Questão resolvida - 2) A área A da superfície lateral de cone circular reto de altura h e raio de base é dada por - Cálculo II - UVA

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 2) A área A da superfície lateral de cone circular reto de altura h e raio de base é 
dada por:
 
A = 𝜋r h²- r²
 
a) Se é mantido fixo em , encquanto h varia, encontre a taxa de variação de r 3 cm A
em relação a no instante em que .h h = 7 cm
 
b) Se é mantido fixo em , enquanto varia, encontre a taxa de variação de A em h 7 cm r
relação a no instante em que .r r = 3 cm
 
Resolução:
 
a) Se o raio é mantido constante ( ), então a expressão que fornece o área r = 3 cm
lateral do cone fica;
 
A = 𝜋3 A h = 3𝜋 A h = 3𝜋 h²- 9h²- 3 ²( ) → ( ) h²- 9 → ( ) ( )
1
2
 
A taxa instantânea de variação da área lateral em relação à altura é dada pela 
derivada do volume em ralação altura h, ou seja;
 
= 3𝜋 h²- 9 ⋅ 2h = 2h h²- 9
dA
dh
1
2
( )
-1
1
2
→
dA
dh
3𝜋
2
( )
1- 2
2
= 3𝜋h h²- 9 =
dA
dh
( )
-
1
2 →
dA
dh
3𝜋h
h²- 9( )
1
2
 
=
dA
dh
3𝜋h
h²- 9
 
 
Para o valor da altura igual a centímetros, temos que a taxa instantânea de 7
variação da área lateral é dada por;
 
= = = = = =
dA
dh
3𝜋 ⋅ 7
7 ²- 9( )
→
dA
dh
21𝜋
49- 9
→
dA
dh
21𝜋
40
→
dA
dh
21𝜋
4 ⋅ 10
21𝜋
4 10
21𝜋
2 10
 
= ⋅ = = =
dA
dh
21𝜋
2 10
10
10
21𝜋 ⋅
2
10
10 10
21𝜋 ⋅
2
10
10
2
21𝜋
2 ⋅ 10
10
 
 
= cm / cm
dA
dh
21𝜋
20
10
2
b) Se a altura é mantida constante ( ), então a expressão que fornece a área h = 7 cm
lateral do cone fica;
 
A = 𝜋r A h = 𝜋r A h = 𝜋r 49- r²7 ²- r²( ) → ( ) 49- r² → ( ) ( )
1
2
 
A taxa instantânea de variação da área lateral em relação ao raio é dada pela 
derivada do volume em ralação raio r da circunferência da base do cone, ou seja;
 
= 1 ⋅𝜋 49- r² + 49- r² ⋅ -2r ⋅𝜋r = 𝜋 49- r² - 49- r²
dA
dh
( )
1
2
1
2
( )
1- 2
2 ( ) ( )
1
2
2𝜋r
2
2
( )
-
1
2
 
= 𝜋 49- r² - = =
dA
dh
( )
1
2
𝜋r
49- r²
2
( )
1
2
𝜋 49- r² -𝜋r
49- r²
( )
1
2
2
2
( )
1
2
𝜋 49- r² -𝜋r
49- r²
( )
2
2 2
( )
1
2
 
= = = =
dA
dh
𝜋 49- r² -𝜋r
49- r²
( )1 2
( )
1
2
𝜋 49- r² -𝜋r
49- r²
( ) 2
( )
1
2
𝜋 49- r²- r
49- r²
2
( )
1
2
𝜋 49- 2r²
49- r²
( )
( )
1
2
 
 
=
dA
dh
𝜋 49- 2r²( )
49- r²
 
 
(Resposta )
 
Para o valor do raio igual a centímetros, temos que a taxa instantânea de variação 3
do volume é dada por;
 
= = = = = = =
dA
dh
𝜋 49- 2 3 ²( ( ) )
49- 3 ²( )
𝜋 49- 2 ⋅ 9( )
49- 9
𝜋 49- 18( )
40
𝜋 31( )
4 ⋅ 10
31𝜋
4 ⋅ 10
31𝜋
4 10
31𝜋
2 10
 
= ⋅ = = =
dA
dh
31𝜋
2 10
10
10
31𝜋
2
10
10 10
31𝜋
2
10
10
2
31𝜋
2 ⋅ 10
10
 
= cm / cm
dV
dy
31𝜋
20
10
2
 
 
(Resposta )