Problemas resolvidos de Torcao

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Problemas resolvidos de Torção 
ENG1007 – turmas 3PA e 3PB Prof. Ney Augusto Dumont 
1 - [P22005a_1, P22008b_2] Um eixo está submetido a um torque que varia trecho a trecho ao longo de seu 
comprimento, conforme representado na figura abaixo. O eixo se compõe de três tubos concêntricos: o mais longo é 
feito de um material A (módulo de elasticidade GA) e tem raio r1; o tubo intermediário é feito de um material B 
(módulo de elasticidade GB), tem raio r1 e espessura t << r1; o tubo mais curto é feito de um material C (módulo de 
elasticidade GC) e tem raio interno r1 e externo r2. Calcular: 
a) as tensões de cisalhamento máximas 
a que cada material está submetido; 
b) a rotação sofrida pela extremidade 
do eixo em relação ao seu engaste. 
 
 


d2
)(
),(
)(
0
3


xr
G
GxT
x
 
dx
G
xT
xr







0
)(
0
3
0
d2
)(


 
Para tubo de parede fina: 
trJ 32
 
Solução: 
Tubo A: 
241rJ A 
 Tubo B: 
trJB
3
12
 Tubo C: 
  24142 rrJC 
 
a) 








ABBAA
A
CCBBAA
AA
máx
J
r
JGJG
rG
JGJGJG
rG 111 ,
2
,
3
máximo
TTT
 
1 13 2máximo ,B B Bmáx
A A B B C C A A B B
G r G r
G J G J G J G J G J
    
   
T T
 
CCBBAA
CC
máx
JGJGJG
rG

 2
3T
 
b) 
AABBAACCBBAA JGJGJGJGJGJG
33233
0


TTT





 
 
2 - [P22001_2, P22008a_1] Calcular o valor máximo de torque T que o eixo composto de aço e alumínio pode 
suportar, sabendo que a tensão máxima admissível do aço é 
adm
aço
 = 400 MPa, a tensão máxima admissível do 
alumínio é 
adm
al
 = 200 MPa e o ângulo máximo de rotação da extremidade livre é 
adm
 = 0,1 radianos. Os módulos 
de elasticidade transversal do aço e do alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal = 28 GPa. O eixo consiste 
em um segmento AB todo de aço, acoplado a outro segmento BC com núcleo de alumínio encamisado por um tubo 
vazado de aço, que por sua vez se acopla ao tubo vazado de aço CD. O comprimento de cada segmento é L = 1 m e 
os raios são re = 10 cm e ri = 8 cm. 
 
 


d2
)(
),(
)(
0
3


xr
G
Gx
x
T
 T 
L = 1 m 
aço alumínio 
T T 
re = 10 cm ri = 8 cm 
A
L 
D
L 
C
L 
B
L 
L = 1 m L = 1 m 
T
2r
1r
T
3 33
T
1rt 
Bmat 
Cmat 
Amat 
( )
3
0
( )d
d
2 d
r x
x x
G

  


T
Solução: 
Diagrama de esforço de torção que age sobre o eixo composto (ver figura da prova): 
 
 
 
 
Verificação do ângulo máximo de rotação da extremidade livre: 
 
    
adm
ieaçoieaçoialeaço
AD
rrG
TL
rrGrG
TL
rG
TL





444444
22
2
2
3

 
    
1,0
08,01,0
2
84
101
08,01,08408,028
2
1012
1,0
2
84
1013
44
9
444
9
4
9











 TTT
 
177,227kNm T
 
 
Verificação da máxima tensão de cisalhamento do aço no trecho AB: 
 açoadm
e
eaço
máx
r
Tr



4
2
3
MPa
T
400
1,0
2
1,03
4




 
209,439kNm T
 
Verificação da máxima tensão de cisalhamento do aço no trecho BC: 
  
aço
adm
ieaçoial
eaçoaço
máx
rrGrG
rTG  


444
2
2
  



 MPa
T
400
08,01,08408,028
2
1,0842
444
 
228,372kNm T
 
Verificação da máxima tensão de cisalhamento do alumínio no trecho BC: 
  
al
adm
ieaçoial
ialal
máx
rrGrG
rTG  


444
2
2
  



 MPa
T
200
08,01,08408,028
2
08,0282
444
 
428,199kNmT
 
Verificação da máxima tensão de cisalhamento do aço no trecho CD: 
 
aço
adm
ie
eaço
máx
rr
Tr  


44
2
 
MPa
T
400
08,01,0
2
1,0
44



 
 
370,959kNm T
 
O torque máximo admissível é o menor dos valores acima: 
177,227kNm máxT
 
 
3 - [P22007b_2] Calcular o valor máximo de torque T que o eixo composto de aço e alumínio pode suportar, 
sabendo que a tensão máxima admissível do aço é 
adm
aço
 = 400 MPa, a tensão máxima admissível do alumínio é 
adm
al
 
= 200 MPa e o ângulo máximo de rotação da extremidade livre é 
adm
 = 0,1 radianos. Os módulos de elasticidade 
transversal do aço e do alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal = 28 GPa. O eixo consiste em um 
segmento AB todo de aço, acoplado a outro segmento BC com núcleo de alumínio encamisado por um tubo vazado 
de aço, que por sua vez se acopla ao tubo de parede fina de aço CD. O comprimento de cada segmento é L = 1 m , os 
raios são r1 = 10 cm e r2 = 8 cm e a espessura t = 4 mm. 
 
 
 
 
 
A D C B L = 1 m L = 1 m L = 1 m 
T 
2T 
3T 
L = 1 m 
A
L 
D
L 
C
L 
B
L 
L = 1 m L = 1 m 
T 
alumínio 
aço 
T 
r1 = 10 cm t = 4 mm r2 = 8 cm 
3T 
( )
3
0
( )
2
r x
d T x
dx
G d

  


( )
3
0
( )
( , )
2
r x
T x G
x
G d

 
  


4
2
J r


Solução: 
Tensão máxima considerando rotação admissível 
     
mKNTrad
trG
TL
r
G
rr
G
TL
r
G
TL
al
açoalal
AD .34,371,0
2
22
4
2
3
3
1
4
2
4
2
4
1
4
1



 
 
Tensões máximas considerando tensões admissíveis 
Tensões máximas no alumínio: 
mkNTMPa
trG
rTG
mkNTMPa
rGaço
rr
Gal
rTG
mkNTMPa
rGal
rTG
BC
al
al
alCD
al
BC
al
alBC
al
AB
al
alAB
al
.51,502200
2
.85,142200
22
(
4
.33,93200
2
3
3
1
1
4
2
4
2
4
1
1
4
1
1







 








 
Tensão máxima no aço: 
mkNTMPa
rGaço
rr
Gal
rTG
BC
aço
açoBC
aço .05,119400
22
(
4
4
2
4
2
4
1
2






 
 
 
Resposta: Tmax = 37,34 kNm 
 
4 - [P22007b_1] Um eixo está submetido aos torques indicados na figura. Considerando o eixo com diâmetro 
externo de 0,014m e diâmetro interno de 0,007m, composto de aço (Gaço = 80GPa) e núcleo de alumínio (Gal = 
30GPa), determine o ângulo de torção em A e a tensão cisalhante máxima no meio da barra no aço e no alumínio. 
 
 
 
 
 
 
 
dx
dG2
)x(T
L
0
)x(r
0
3
0L 






 



 dG2
G)x(T
),x(
)x(r
0
3
 
Solução: 
Torque interno na seção AB: 
  0M
 
NmTAB 75
 
Torque interno na seção BC: 
  0M
 
 NmTBC 75140
 
Torque interno na seção CD: 
  0M
 
 NmTCD 7520140 
 
  410
4
1036,2
2
0035,0
m
m
J al

      4944 1054,3
2
0035,0007,0
m
mm
J aço



 
2
949
2
9410 10801054,310301036,2
0,1856,0658,075
m
N
m
m
N
m
mNmmNmmNm
GJGJ
LTLTLT
açoaçoalal
CDCDBCBCABAB
A







 radA 22,0 
(gira no sentido contrario a convenção de sinais) 
alumínio 
75Nm 140Nm 20Nm 
aço 
0,8m 0,6m 1,0m 
A B C D 
x 
negativo 
x = 1,2m: 
GPa
Nm
m
m
N
Nm
GJGJ
rGT
açoaçoalalialBCal 0235,0
28,290
0035,0103065
2
2
9
max 



 
x = 1,2m: 
GPa
Nm
m
m
N
Nm
GJGJ
rGT
açoaçoalal
eaçoBCaço 125,0
28,290
007,0108065
2
2
9
max 



 
 
5 - [P22007a_1] É dada uma barra engastada 
constituída de dois materiais (aço e alumínio), com 
G1 = 120 GPa e G2 = 80 GPa 
a) Determine Tmáximo para que o giro máximo seja 
0,005 rad. 
b) Na mesma barra é aplicado um momento adicional de 
5kNm, como mostrado na figura ao lado. 
Determine Tmáximo considerando que: 
max aço = 70 MPa 
max alumínio = 50 MPa 
Fórmulas: 


d2
0
3


r
G
dxT
d
 



d2
0
3


r
G
GT
 
Solução: 
Item (a): 
A rotação máxima acontece, neste caso, no local onde está aplicado o torque. Assim sendo, temos: 
9 4 12 4 9 4 12 4
2 2
0,4 0,8
0,005
80 10 25 10 120 10 25 10
2 2
T m T m
N N
m m
m m
   
 
  
           
 
Fazendo as contas: 
0,262T KN m 
 
Item (b): 
Considerando a tensão máxima no alumínio: 
 3
3
4 12 4
25 10
50 10
25 10
2
Al
máx
T m
KN m
m
 


 
    
 
 
1,227T KN m  
 
Considerando a tensão máxima no aço: 
  3 3
4 12 4
5 25 10
70 10
25 10
2
6,712
Aço
máx
T KNm m
KN m
m
T KNm
 


  
    
 

 
Assim sendo, o valor de Tmáx é 1,227 KNm. 
 
6 - [P22006a_1] Um eixo está submetido a torção, conforme mostrado na Figura, para T = 10 kNm. O trecho AB tem 
seção transversal quadrada cheia, de lado d = 0,1 m. O trecho BC tem seção transversal quadrada de parede fina, de 
lado d = 0,1 m e espessura t = 0,001 m. O módulo de elasticidade transversal do material é G = 80GPa. Calcular: 
a) a rotação da seção C em relação à seção A; 
b) a máxima tensão de cisalhamento no tubo. 
 
 
 
Fórmulas para eixo de seção transversal retangular: 
 
 
2ab

T
máx
 
G3ab
L


T

 
 
 
Tabela para obtenção dos coeficientes  e  
a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0  
 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333 
 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 
 
Fórmulas para eixo de seção transversal de parede fina: 
t2Am
T

 
dx
t
ds
G4A
d
mC
2
m



T
 
Solução: 
Tem-se por equilíbrio um torque de 6T aplicado ao trecho AB e de T aplicado ao trecho BC. O trecho AB tem seção 
transversal quadrada cheia, portanto de lados a = b = d. Obtém-se para a/b = 1 na tabela que 
208,0
 e 
141,0
. O trecho BC tem seção transversal quadrada de parede fina, de lado d = 0,1 m, espessura t = 0,001 m, 
perímetro 
mdCm 4,04 
 e área compreendida pelo perímetro 
22 01,0 mdAm 
. 
a) Rotação da seção C em relação à seção A: 
t
d
GdG
BCABAC
4
4
3
d
6
44 

 TT

 
radAC 42819,0375,005319,0
001,0
1,04
10801,04
131010
10801,0,1410
110106
94
3
94
3







 
b) Tensão máxima no trecho AB: 
MPa462,288
1,0,2080
10106
d
6
3
3
3






T
 
 Tensão no trecho BC: 
MPa
t
500
001,01,02
1010
d2 2
3
2





T
 
MPamáx 500
 
m1 m33 
CBA
T
T5
mt 001,0
md 1,0
máx 
T 
T 
a 
b 
7 - [P22005b_2] O tubo abaixo tem três segmentos, todos eles feitos do mesmo material (módulo de elasticidade 
transversal G), de mesmo comprimento 

 e mesma seção transversal circular de raio r e parede de espessura 
20/rt 
, ou seja, 
rt 
. O segmento BC tem um corte longitudinal, conforme indicado, não podendo ser 
classificado topologicamente como de seção transversal circular, embora a área da seção transversal seja 
numericamente igual à da dos outros segmentos. Nos anéis de reforço das seções A, B, C e D são aplicados 
momentos de torção auto-equilibrados, conforme indicado na figura. Calcular: 
a) a rotação da seção D em relação à seção A; 
b) a máxima tensão de cisalhamento no tubo. 
 Fórmulas para eixo de seção 
 transversal circular: 
 



 dG2
)x(T
dx
d
)x(r
0
3
 
 
 



d2
)(
)(
0
3


xr
G
GxT
 
Fórmulas para eixo de seção transversal retangular: 
 
2max ab
T


 
G3ab
TL

 
 
 
 
 
Tabela para obtenção dos coeficientes  e  
a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0  
 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333 
 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 
 
Solução: 
 Segmentos AB e CD: Torque atuante 
T
, seção transversal circular de parede fina. 
 Segmento BC: Torque atuante 
2095,0 TTT 
, seção transversal aberta com largura 
ra 2
 e altura 
20rtb 
. 
 Como 
rt 
, tem-se na tabela dada, para 
ba
, 
31333,0  
. 
a) Rotação relativa entre as seções A e D: 
GrttGr
AD 3
3
13 2
20
2
2 
 TT

 
 Sendo 
20/rt 
, 
GrGrGr
AD 44
2
4
620
2
20320

 TTT



 
b) Tensão em qualquer ponto dos segmentos AB e CD: 
332, r
10
r2
20
tr2 
TTT


CDAB
 
 Tensão em qualquer ponto do segmento BC: 
332
3
1 r
30
r2
203
rt2
20

TTT


BC
 
 
3r
30


T
 máx
 
max 
T T 
a 
b 



T
T
T950,
A
B
C
D
T950,
8 - [P22005a_2] Um eixo está submetido a torques que variam trecho a trecho ao longo de seu comprimento, 
conforme representado na figura abaixo. O eixo se compõe de três tubos, de seções transversais circulares: 
 há um tubo de raio r2 e espessura t << r2, feito de um material B (módulo de elasticidade GB), que se estende ao 
longo de todo o eixo; 
 há um tubo de material A (módulo de elasticidade GA) no trecho AB, de seção cheia de raio r2; 
 e há um tubo de mesmo material A no trecho CD, de seção transversal vazada de raio interno r1 e externo r2. 
Sabe-se que GB = 50 GA, t = r2/100, r1 = r2/2. 
 
Traçar o diagrama de torque aplicado a cada um dos trechos AB, BC e CD e em seguida calcular: 
c) a rotação sofrida pela extremidade do eixo em relação ao seu engaste; 
d) as tensões de cisalhamento máximas a que cada material está submetido. 
 


d2
)(
),(
)(
0
3


xr
G
GxT
x
 
dx
G
xT
xr







0
)(
0
3
0
d2
)(


 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Diagrama de torques aplicados (supondo que o torque aplicado em D seja positivo): 
 
 
 
 
a) Rotação sofrida pela extremidade do eixo em relação ao seu engaste (positiva no sentido do torque aplicado em 
D): 
  trGrrG
T
trG
T
trGrG
T
BABBA
3
2
4
1
4
2
3
2
3
2
4
2 222
2
222
3   
 
Para os dados do problema: 
4
2
4
2
1151,0
47
17
rG
T
rG
T
AA

 
 
b) Tensões de cisalhamento máximas a que cada material está submetido (em módulo): 
Trecho AB: 
3
2
3
2
4
2
2 2
22
3
r
T
trGrG
rTG
BA
AAB
A  
 
3
2
3
2
4
2
2 100
22
3
r
T
trGrG
rTG
BA
BAB
B  
 
Trecho BC: 
3
2
2
2
50
2 r
T
tr
TBC
B 
 
 
 
 
Trecho CD: 
 
 
Portanto, as tensõesmáximas são as atuantes no trecho AB. 
 
 
T2
2r
1r
T
 
T4
2rt 
Bmat 
Amat 
Amat A
B C
D
A
B
C D
2T
3T-
T
  3232324142
2 4334,0
47
64
222
2
r
T
r
T
trGrrG
rTG
BA
ACD
A 

 
  3232324142
2 67,21
47
3200
222
2
r
T
r
T
trGrrG
rTG
BA
BCD
B 

 
9 - [P22002_1, P22004a_1] Calcular o valor máximo de torque T que o eixo composto de aço e alumínio pode 
suportar, sabendo que a tensão máxima admissível do aço é 
adm
aço
 = 400 MPa, a tensão máxima admissível do 
alumínio é 
adm
al
 = 200 MPa e o ângulo máximo de rotação da extremidade livre é 
adm
 = 0,1 radianos. Os módulos 
de elasticidade transversal do aço e do alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal = 28 GPa. O eixo consiste 
em um segmento AB com núcleo de alumínio encamisado por um tubo vazado de aço, que por sua vez se acopla ao 
segmento maciço de alumínio BC. Os segmentos têm comprimentos LAB = 1 m e LBC = 2 m; os raios são re = 10 cm e ri 
= 8 cm 
 
 
 
 
dx
dG2
)x(T
L
0
)x(r
0
3
0L 






 



 dG2
G)x(T
),x(
)x(r
0
3
 
Solução: 
Diagrama de esforço de torção que age sobre o eixo composto (ver figura da prova): 
 
 
 
 
Verificação do ângulo máximo de rotação da extremidade livre: 
  
adm
ealieaçoial
AD
rG
LT
rrGrG
TL





4444
2
2
2
2

 
  
1,0
1,0
2
28
102
08,01,08408,028
2
1012
4
9
444
9








TT 150,774kNm T 
Verificação da máxima tensão de cisalhamento do aço no trecho AB: 
  
aço
adm
ieaçoial
eaçoaço
máx
rrGrG
rTG  


444
2
2
  



 MPa
T
400
08,01,08408,028
2
1,0842
444
 
228,372kNm T
 
Verificação da máxima tensão de cisalhamento do alumínio no trecho AB: 
  
al
adm
ieaçoial
ialal
máx
rrGrG
rTG  


444
2
2
  



 MPa
T
200
08,01,08408,028
2
08,0282
444
 
428,199kNmT
 
Verificação da máxima tensão de cisalhamento do alumínio no trecho BC: 
al
adm
e
eal
máx
r
Tr


 
4
2
MPa
T
200
1,0
2
1,0
4




 
314,159kNm T
 
O torque máximo admissível é o menor dos valores acima: 
150,774kNm máxT
 
 
L = 1 m 
aço alumínio 
T T 
re = 10 cm ri = 8 cm 
A C B 
L = 2 m 
T 
A C B L = 1 m L = 2 m 
T 
2T 
10 - [P22003b_1] As engrenagens solidárias a um eixo estão sujeitas aos torques indicados na figura. Considerando o 
eixo, com diâmetro externo de 0,014m e diâmetro interno de 0,007m, composto de aço (Gaço = 80Gpa) e núcleo de 
alumínio (Gal = 30Gpa) determine o ângulo de torção em A e a tensão cisalhante máxima no meio da barra (x = 
0,60m) no aço e no alumínio. 
 
 
 
 
 
 
  0M
 
2
4r
J


  44
2
ie rrJ 

 




GJ
LT

 
 


GJ
rGT
max
 
Solução: 
Torque interno na seção AB: 
  0M
 
NmTAB 150
 
Torque interno na seção BC: 
  0M
 
 NmTBC 150280
 
Torque interno na seção CD: 
  0M
 
 NmTCD 15040280 
 
  410
4
1036,2
2
0035,0
m
m
J al

      4944 1054,3
2
0035,0007,0
m
mm
J aço



 
2
949
2
9410 10801054,310301036,2
05170031304,0150
m
N
m
m
N
m
mNmmNmmNm
GJGJ
LTLTLT
açoaçoalal
CDCDBCBCABAB
A







 radA 22,0 
(gira no sentido contrario a convenção de sinais) 
x = 0,60m: 
GPa
Nm
m
m
N
Nm
GJGJ
rGT
açoaçoalal
ialBCal 047,0
28,290
0035,01030130
2
2
9
max 



 
x = 0,60m: 
GPa
Nm
m
m
N
Nm
GJGJ
rGT
açoaçoalal
eaçoBCaço 25,0
28,290
007,01080130
2
2
9
max 



 
 
11 - [P2199_1] Calcular o valor máximo do torque T que o eixo composto de aço e alumínio pode suportar, sabendo 
que a tensão máxima admissível do aço é 
adm
aço
 = 300 MPa, a tensão máxima admissível do alumínio é 
adm
al
 = 200 
MPa e o ângulo máximo de rotação da extremidade livre é 
adm
 = 0,1 radianos. Os módulos de elasticidade 
transversal do aço e do alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal = 28 GPa. 
 
 
 
 
 
Solução: 
Pede-se determinar T de tal modo que: 
alumínio 
150Nm 280Nm 40Nm 
aço 
0,4m 0,3m 0,5m 
A B C D 
x 
negativo 
d2 = 10 mm d1 = 8 mm (alumínio) (aço) 
T 
a = 400 mm b = 500 mm 
d
dx
T
G dA
A

 z 2
 



 z
TG
G dA
A
2
 
J 
d 4
32
 
Tensão máxima no aço: 

 
máx
aço aço
al aço
adm
aço
TG
d
G
d
G
d d




2
1
4
2
4
1
4
2
32 32
c h
 
Tensão máxima no alumínio: 

 
máx
al al
al aço
adm
al
TG
d
G
d
G
d d




1
1
4
2
4
1
4
2
32 32
c h
 
Rotação da extremidade livre: 
 


 
Ta
G
d
G
d d
Tb
G
d
al aço
aço
adm
  1
4
2
4
1
4
2
4
32 32 32
c h
 
Tem-se: d1:= 0,008 m; d2:= 0,01 m; a = 0,4 m; b = 0.5 m; 
adm
aço
 = 300 MPa; 
adm
al
 = 200 MPa; 
adm
 = 0,1 radianos; Gaço 
= 84.000 MPa e Gal = 28.000 MPa. 
Substituindo todos estes valores nas desigualdades acima, encontra-se: 
 Tensão máxima no aço: 
máx
aço  7.006.087 T MPa MPa300
 
 Tensão máxima no alumínio: 
máx
al  1.868.289 T MPa MPa200
 
 Rotação da extremidade livre: 
 12735 T radianos radianos01,
 
Ou seja, T deve satisfazer as seguintes desigualdades: 
 
 T 
. .
 MNm 0,0428 kNm = 42,8 Nm 
300
7 006 087
 
 
 T 
. .
 MNm 0 kNm = 107 Nm 
200
1868 289
1070,
 
 
T 
12735
 MNm = 0,00785 kNm = 7,85 Nm
0 1,
 Portanto, Tmáx = 7,85 Nm. 
 
12 - [P22000a_2] O eixo propulsor de um navio é vazado e transmite 8000 cv a 100 rpm. Para uma tensão de 
cisalhamento máxima de 31,5 MPa, achar o diâmetro externo d do eixo, se o diâmetro interno for d/2. Um cavalo 
vapor equivale a 735,5 W. 
n
P
T
2

 para o torque T em Nm, a potência P em watt (Nm/s) e n rotações por segundo. 
Resposta: d = 460 mm. 
 
13 - [P2199_2, P22001_1] Calcular o valor máximo do torque T que o eixo composto de aço e alumínio pode 
suportar, sabendo que a tensão máxima admissível do aço é 
adm
aço
 = 400 MPa, a tensão máxima admissível do 
alumínio é 
adm
al
 = 200 MPa e o ângulo máximo de rotação da extremidade livre é 
adm
 = 0,1 radianos. Os módulos 
de elasticidade transversal do aço e do alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal = 28 GPa. O eixo consiste 
em um segmento de alumínio de comprimento L = 1m e seção transversal quadrada de lado d = 20 cm, acoplado a 
outro segmento também de alumínio de comprimento L = 1m e seção transversal circular de raio r i = 9 cm. O 
segmento circular de alumínio está encamisado por um tubo vazado de aço de raio interno ri = 9 cm e raio externo re 
= 10 cm. 
Para a obtenção do torque máximo admissível T, deve-se considerar a rotação da extremidade livre do tubo, além 
das tensões máximas que ocorrem no segmento de seção circular de alumínio, no segmento de seção quadrada de 
alumínio e no segmento de seção vazada de aço. Os anéis de reforço indicados não são considerados nos cálculos.anel de reforço 
T 
L L 
alumínio alumínio 
seção 
quadrada 
de lado d 
seção circular 
de raio ri 
seção circular de aço de raio 
interno ri e raio externo re 
anel de reforço 
Barra de seção transversal circular: 
dx
dG2
)x(T
L
0
)x(r
0
3
0L 






 



 dG2
G)x(T
),x(
)x(r
0
3
 
Barra de seção transversal retangular: 
 
 
 
 
 
a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0  
 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333 
 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 
 
Solução: 
Rotação da extremidade livre: 
3
al4
i
4
eaço
4
ial
abG
TL
)r(r
2
π
Gr
2
π
G
TL




 
ou 
(rad) T10293,0
2,00,1411082
1T
)09,0-1,(0
2
π
108409,0
2
π
1082
1T 6
49
44949







 
Tensão máxima no tubo circular de alumínio: 
)r(r
2
π
Gr
2
π
G
rTG
σ
4
i
4
eaço
4
ial
ialal
c

 T(Pa)339
)09,0-1,(0
2
π
108409,0
2
π
1082
09,01082T
44949
9




 
Tensão máxima no tubo circular vazado de aço: 
)r(r
2
π
Gr
2
π
G
rTG
σ
4
i
4
eaço
4
ial
eaçoaço


 
T(Pa)1131
)09,0-1,(0
2
π
108409,0
2
π
1082
1,01084T
44949
9




 
Tensão máxima no segmento de alumínio de seção quadrada: 
(Pa) T601
2,0208,0
T
abα
T
σ
32
al
q 


 
Comparação com os valores máximos admissíveis: 
kNm 341Trad 0,1 T10293,0 6  
 
kNm 589TMPa200T339alc 
al
adm
 
kNm 353TMPa 400 T 1131σ aço  açoadm
 
kNm 333TMPa200T601alq 
al
adm
 
Portanto, 
kNm 333T 
 
 
max 
T T 
a 
b 2max ab
T


 
Gab
TL
30L 

 
14 - [P22002a_2] Calcular o valor máximo do torque T que o eixo composto de aço e alumínio pode suportar, 
sabendo que a tensão máxima admissível do aço é 
adm
aço
 = 400 MPa, a tensão máxima admissível do alumínio é 
adm
al
 
= 200 MPa e o ângulo máximo de rotação da extremidade livre é 
adm
 = 0,1 radianos. Os módulos de elasticidade 
transversal do aço e do alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal = 28 GPa. O eixo consiste em um 
segmento de alumínio de comprimento L = 1m e seção transversal quadrada de lado d = 20 cm, acoplado a outro 
segmento também de alumínio de comprimento L = 1m e seção transversal circular de raio ri = 9 cm. O segmento 
circular de alumínio está encamisado por um tubo vazado de aço de raio interno ri = 9 cm e raio externo re = 10 cm. 
Para a obtenção do torque máximo admissível T, deve-se considerar a rotação da extremidade livre do tubo, além 
das tensões máximas que ocorrem no segmento de seção circular de alumínio, no segmento de seção quadrada de 
alumínio e no segmento de seção vazada de aço. Os anéis de reforço indicados não precisam ser considerados nos 
cálculos. 
 



 dG2
G)x(T
),x(
)x(r
0
3
 
 
dx
dG2
)x(T
L
0
)x(r
0
3
0L 






 
 
 
Solução: 
Rotação da extremidade livre: 
3
al4
i
4
eaço
4
ial
abG
TL
)r(r
2
π
Gr
2
π
G
2TL
 


 
ou 
(rad) T104277,0
2,00,1411082
1T
)09,0-1,(0
2
π
108409,0
2
π
1082
1T2 6
49
44949







 
Tensão máxima no tubo circular de alumínio: 
)r(r
2
π
Gr
2
π
G
r2TG
4
i
4
eaço
4
ial
ialal
c

 T(Pa)9,678
)09,0-1,(0
2
π
108409,0
2
π
1082
09,01082T2
44949
9




 
Tensão máxima no tubo circular vazado de aço: 
)r(r
2
π
Gr
2
π
G
r2TG
4
i
4
eaço
4
ial
eaçoaço


 
T(Pa)2263
)09,0-1,(0
2
π
108409,0
2
π
1082
1,01084T2
44949
9




 
Tensão máxima no segmento de alumínio de seção quadrada: 
(Pa) T601
2,0208,0
T
abα
T
32
al
q 


 
Comparação com os valores máximos admissíveis: 
kNm 8,332Trad 0,1 T104277,0 6   
kNm 6,942TPa10200T9,678 6alc 
al
adm 
kNm 7,761TPa10 400 T 2263 6aço  açoadm 
kNm 333TPa10200T601 6alq 
al
adm 
Portanto, 
kNm 7,761T 
 
 
T 
L L 
alumínio alumínio 
seção 
quadrada 
de lado d 
seção circular de 
raio ri 
seção circular de aço de raio 
interno ri e raio externo re 
anel de reforço 
T