Questão resolvida - Determine os máximos ou mínimos das funções sujeitas as seguintes restrições_ a) f(x,y)y-3xy4x, sujeito a restrição 2x3y232 - multiplicadores de Lagrange - Cálculo II - UFC

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6) Determine os máximos ou mínimos das funções sujeitas as seguintes restrições: 
 
a) , sujeito a restrição .f x, y = y² - 3xy + 4x²( ) 2x + 3y = 232
 
Resolução: 
 
Para determinar os máximos e mínimos sujeito a restrição dada, usamos a relação de 
Lagrange, definida por;
 
𝛻F x, y = 𝜆𝛻g x, y( ) ( )
 
Sendo que;
 
F x, y = y² - 3xy + 4x² e g x, y = 2x + 3y = 232( ) ( )
 
Então, o gradiente é;𝛻F x, y( )
 
𝛻F x, y = ⟨ , ⟩ = ⟨- 3y + 2 ⋅ 4x, 2y - 3x⟩ = ⟨- 3y + 8x, 2y - 3x⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
E o gradiente é;𝛻g x, y( )
 
𝛻g x, y = ⟨ , ⟩ = ⟨2, 3⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
Substituindo os gradientes encontrados em 1, fica;
 
⟨-3y + 8x, 2y - 3x⟩ = 𝜆⟨2, 3⟩
 
⟨-3y + 8x, 2y - 3x⟩ = ⟨2𝜆, 3𝜆⟩
 
Isso nos leva ao seguinte sistema;
 
-3y + 8x = 2𝜆
2y - 3x = 3𝜆
 
 
(1)
 
Isolando lambda em cada equação, temos;
 
-3y + 8x = 2𝜆 2𝜆 = -3y + 8x 𝜆 =→ ⏫⏪ 
-3y + 8x
2
 
 
2y - 3x = 3𝜆 3𝜆 = 2y - 3x 𝜆 =→ ⏫⏪ 
2y - 3x
3
Igualando os , fica;𝜆
 
= 3 -3y + 8x = 2 2y - 3x -9y + 32x = 4y - 6x
-3y + 8x
2
2y - 3x
3
→ ( ) ( ) →
 
-9y - 4y = -6x - 32x -13y = -41x y =→ →
-41x
-13 ⏫⏪⏪⏪⏪⏪jogo de sinais
 
y =
41x
13
 
Substituindo o valor encontrado para (em função de ) na retrição, temos; y x
 
2x + 3 ⋅ = 232 2x + = 232 = 232 = 232
41x
13
→
123x
13
→
26x + 123x
13
→
149x
13
 
149x = 232 ⋅ 13 149x = 3016 x =→ →
3016
149
Substituindo o valor de em 2, temos que é; x y
 
y = y = ⋅ y = ⋅ y = 232 ⋅ y =
41 ⋅
13
3016
149
→
41
13
3016
149
→
3016
13
41
149
→
41
149
→
9512
149
 
 
 
 
fazendo o
(2)
Assim, há apenas um ponto que fornece um valor de máximo sujeita a restrição dada, já P
que quando (na restrição), e , dessa forma, não há ponto de x ±∞→ y ±∞→ f x, y ∞( ) →
mínimo. 
 
P = ,máx
3016
149
9512
149
 
 
(Resposta - a)