flmd_8_conjuntos_1_2014

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Matemática Discreta
José Jailton Junior
Email: jjj@prof.iesam-pa.edu.br
Introdução
• O que é Matemática Discreta?
A Matemática Discreta é o estudo das estruturas
matemáticas que são fundamentalmente discretas, no
sentido de não suportarem ou requererem a noção de
matemáticas que são fundamentalmente discretas, no
sentido de não suportarem ou requererem a noção de
continuidade.
Grande parte dos objetos estudados na matemática
discreta, mas não todos, são conjuntos contáveis, como os
inteiros.
Contínuo x Discreto
Teoria dos Conjuntos
• O Conjunto está presente em toda a 
matemática.
• Os problemas são solucionados dentro de um • Os problemas são solucionados dentro de um 
domínio ou conjunto.
• Conjunto pode ser considerado uma coleção 
de objetos, elementos.
Conjuntos
• Um conjunto normalmente é representado 
por letra maiúscula.
A = { 1,2,3,4,5}A = { 1,2,3,4,5}
p = 5
p Ԑ A , logo p pertence a A.
Representação dos conjuntos
• O Conjunto pode ser representado listando 
todos os elementos:
A = {1,2,3,4,5}
Ou por extensão
A = { x: x é um inteiro par, x > 0}
ou
A = { x: x inteiro par ^ x > 0}
Notação
• N = O conjunto dos números inteiros positivos
• Z = O conjunto dos inteiros
• Q = O conjunto dos números racionais• Q = O conjunto dos números racionais
• R = O conjunto dos números reais
• C = O conjunto dos números complexos
Conjunto Universo
• Os elementos de um conjunto pertecem a um 
conjunto maior denominado de conjunto 
Universo ( U)
X = {números pares}X = {números pares}
Y = {números ímpares}
X ^ Y Ԑ U (Conjunto de todos os números)
Conjunto Vazio
• Conjunto que não possui nenhum elemento.
• A = { }
Subconjunto
• Se todo elemento de A também pertence ao 
conjunto B, então dizemos que A está contido 
em B.
• A = {1,3,5}
• B = {1,2,3,4,5}
• A C B
Operações entre Conjuntos
• União e Interseção
– A União de dois conjuntos A e B, significa que um 
elemento pode ser tanto de A ou B.
• A U B // A v B• A U B // A v B
– A Interseção de dois conjuntos A e B, significa que 
um elemento pertence a A e B ao mesmo tempo.
• A ∩ B // A ^ B
Operações entre Conjuntos
Diferença
• Comparação entre elementos de dois 
conjuntos.
A = { 1,2,3,4,5} B = {3,4,5,6}
A – B = Elementos que fazem parte do conjunto A – B = Elementos que fazem parte do conjunto 
A e não fazem parte do conjunto B
A - B = {1,2}
Obs: Alguns livros representam a diferença com 
seguinte notação A\B
Diferença Simétrica
• A diferença simétrica entre dois conjuntos A e 
B corresponde aos elementos que pertencem 
a A ou B, em nenhum hipótese a ambos.
Álgebra dos Conjuntos
• Assim como as proposições, há também as 
operações entre os conjuntos.
Álgebra das proposições
• Lei da idempotência
A U A = A A ∩ A = A
Álgebra das Proposições
• Lei Comutativa:
• A ∩ B = B ∩ A
• A U B = B U A 
Álgebra das proposições
• Lei Associativa:
• ( A U B) U C = A U (B U C)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C)
Álgebra das proposições
• Lei Distributiva:
• A ∩ ( B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) 
Álgebra das proposições
• Lei da Identidade
A U { } = A A U U = U
A ∩ { } = { } A ∩ U = AA ∩ { } = { } A ∩ U = A
Álgebra das proposições
• Lei dos Complementares
A ∩ ~A = { }
A U ~A = UA U ~A = U
Álgebra das proposições
• Leis DeMorgan:
• ~ ( A ∩ B) = ~A U ~B 
Álgebra dos Conjuntos
Partes de um conjunto
• O número total de subconjuntos é igual =
– nPartes = 2n n = número de elementos
– S = {1,2,3}– S = {1,2,3}
– Partes(S) = [ { } , {1} , {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, S}