Pêndulo Invertido

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Análise de Sistemas Físicos
Pêndulo Invertido
Carlos Augusto Bugs
Jonas Ribeiro
 Jorge Felipe dos Santos Alves
Natália Batista Dias
Ricardo Dionísio Adão
Professor: Márcio Leonardo Ramos Roberto
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Modelagem do Sistema
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Modelagem do Sistema
Por meio de relações Trigonométricas e das decomposições das forças por demos chegar as seguintes equações:
Derivando as equações 1 e 2 duas vezes temos:
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Modelagem do Sistema
Somatório das forças no eixo X:
Somatório das forças no eixo Y:
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Modelagem do Sistema
Somatório dos momentos de inércia:
Substituindo V e H na equação acima através das equações anteriores, temos que:
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Modelagem do Sistema
Arrumando:
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Modelagem do Sistema
Assumindo que a haste é uniforme, que possui momento de inércia (ml2)/3 e o ângulo muito pequeno
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Modelagem do Sistema
Podemos melhorar a equação através dos seguintes parâmetros:
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Modelagem do Sistema
Aplicando a transformada de Laplace obtemos a função de transferência típica de um pêndulo invertido:
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Modelagem do Sistema
Aqui temos a função de transferência do sistema amplificador-motor-carro:
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Linearizar o Modelo
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Linearizar o Modelo
Equacionando o sistema temos:
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Linearizar o Modelo
Assim podemos montar o somatório das forças em x, y e o momento de inércia:
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Linearizar o Modelo
Combinando os resultados temos a seguinte equação:
Assumindo que a haste é uniforme e que Q é pequeno suficiente para sen(Q) = Q temos:
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Linearizar o Modelo
Definindo os parâmetros tem-se a equação do pêndulo convencional:
Em geral Q(t) apresenta uma resposta senoidal de frequência amortecida com um envelope exponencial.
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Simulações
Ângulo Q
 [V]
Resultado do ensaio do pêndulo
t[s]
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Simulações
Amplitude
 [V]
Transformada discreta de Fourier no ensaio do pêndulo
f [Hz]
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Simulações
Amplitude
 [V]
Sinal original e filtrado em função do número de amostras
nº
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Simulações
Amplitude
 [V]
Dados reais e a curva estimada do ensaio do pêndulo
t [s]
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Linearizar o Modelo
Comparando os expoentes das equações e os dados das simulações temos:
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Linearizar o Modelo
Do comprimento da haste têm-se Kp = 2,97. E por fim a função de transferência para o conjunto do pêndulo:
Função de transferência do Amplificador-Carro-Motor:
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Diagrama de Blocos
Representação em diagramas de blocos do sistema de controle.
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Simulações
Componentes básicas da resposta em frequência do sistema.
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Simulações
Diagrama de Bode do ensaio do conjunto amplificador-motor-carro.
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Diagrama de Blocos
Utilizando as informações do gráfico temos a reta constante função do ganho Kc do sistema em função das frequências baixas e altas.
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Diagrama de Blocos
Assim a função de transferência de todo o sistema fica determinada por:
Modelo completo da planta identificada:
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Simulações
Resposta da planta sem compensação a uma excitação tipo degrau.
Amplitude
 [V]
t [s]
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Controle de PID
Significado:
P – Proporcional 
 Correção proporcional ao Erro
I – Integral
 Correção proporcional ao Erro x tempo
D – Diferencial
 Correção proporcional à Taxa de variação do Erro
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Controle de PID
	 Técnica de controle PID
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Controle de PID
Controle Proporcional
No controle proporcional o valor da variável manipulada é proporcional ao valor do desvio.
Quando a condição desejada é atingida, o termo proporcional resulta na variável de manipulação igual à zero.
Em um controle proporcional é muito difícil estabilizar a variável de processo com o “setpoint”.
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Controle de PID
Controle Integral
A parte integral não é, isoladamente, uma técnica de controle.
A ação integral consiste em uma resposta na saída do controlador que é proporcional à amplitude e duração do desvio
A intervalos regulares, a ação integral corrige o valor da variável manipulada, somando a está o valor do desvio (Setpoint – Variável de processo)
 
		
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Controle de PID
Controle Integral
 Apesar de estável, o processo não atingiu o 
 setpoint (SV).
 
		
			A ação integral tem como único objetivo 
			eliminar o erro em regime permanente.
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Controle de PID
Controle Derivativo
A parte derivativa também não é, isoladamente, uma técnica de controle.
A ação derivativa consiste em uma reposta na saída do controlador que é proporcional à velocidade de variação do desvio.
O Derivativo só atua quando há variações no erro. Se o processo está estável, seu efeito é nulo.
 
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Controle de PID
Controle Derivativo
			O controle derivativo reduz o valor da 
			variável manipulada se a variável de 				processo está crescendo muito rápido.
			Antecipando o crescimento da variável
			de processo a ação derivativa reduz ou 				elimina o overshoot. 
 
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Controle de PID
Os ganhos Kp, Ki e Kd quando devidamente ajustados definem a dinâmica desejada para a malha de controle, como o máximo pico estipulado, tempo de acomodação, erro em regime e etc.
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Controle de PID
Para sistemas estáveis aproximados por funções de segunda ordem e com raízes expressas por:
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Controle de PID
Existe uma relação entre o máximo pico e o fator de amortecimento (z) dado pelas expressões a seguir, junto com a frequência natural de oscilação há uma relação também com o tempo de acomodação.
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Controle de PID
Assim sendo, utilizamos as seguintes equações para calcularmos os ganhos típicos de um controlador PID(quando conhecida ou estimada a função de transferência)
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Controle de PID
Fazendo as contas, aplicadas ao nosso sistema obtivemos os seguintes resultados:
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Controle de PID
Com os resultados obtidos, podemos montar a função de transferência e o diagrama de blocos do nosso sistema usando controle PID.
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