete e percevejo, você pode construir alguns polígonos e verificar essa 
característica.
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No material complementar, você também encontrará 
uma indicação de vídeo que ilustra essa característica
Condição de existência de um triângulo
Acompanhe o passo a passo para construir um triângulo, quando conhecemos a medida dos 
três lados, usando régua e compasso.
AB = 5cm
10 Passo 
• Traça [AB] com 5cm.
• Abre teu compasso com uma 
abertura de 3cm.
• Faz centro em A e traça um arco 
de circunferência.
AC = 3cm
20 Passo 
• Abre teu compasso com uma 
abertura de 4cm.
• Faz centro em B e traça um 
arco de circunferência que 
intersecte o primeiro.
BC = 3cm
30 Passo 
• Chama C ao ponto de 
intersecção.
• Une A com C e B com C
Agora, utilizando o mesmo procedimento, tente desenhar um triângulo com as medidas 2cm, 
2cm e 5cm.
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Note que os arcos traçados não determinam o 3º vértice do triângulo. Assim, podemos 
afirmar que não existe um triângulo com as medidas 2 cm, 2 cm e 5 cm.
Portanto, a condição de existência de um triângulo é que a soma das medidas de quaisquer 
dois lados é sempre maior que a medida do 3º lado.
Ou seja,
 
a < b + c
b < a + c
c < a + b
 
 Importante
•Nos triângulos, o maior ângulo é sempre oposto ao maior lado, e o menor ângulo é sempre oposto 
ao menor lado.
•Nos triângulos isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são também congruentes. São 
chamados “ângulos da base”. O outro é chamado ângulo do vértice.
Você Sabia ?
Que as marcas // e \\ indicam que os lados são congruentes, isto é, têm a mesma medida?
Exemplos
1) Classifique os triângulos quanto à medida de seus lados.
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2) Classifique as alternativas como verdadeiras ou falsas.
a) Todo triângulo equilátero é acutângulo.
b) Existem triângulos que possuem mais de um ângulo obtuso.
c) É possível construir um triângulo retângulo que seja isósceles.
d) Um triângulo equilátero é também isósceles.
e) Um triângulo escaleno tem pelo menos dois ângulos com medidas iguais.
3) Dadas as medidas de três lados, assinale aquelas que permitem construir um triângulo.
a) 9 cm, 5 cm e 14 cm
b) 13 cm, 8 cm e 7 cm
c) 5 cm, 5 cm e 5 cm
d) 10 cm, 3 cm e 6 cm
e) 8 cm, 3 cm e 2 cm
f) 7 cm, 5 cm e 4 cm
4) Lucas pretende cercar uma região triangular utilizando 25m de alambrado. Os lados desse 
cercado devem ter medidas em metros e inteiras. Escreva três possíveis medidas dos lados 
desse cercado.
Respostas
1)
a) Equilátero
b) Escaleno
c) Isósceles
d) Escaleno
e) Escaleno
f) Isósceles
2) V F V V F
3) b, c, e.
4) Possíveis respostas:
 · 10m, 10m e 5m (10 < 10 + 5; 5 < 10 + 10; 10 < 10 + 5)
 · 6m, 8m e 11m (6 < 8 + 11; 8 < 6 + 11; 11 < 6 + 8)
 · 12m, 5m e 8m (12 < 5 + 8; 5 < 12 + 8; 8 < 12 + 5)
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Ângulos em um triângulo
 · Ângulo interno
Os triângulos possuem uma propriedade particular relativa à soma de seus ângulos internos. 
Essa propriedade garante que, em qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos 
internos seja igual a 180 graus.
Para verificar essa afirmação, considere um triângulo ABC qualquer. 
Recorte em três partes de modo que cada ângulo fique em uma parte.
Assim, concluímos que: A + B + C = 180º^ ^ ^
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos seus ângulos internos é sempre 180º.
 · Teorema do ângulo externo
Toda vez que se prolonga um lado de um triângulo, obtém-se um 
ângulo formado por esse prolongamento e pelo lado consecutivo ao 
prolongado (ângulo externo).
Em um triângulo qualquer, a medida de um ângulo externo é igual à soma 
das medidas dos ângulos internos não adjacentes e ele.
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 Informação
•Dois ângulos são adjacentes se têm um lado em comum e seus outros 
dois lados são semirretas opostas. Trata-se de ângulos consecutivos e 
suplementares.
•No polígono convexo equiângulo, todos os ângulos internos são 
congruentes; logo, todos os ângulos externos também são congruentes.
Exemplos
1) Calcule a medida dos ângulos internos do triânguloa seguir.
Solução
Primeiro ângulo a ser calculado é o suplementar de 110º. 
180º - 110º = 70º
Agora, x + x + 10 + 70º = 180º (soma dos ângulos internos de um triângulo)
2x = 180º - 80º
2x = 100º
x = 50º
x + 10º = 50º + 10º = 60º
Portanto, os ângulos do triângulo medem: 70º, 50º e 60º.
2) Calcular o valor do ângulo x na figura abaixo.
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Solução
Dividir o quadrilátero em dois triângulos, prolongando-se um dos seus lados.
Ê é externo ao ∆ABE
ê = 40º + 70º = 110º
x̂ é externo ao ∆DEC
x̂ = 110º + 30º = 140º
Resposta: 140º
3) Calcular o valor de x na figura.
Solução
Sex = 360
o
(3x + 10º) + 4x + (5x – 10º) = 360º
3x + 10º + 4x + 5x – 10º = 360º
12x = 360º
x = 30º
Resposta: 30º
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Triângulos congruentes
Definição
Dois triângulos ABC e DEF são congruentes entre si se for possível estabelecer uma 
correspondência entre seus vértices, de modo que seus lados sejam dois a dois congruentes e 
também os seus ângulos internos sejam dois a dois congruentes.
 
CASOS DE CONGRUÊNCIA
PARES DE IGUALDADE DESCRIÇÃO
LLL
Lado, Lado, Lado
C
A
B
G
E
F
Lados 
correspondentes 
congruentes
LAL Lado, Ângulo, Lado 
C
A
B
G
E
F
Dois lados e o 
ângulo entre eles 
congruentes
ALA Ângulo, Lado, Ângulo
C
A
B
G
E
F
Dois ângulos e 
o lado entre eles 
congruentes
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
LAAO
Lado, Ângulo e 
Ângulo oposto
T
R S
T
R S
Um lado, um 
ângulo e o ângulo 
oposto a esse lado 
congruentes
hc Caso especial: hipotenusa e cateto
B
A C
B’
A’ C’
Têm 
ordenadamente 
congruentes 
um cateto e a 
hipotenusa. 
Exemplos:
1) Identificar, em cada grupo de triângulos, aqueles que são congruentes e indicar o caso de 
congruência.
GRUPO 1
GRUPO 2
GRUPO 3
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GRUPO 4
GRUPO 5
SOLUÇÃO
GRUPO 1: ∆I ≅ ∆II pelo caso LAL.
GRUPO 2: ∆I ≅ ∆III pelo caso ALA.
GRUPO 3: ∆I ≅ ∆III pelo caso especial.
GRUPO 4: ∆I ≅ ∆III pelo caso LLL.
GRUPO 5: ∆II ≅ ∆III pelo caso LAAo.
Quadriláteros
 
Definição
Chamamos de quadrilátero a região do plano limitada por quatro segmentos de reta 
AB, BC, CD e DA , em que dois segmentos consecutivos nunca são colineares e dois segmentos 
não consecutivos jamais se interceptam.
 
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Elementos
Na figura seguinte, temos:
Diagonais
Quadrilátero ABCD
C
D
A
B
 · Vértices: A, B, C e D.
 · Lados: AB, BC, CD e DA.
 · Diagonais: AC e BD.
 · Ângulos internos do quadrilátero A, B, C e D^^ ^ ^.
 
 Atenção Atenção
Todo quadrilátero tem duas diagonais e a soma das medidas dos ângulos internos ou externos de 
um quadrilátero é 360º.
Podemos classificar os quadriláteros em paralelogramos e trapézios.
Paralelogramos
É um quadrilátero que possui dois pares de lados opostos paralelos. Neste caso 
AB//CD e AD//BC.
Propriedades
 · Em um paralelogramo, dois lados opostos são congruentes.
 · Em um paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes.
 · Em um paralelogramo, as diagonais cruzam-se no ponto médio.
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Você Sabia ?
Um ponto M é chamado de ponto médio de um segmento AB se M 
está entre A e B e AM ≅ MB.A M B
Classificação dos paralelogramos
Os paralelogramos podem ser classificados de acordo com a medida dos lados e dos 
ângulos internos.
 · Retângulo
O retângulo é um quadrilátero que possui os quatro ângulos internos retos. Nele, podemos 
destacar a seguinte propriedade: as diagonais de um retângulo são congruentes.
 · Losango
O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados com medidas iguais. Nele, podemos 
destacar a propriedade seguinte: as diagonais de um losango são perpendiculares entre 
si e correspondem às bissetrizes dos ângulos internos.
Você Sabia ?
Bissetriz é uma semirreta de origem no vértice de um ângulo 
dividindo-o em dois ângulos congruentes. A bissetriz é equidistante 
dos lados do ângulo.
Bissetriz
O
B
A
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
 · Quadrado
O quadrado é um quadrilátero que possui os quatro ângulos internos retos e os quatro lados 
com medidas iguais.
Por possuir essas características, ele é um caso particular de retângulo e de losango. No quadrado, 
destacamos as seguintes propriedades: as diagonais de um quadrado são congruentes, 
perpendiculares entre si e correspondem às bissetrizes dos ângulos internos.
Importante: Há paralelogramos que não são retângulos, losangos ou quadrados. Veja:
 
 · Trapézio
 
O trapézio é um quadrilátero que possui apenas um par de lados paralelos, chamados bases.
No trapézio:
Os lados AB e CD e são paralelos: AB//CD.
e AB e CD são as bases, sendo AB a base menor e CD a base maior.
Um trapézio pode ser classificado em:
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 · Trapézio retângulo: é o trapézio que tem um dos lados não paralelos perpendicular 
às bases.
 
C
BA
D
 
DB ≠ AC
DB não é bissetriz relativa ao ângulo B.̂
 · Trapézio escaleno: é o trapézio que tem os lados não paralelos com medidas diferentes.
 
 · Trapézio isósceles: é o trapézio que tem os lados não paralelos com medidas iguais.
 
No trapézio isósceles podemos destacar a seguinte propriedade: os ângulos internos da 
mesma base são congruentes e as diagonais são congruentes. 
Você Sabia ?
Que o trapézio retângulo é um caso particular de trapézio escaleno?
Importante: Há quadriláteros que não são paralelogramos nem trapézios. Veja:
 
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Exercício resolvido
1) Determine a medida de cada ângulo interno dos paralelogramos:
a) 
As medidas dos ângulos A e C são congruentes, assim como as medidas dos ângulos D e B.
O ângulo B mede 78º (o.p.v), portanto o ângulo D também mede 78º.
78º + 78º = 156º
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. Portanto,
360º - 156º = 204º
204º : 2 = 102º.
Obs.:
O quadro abaixo pode ajudar a diferenciar os quadriláteros:
Perceba que todos são paralelogramos: os retângulos, os quadrados e os losangos e, que os 
retângulos e os losangos podem ser quadrados.
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Material Complementar
 
 Explore
• http://www.somatematica.com.br/
• www.ilusaodeotica.com
• www.matematica.br
 
 Explore Explore
• Atividades e jogos com triângulos, de Marion Smoothey. Trad. Sérgio Quadros. São Paulo: 
Scipione.
• Atividades e jogos com quadriláteros, de Marion Smoothey. Trad. Sérgio Quadros. São 
Paulo: Scipione.
 
 Explore
• https://www.youtube.com/watch?v=9G3ga_2yAxI
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Unidade: Triângulos e quadriláteros
Referências
BIGODE, A.J.L. Projeto Velear: Matemática (9º ano). São Paulo: Scipione, 2012.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e aplicações - 1º ano. São Paulo: Ática, 2011.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. 
Volume 9. 8ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2005.
PAIVA, M. Matemática: volume único. São Paulo: Moderna, 1999.
RIBEIRO, J. Matemática: Ciência e linguagem: volume único. São Paulo: Scipione, 2007.
SOUZA, J.R.; PATARO, P. R. Vontade de saber matemática, 6º ao 9º ano, 1. ed. São Paulo: 
FTD, 2009.
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Anotações
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