Aula03EDL-Revisada

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 3 - Campo de Direções, Equações Autônomas, EDL
de Primeira Ordem
Links Interessantes
www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/interativo/campo_dir.html
www.mat.unb.br/grad/aulas/edo/b_e/index.php
http://www.ime.unicamp.br/∼samuel/Ensino/ma311/Recursos/
Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Gerais
Forma Normal: y ′ = f (t ,y).
onde f (t ,y) é uma função de duas variáveis dada e
representa a inclinação do gráfico da função incógnita y
no ponto (t ,y(t)).
Campo de Direções. “Pequenos” segmentos de reta
pelos pontos (ti ,yj) no plano ty , cuja inclinação é dada
por f (ti ,yj), i = 0,1, . . .N, j = 0,1, . . .M.
Utilidade do Campo de Direções. Obter o perfil dos
gráficos das soluções, mesmo sem determiná-las.
Exemplo 1. Analise o campo de direções das EDOs:
(a) y ′ = 2−y , (b) y ′ = t+2ty ,
Campo de Direções
Exemplo 1. (a) y ′ = 2−y .
Campo de Direções
Exemplo 1. (b) y ′ = t +2ty .
Campo de Direções/Curvas Integrais
Exemplo 1. (b) y ′ = t +2ty .
Fonte: http://www.ime.unicamp.br/ samuel/Ensino/ma311/Recursos/EDOParte1.pdf
Equações de Primeira Ordem Autônomas
Forma Normal: y ′ = f (y).
A função f não depende de t .
Soluções de Equilíbrio. São soluções constantes.
Portanto, y ′ = 0, ou seja, f (y) = 0.
A solução de equilíbrio y(t)≡ C é estável quando existir
r > 0 tal que se |y0−C|< r , então a solução com dado
inicial y0 tende à C quando t →+∞. Caso contrário ela é
dita instável.
Exemplo 2. Faça um esboço do campo de direções das
equações e determine suas soluções de equilíbrio.
(a) y ′ = 2+y , (b) y ′ = y(y −3), (c) y ′ = 1−y2.
Equações de Primeira Ordem Autônomas
y ′ = f (y).
Exemplo 2. (a) y ′ = 2+y .
Solução de Equilíbrio: y ≡−2 (instável)
Equações de Primeira Ordem Autônomas
y ′ = f (y).
Exemplo 2. (b) y ′ = y(y −3).
Soluções de Equilíbrio: y ≡ 0 (estável) e y ≡ 3 (instável).
Equações de Primeira Ordem Autônomas
y ′ = f (y).
Exemplo 2. (c) y ′ = 1−y2.
Soluções de Equilíbrio: y ≡−1 (instável) e y ≡ 1 (estável).
Equações de Primeira Ordem Autônomas
y ′ = f (y).
Exemplo 2. (d) y ′ = y2.
Solução de Equilíbrio: y ≡ 0 (instável).
Equações Lineares de Primeira Ordem
Forma Normal: y ′+p(t)y = g(t).
p e g funções contínuas em I = (α, β ) dadas.
Caso I. p(t)≡ 0, i. é, y ′ = g(t).
Basta integrar de ambos os lados, obtendo y(t) =
∫
g(t)dt+C,
onde C é uma constante.
Curvas Integrais. São gráficos das soluções para cada valor
de C. São tangentes ao campo de direções.
Exemplo 3. Determine todas as soluções e faça um esboço
dos campos de direções das equações
(a) y ′ = cos(t), (b) y ′ = et .
Equações de Primeira Ordem Lineares
Caso I. p(t)≡ 0, i. é, y ′ = g(t).
Exemplo 3. (a) y ′ = cos(t).
Solução y(t) = sen(t)+C.
Equações de Primeira Ordem Lineares
Caso I. p(t)≡ 0, i. é, y ′ = g(t).
Exemplo 3. (b) y ′ = et .
Solução y(t) = et +C.