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GNE - Atividade Avaliativa 1
Guilherme Toja		Gabriela Yuri		Henrique Bruno	 Leixscieli Lisandra		Luan Pereira
16 de novembro de 2021
Exercício 1.
	Figura 1: Ilustração para a demonstração
Demonstração. Seja l e l′ duas retas cortadas por uma transversal t, sendo B = l ∩ t e B′ = l′ ∩ t de modo que os ângulos alternos internos sejam congruentes. Suponha por absurdo que tais retas se intersectam em um dos lados em um ponto D.
Pelo axioma S−4, temos que a reta t define dois lados disjuntos de l′. Usando o axioma C −1, encontramos um ponto E na reta l′, oposto a D em relação a t, de modo que os segmentos sejam congruentes. Agora, temos que , o segmento e congruente a si mesmo pelo axioma C − 2, e ∠EB′B ≅ ∠DBB′, por hipótese. Logo, pelo axioma C−6, temos que os triângulos △B′BD e △BB′E são congruentes entre si. Logo, teremos que ∠DB′B será congruente a ∠EBB′.
 Porém, ∠DB’B é o suplementar de ∠EB′B, então deve ser o caso que ∠EBB′ seja o suplementar de ∠DBB′, pois os suplementares de congruentes são congruentes entre si. Logo, e o caso que E pertença a reta l, fazendo l e l′ terem dois pontos de intersecção, e pelo axioma I−1, tais retas devem ser as mesmas - o que e um absurdo, já que por hipótese l e l′ são duas retas distintivas.
Exercício 2.
A diferença está no papel que os dois exercem - o Teorema é valido para qualquer geometria, pois independe do Quinto Postulado. Dizemos que ela é um resultado da Geometria Neutra.
Agora, no caso do Quinto Postulado, estamos sendo estritos quando adotamos ele. Pois no momento que tomamos ele como verdade, estamos nos firmando na Geometria Euclidiana e, por tanto, sem curvatura na superfície que trabalhamos.
Exercício 3.
Item a. Dado qualquer par de pontos não antipodais na esfera, existe um único círculo máximo ligando este par de pontos.
Demonstração. Seja S a superfície de uma esfera de centro O. Sejam P, Q dois pontos não antipodais em S. Então, teremos três pontos distintos P, Q, O no espaço não colineares. Logo, eles definem um único plano π. Como por definição o círculo máximo e a intersecção de S com um plano através de O, e tal plano é único, existe somente um círculo máximo que liga P a Q.
item b. Seja P um ponto qualquer em S. Vamos construir uma circunferência de raio ao redor de P. Seja A um ponto em S tal que o arco AP tenha tamanho . Construa a reta perpendicular g a reta formada por PQ passando por A. Seja C = g ∩ . Construa a reta perpendicular h ao plano formado por P, C, A passando por C. Seja X a intersecção de S com os planos formados pelas retas g e h. X será a nossa circunferência de raio r centrada em P.
Figura 2: Ilustração para a demonstração
Além disso, alguns pontos são interessantes de destacar. Primeiro, a circunferência X e uma circunferência também na geometria euclidiana se olharmos para o plano formado por g e h. Segundo, seu raio (o tamanho do segmento será de . A partir disso, conseguimos achar o perímetro e a área: 2π e π()2, respectivamente.
	Figura 3: Ilustração para a demonstração
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