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Equações Diferenciais Lineares Aparecido J. de Souza Aula 21 - Sistemas Lineares Não Homogêneos Sistemas Lineares Não Homogêneos (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t). P(t) matriz n×n e G(t) matriz n×1 (vetor) cujas entradas são funções contínuas num intervalo (α ,β ). Solução geral de (SLNH): X (t) = c1X 1(t)+c2X 2(t)+ · · ·+cnX n(t)+Xp(t) , X 1, . . . ,X n soluções LI do (SLH) X ′ = P(t)X , Xp(t) solução particular do (SLNH) e c1, . . .cn constantes reais. (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Caso I. P(t)≡ A, em que A é uma matriz constante, com A diagonalizável, isto é, A possui n autovetores V 1,V 2, . . .V n LI. Seja T a matriz de autovetores de A que diagonaliza A, i.é., T = ( V 1 V 2 · · · V n ) n×n e D = T−1AT , D = d11 0 0 · · · 0 0 d22 0 · · · 0 . . . 0 0 0 · · · dnn . Fazendo a mudança de variáveis X = TY , ou Y = T−1X , o sistema se desacopla em n equações lineares (não homogêneas) de primeira ordem de coeficientes constantes. y ′j = djjyj +hj(t) , j = 1,2, . . . ,n. (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Caso I. P(t)≡ A, em que A é uma matriz constante, com A diagonalizável, isto é, A = TDT−1, com D diagonal. T = ( V 1 V 2 · · · V n ) , V j , j = 1, . . .n, autovetores de A. Mudança de variáveis X = TY , ou Y = T−1X . y ′j = djjyj +hj(t) , j = 1,2, . . . ,n. Exemplo 1. Resolva o PVI: X ′ = ( 1 12 3 1 ) X + ( 1 t ) , X (0) = ( 0 1 ) . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Caso II. O Método da variação dos parâmetros. Seja Ψ(t) uma matriz solução fundamental de X ′ = P(t)X . A solução geral do sistema homogêneo é Xh(t) = Ψ(t)C, com C vetor constante. Tente uma solução particular de (SLNH) da forma Xp(t)=Ψ(t)U(t), com U(t) função vetorial a ser determinada. Substitui Xp(t) em (SLNH): X ′p(t) = Ψ′(t)U(t)+Ψ(t)U ′(t) = P(t)Ψ(t)U(t)+Ψ(t)U ′(t). P(t)Xp(t)+G(t) = P(t)Ψ(t)U(t)+G(t) . Daí Ψ(t)U ′(t) = G(t), ou U ′(t) = [Ψ(t)]−1G(t) . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Caso II. O Método da variação dos parâmetros. Ψ(t): matriz solução fundamental de X ′ = P(t)X . Solução particular de (SLNH): Xp(t)=Ψ(t)U(t), com U(t) função vetorial a ser determinada. U ′(t) = [Ψ(t)]−1G(t) =⇒ U(t) = ∫ [Ψ(t)]−1G(t)dt + C˜ . com C˜ um vetor de constantes. Tomando C˜ = 0: Xp(t) = Ψ(t) [∫ [Ψ(t)]−1G(t)dt ] . Logo a solução geral de (SLNH) é X (t) = Xh(t)+Xp(t) = Ψ(t) [ C+ ∫ [Ψ(t)]−1G(t)dt ] . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Caso II. O Método da variação dos parâmetros. Ψ(t): matriz solução fundamental de X ′ = P(t)X . Solução geral de (SLNH): X (t) = Xh(t)+Xp(t) = Ψ(t) [ C+ ∫ [Ψ(t)]−1G(t)dt ] . C vetor de constantes. Se P(t)≡ A, então a solução geral de X ′ = AX +G(t) fica: X (t) = eAt [ C+ ∫ [eAt ]−1G(t)dt ] = eAt [ C+ ∫ e−AtG(t)dt ] , pois [eAt ]−1 = e−At (Prove!). (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Caso II. O Método da variação dos parâmetros. Exemplo 2. Resolva: X ′ = ( 4 5 −2 −2 ) X + ( 4etcos(t) 0 ) , X (0) = ( 0 0 ) . Cálculos: Autovalores de A: r1 = 1+ i , r2 = 1− i . Autovetores de A associados à r1 = 1+ i : V = ( 5 −3+ i ) = ( 5 −3 ) + i ( 0 1 ) . Solução complexa: e(1+i)t [( 5 −3 ) + i ( 0 1 )] = et [( cos(t) ( 5 −3 ) −sen(t) ( 0 1 )) + i ( cos(t) ( 0 1 ) +sen(t) ( 5 −3 ))] . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Exemplo 2. (continuação) Soluções reais LI: X 1(t)=et ( 5cos(t) −3cos(t)−sen(t) ) , X 2(t)=et ( 5sen(t) cos(t)−3sen(t) ) . Matriz Solução Fundamental: Ψ(t) = et 5cos(t) 5sen(t) −3cos(t)−sen(t) cos(t)−3sen(t) . Solução geral da equação homogênea: Xh(t)=Ψ(t)C =et 5cos(t) 5sen(t) −3cos(t)−sen(t) cos(t)−3sen(t) c1 c2 . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Exemplo 2. (continuação) Solução particular do sistema não homogêneo: Xp(t) = Ψ(t)U(t), tal que Ψ(t)U ′(t) = G(t), ou seja, et 5cos(t) 5sen(t) −3cos(t)−sen(t) cos(t)−3sen(t) u ′ 1(t) u′2(t) = 4e tcos(t) 0 Resolvendo este sistema para u′1(t) e u′2(t), obtem-se u′1(t) = 1 5 ( 4cos2(t)−12sen(t)cos(t) ) , u′2(t) = 1 5 ( 12cos2(t)+4cos(t)sen(t) ) . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Exemplo 2. (continuação) Integrando u′1(t) e u′2(t), obtemos u1(t) = 1 5 ( 2t +sen(2t)−6sen2(t) ) , u2(t) = 1 5 ( 6t +3sen(2t)+2sen2(t) ) . Daí, uma solução particular do sistema não homogêneo é Xp(t) = Ψ(t)U(t) = et [( 2t [cos(t)+sen(t)] −4tsen(t) ) + ( [cos(t)+3sen(t)]sen(2t)−2 [3cos(t)+sen(t)]sen2(t) 4cos(t)sen2(t)−2sen(t)sen(2t) )] . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Exemplo 2. (continuação) Susbtituindo a condição inicial X (0) = (0,0)T na solução geral do sistema não homogêneo, dada por Xg(t) = Xh(t)+Xp(t) = Ψ(t)C+Xp(t), obtemos que C = (0,0)T e portanto a solução do PVI proposto é. X (t) =et [( 2t [cos(t)+sen(t)] −4tsen(t) ) + ( [cos(t)+3sen(t)]sen(2t)−2 [3cos(t)+sen(t)]sen2(t) 4cos(t)sen2(t)−2sen(t)sen(2t) )] . (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Caso II. O Método da variação dos parâmetros. Exemplo 3. Resolva: X ′ = 1 0 02 1 −2 3 2 1 X + 00 etcos(2t) , X (0) = 01 1 . Cálculos: Autovalores de A: r1 = 1, r2 = 1+2 i , r3 = 1−2 i . Autovetores de A associados à r1 = 1: v1 = 2−3 2 Autovetoresde A associados à r2 = 1+2 i : V = 01 −i (SLNH) X ′ = P(t)X +G(t) Cálculos: Matriz Solução Fundamental de A: Ψ(t)= 2e t 0 0 −3et etcos(2t) etsen(2t) 2et etsen(2t) −etcos(2t) , [Ψ(0)]−1 = 1 2 0 0 3 2 1 0 1 0 −1 . Matriz exponencial de A: eAt =Ψ(t)[Ψ(0)]−1 = et 1 0 0−3 2 + 3 2cos(2t)+sen(2t) cos(2t) −sen(2t) 1+ 32sen(2t)−cos(2t) sen(2t) cos(2t) . A solução do PVI dado é X (t) = eAt [ X (0)+ ∫ t 0 e−AsG(s)ds ] =et 0cos(2t)− (1+ 12 t)sen(2t) (1+ 12 t)cos(2t)+ 5 4sen(2t) .
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