Um estudo sobre a comparação de resultados clássicos sobre a localização de zeros de polinômios no plano complexo

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UNESP
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Faculdade de Ciências e Tecnologia
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E COMPUTAÇÃO
Relatório Parcial - Iniciação Cientí�ca
Projeto FAPESP n 2019/07440-2
Aluno: Leonardo Vidal Rosa
Um estudo sobre a comparação de
resultados clássicos sobre a localização de
zeros de polinômios no plano complexo
Orientadora: Profa. Dra. Vanessa Avansini Botta Pirani
Período: 01/09/2020 a 10/02/2020
Rua Roberto Simonsen, 305
19060-900 - Presidente Prudente - SP - Brasil
Um estudo sobre a comparação de resultados clássicos sobre a
localização de zeros de polinômios no plano complexo
Leonardo Vidal Rosa
Orientadora: Vanessa Avansini Botta Pirani
Relatório Final - FCT/Unesp.
Assinatura do Bolsita:
Assinatura do Orientador:
FCT/UNESP
Fevereiro/2020
Resumo
Este relatório apresenta as atividades de pesquisa do projeto "Um estudo sobre a comparação
de resultados clássicos sobre a localização de zeros de polinômios no plano complexo", de-
senvolvidas no período de 01/09/2019 a 10/02/2019. Apresenta um estudo sobre resultados
básicos e alguns resultados clássicos sobre raízes e localização dos zeros de um polinômio.
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Conteúdo
Resumo 5
1 Descrição das Atividades 5
1.1 Resumo do plano inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Síntese das etapas desenvolvidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Plano de trabalho e cronograma para as etapas seguintes . . . . . . . . . . . 6
2 Conceitos Básicos sobre Polinômios 7
2.1 Polinômios com coe�cientes em anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Igualdade de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Grau do polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Soma e produto entre dois polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Algoritmo de Briot-Ru�ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Raízes de Polinômios 19
3.1 Número de raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Multiplicidade de uma raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Relação entre coe�ciente e raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Raízes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Raízes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Raízes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Resultados Clássicos sobre Zeros de Polinômios 27
4.1 Regra dos Sinais de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Considerações Finais 36
6 Referências bibliográ�cas 37
4
Capítulo 1
Descrição das Atividades
Este capítulo tem como objetivo apresentar as atividades propostas neste projeto de pesquisa
e mostrar como tais foram desenvolvidas. Os conceitos estudados serão apresentados nos
capítulos seguintes.
1.1 Resumo do plano inicial
O plano de trabalho e cronograma inicialmente propostos foram apresentados da seguinte
forma:
1. Teoria relacionada ao tema "Análise Complexa", que representa uma revisão de alguns
conteúdos importantes na área.
2. Teoria geral sobre polinômios, incluindo alguns resultados sobre zeros de polinômios.
3. Resultados clássicos sobre a localização de zeros de polinômios que envolvem a deter-
minação de limitantes tanto superior quanto inferior.
4. Comparação sobre a precisão/re�namento de alguns resultados estudados, de modo a
determinar quais são mais precisos e/ou adequados para determinadas classes de polinômios
O cronograma para o desenvolvimento das atividades esta logo abaixo:
Período Atividades
Setembro/2019 Cumprir o item 1 do Plano de Trabalho
Outubro a Novembro /2019. Cumprir o item 2 do Plano de Trabalho
Dezembro /2019 Cumprir parte do item 3 do Plano de Trabalho
Janeiro/2020 Preparação e entrega do relatório parcial do projeto
Fevereiro a Março/2020 Cumprir parte do item 3 do Plano de Trabalho
Abril a Junho/2020 Cumprir o item 4 do Plano de Trabalho
Julho a Agosto/2020 Preparação e entrega do relatório �nal do projeto
1.2 Síntese das etapas desenvolvidas
Nessa seção apresentaremos as etapas desenvolvidas, referente aos itens 1, 2 e 3 citados
acima, que esta divido em 5 capítulos. Para a realização do texto foi utilizado o editor
LATEX.
5
CAPITULO 1. DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES
No primeiro capítulo foi apresentado a descrição das atividades com o plano inicial e o
resumo das etapas realizadas. No segundo capítulo foram apresentados conceitos básicos
sobre polinômios, como igualdade, soma, produto e divisão entre polinômios.
De setembro a outubro de 2019 foram estudados os conceitos básicos sobre polinômios e
alguns resultados principais sobre raízes de polinômio, tal como o Teorema Fundamental da
Álgebra, Teorema da Decomposição, Relação de Girard, raízes reais, raízes complexas, entre
outros, cumprindo o item 2. O estudo é apresentado no Capítulo 3.
Nos meses de novembro e dezembro foram estudados os resultados clássicos sobre a loca-
lização dos zeros de polinômios no plano complexo, como o Teorema de Cauchy, Teorema de
Eneström-Kakaeya, Teorema de Pellet, Regra do Sinal de Descartes entre outros resultados.
Estes resultados foram apresentados no Capítulo 4.
As considerações �nais são apresentadas no Capítulo 5.
1.3 Plano de trabalho e cronograma para as etapas se-
guintes
A próxima etapa, no período de fevereiro a março de 2020, será a continuação dos estudos
sobre localização dos zeros, estudando e pesquisando mais resultados clássicos que deter-
minam a quantidade de zeros de um polinômio num determinado círculo ou anel, como o
Critério de Schur-Cohn. Estudaremos também alguns re�namentos e artigos recentes sobre
o assunto.
Nos meses de abril a junho de 2020 será realizado uma pesquisa sobre alguns resultados
que apresentam um re�namento nas regiões do plano complexo, para iniciar um estudo
comparativo sobre qual resultado é mais adequado para determinadas classes de polinômios,
como por exemplo polinômios com coe�cientes reais positivos e ordenados e polinômios auto-
inversíveis.
E no mês de julho e agosto a preparação, elaboração e a entrega do relatório �nal.
6
Capítulo 2
Conceitos Básicos sobre Polinômios
Primeiramente serão de�nidos polinômios, graus e monômios, e logo após são abordados os
conceitos básicos dos polinômios como, por exemplo, igualdade entre polinômios, operações
e propriedades básicas.
Foi utilizado como referencia os livros (7) e (9)
2.1 Polinômios com coe�cientes em anéis
De�nição 2.2: Seja A um anel e um símbolo x ∈/ A, onde x é chamada de indeterminada
sobre A. Chamamos de polinômio f(x) a expressão
f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + ...+ anx
n,
onde x0 = 1, x1 = x, n∈ N, (a0, a1, a2, ...)∈ A são os coe�cientes do polinômio, aixj os termos
monômicos de grau j de f(x).
Quando f(x) = a0 denotamos por polinômio constante.
Quando f(x) = 0 denotamos por polinômio nulo, esse polinômio é escrito como f(x) =
0 + 0x+ 0x2 + ...+ 0xn.
O conjunto de todos os polinômios com coe�cientes em A é denotado por A[x].
2.2 Igualdade de polinômios
De�nição 2.4: Dados dois polinômios f(x) com coe�cientes ai e g(x) com coe�cientes bi
em A[x], dizemos que são iguais se, e somente se, ai=bi para 0 ≤ i ≤ n.
Exemplo 2.5: Sejam f(x) e g(x) dois polinômios tal que f(x) = −4+5x e g(x) = 5x−4.
Estes polinômios são iguais, pois a0 = b0 = −4 e a1 = b1 = 5.
Exemplo 2.6: Determine a condição necessária e su�ciente para que a expressão
a1x
2 + b1x+ c1
a2x2 + b2x+ c2
,
em que a1, b1, c1, a2, b2 e c2 são reais não nulos, assuma um valor que não depende de x.
7
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Resolução:
Igualando a fração a uma constante k, isto é,
a1x
2 + b1x+ c1
a2x2 + b2x+ c2
= k.
Multiplicando por a2x2 + b2x+ c2, obtemos:
a1x
2 + b1x+ c1 = k(a2x
2 + b2x+ c2);
a1x
2 + b1x+ c1 = ka2x
2 + kb2x+ kc2.Pela igualdade de polinômios, obtemos: a1 = ka2, b1 = kb2 e c1 = kc2, isto é,
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
Isto signi�ca que os coe�ciente do numerador devem ser proporcionais aos coe�cientes do
denominador, respectivamente.
2.3 Grau do polinômio
De�niremos agora o que vem a ser o grau de um polinômio.
De�nição 2.8: Se um polinômio f(x) é não-nulo, então temos um maior índice n tal
que an 6= 0. Este número n é chamado de grau do polinômio e denotado por gr(f(x)).
Chamamos an de coe�ciente líder.
De�nição 2.9: Será chamado de polinômio mônico todo polinômio que tem o coe�ciente
líder an = 1.
Exemplo 2.10: Determine o polinômio f de segundo grau tal que f(0) = 1, f(1) = 4 e
f(−1) = 0.
Resolução:
Sabemos que um polinômio de segundo grau tem a forma f = ax2 + bx+ c, portanto:
f(0) = a.02 + b.0 + c = 1 ⇒ c = 1;
f(1) = a.12 + b.1 + c = 4 ⇒ a+ b+ c = 4;
f(−1) = a.(−1)2 + b.(−1) + c = 4 ⇒ a− b+ c = 0.
Subtraindo f(1) e f(−1) temos 2b = 4 ⇒ b = 2.
Substituindo em f(1) obtemos a+ 2 + 1 = 4 ⇒ a = 1.
Logo, os coe�ciente são a = 1, b = 2, c = 1 e, portanto, f(x) = x2 + 2x+ 1.
Exemplo 2.11: Determine um polinômio f(x) de grau 2 tal que f(x) = f(−x).
8
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Resolução:
Um polinômio de grau 2 tem a seguinte forma: f(x) = ax2 + bx+ c.
Como f(x) = f(−x), então ax2 + bx + c = a(−x)2 + b(−x) + c, isto é, ax2 + bx + c =
ax2 − b(x) + c.
Então b = −b ⇒ 2b = 0 ⇒ b = 0.
Portanto, f(x) tem a forma ax2 + c com a 6= 0.
2.4 Soma e produto entre dois polinômios
De�nição 2.13: Dados dois polinômios f(x) e g(x) em A[x], onde f(x)=
∑n
j=0 ajx
j e
g(x)=
∑n
j=0 bjx
j, temos:
f(x) + g(x) =
n∑
j=0
cjxj,
com cj = aj + bj para 0 ≤ i ≤ n.
Exemplo 2.14: Calcule a soma dos polinômios f(x) e g(x), sendo f(x) = −2x3−x2+1
e g(x) = 3x3 + 1
2
x2 − x− 2.
Resolução
Pela de�nição de soma temos:
f(x) + g(x) = (−2x3 − x2 + x+ 1) + (3x3 + 1
2
x2 − x− 2)
= (−2x3 + 3x3) + (−x2 + 1
2
x2) + (x− x) + (1− 2) = x3 − x2
2
− 1.
De�nição 2.15: Considerando f(x) e g(x) em A[x], como na de�nição 2.13, temos:
f(x)g(x) =
n∑
j=0
cjxj,
sendo cj =
∑n
j=0 ajx
jbjx
j e com xkxj = xj+k.
Exemplo 2.16: Calcule o produto dos polinômios:
f(x)=-2x3 − x2 + x+ 1 e g(x)=3x3 + 1
2
x2 − x− 2.
Resolução:
Utilizando a de�nição de produto, temos:
f(x).g(x) = (−2x3 − x2 + x+ 1).(3x3 + 1
2
x2 − x− 2) = −12x6−8x5+9x4+17x3+3x2−6x−4
2
.
Podemos usar um dispositivo prático para efetuar a multiplicação de polinômios, como
mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 2.17: Multiplicar f(x) = x+ 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x+ 6x2.
Resolução:
O dispositivo pratico consiste em colocar em uma tabela os coe�ciente dos polinômios f
e g. Depois calcula-se todos os produtos entre os coe�cientes e soma-se os produtos em cada
9
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
diagonal.
Por exemplo, sejam ai e bi coe�cientes de f e g, respectivamente, e seja ci o produto
entre os coe�cientes.
f.g 4 5 6
0 0 0 0
1 4 5 6
2 8 10 12
3 12 15 18
Somando pela diagonal, obtemos c0 = 0, c1 = 4 + 0 = 4, c2 = 8 + 5 + 0 = 13,
c3 = 12 + 10 + 6 = 28, c4 = 15 + 12 = 27 e c5 = 18.
Decorrente das propriedades da adição e multiplicação em A temos:
Proposição 2.18: Dado f(x), g(x) e h(x) em A[x], temos que as seguintes propriedades
são válidas:
Associatividade
Adição: (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)).
Multiplicação: (f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x)).
Comutatividade
Adição: f(x) + g(x)=g(x) + f(x).
Multiplicação: f(x)g(x)=g(x)f(x).
Distributiva
f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x).
Demonstração: Sejam f(x) =
∑n
j=0 ajx
j, g(x) =
∑m
j=0 bjx
j e h(x) =
∑l
j=0 cjx
j.
Associativa
Para facilitar a demonstração tomamos n = m = 1 e reescrevemos f(x), g(x) e h(x) com
as mesmas potências de x.
Adição: Temos que f(x), g(x) e h(x) são escritos como
n∑
j=0
(aj + bj)x
j +
n∑
j=0
cjx
j.
Pela de�nição de adição em A[x] podemos escrever
n∑
j=0
((aj + bj) + cj)x
j.
10
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Como aj, bj, cj ∈ A, sabemos que A é associativa, portanto,
n∑
j=0
(aj + (bj + cj))x
j.
Logo, f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+(g(x)+h(x).
Multiplicação: A demonstração é análoga.
Pela de�nição de multiplicação temos
n∑
j=0
(ajbj)x
j
n∑
j=0
cjx
j.
Pela associatividade em A, concluímos que
n∑
j=0
(aj)x
j
n∑
j=0
(bjcj)x
j.
Logo, f(x)g(x))h(x) = f(x)(g(x)h(x).
Comutativa
Adição:
n∑
j=0
ajx
j +
n∑
j=0
bjx
j;
n+m∑
j=0
(aj + bj)x
j.
Como vale a comutativa em A, logo
n+m∑
j=0
(bj + aj)x
j;
n∑
j=0
bjx
j +
n∑
j=0
ajx
j.
Portanto, f(x) + g(x)=g(x) + f(x).
Multiplicação: A demonstração é análoga.
n∑
j=0
ajx
j
n∑
j=0
bjx
j.
Como vale a comutativa em A, logo
n∑
j=0
bjx
j
n∑
j=0
ajx
j.
11
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Portanto, f(x)g(x)=g(x)f(x).
Distributiva: Supondo l=m, reescrevendo g(x) e h(x) na mesma potência temos
f(x)(g(x) + h(x)).
n∑
j=0
ajx
j.
m∑
j=0
(bj + cj)x
j;
n+m∑
j=0
(
∑
aj(bj + cj))x
j.
Usando a distributividade de A, obtemos:
n+m∑
j=0
(
∑
ajbj + ajcj)x
j.
Podemos reescrever da seguinte forma:
n+m∑
j=0
(
∑
ajbj)x
j +
n+m∑
j=0
(
∑
ajcj)x
j,
isto é, f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x).
Exemplo 2.19: Dados f(x) = 2x3+3x2−4x+3 e g(x) = x2+2x+3, calcule o produto
usando a propriedade distributiva.
Resolução:
f(x).g(x) = (2x3 + 3x2 − 4x+ 3).(x2 + 2x+ 3) = 2x5 + 7x4 + 8x3 + 4x2 − 6x+ 9.
Exemplo 2.20: Determine os números reais a, b, c e d para que a igualdade de polinômios
seja verdade.
Resolução:
Seja f(x) = (b+ d)x4 + (d+ a)x3 + (a− c)x2 + (c+ d) = 4x4 + 2x3 + 2.
Pela igualdade de polinômios temos que dois polinômios são iguais se seus coe�cientes
são iguais, portanto:
(b+ d) = 4; (d+ a) = 2; (a− c) = 0; (c+ b) = 2.
Resolvendo o sistema �camos com:
b+ d = 4
d+ a = 2
a− c = 0
c+ b = 2
Onde obtemos a = 0, b = 2, c = 0, d = 2.
Assim como em A, o anel dos polinômios também possui:
Elemento Neutro: O polinômio nulo é o elemento neutro de A[x], isto é:
Sendo P (x) = 0 e f(x) um polinômio qualquer em A[x], temos P (x) + f(x) = f(x).
12
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Elemento Neutro na multiplicação: O polinômio constante f(x) = 1 é o elemento
neutro na multiplicação, isto é, se tivermos f(x) = 1 e g(x) um polinômio qualquer, o
produto entre eles é f(x)g(x) = g(x).
Decorrente do que foi enunciado anteriormente, pode-se enunciar a seguinte proposição:
Proposição 2.21: Para f, g ∈ A[x]/0 temos:
1. gr(f + g) ≤ max(gr(f), gr(g)) se f + g 6= 0.
2. f(x).g(x) 6= 0, então gr(f.g) = gr(f + g).
Demonstração:
Considere gr(f(x)) = n e gr(g(x)) = m.
1. Existirão 2 possibilidades: m > n e m = n.
Sem > n, então: (f+g)(x) = (a0+b0)+(a1+b1)x+...+(an+bn)xn+bn+1xn+1+...+bmxm,
disso segue que gr(f + g) = m = max(gr(f(x))).
Se m = n temos que a soma dos coe�cientes lideres é an + bm = 0 ou an + bm 6= 0.
Se an + bm = 0, então gr(f + g) < n = max(gr(f(x), g(x))).
Se an + bm 6= 0, então gr(f + g) = n = max(gr(f(x)), g(x)).
Em qualquer caso temos gr(f + g) = n = max(gr(f(x)), g(x)).
2. Dados os polinômios f(x) e g(x) de grau n e m, respectivamente. Temos an 6= 0 e
b0 6= 0. Ao efetuar, o produto resulta em xn+m = anbn 6= 0, logo f(x)g(x) 6= 0.
Porém, os coe�cientes de xk onde k > n+m serão ai = 0 se i > n e bj = 0 se h > m.
Logo, gr(f(x)g(x)) = n+m.
2.5 Divisão
Foram apresentadas anteriormente algumas operações com polinômios, agora será de�-
nida a operação de divisão em A[x].
Começando com um exemplo para ilustrar como funciona esta operação:
Dados f(x) = x2 +2x+2 e g(x) = x4 +4, ambos em Z[x], temos que f(x) divide x4 +4,
pois g(x) = h(x)f(x). Neste caso h(x) = (x2 − 2x+ 2).
Dizemos que f(x) divide g(x), ou que g(x) é múltiplo de f(x), quando g(x) = f(x)g(x).
Mas isso não ocorre sempre. Pegue por exemplo os polinômios f(x) = x+1 e g(x) = x2.
Neste caso h(x) não existe, pois gr(f(x)) = 1 = gr(g(x)+h(x)) = 2+ gr(h(x)), isso implica
em gr(h(x)) = 1, o que é um absurdo!
Porém é possível de�nir de modo único que existe uma divisão com resto que leva o nome
de Algoritmo da Divisão para Polinômios ou, somente, Divisão Euclidianade Polinômios.
Proposição 2.23: Sejam f(x), g(x) ∈ A[x] com g 6= 0, existem, de forma única, q(x),
r(x) ∈ A[x], tal que:
f(x) = g(x)q(x) + r(x),
com 0≤ gr(r(x)) < gr(g(x)).
13
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Demonstração: Considere g(x) = b0 + b1x+ ...+ bnxn, sendo b−1m a inversa de bm.
Existência
Se f(x) = 0 é imediato que q(x) = r(x) = 0.
Supondo que f(x) 6= 0.
Seja f(x) = a0 + a1x+ ...+ an, temos que n = gr(f(x)) e an 6= 0.
Teremos duas possibilidades: n < m e n ≥ m.
Para n < m tome q(x) = 0 e r(x) = f(x).
Para n ≥ m demonstraremos por indução.
Se n = 0 temos 0 = n ≥ m=gr(f(x)), portanto m = 0, isto é, f(x) = a0 6= 0 e g(x) = b0,
assim f(x) = a0b−10 g(x). Esta será nossa hipótese de indução.
Considere agora f1(x) tal que f1(x) = f(x)-a0b−10 x
n−mg(x), onde a0b−10 x
n−mg(x) tem
coe�ciente líder a0 e grau n. Logo gr(f1(x)) < gr(f(x)). Pela hipótese de indução temos
que existe q1(x) e r1(x), tal que r1(x) = 0 ou gr(r1(x)) < gr(g(x)).
Com isso:
f(x) = f1(x)anb
−1
m x
m−ng(x).
Pela hipótese, f1(x) = q1(x)g(x) + r1(x), substituímos:
f(x) = (q1(x)g(x) + r1) + anb
−1
m x
m−ng(x).
Colocando em evidência, resulta em f(x) = (q1(x) + anb−1m x
m−n)g(x) + r1(x).
Unicidade
Considere q1, q2, r1 e r2 temos, então:
f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) = q2(x)g(x) + r2, onde r2(x) = r1(x) = 0 e gr(r1(x), gr(r2(x)))
≤ gr(g(x)). Portanto, (q1(x)− q2(x))g(x) = r2(x)− r1(x).
Supondo q1(x) 6= q2(x), temos que q1(x) − q2(x) 6= 0, logo r2 − r1 6= 0 e da proposição
obtemos:
gr(g(x)) ≤ gr(g(x)) + gr(q1 − q2) = gr(g(q1 − q2))
= gr(r1 − r2) < gr(g(x)) ≤ max(gr(r1(x)), gr(r2(x))) < gr(g(x)).
Isto é um absurdo, pois contraria o fato de gr(r(x)) < gr(g(x)).
Logo, dado um f(x) e uma g(x), existe de forma única um q(x) e um r(x), tal que
f(x) = g(x)q(x) + r(x).
Dizemos que q é o quociente e r o resto da divisão. Quando r=0, dizemos que f é divisível
por g.
Exemplo 2.24: Determine o resto da divisão euclidiana de f(x) = x6 − 1 por x+ 2.
Resolução:
Dividimos os coe�cientes dos termos de maior grau do numerador x6 − 1 e do divisor
x+ 2, isto é, x
6
x
= x5.
Multiplicamos x+ 2 por x5: x6 + 2x5
Subtraímos x6 + 2x5 de x6 − 1 para obter um novo resto.
x5 + −2x
5−1
x+2
14
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Repetindo esse procedimento, obtemos:
−2x5−1
x+2
= −2x4 + 4x4−1
x+2
;
4x4−1
x+2
= 4x3 + −8x
3−1
x+2
;
−8x3−1
x+2
= −8x2 + 16x2−1
x+2
;
16x2−1
x+2
= 16x+ −32x−1
x+2
;
−32x−1
x+2
= −32 + 63
x+2
.
Portanto, o resto da divisão é r = 63.
Exemplo 2.25: Divida f(x) = 2x2 + 3x+ 3 por g(x) = x2 + 2x+ 2.
Resolução:
Sejam f(x) = 2x2 + 3x+ 3 e g(x) = x2 + 2x+ 2.
O monômio de maior grau de f(x) é 2x2 e o monômio de maior de g(x) é 2x2, portanto
o quociente da divisão de 2x2 por x2 é q1 = 2.
Efetuando o cálculo pela divisão euclidiana, temos que: r1 = f(x)− q1g(x) = (2x2+3x+
3)− 2x2 − 4x− 4 = −x− 1.
Como 1 = gr(r1(x)) < gr(g(x)) = 2, não podemos mais dividir. Portanto, q(x) = q1(x) =
2 e r(x) = r1(x) = −x− 1.
Exemplo 2.26: Dividindo f por x2 − 3x+ 5, obtemos x2 + 1 e resto 3x− 5. Determine
f .
Resolução:
Por de�nição, temos que f(x) = q(x)g(x) + r(x). Então:
f(x) = (x2 + 1)(x2 − 3x + 5) + (3x− 5). Desenvolvendo o produto, temos: (x4 − 3x3 +
6x2 − 3x+ 5) + (3x+ 5) = x4 − 3x3 + 6x2.
Logo, f(x) = x4 − 3x3 + 6x2.
2.6 Algoritmo de Briot1-Ru�ni2
Será introduzido um algoritmo pratico para determinar o quociente e o resto da divisão
euclidiana com condições determinadas.
1Charles Auguste Briot (1817-1882) foi um matemático francês que realizou pesquisas sobre análise, calor,
luz e eletricidade. Seus trabalhos sobre calor, luz e eletricidade foram baseados fortemente em suas teorias
sobre o éter, in�uenciado por Louis Pasteur. Também possui trabalhos notáveis sobre funções elípticas.
2Paolo Ru�ni (1765 - 1822) foi um matemático e médico italiano que realizou diversos trabalhos em
análise e álgebra. Uma de suas principais contribuições foi a demonstração da impossibilidade de resolver
equações algébricas do quinto grau por meio de radicais.
15
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Considere f(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn em A[x] e x0∈ A. Se f(x0) = 0 isto é chamado de
raiz do polinômio. Com isso pode-se enunciar o seguinte resultado:
Proposição 2.28 Seja f(x)∈ A[x]/(0). x0 é uma raiz se, e somente se, x − x0 divide
f(x).
Demonstração:
(⇒) Supondo f(x0) = 0 e fazendo a divisão euclidiana de f(x) por (x − x0), temos que
existem q(x) e r(x) em A[x], tal que:
f(x) = q(x)(x− x0) + r(x).
Onde r(x) = 0 ou gr(r(x)) < gr(x− x0) = 1, portanto r(x) = r. Como r(x) = 0, então
r = 0. Portanto, aplicando x0 em f(x) temos:
f(x0) = q(x0)(x0 − x0).
Isto é, f(x0) = 0. Logo, x− x0 divide f(x).
(⇐) Supondo que x − x0 divide f(x), então existe q(x) e r(x) em A[x], tal que f(x) =
q(x)(x− x0).
Logo, f(x) = q(x)(x0 − x0) = q(x0)0 = 0.
Esta proposição é conhecida como teste da raiz. Uma consequência deste resultado é
um algoritmo que serve para a obtenção do quociente e do resto da divisão de f(x) por um
x− x0, onde x0 é raiz de f , conhecido como Algoritmo de Briott-Ru�ni.
Proposição 2.29: Considerando um polinômio f(x) = anxn + ... + a1x + a0, uma raiz
x0 sobre A[x] e um quociente da divisão de f(x) por x− x0, q(x) temos:
qn−1 = a0
qn−2 = x0qn−1 + an−1
qn−3 = x0qn−2 + an−2
...
q1 = x0q2 + a2q0 = x0q1 + a1r = x0q0 + a0
Esta proposição pode ser transformada em uma tabela, onde será colocado na primeira
linha da tabela o zero x0, depois os respectivos coe�cientes an, an−1, ...,a1 e a0 do dividendo
f(x). Na segunda linha, colocamos como valor inicial o coe�ciente an.
Depois, na próxima coluna, realizamos o calculo de qn−2 = anx0+an−1. Este procedimento
é realizado até obtermos:
x0 an an−1 ... a2 a1 a0
an = qn−1 qn−2 ... q1 q0 r
Este é o Algoritmo de Briot-Ru�ni.
Exemplo 2.30: Determine o quociente e o resto da divisão de f(x) = x3 − 2x2 + 3 por
x+ 3, usando o método de Briot-Ru�ni.
Resolução:
16
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
Temos que x0 = −3. Portanto, aplicando o método, temos:
−3 1 −2 0 3
1 −5 15 | − 42
Com isso obtemos que q(x) = x2 − 5x+ 12 e r = 42.
Logo, f(x) = (x2 − 5x+ 15)(x+ 3)− 42.
Exemplo 2.31: Aplicando Briot-Ru�ni, determine o quociente e o resto da divisão de
f(x) = x3 − x2 + x− 1 por g(x) = (x− 2)(x− 3).
Resolução:
Considerando q1 o quociente e r1 o resto da divisão de f por x−2, pela divisão euclidiana
temos:
f = q1(x− 2) + r1.
Considerando q2 o quociente e r2 o resto da divisão de q1 por x−3, pela divisão euclidiana
temos:
q1 = q2(x− 3) + r2.
Substituindo q1 em f , obtemos:
f = [q2(x− 3) + r2](x− 2) + r1 = q2(x− 2)(x− 3) + [r2(x− 2) + r1].
Onde q1 é o quociente que estamos a procurar e r2(x−2)+r+1 é o resto. Por Briot-Ru�ni,
temos:
Para f e q1, escrevemos:
2 1 −1 1 −1
1 1 3 |5
Para q1 e q2, escrevemos:
3 1 1 3
1 4 |15
Logo, q=q2=x+ 4 e r=e2(x− 2) + r1=15(x− 2) + 5 = 15x− 25.
Exemplo 2.32: Seja a ∈ R, determine a de modo que: f = ax3+(2a−1)x2+(3a−2)x+4a
seja divisível por g = x− 1 e, logo após, faça a divisão e obtenha o quociente.
Resolução:
f será divisível por x− 1 se, e somente se, 1 for raiz de f .
Aplicando em f , temos f(1) = a13 + (2a− 1)12 + (3a− 2)1 + 4a = 0;
f(1) = a+ 2a− 1 + 3a− 2 + 4a = 0 ⇒ 10a− 3 = 0. Isto nos leva a a = 3
10
.
Substituindo em f , obtemos:
f =
3
10
x3 + (2.
3
10
− 1)x2 + (3. 3
10
− 2)x+ 4a;
f =
3
10
x3 − 4
10
x2 − 11
10
x+
12
10
.
Aplicando Briot-Ru�ni e dividindo f por x− 1, temos para q1 e q2:
17
CAPITULO 2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE POLINÔMIOS
1 3
10
−4
10
−11
10
12
10
3
10
−1
10
−12
10
|0
Portanto, temos que a = 3
10
e q = 3
10
x2 − 1
10
x− 12
10
.
Exemplo 2.33: Determine o resto e o quociente da divisão de f = xn−an por g = x−a.
Resolução:
a é raiz pois, f(a) = an − an = 0.
Logo, por Briot-Ru�ni, temos:
a 1 0 0 0 ... 0 −an
1 a a2 a3 ... an−1 |0
Portanto, temos que r = 0 e q = xn−1 + axn−2 + a2xx−3 + ...+ an−1.
18
Capítulo 3
Raízes de Polinômios
Serão abordados vários conceitos e teoremas, como o Teorema Fundamental da Álgebra,
númerode raízes, multiplicidade de uma raiz, relações entre coe�cientes e raízes, raízes
complexas, raízes reais e raízes racionais. Foi utilizado como referencia os livros (8) e (9)
3.1 Número de raízes
Começaremos com um dos resultados mais importante sobre os números de raízes complexas
que um polinômio pode admitir.
Existem casos onde os polinômios com coe�cientes em determinados conjuntos não pos-
suem raízes nesses conjuntos. Como é o caso do polinômio f(x) = x2 − 2, que possui
coe�cientes inteiros mas não tem raízes em Z mas possui raízes em C. O resultado a seguir,
conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra, nos mostra isso.
Teorema 3.1 (Teorema Fundamental da Álgebra). Todo polinômio f de A[x] que possui
grau gr(f) = n, com n ≥ 1 admite pelo menos uma raiz complexa.
Como consequência do Teorema Fundamental da Álgebra, temos o seguinte teorema:
Teorema 3.2 (Teorema da Decomposição). Todo polinômio f em A[x] de grau gr(f) = n
com n ≥ 1 pode ser decomposto da seguinte forma:
f = an(x− r1)(x− r2)(x− r3)...(x− rn),
onde r1, r2, r3,.., rn são raízes do polinômio.
Demonstração: Provaremos por indução sobre gr(f).
Para n = 1 é imediato.
Para n > 1.
Supondo que seja verdade e que é valida a hipótese para todo polinômio com coe�cientes
em C e gr = n− 1.
Seja z1 ∈ C uma raiz de f , pelo teste da raiz sabemos que existe g tal que:
f(x) = (x− z1)g(x).
g(x) tem gr(g) = n − 1 e coe�ciente líder an. Pela hipótese de indução temos que existem
z2, z3, ...,zn, tais que g(x) = an(x− z2)...(x− zn).
Logo, f(x) = (x−z1)g(x) = (x−z1)an(x−z2)...(x−zn)=f(x) = an(x−z1)(x−z2)...(x−zn).
19
CAPITULO 3. RAÍZES DE POLINÔMIOS
Uma outra forma de escrever esse resultado é:
Todo polinômio f de grau gr(f) = n com n ≥ 1 admite n, e somente n, raízes complexas.
Exemplo 3.3: Fatorar 5x5 − 5x4 − 80x+ 80, sabendo que suas raízes são 1, -2, 2, -2i e
2i.
Resolução:
Como as raízes são 1, -2, 2, -2i e 2i e o termo líder é 5, temos pelo Teorema da Decom-
posição que:
f = 5(x− 1)(x+ 2)(x− 2)(x+ 2i)(x− 2i).
Exemplo 3.4: Dada o polinômio (x − 1)(x3 − 4x + a) = (x2 − 1)2, coloque na forma
f(x) = 0 e obtenha a para que 2 seja uma das raízes.
Resolução:
Desenvolvendo os dois polinômios temos:
x(x3 − 4x+ a)− (x3 − 4x+ a) = (x2 − 1)(x2 − 1);
x4 − x3 − 4x2 + (4 + a)x− a = x4 − 2x2 + 1.
Subtraindo x4 − 2x2 + 1 em ambos os lados,
x4 − x3 − 4x2 + (4 + a)x− a− x4 + 2x2 − 1 = 0;
−x3 − 4x2 + (4 + a)x− a+ 2x2 − 1 = 0;
−x3 − 2x2 + (4 + a)x− (a+ 1) = 0;
x3 + 2x2 − (4 + a)x+ (a+ 1) = 0;
Logo f(x) = x3 + 2x2 − (4 + a)x+ (a+ 1) = 0.
Agora suponha que 2 é raiz. Temos que será raiz somente se f(2) = 0, portanto:
f(2) = 23 + 2(2)2 − (4 + a)2 + (a+ 1) = 8 + 8− 8− 2a+ a+ 1 = 0;
9− a = 0⇒ a = 9.
Portanto, f(x) = x3 + 2x2 − (4 + a)x+ (a+ 1) = 0 e a = 9.
Exemplo 3.5: Sabendo que f = x4− 5x2− 10x− 6 = 0 tem raízes -1 e 3, ache as outras
raízes e escreva da forma fatorada.
Resolução:
Como -1 e 3 são raízes, então temos que (x−1)(x−3) divide f = x4−5x2−10x−6 = 0.
Aplicando Briot-Ru�ni, temos:
−1 1 0 −5 −10 -6
1 −1 −4 −6 |0
3 −1 −4 −6 0
1 2 2 |0
Portanto, segue que f = (x+ 1)(x− 3)(x2 + 2x+ 2). Resolvendo x2 + 2x+ 2, temos que
as outras raízes são: x = −1± i
Portanto, f = (x+ 1)(x− 3)(x+ 1 + i)(x+ 1− i).
20
CAPITULO 3. RAÍZES DE POLINÔMIOS
3.2 Multiplicidade de uma raiz
De�nição 3.6 Seja x0 uma raiz, dizemos que x0 tem multiplicidade m, com m ≥ 1, quando:
f = (x− x0)mq(x0),
com q(x0) 6= 0.
Isto é, f(x) tem raiz de multiplicidade m quando f é divisível por (x − x0)m e não é
divisível por (x− x0)m+1.
Exemplo 3.7: Qual o grau de um polinômio f(x) = 0, cuja raízes são 3, 2 e -1, com
multiplicidade 7, 6 e 10, respectivamente?
Resolução:
Usando o teorema da decomposição temos que f(x) pode ser escrito da forma (x − 3),
(x−2) e (x+1). Porém, como as raízes têm multiplicidade 7, 6 e 10, respectivamente, temos
f(x) = k(x− 3)7(x− 2)6(x+ 1)10.
Portanto, o grau é a soma das potências, isto é, gr(f(x)) = 23.
Exemplo 3.8: Forme a equação cujas raízes são 2, -3, 1 + i, 1− i com multiplicidade 1.
Resolução:
A equação é k(x− x0)(x− x1)(x− x2)(x− x3) = 0.
Como sabemos as raízes, é so substituir e desenvolver as multiplicações.
k(x− 2)(x+ 3)(x− 1− i)(x− 1 + i) = 0 = k(x4 − x3 − 6x2 + 14x− 12) = 0.
3.3 Relação entre coe�ciente e raízes
É possível estabelecer uma relação entre os coe�cientes de um polinômio e suas respectivas
raízes. Por exemplo, peguemos o polinômio de grau 2:
f = ax2 + bx+ c = 0,
com a 6= 0 e tendo raízes x0 e x1.
Pelo teorema da decomposição, podemos escrever f da seguinte forma:
a(x− x0)(x− x1) = 0, isto é, ax2 + bx+ c = a(x− x0)(x− x1).
Dividindo por a, obtemos:
x2 +
b
a
x+
c
a
= x2 − (x0 + x1)x+ x0x1.
Logo, x0 + x1 = −ba e x0x1 =
c
a
.
É possível fazer uma generalização dessa relação para um polinômio de grau gr(f(x)) = n
21
CAPITULO 3. RAÍZES DE POLINÔMIOS
qualquer, com n ≥ 1.
Considere o polinômio:
f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ...+ a1x+ a0 = 0,
(an 6= 0) e com raízes x0, x1,...,xn temos:
f(x) = a(x− x0)(x− x1)...(x− xn);
f(x) = anx
n−an(x0+x1+x2+ ...+xn)+an(x0x1+x0x2+ ...+xn−1xn)xn−2+an(x0x1x2+
x0x1x3 + ...+ xn−2xn−1xn)x
n−3 + ...+ (−1)hanShxn−h + ...+ (−1)nan(x0x1x2...xn).
Podemos escrever:
S1=x0 + x1 + x2 + ...+ xn;
S2=x0x1 + x0x2 + ...+ xn−1xn;
S3=x0x1x2 + x0x1x3 + ...+ xn−2xn−1xn;
...
Sn=x0x1x2...xn.
Ao aplicarmos a identidade obtemos:
S1=
−an−1
an
, S2=
an−2
an
, S3=
−an−3
an
...Sn=(−1)h an−han .
Estas relações são chamadas Relação de Girard.
Algumas aplicações dessa relação podem ser vistas nos exemplos a seguir:
Exemplo 3.9: Calcule a soma dos quadrados e a soma dos cubos das raízes da equação
x3 − px2 + qx− r = 0.
Resolução:
x0 + x1 + x2 = p, x0x1 + x1x2 + x1x2 = q, x0x1x2 = r.
Fazendo S0 = x20 + x
2
1 + x
2
2 e S1 = x
3
0 + x
3
1 + x
3
2;
S0 = (x0 + x1 + x2)
2 − 2(x0x1 + x0x2 + x1x2) = p2 − 2p;
pS0 = (x0 + x1 + x2)(x0 + x1 + x2)
2;
pS0 = S1 + x
2
0x1 + x0x
2
1 + x
2
0x2 + x0x
2
2 + x
2
1x2 + x1x
2
2;
pS0 = S1 + x0x1(x0 + x1) + x0x2(x0 + x2) + x1x2(x1 + x2);
pS0 = S1 + x0x1(p+ x2) + x0x2(p+ x1) + x1x2(p+ x0);
S1 + p(x0x1 + x0x2 + x1x2)− 3x0x1x2 = S1 + pq − 3x.
Logo, S1 = p(p2 − 2q)− pq + 3x = p3 − 3pq + 3x e S0 = p2 − 2q e S1 = p3 − 3pq + 3x.
Exemplo 3.10: Resolva a equação x3 − 9x2 + 23x − 15 = 0, sabendo que suas raízes
estão em uma progressão aritmética.
Resolução:
Considerando x0, x1 e x2 as raízes do polinômio, aplicando as relações de Girard, temos:
1.x0+x1+x2=−a2a3 = 9.
2.x0x1+x0x2+x1x2=a1a3 = 23.
3.x0x1x2=−a0a3 = 15.
Dadas as condições oferecidas pelo problema:
4.x0 + x2 = 2x1.
Substituindo (4) em (1), obtemos 3x1 = 9 ⇒ x1 = 3.
22
CAPITULO 3. RAÍZES DE POLINÔMIOS
Com isso, temos x0 + x2 = 6 e x0x2 = 5.
Portanto, x0 e x2 são raízes de y2 − 6y + 5 = 0 ⇒ x0 = 1 e x2 = 5.
Exemplo 3.11: Resolva a equação x4 − 4x3 − x2 + 16x− 12 = 0, sabendo que existem
duas raízes simétricas.
Resolução:
Sendo x0, x1, x2 e x3, pela relação de Girard:
1. x0 + x1 + x2 + x3=-a3a4=4.
2. x0x1 + x0x2 + x0x3 + x1x2 + x1x3 + x2x3=a2a4=-1.
3. x0x1x2 + x0x1x3 + x0x2x3 + x1x2x3=-a1a4=-16.
4.x0x1x2x3=a2a4=-12.
Pela condição do problema, temos x0 + x1 = 0.
Substituindo a condição em (1): (x0 + x1) + x2 + x3 = 4 ⇒ x2 + x3 = 4.
Substituindo a condição em (3): x0x1(x2 + x3) + x2x3(x0 + x1) = −16 ⇒ x0x1 = −4.
Substituindo a nosso último resultado em (4): (x0x1)x2x3=-12⇒ -4x2x3=-12⇒ x2x3=3.
Pelo último resultado e por (4) temos que x2 e x3 são raízes do y2 − 4y + 3 = 0, isto é,
x2 = 1 e x3 = 3.
Pela condição dada no problema e pelo fato que x0x1 = −4, temos que x0 e x1 são raízes
do polinômio y2 − 4 = 0, isto é, x0 = 2 e x1 = −2.
3.4 Raízes complexas
Agora serão apresentados alguns resultados sobre raízes complexas com polinômios de coe-
�cientes reais.
Teorema 3.12: Se um polinômio de coe�cientes em R tem como raiz um numero z,
com z ∈ C da forma z=α+βi (β 6=0), então este polinômio também admite como raiz o
conjugado de z, ou seja, z=α-βi.
Demonstração: Seja f(x) = anxn + ... + a1x + a0 = 0 tal que admite z∈ C seja raiz,
isto é, f(z) = 0.
Veri�quemos se f(z) = 0.
f(z) = an(z)n + ...+ a2(z)
2 + a1(z) + a0 =
= anzn + ...+ a2z2 + a1z + a0 =
= anzn + ...+ a2z2 + a1z + a0 = f(z) = 0 = 0.
Portanto z é raiz do polinômio.
Temos como consequência desse teorema o fato de que, se f admite z ∈ C como raiz de
multiplicidade p, então admite z com multiplicidade p.
Observação: Esses dois resultados são válidos somente para polinômios com coe�cientes
reais.
O número de raízes não-reais será sempre par.
23
CAPITULO 3. RAÍZES DE POLINÔMIOS
Em um polinômio de grau 3, se sabemos que uma raiz é complexa, sabemos que terá
uma raiz real.
Exemplo 3.13: Obtenha o polinômio de menor grau que tenha como raízes i, 2i e 3i e
tenha coe�cientes reais.
Resolução:
Todo polinômio com coe�ciente reais e que tem raiz complexa, pelo teorema, admite os
conjugados como raiz. Portanto, as raízes são: i, −i, 2i, −2i, 3i e −3i.
Pelo teorema da decomposição, temos k(x− i)(x+ i)(x−2i)(x+2i)(x−3i)(x+3i). Logo,
o polinômio de menor grau é k(x6 + 14x4 + 49x2 + 36) = 0.
3.5 Raízes reais
Agora serão apresentados alguns resultados que nos auxiliam a determinar o numero de
raízes reais que um polinômio admite.
Para começarmos, vamos considerar um polinômio f(x) ∈ R. Sendo x0, x1, x2,..., xn as
raízes reais e z0, z1, z2,..., z3 as raízes complexas. Pelo teorema da decomposição temos que:
f = an(x− x0)(x− x1)(x− x2)...(x− xn)[(x− z0)(x− z0)(x− z1)(x− z1)...(x− zn)(x− zn)].
Agora efetuaremos o produto de todas as raízes complexas. Sendo Q esse produto,
Q = (x− z0)(x− z0)(x− z1)(x− z1)...(x− zn)(x− zn).
Como (x− z0)(x− z0)=x2 − z0x− z0x+ z0z0=x2 − (z0 + z0)x+ z0z0.
Substituindo temos:
x2 − (a+ bi+ a− bi)x+ (a+ bi)(a− bi)=x2 − 2ax+ a2 + b2=(x− a)2 + b2 > 0.
Como Q é o produto de m fatores igual acima então temos que Q > 0.
Logo, f = an.Q.(x− x0)(x− x1)(x− x2)...(x− xn) com Q > 0.
Com isso podemos enunciar um importante teorema.
Teorema 3.14 (Bolzano).1 Dado f(x) = 0 ∈ A[x] com coe�cientes reais em ]a, b[,
temos:
1. Se f(a) e f(b) tem sinais iguais, então existe um numero real par de raízes ou não
existe nenhuma raiz em ]a, b[.
2. Se f(a) e f(b) tem sinais contrários, então existe um numero ímpar de raízes do
polinômio em ]a, b[.
Demonstração: Se x0 esta em ]a, b[, então a < x0 < b.
Isso nos dá a− x0 < 0 e b− x0 > 0, portanto a multiplicação será (a− x0)(b− x0).
Agora, se x0 for externo à ]a, b[, como por exemplo se a < b < x0, então teremos a−x0 < 0
e b− x0 < 0.
Logo, (a− x0)(b− x0) > 0.
Fazendo o produto de f(a) e f(b):
f(a)f(b) = [anQ(a− x0)(a− x1)...(a− xn)][anQ(b− x0)(b− x1)...(b− xn)].
1Bernard Bolzano (1781-1848) foi um matemático, lógico, �lósofo e teólogo que trabalhou com análise.
Escreveu sobre �loso�a da ciência em seu �Doutrina da ciência�, e sobre fundamentos lógicos da matemática
e provou o Teorema do Valor Médio.
24
CAPITULO 3. RAÍZES DE POLINÔMIOS
Isso nos dá:
a2n[Q(a).Q(b)].[(a− x0)(b− x0)(a− x1)(b− x1)...(a− xn)(b− xn)].
Como a2n e Q(a).Q(b) são todas positivas, os únicos fatores negativos são as raízes de
f(x) = 0 que estão em ]a, b[.
Logo, se f(a)f(b) for maior que 0, então (a− x0)(b− x0) tem um par de raízes reais.
E, se f(a)f(b) < 0, existem um numero ímpar de fatores negativos (a−x0)(b−x0). Logo,
existe um número ímpar de raízes do polinômio f(x) = 0 em ]a, b[.
Exemplo 3.15: Quantas raízes reais o polinômio f(x) = x3 + 5x2 − 3x + 4 = 0 pode
apresentar no intervalo ]0, 1[?
Resolução:
Fazendo a f(x) no extremo do intervalo:
f(0) = 03 + 5(0)2 − 3(0) + 4 = 4 > 0.
f(1) = 13 + 5(1)2 − 3(1) + 4 = 7 > 0.
f(0) e f(1) são positivos, então pelo teorema de Bolzano temos a garantia de que existem
duas ou nenhuma raízes reais no intervalo.
Exemplo 3.16: Determinar m de modo que a polinômio f(x) = x3− 2x4 +3x3− 5x2 +
x+ (m− 3) = 0 tenha ao menos uma raiz real compreendida entre 0 e 2.
Resolução:
A condição para isso é que f(0) e f(2) tenham sinais opostos, portanto:
f(0) = m− 3 e f(2) = m+ 3.
Logo, f(0)f(2) < 0 ⇒ (m− 3)(m+ 3) < 0 ⇒ −3 < m < 3.
Exemplo 3.17: Mostre que o polinômio f(x) = 1000x5 + 2x2 − 1 = 0 admite uma raiz
positiva inferior a 1
5
.
Resolução:
f(0) = 1000(0)5 + 20(0)2 − 1 = −1 < 0.
f(1
5
)=1000(1
5
)5 + 20(1
5
)2 − 1 = 1000+2500−3125
3125
= 375
3125
> 0.
Como f(0)f(1
5
) < 0, temos pelo Teorema de Bolzano que f apresenta um número ímpar
de raízes no intervalo ]0, 1
5
[.
3.6 Raízes racionais
Agora serão apresentados alguns resultados sobre raízes racionais em polinômios com coe�-
cientes inteiros.
Teorema das raízes racionais. Se um polinômio f(x) = anxn+ ...+a1x+a0 = 0 tiver
coe�cientes inteiros, admite uma raiz racional p
q
, em que, p∈ Z, q∈ Z∗+ e p e q são primos
entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.
Uma aplicação para o teorema é:
25
CAPITULO 3. RAÍZES DE POLINÔMIOS
Dado o polinômio f(x) = 2x6 − 5x5 + 4x4 − 5x3 − 10x2 + 30x+ 12 = 0 com coe�cientes
inteiros, quais são suas raízes racionais?
Sendo p e q os divisores de -12 e 2, respectivamente, a raiz da forma p
q
pode ser: p∈(-1,
1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12) e q∈(1,2). Substituindo em p
q
temos que as possíveis raízes
racionais estão no conjunto: (-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12, −1
2
, 1
2
, −3
2
, 3
2
).
Veri�cando para os 16 números, temos que as únicas raízes são 2 e 1
2
.
Exemplo 3.18: Resolva f = 2x4 − 5x3 − 2x2 − 4x+ 3 = 0.
Resolução:
Considerando a raiz na forma p
q
e sendo p ∈ {1,−1, 3,−3} e q ∈ {1, 2}, então temos p
q
∈
{
1,−1, 3,−3, 1
2
, −1
2
, 3
2
, −3
2
}
.
Logo, uma das raízes é 3 e outra é 1
2
. Pelo teorema do teste da raiz temos que f é divisível
por (x− 3)(x− 1
2
).
Aplicando Briot-Ru�ni, temos:
3 2 −5 −2 −4 3
2 1 1 −1 |0
1
2
2 1 1 −1
2 2 2 |0
Encontramos uma equação de segundo grau da forma 2x2 + 2x + 2 = 0. As raízes são
−2±
√
12
4
=−1
2
±
√
3
2
i.
Portanto, as raízes são
{
3, −1
2
, −1
2
+
√
3
2
i, −1
2
−
√
3
2
i
}
.
Exemplo 3.19: Ache as raízes do polinômio f(x) = x3 − 9x2 + 22x− 24 = 0.
Resolução:
As raízes são os divisores de -24, pois a0 = 1, isto é,
(-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, 8, -8, -12, 12, 24, -24).
Substituindo os valores em f(x), temos que o único numero que satisfaz é o 6. Pelo teste
da raiz, temos que f é divisível por (x− 6):
6 1 −9 22 −24
1 −3 4 |0
Temos então um polinômio de grau 2 x2−3x+4 = 0, cujas raízes 3
2
±
√
7
2
i não são inteiras.
Logo, a única raiz inteira é o 6.
26
Capítulo 4
Resultados Clássicos sobre Zeros de
Polinômios
Serão apresentados a seguir alguns resultados clássicos para a localização dos zeros de um
polinômio no plano complexo, como a Regra dos Sinais de Descartes, Teorema de Cauchy,
Teorema de Pellet e o Teorema de Eneström-Kakeya para a de�nição de um círculo, região
ou anel no qual se encontram os zeros. Foi utilizado como referencia os livros (6) e (10)
4.1 Regra dos Sinais de Descartes
Começando por um resultado bastante importante que relaciona o número de mudanças de
sinais de seus coe�cientes com a quantidade de zeros reais positivos de um polinômio. Para
a demonstração desse resultado será importante enunciar alguns lemas.
Lema 4.2: Seja um alfabeto (P,N) e sejam A o conjunto das palavras �nitas de letras
iniciais e �nais distintas e B o conjuntos das palavras �nitas de letras inicias e �nais iguais.
Sendo a cada palavra �nita, então temos v(a) o número de pares de letras consecutivas e
distintas em a. Então:
1. a ∈ A⇒ v(a) ≡ 1(mod2).
2. a ∈ B ⇒ v(a) ≡ 0(mod2).
De�nição 4.3: Seja f(x) 6= a com a∈ R e gr(f(x)) = ki com 0 ≤ i ≤ n, sendo:
kn > kn−1 > ... > k1 > k0
e ai 6= 0 para todo i. De�nindo a sequência vf = (bn, bn−1, ..., b1, b0) para cada inteiro
0 ≤ j ≤ n.
bj =
{
+, se aj > 0
−, se aj < 0
A variação de f , denotamos V (f), é o número de pares de sinais consecutivos distintos
em vf .
Lema 4.4: Dado um polinômio g(x) 6= a com a ∈ R e um c > 0 um número real. Se
f(x) = (x− c)g(x), então V (f)− V (g) é um inteiro positivo par.
27
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
A partir desses lemas e de�nição podemos enunciar a Regra dos Sinais de Descartes.
Teorema 4.5 (Descartes1). Seja f 6= a um polinômiocom a ∈ R com coe�cientes reais.
Se R+f(x) denota o numero de raízes positivas de f , então V (f)− R+(f) é um inteiro par
não negativo.
Demonstração: Demonstração será feita por indução sobre o grau gr(f).
Se gr(f) = 1, f é mônico. Com isso temos f(x) = x ou f(x) = x+x0 com x0 > 0. Então
V (f)−R+(f) = 0− 0 = 0. Se f(x) = x− x0, então temos:
V (f)−R+(f) = 1− 1 = 0.
Supondo que o teorema é valido para qualquer polinômio de grau gr(f) = n, onde n>1
é inteiro.
Existem dois possíveis casos, R+f(f) = 0, e portanto basta mostrar que V (f) é par, e
o teorema de Bolzano nos garante que a0an > 0. Portanto, segue do Lema 4.4 que V (f) é
par.
Temos, agora, que R+(f) > 0. Tomando uma raiz positiva c sabemos que existe um g
não constante tal que f(x) = (x − c)g(x). O Lema 4.2 garante a existência de um ímpar
positivo I tal que
V (f)−R+(f) = (V (f)− I)− (R+(f)− I) = (V (g)−R+(g)) + (I − 1).
Pela hipótese de indução temos que V (g)-R+(g) é par e não negativo.
Logo, segue que V (f)-R+(f) é par e não negativo.
Exemplo 4.3: Considerando o polinômio f(x) = x6 − 2x4 + 5x3 − 3x2 − 11, temos que
V (f) = (1,−2, 5,−3,−11) = 3. Use a Regra dos Sinais de Descartes.
Resolução:
Temos que V (f)−R+(f) = 2k ⇒ R+(f) = 3− 2k para k = 0, 1, 2, ...;
Se k = 0 ⇒ R+(f) = 3 então f pode ter 3 zeros positivos;
Se k = 1 ⇒ R+(f) = 1 então f pode ter um zeros positivos;
Se k = 2 ⇒ R+(f) = −1 nesse caso não faz sentido existir zeros negativos.
Portanto, fazendo mudança de variável de x para −x, teremos:
f(−x) = x6 − 2x4 − 5x3 − 3x2 − 11.
Segue que V (f) = (1,−2,−5,−3,−11) = 1. Pela Regra de Sinais de Descartes, temos:
V (f)−R+(f) = 2k ⇒ R+(f) = 1− 2k para k = 0, 1, 2, ...;
Se k = 0 ⇒ R+(f) = 1 então f pode ter um zeros positivos;
Se k = 1 ⇒ R+(f) = −1, o que não não pode acontecer.
1René Descartes (1596-1650) foi um �lósofo, matemático e físico francês. Foi um dos �lósofos mais
in�uentes da historia dando inicio ao "Racionalismo". É considerado um fundador da �loso�a moderna,
contribuindo de forma signi�cativa com seu livro "Discurso sobre o Método", onde estabelece um método
que ajudou o desenvolvimento das ciências naturais, dentre inúmeras outras contribuições. Em matemá-
tica, possui gigantescas contribuições, como a junção entre álgebra e geometria dando origem a Geometria
Analítica e o desenvolvimento do plano cartesiano.
28
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
Sendo as raízes desse polinômio x1 = −2.2769,x2 = −0.5245 + 0.947i,x3 = −0.5245 −
0.947i,x4 = 0.9175 + 1.3869i,x5 = 0.9175− 1.3869i,x6 = 1.40909, então temos:
Figura 4.1: Representação dos zeros de f(x) = x6 − 2x4 − 5x3 − 3x2 − 11.
Serão apresentados agora os resultados clássicos sobre a localização dos zeros de po-
linômios com um resultado de extrema importância para a determinação dos zeros em um
disco.
Teorema 4.4 (Cauchy 2). Seja P (x) = a0+a1x+...+anxn um polinômio com coe�cientes
complexos e x0 a única raiz positiva, se:
f(x) = |an|zn − (|an−1|zn−1 + ...+ |a1|z + |a0|) = 0,
então todos os zeros de f(z) estão no disco
|z| ≤ r.
Demonstração
Considerando o polinômio P (z) dado, aplicando módulo temos:
|P (x)| = |a0 + a1x+ ...+ anxn|;
|P (x)| ≥ |anxn| − | − an−1xn−1 − ...− a1x− a0|;
|P (x)| ≥ |anxn| − | − 1||an−1xn−1 − ...− a1x− a0|;
|P (x)| ≥ |anxn| − |an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0|.
Logo, se |x|>r, temos que substituindo na f , f(|x|) > 0.
Isso nos dá:
|P (x)| ≥ |anxn| − |an−1xn−1 − ...− a1x− a0| = f(|x|).
Segue que |P (x)| > 0, isto é, P (x) 6= 0 para |x| > r.
Logo, todo os zeros estão no circulo |z| ≤r.
2Augustin-Louis Cauchy (1789�1857) foi um matemático francês que possui contribuições em quase
todas as áreas da matemática e da física. Suas grandes contribuições foram a introdução de um estudo
rigoroso sobre análise. Foi um dos que ajudou a desenvolver a teoria de grupos �nitos. O primeiro a fazer
um estudo rigoroso das condições de convergência de séries in�nitas, de�niu de forma rigorosa uma integral,
além de ter demonstrado a existência de unicidade das soluções em condições de contorno.
29
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
Exemplo 4.5: Dado o polinômio −x4+8x3−x2+8 = 0, use o teorema de Cauchy para
visualizar os zeros no plano.
Resolução:
Temos que a única raiz positiva do polinômio −x4 + |8|x3 − x2 + |8| = 0 é r = 7.8895.
Pelo teorema de Cauchy temos que todos os zeros desse polinômio são:
x1 = 7.8895.
x2 = −0.92815.
x3 = 0.51930− 0.90710i.
x4 = 0.51930 + 0.90710i.
Todos eles se encontram no disco |z| ≤7.8895.
Figura 4.2: Representação dos zeros de f(x) = −x4 + 8x3 − x2 + 8.
Teorema 4.6: Se f(x) = a0+a1x+ ...+anxn, um polinômio com coe�cientes complexos,
M=max1≤i≤n−1|ai| e M ′=max1≤i≤n|ai|.
Então, todos os zeros se encontram no disco
|a0|
|a0|+M ′
< |x| < 1 + M
|a0|
.
Demonstração
Para demonstração mostramos que o modulo dos zeros de P são limitados superior e
inferiormente.
De fato, pelo teorema anterior, temos que:
|P (x)| ≥ |anxn| − |an−1xn−1 − ...− a1x− a0|.
Aplicando propriedade de módulo, temos:
|P (x)| ≥ |an||x|n − (|an−1||x|n−1 + ...+ |a1||x|+ |a0|).
Como, por hipótese, temos M= max1≤i≤n−1 e M ′=max1≤i≤n|ai|, logo:
30
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
|P (x)| ≥ |an||x|n −m(|x|n−1 + ...+ |x|+ 1);
|P (x)| ≥ |an||x|n(1−
M
|a0|
n∑
k=1
|x|−k);
|P (x)| ≥ |an||x|n(1−
M
|a0|(|x| − 1)
);
|P (x)| ≥ |an||x|n(
|x| − (1 + M|a0| )
|x| − 1
).
Portanto, para |x| > 1+ M|an| , temos |P (x)| > 0.
Para P (x) = 0, temos:
|x| < 1 + M
|an|
.
Para determinar o limitante inferior é análogo.
Considerando um polinômio da forma znP ( 1
x
), e desenvolvendo ele como anteriormente,
obtemos:
|x| < 1 + M
′
|a0|
.
Como 1
xi
é zero de P (x), temos:
1
x1
< 1 +
M ′
|a0|
e |xk| >
|a0|
|a0|+M1
.
Logo, os zeros de P (x) estão no disco:
|a0|
|a0|+M ′
< |x| < 1 + M
|a0|
.
Exemplo 4.7: Dado o polinômio 45x5+32x4−21x2−x+17 = 0, temos queM=max1≤i≤n−1|ai|=32
e M ′=max1≤i≤n|ai|=45.
Temos que:
|a0|
|a0|+M ′
= 0.5 e 1 +
M
|a0|
= 2.8824.
Pelo grá�co podemos ver que todos os zeros se encontram dentro do disco
Teorema 4.8(Pellet). Se P (x) = a0 + a1x+ ...+ anxn é um polinômio onde:
fk(x) = |a0|+ |a1|x+ ...+ |ak−1|xk−1 − |ak|xk + |ak+1|xk+1 + ...+ |an|xn,
em que 0 < k < n, an, a0 6=0, possui 2 raízes positivas rk e qk (0<rk<qk) e fk(x)=0.
Temos que P (x) não possui zero em:
rk < |x| < qk
e tem, precisamente, k zeros no disco:
|x| ≤ rk
31
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
Figura 4.3: Representação dos zeros de f(x) = 45x5 + 32x4 − 21x2 − x+ 17.
Exemplo 4.9: Seja P (x) = x3 + 6x2 + 9 um polinômio, represente os zeros deste
polinômio.
Resolução:
Aplicando o teorema de Pellet temos:
f1(x) = f1(x) = x
3 − 6x2 + 9 = 0.
Sendo 1.3985 e 5.7254 as duas raízes positivas de f1(x) = x3− 6x2+9 = 0, e -6.2318 a outra
raiz, temos que P(x) não possui nenhum zero no anel 1.398 < |x| < 5.7254 e um zero no
disco |x| < 1.398, como podemos veri�car no grá�co abaixo:
Figura 4.4: Representação dos zeros de f(x) = x3 + 6x2 + 9.
Teorema 4.10: Sendo P (x) = a0 + a1x + ... + anxn um polinômio de grau gr(f) = n
tendo os coe�cientes
a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an−1 ≤ an e ana0 6= 0.
32
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
Então, todos os zeros de P (x) estão em:
|x| ≤ an − a0 + |a0|
|an|
.
Demonstração: Considere um Q(x) e R(x) tal que:
Q(x) = anx
n+1 + (1 + x)P (x) = a0 +
∑n
k=1(ak − ak−1)xk e R(x) = xnQ(
1
x
).
Para |x| ≤ 1 temos |R(x)| = |xnQ( 1
x
)| = |a0xn +
∑n
k=1(ak − ak−1)xn+k.
Aplicando desigualdade triangular, obtemos:
|R(x)| ≤ |a0||x|n + |
n∑
k=1
(ak − ak−1)xn+k;
|R(x)| ≤ |a0|+
n∑
k=1
(ak − ak−1)xn+k.
Portanto:
|R(x)| ≤ |a0|+
n∑
k=1
(ak − ak−1)xn+k = |a0|+ an − a0.
Como
|R(x)| = |xnQ( 1
x
);
|xnQ( 1
x
) = |a0|+ an − a0;
|xn||Q( 1
x
)| ≤ |a0|+ an − a0;
|Q( 1
x
)| ≤ |a0|+ an − a0
|xn|
.
Isso nos leva a:
|Q(x)| ≤ (|a0|+ an − a0)|x|n sendo |x| ≥ 1.
Para |x|≥ 1, temos:
Q(x) = anx
n+1 + (1− x)P (x);
−(1− x)P (x) = anxn+1 −Q(x);
(x+ 1)P (x) = anx
n+1 −Q(x).
Aplicando módulo, temos:
|(x+1)P (x)| = |anxn+1 −Q(x)|.
Como |Q(x)| ≤ (|a0|+ an − a0)|x|n, então:
|(x+ 1)P (x)| ≥ |an||x|n+1 − (|a0|+ an − a0)|x|n;
|(x+ 1)P (x)| ≥ |xn|an|(|x| − (
|a0|+ an − a0
|a0|
)).
Como a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an−1 ≤ an ≤, então an − a0 = |an − a0|.
33
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
Sendo r= |a0|+an−a0|a0| ⇒ r≥1.
Como |x| > r ≥ 1, então |(x− 1)P (x)| > 0. Segue que P (x) não tem zeros em |x| > r.
Portanto, P (x) possui zeros em |x| ≥ |a0|+an−a0|a0| .
Exemplo 4.11: Seja 25x4 + 16x3 + 9x2 + 8 um polinômio com os coe�cientes em forma
decrescente, aplique o Teorema 4.10 e encontre seus zeros.
Resolução:
Aplicando o teorema, temos:
|z| ≤ an − a0 + |a0|
|an|
= 1.
Portanto, todos os zeros estão determinados no círculo determinado pelo teorema, como
podemos observar no grá�co abaixo:
Figura 4.5: Representação dos zeros de f(x) = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 8.
Será apresentado agora um resultado importante sobre a localização dos zeros em um
disco unitário.
Teorema 4.12 (Eneström-Kakeya). Seja um polinômio P (x) = a0+a1x+ ...+anxn com
coe�cientes reais e os coe�cientes tendo an ≥ an−1 ≥ ... ≥ a0 ≥ 0, então o polinômio possui
zeros em:
|x| ≤ 1.
Demonstração: Seja P (x) um polinômio com os coe�cientes an ≥ an−1 ≥ ... ≥ a0 ≥ 0.
Pelo Teorema 4.11, temos que os zeros estão em:
|x| ≤ an − a0 + |a0|
|an|
.
Como a0>0, temos:
|x| ≤ an − a0 + a0
an
=
an
an
= |x| ≤ 1.
34
CAPITULO 4. RESULTADOS CLÁSSICOS SOBRE ZERO DE POLINÔMIOS
Exemplo 4.13: Dado o polinômio 7x5+5.2x4+2.8x3+x2− 4 = 0, como os coe�cientes
satisfazem as condições do Teorema de Eneström-Kakeya, então os zeros estão no disco
|z|≤ 1.
Os zeros são x1 = 0.705842, x2 = −0.839061 − 0.533723i, x3 = −0.839061 + 0.533723i,
x4 = −0.114712 − 0.897503i e x5 = −0.114712 + 0.897503i. Como mostra o grá�co, todos
se localizam dentro do disco unitário:
Figura 4.6: Representação dos zeros de f(x) = 7x5 + 5.2x4 + 2.8x3 + x2 − 4.
Desse teorema segue o seguinte corolário:
Corolário: Dado P (x)a0 + a1x + ... + anxn que satisfaça an ≥ an−1 ≥ ... ≥ a0 ≥ 0.
Então, P (x) não tem zeros em |x| < 1.
Demonstração: Considere P (x) que satisfaça nossa hipótese.
fazendo uma mudança de variável de z = 1
w
:
a0 + a1(
1
w
) + ...+ an−1(
1
w
)n−1 + an(
1
w
)n = 0.
Isto é:
a0 + a1(w) + ...+ an−1(w)
n−1 + an(w)
n = 0.
Note que a equação acima satisfaz o teorema de Eneström-Kakeya, então não existem zeros
em |w| > 1, o que implica em 1
w
> 1, isto é, |x| < 1.
35
Capítulo 5
Considerações Finais
Com o desenvolvimento da pesquisa chegamos a algumas propriedades importantes que au-
xiliam os estudos sobre polinômios e a localização de seus zeros no plano complexo. E evi-
denciamos resultados que nos ajudam a localizar com maior facilidade os zeros dependendo
de como estão arranjados os coe�cientes do polinômio.
Tal estudo apresenta conceitos sobre polinômios como Teorema Fundamental da Álgebra,
Teorema da Decomposição e as Relações de Girard e resultados sobre a localização dos
Zeros como a Regra de Descartes, Teorema de Cauchy e o Teorema de Eneström-Kakeya. E
apresentamos exemplos de aplicações desses resultados.
O próximo passo será, a partir da teoria estudada por esse projeto até o momento, estudar
classes de polinômios como polinômios auto-inversíveis e auto-recíprocos para compararmos
a precisão dos resultados estudados nesses polinômios especí�cos.
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Capítulo 6
Referências bibliográ�cas
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<http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy.html>. Acesso 13 de de-
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<http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html>. Acesso 11 de de-
zembro de 2019
[3 ] Biogra�a de Charles Auguste Briot disponível em:
<http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Briot.html>. Acesso 6 de dezem-
bro de 2019.
[4 ] Biogra�a de Paolo Ru�ni disponível em:
<http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ru�ni.html>.Acesso 6 de dezem-
bro de 2019.
[5 ] Biogra�a de René Descartes disponível em:
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Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada) - Instituto de Biociência, Letras e
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