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0 CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI ANÁLISE COMBINATÓRIA GUARULHOS – SP 1 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 3 2 ORIGENS DA LINGUAGEM NUMÉRICA E DA CONTAGEM .......................... 4 3 CONTAGEM ..................................................................................................... 9 3.1 Princípios básicos de contagem ................................................................. 11 3.2 Fatorial ........................................................................................................ 13 4 AGRUPAMENTOS ......................................................................................... 15 4.1 Arranjo ........................................................................................................ 15 4.2 Permutação ................................................................................................ 16 4.3 Permutações com repetições ..................................................................... 19 4.3.1 Amostras ordenadas ................................................................................... 21 4.3.2 Diferenças entre arranjo e permutação....................................................... 22 4.4 Combinação ................................................................................................ 25 5 BINÔMIO DE NEWTON .................................................................................. 27 6 TRIÂNGULO DE PASCAL .............................................................................. 30 7 APLICAÇÃO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................. 33 7.1 Geometria plana ......................................................................................... 33 7.2 Computação ............................................................................................... 34 8 PROBABILIDADE ........................................................................................... 35 8.1 Espaço amostral ......................................................................................... 36 8.2 Evento ......................................................................................................... 37 9 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES E EVENTOS COMPLEMENTARES .........................................................................................................................37 2 9.1 Eventos independentes e eventos dependentes ........................................ 38 10 CÁLCULO DE PROBABILIDADE ................................................................... 39 10.1 Resultados da probabilidade ...................................................................... 41 11 PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO . 41 12 PROBABILIDADE CONDICIONAL ................................................................. 46 12.1 Probabilidade de eventos independentes ................................................... 50 13 TEOREMA DE BAYES ................................................................................... 52 14 APLICAÇÃO DA PROBABILIDADE NA INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL ............ 53 15 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 56 15.1 Bibliografia Básica ...................................................................................... 56 15.2 Bibliografia Complementar .......................................................................... 56 3 1 INTRODUÇÃO Prezado aluno! O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é semelhante ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos para as atividades. Bons estudos! 4 2 ORIGENS DA LINGUAGEM NUMÉRICA E DA CONTAGEM A matemática foi considerada por muitos séculos a ciência dos números, da grandeza e da forma. Por isso quando se busca pelos primeiros vestígios de atividade matemática, encontram-se resquícios arqueológicos que refletem a consciência humana de operações numéricas, contagem ou padrões e formas geométricos. De modo geral, os vestígios matemáticos são encontrados no domínio das culturas primitivas. Regras de operação podem existir como parte de uma tradição oral, às vezes na forma de música ou de versos, ou ainda podem ser percebidos na linguagem da mágica e dos rituais (BOYER; MERZBACH, 2012). Algumas vezes, os vestígios matemáticos são encontrados em observações do comportamento animal, o que os distancia ainda mais do domínio do historiador (BOYER; MERZBACH, 2012). Neste contexto, Aragão (2009) menciona que a matemática, antes de ser uma ciência, foi um conjunto de métodos empíricos, aplicados pelos nossos antepassados à vida prática do quotidiano e, por isso, pode-se dizer que tem raízes biológicas. As noções de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do que com semelhanças, por exemplo, a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de tamanho entre uma sardinha e uma baleia, a dessemelhança entre a forma redonda da lua e a retilínea de um pinheiro, entre outras (BOYER; MERZBACH, 2012). Boyer e Merzbach (2012) explicam que das experiências caóticas deve ter surgido a percepção de que existem analogias; e desta percepção de semelhanças em números e formas, nascem a ciência e a matemática. As próprias diferenças parecem indicar semelhanças ao contrastar um lobo e muitos, um carneiro e um rebanho, uma árvore e uma floresta... tudo sugere que um lobo, um carneiro e uma árvore têm algo em comum: a unicidade. Outra observação se daria em grupos, como os pares, que podem ser postos em correspondência biunívoca, as mãos podem ser emparelhadas com os pés, os olhos e as orelhas ou as narinas. Este foi um grande passo no caminho até a matemática moderna. Essas descobertas podem ter se dado por um indivíduo ou uma determinada tribo. Acredita-se que a percepção tenha sido gradual, e desenvolvida tão cedo pelo homem quanto o uso do fogo, talvez há 300.000 anos. 5 Para Aragão (2009), a primeira correspondência biunívoca foi sem dúvida aquela que se via entre os objetos e os dedos das mãos e dos pés. A operação de contar, de descobrir o número de elementos de um conjunto depende do ato de comparar. O indivíduo primitivo conseguia saber, por exemplo, se tinha mais filhos do que lanças. Nossos antepassados mais antigos inicialmente contavam somente até dois; qualquer conjunto além desse nível era designado por “muitos”. A ideia de número tornou- se mais ampla e vívida somente na linguagem de sinais, em que os dedos de uma mão podem ser usados para indicar um conjunto de dois, três, quatro ou cinco objetos. O número 1 inicialmente não era reconhecido como um verdadeiro número. E quando os dedos humanos, dos pés e das mãos, eram inadequados, usavam-se montes de pedras para representar uma correspondência com elementos de outro conjunto.O homem primitivo, quando usava esse método de representação, costumava amontoar as pedras em grupos de cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por observação da mão e do pé. Para conservar as informações, o homem pré-histórico fazia o registro de um número por meio de entalhes em um bastão ou pedaço de osso (BOYER; MERZBACH, 2012). Conforme Boyer e Merzbach (2012), a ação de contar com os dedos, ou por meio de grupos de cinco e dez, parece ter surgido mais tarde do que a contagem por grupos de dois e três. No entanto, os sistemas quinário e decimal substituíram o binário e o ternário. Vejamos, na Figura 1, um exemplo de sistema vigesimal usado pelos Maias de Yucatan e da América Central. 6 Na representação de intervalos de tempo entre datas em seu calendário, os maias usavam uma numeração com valor na posição, geralmente com 20 como base primária e 5 como auxiliar, como vemos na Figura 1. As unidades eram representadas por pontos, e cinco, por barras horizontais (BOYER; MERZBACH, 2012). As talhas numéricas (tally sticks, bastões numéricos entalhados) eram utilizadas entre povos primitivos com inúmeras finalidades: registro de transações ou obrigações, cômputo de dias de viagem, registro de períodos de tempo, calendários, repartição de bens, etc. Vejamos alguns exemplos de talhas numéricas do Paleolítico Superior Europeu até o mais recente, encontrado em 1937, com idade de aproximadamente 30 mil anos (ALMEIDA, 2001). Exemplo: Na Figura 2a, vemos o mais antigo exemplo de talha registrado nos textos de História da Matemática, um rádio de lobo inscrito com 55 incisões, com idade aproximada de 30 mil anos. 7 Em 1927, foram escavados no Abri Cellier ossos com entalhes com uma idade estimada em 24 mil anos. À direita da Figura 2b tem-se um osso de ave, gravado com duas séries de incisões; outro osso, à esquerda, apresenta uma série de incisões. (BOYER; MERZBACH, 2012). O “adorador” é uma figura em marfim de mamute, com 30 mm comprimento, 14 mm de altura e 4,5 mm de espessura, como se vê na Figura 2c. Pode representar uma criatura híbrida em atitude de adoração. As filas de pontos no verso podem representar observações astronômicas ou calendáricas. Os cerca de 49 pontos no verso estão arranjados em quatro filas de 13, 10, 12 e 13 pontos; nos lados há um total de aproximadamente 30 incisões em grupos de 6, 13, 7 e 13. Foi escavado em 1979 e é datado de, aproximadamente 35 a 32 mil anos. Algumas interpretações de talhas como calendários lunares podem ser observadas: Na Figura 2d, consta uma placa óssea de Abri Lartet (Dordonha), contendo na face 118 marcas e no verso 90, correspondendo a um registro de onze meses; Na Figura 2f, um bastão de Isturitz, registrando provavelmente em uma das faces 4 e nos outros 5 meses lunares; Na Figura 2e, o osso de águia de Le Placard (Dordonha), contendo cada lado aparentemente seis meses lunares, totalizando um ano lunar. No sítio de Mezin (Ucrânia), foram encontrados, em 1908, ossos de mamute com incisões, como mostra a Figura 2g, datando de 29 a 15,1 mil anos atrás. É importante mencionar que a técnica de entalhes não se limitou ao continente europeu. Na Austrália, encontramos objetos de pedra denominados cylcon, como pode ser visto na Figura 2h, contendo entalhes paralelos, provavelmente empregados para contar emus, guerreiros mortos, etc. A mais antiga pedra cylcon encontrada em um contexto arqueológico datável tem uma idade aproximada de 20 mil anos. 8 De acordo com Boyer e Merzbach (2012), acredita-se que o desenvolvimento da linguagem tenha sido essencial para o surgimento do pensamento matemático abstrato e que as palavras que exprimem ideias numéricas apareceram lentamente. É provável que os sinais para números tenham surgido antes das palavras para eles, pois é mais fácil fazer incisões em um bastão do que estabelecer uma frase bem formulada para identificar um número. É possível perceber a demora no desenvolvimento da linguagem para exprimir abstrações como o número no fato de que as expressões verbais numéricas primitivas invariavelmente se referem a coleções concretas específicas, como “dois peixes” ou “dois bastões”, e, mais tarde, uma dessas frases seria adotada para indicar todos os conjuntos de dois objetos. Essa tendência do desenvolvimento da linguagem do concreto para o abstrato ainda pode ser percebida em muitas medidas de comprimento usadas atualmente; por exemplo, a altura de um cavalo é medida em “palmos”, e as palavras “pé” e “ell” (ou elbow, cotovelo) também derivam de partes do corpo (BOYER; MERZBACH, 2012). A distinção entre conceitos abstratos e repetidas situações concretas levou milhares de anos para ser descoberta pelo homem, o que demonstra a complexidade para o estabelecimento de fundamento para a matemática. Muitas perguntas relativas à origem da matemática ainda não foram respondidas; enquanto há argumentos de que ela 9 tenha surgido em resposta a necessidades práticas, há outros afirmando que ela surgiu da conexão com rituais religiosos primitivos (BOYER; MERZBACH, 2012). O número inteiro é o mais antigo da matemática. A noção de fração, por outro lado, surgiu tarde e não estava relacionada com os sistemas para os inteiros. Aparentemente, para as tribos primitivas, as frações não eram necessárias e, para questões quantitativas, o homem prático pode escolher unidades suficientemente pequenas, podendo dispensar as frações (BOYER; MERZBACH, 2012). Pode-se afirmar que o desenvolvimento das frações não foi um produto da Idade da Pedra, mas com as culturas mais avançadas desenvolvidas, durante a Idade do Bronze, pode ter surgido a necessidade de utilizá-las (BOYER, 1996). Aragão (2009) destaca que, embora o conceito de número seja recente, há muitos milênios os seres humanos os utilizavam, representavam e combinavam, por meio de operações. Os números eram utilizados não apenas para contar, mas para medir grandezas, indicar direções e posições no espaço, etc. 3 CONTAGEM Em matemática, a definição de contagem é o ato de determinar um número de elementos de um conjunto (finito), e existem evidências arqueológicas que possibilitam concluir que o processo de contar tenha sido utilizado há mais de 50 mil anos por culturas primitivas para acompanhar os dados econômicos e sociais, como: Quantidade de membros do grupo, das presas, etc.; Propriedades e dívidas. O princípio de contagem levou ao desenvolvimento da notação matemática, dos sistemas numéricos e da escrita atual. Ela ainda pode ocorrer de várias formas, por exemplo, verbalmente, falando cada número em voz alta (ou mentalmente) para acompanhar o progresso, utilizado com frequência para contar objetos presentes em vez de uma variedade de coisas no decorrer do tempo (horas, dias, semanas, etc.). Também pode ser por meio de marcações, com base de contagem unitária, registrando uma marca para cada objeto e contando seu total, o que é útil quando se deseja contar objetos ao 10 longo de períodos, como o número de ocorrências de algo durante um dia. A contagem usual é realizada em base decimal, já os computadores usam base binária (zeros e uns). A realização da contagem permite determinar a quantidade de elementos de determinado conjunto, por exemplo, o censo demográfico, que, por meio dela, sabe o número de elementos dos seguintes conjuntos: Quantidade de pessoas que vivem em determinado estado ou cidade; Quantidade de pessoas do sexo masculino e do feminino que vivem em determinado lugar. Estar diante desse princípio é como encarar uma situação na qual avaliar as possibilidades de uma escolha e suas possíveis consequências torna-se necessário. Por exemplo, considere que você deseja comprar um carro e que há 4 cores disponíveis: preto, prata, vermelho e branco; também existem3 potências para o seu motor: 1.0, 1.5 e 2.0; além disso, há a possibilidade de ele ser com 2 ou 4 portas. Logo, quais são as possibilidades de montagem para esse carro? Conforme Santos, Mello e Murari (2008, p. 39), frente a uma típica situação que utiliza o princípio fundamental da contagem, […] quando um evento é composto por m maneiras diferentes, e se para cada uma dessas m maneiras possíveis de ocorrência desse evento houver outro que pode ser realizado de n maneiras distintas, então, o número de maneiras possíveis de ocorrerem ambos os eventos é o resultado do produto entre m e n. Retornando para a situação inicial da montagem do carro, as possibilidades referentes à composição desse automóvel são dadas pela multiplicação entre as maneiras de se escolher cada um dos eventos, ou seja: opções de cores × opções de potência de motor × opções de quantidade de portas, logo o cálculo será dado por: 4 × 3 × 2 = 24 Assim, há 24 possibilidades de composições para esse carro perante as condições estabelecidas, de modo geral, problemas dessa natureza são resolvidos pelo 11 princípio fundamental da contagem, que é aplicado multiplicando o número de opções entre as escolhas disponíveis. 3.1 Princípios Básicos de Contagem Há dois princípios básicos de contagem, o primeiro envolve adição e, o segundo, multiplicação. Princípio da Regra da Soma: Suponha que algum evento E possa ocorrer de m maneiras e um segundo evento F possa ocorrer de n maneiras. Suponha também que ambos os eventos não podem acontecer simultaneamente. Então E ou F podem ocorrer de m + n maneiras Princípio da Regra do Produto: Suponha que existe um evento E que possa ocorrer de m maneiras e, independentemente deste, há um segundo evento F que pode ocorrer de n maneiras. Então, combinações de E e F podem ocorrer de mn maneiras. (BOYER; MERZBACH, 2012). Os princípios acima podem ser estendidos para três ou mais eventos. Ou seja, suponha que um evento E1 possa ocorrer de n1 maneiras, um segundo evento E2 possa ocorrer de n2 maneiras e, seguindo E2, um terceiro evento E3 possa ocorrer de n3 maneiras e assim por diante. Então: Regra da Soma: Se nenhum par de eventos pode ocorrer ao mesmo tempo, logo um dos eventos pode ocorrer de: n1 + n2 + n3 + · · · maneiras. Regra do Produto: Se os eventos ocorrem um após o outro, então todos os eventos podem ocorrer na ordem indicada de: n1 · n2 · n3 · . . . maneiras. Suponha que uma faculdade tenha três disciplinas diferentes de história, quatro disciplinas diferentes de literatura e duas disciplinas diferentes de sociologia. 12 (a) O número m de maneiras que um estudante pode escolher uma de cada tipo de disciplina é: m = 3(4)(2) = 24 (b) O número n de maneiras que um estudante pode escolher apenas uma disciplina é: n = 3 + 4 + 2 = 9 Há uma interpretação conjuntista dos dois princípios recém-vistos. Especificamente, suponha que n(A) denota o número de elementos em um conjunto A. Então: (1) Princípio da Regra da Soma: Suponha que A e B são conjuntos disjuntos. Logo: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) (2) Princípio da Regra do Produto: Seja A × B o produto cartesiano dos conjuntos A e B. Logo: n(A × B) = n(A) · n(B) Exemplos: 1) No restaurante de uma empresa, há 3 opções de carnes, 5 de guarnições, 4 de saladas e 2 de sobremesas no cardápio de hoje. Quantas são as possibilidades de composição de pratos a serem consumidos? Observe que temos 4 eventos referentes às opções do cardápio, e que cada um deles apresenta outras possibilidades de escolha; logo, o total de maneiras de montagem será de: 13 3 × 5 × 4 × 2 = 120 Logo, existem 120 maneiras de compor essa refeição. 2) Para compor um look completo para trabalhar, Camila necessita combinar uma blusa, uma calça e um calçado. Sabendo que existem 12 blusas, 7 calças e 10 calçados em seu guarda-roupa, quantas são as composições possíveis de serem montadas? Como existem 12 blusas, 7 calças e 10 calçados, é necessário escolher cada um desses itens; logo, o total de possibilidades é dado por: 12 × 7 × 10 = 840 Assim, existem 840 maneiras de montar a composição de roupas. 3.2 Fatorial O conceito de fatorial é muito utilizado em problemas de combinatória. É caracterizado como um número natural não negativo descrito pelo produto entre ele e todos os seus antecessores. Para referenciar o fatorial de um número, utiliza-se o símbolo ! (exclamação); além disso, é definido que 0! = 1, ou seja, 0 fatorial equivale a 1. A seguir, observe alguns números fatoriais, sua decomposição e seu respectivo resultado: 2! = 2 × 1 = 2 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800 Observe que o valor obtido pelo cálculo do fatorial cresce muito rápido, conforme cresce o número; por isso, é usual simplificar operações envolvendo fatorais. (BOYER; MERZBACH, 2012). Esse processo ocorre de modo que seja obtido um mesmo número 14 fatorial no denominador e numerador, assim, eles são eliminados. Observe essa aplicação no exemplo a seguir. Simplifique os fatoriais: O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive, é denotado por n! e se lê “n fatorial” ou “fatorial de n”. Logo, n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n−2)(n−1)n = n(n−1)(n−2) · . . . · 3 · 2 · 1 Consequentemente, 1! = 1 e n! = n(n − l)!. É também conveniente definir 0! = 1. Exemplo: (c) Para valores grandes de n, usa-se a aproximação de Stirling (onde e = 2,7128…): 15 4 AGRUPAMENTOS Até aqui, estudamos como calcular as possibilidades de um evento, no entanto, para esses grupos, não existiam distinções ou ordenamentos para os seus elementos. Na análise combinatória, existem subtópicos que abordam e diferenciam a maneira como os elementos de um grupo podem ser organizados e/ou constituídos mediante alguma especificação. (BOYER; MERZBACH, 2012). 4.1 Arranjo Os arranjos simples de n elementos, tomados p a p, onde n ≥ 1, e p é um número natural tal que p ≤ n, são todos os agrupamentos de p elementos distintos, que são diferentes entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem cada grupo (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Simbolicamente, a indicação de um arranjo é dada por: Onde: n = total de elementos do grupo; p = total de elementos por arranjo. É importante enfatizar que, no arranjo, os agrupamentos dos elementos dependem da sua ordem e natureza, assim, pela existência do fator ordem, a posição do elemento no grupo faz toda a diferença na composição do conjunto a ser formado. Exemplos: 1) Para a composição de uma comissão de formatura, será necessário escolher um presidente, um vice-presidente, um tesoureiro e um secretário. Sabe-se que um total 16 de 23 alunos manifestou interesse; logo, de quantas maneiras essa comissão pode ser formada? Observe que, nessa comissão, a posição tem funcionalidades diferentes; logo, a ordem é um fator inerente a essa situação, assim, estamos diante de um arranjo que pode ser calculado por: Logo, podem ser formadas 212.520 comissões diferentes. 2) Em uma reunião setorial, encontram-se presentes 12 pessoas para 4 cadeiras disponíveis. Nesse contexto, quantas são as maneiras de organizar os funcionários nos assentos disponíveis? Observe que a cadeira na qual cada funcionário sentar faz diferença; logo, a aplicação de um arranjo se faz necessária e pode ser calculada por: Assim, é possível concluir que existem 11.880 maneiras diferentes de organizar as pessoas nas cadeiras disponíveis. 4.2 Permutação É considerado um caso especial do arranjo um tipo de grupo ordenado em que participam todos os elementos do conjunto. Conforme Santos, Mello e Murari (2008), uma permutaçãode n objetos distintos é qualquer grupo ordenado desses objetos. Simbolizado por Pn, o total obtido pela permutação simples de n objetos é calculado por: 17 Por definição: Qualquer disposição de um conjunto de n objetos em uma dada ordem é chamada de permutação dos objetos (tomados todos de uma vez). Uma disposição de quaisquer r ≤ n desses objetos em uma dada ordem é chamada de “r-permutação” ou “permutação de n objetos tomados r por vez”. Considere, por exemplo, o conjunto de letras A, B, C, D. Então (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): (i) BDCA, DCBA e ACDB são permutações das quatro letras (tomadas todas de uma vez). (ii) (ii) BAD, ACB e DBC são permutações das quatro letras tomadas três por vez. (iii) (iii) AD, BC e CA são permutações das quatro letras tomadas duas por vez. Geralmente, estamos interessados na quantia de tais permutações sem listá-las. O número de permutações de n objetos tomados r por vez é denotado por: O teorema a seguir se aplica: Teorema: Enfatizamos que existem r fatores em n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1). 18 Encontre o número m de permutações de seis objetos, digamos, A, B, C, D, E, F, tomados três por vez. Em outras palavras, determine a quantia de “palavras de três letras” usando apenas as seis letras dadas sem repetição. (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008) Representemos a palavra genérica de três letras pelas três posições seguintes: ——, ——, —— A primeira letra pode ser escolhida de 6 maneiras; seguindo esta, a segunda letra pode ser escolhida de 5 maneiras; e, finalmente, a terceira letra pode escolhida de 4 maneiras. Escrevemos cada número em sua posição apropriada como se segue: Pela Regra do Produto, há m = 6 · 5 · 4 = 120 possíveis palavras de três letras sem repetição, a partir das seis letras. Logo, existem 120 permutações de 6 objetos tomados 3 por vez. Isso está de acordo com a fórmula do Teorema 5.4: P(6, 3) = 6 · 5 · 4 = 120 De fato, o Teorema 5.4 é demonstrado da mesma maneira como fizemos neste caso em particular. Considere agora o caso especial de P(n, r), quando r = n. Obtemos o seguinte resultado. Existem n! Permutações de n objetos (tomados todos de uma vez). (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008) Por exemplo, há 3! = 6 permutações das três letras A, B, C. Elas são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Exemplo: 19 1) Anagramas são modificações nas letras de uma palavra. Desse modo, quantos são os anagramas da palavra CADERNO? a) CADERNO, desde que a primeira letra seja A; b) CADERNO, desde que as últimas letras sejam DE, nessa ordem. Note que calcular os anagramas consiste em determinar as permutações de um grupo, assim, as respostas são as seguintes: c) Como a palavra é formada por sete letras, logo, o total de anagramas é de: d) A partir da determinação que a primeira letra é A, ela se torna fixa, possibilitando a permutação apenas das restantes: e) Agora, tornam-se fixas as duas últimas letras, permitindo a permutação das cinco letras restantes: 4.3 Permutações com repetições Frequentemente, queremos saber o número de permutações de um multiconjunto, ou seja, um conjunto de objetos tais que alguns são repetidos. (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Denotamos por: P(n; n1, n2, . . . , nr) 20 O número de permutações de n objetos, dos quais n1 são repetidos, n2 são repetidos, . . ., nr são repetidos . A fórmula geral é a seguinte: Indicamos a demonstração do teorema acima com um exemplo específico. Suponha que queremos formar todas as possíveis “palavras” com cinco letras, usando os caracteres da palavra “BABBY”. Existem 5! = 120 permutações dos objetos B1, A, B2, B3, Y, onde os três Bs são distinguidos. Observe que as seis permutações a seguir: Produzem a mesma palavra quando os subscritos são removidos. O 6 vem do fato de que há 3! = 3·2·1 = 6 maneiras distintas para colocar os três B’s nas três primeiras posições da permutação. Isso é verdade para cada conjunto de três posições nas quais os B’s podem aparecer. Consequentemente, o número de palavras diferentes de cinco letras que podem ser formadas, usando as letras da palavra “BABBY” é: Exemplo: Encontre o número m de palavras de sete letras que podem ser formadas, usando as letras da palavra “BENZENE” (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Buscamos o número de permutações de 7 objetos, dos quais 3 são indistinguíveis (os três E’s), e 2 são indistinguíveis (os dois N’s). Pelo Teorema 5.6, 21 4.3.1 Amostras ordenadas Muitos problemas se referem à escolha de um elemento a partir de um conjunto S, digamos, com n elementos. Quando escolhemos um elemento após o outro, digamos, r vezes, chamamos a escolha de amostra ordenada de tamanho r. (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Consideramos dois casos. Amostragem com reposição: Aqui o elemento é devolvido ao conjunto S antes que o próximo objeto seja escolhido. Assim, em cada vez existem n maneiras para escolher um elemento (repetições são permitidas). A Regra do Produto nos diz que o número de tais amostras é: Amostragem sem reposição: Aqui o elemento não é devolvido ao conjunto S antes que o próximo seja escolhido. Logo, não há repetição na amostra ordenada. Tal amostra é simplesmente uma r-permutação. Assim, o número de tais amostras é: Exemplo: 1) Três cartas são escolhidas uma após a outra em um baralho de 52 cartas. Encontre o número m de maneiras que isso pode ser feito: (a) com reposição; (b) sem reposição. (a) Cada carta pode ser escolhida de 52 maneiras. Logo, m = 52(52)(52) = 140 608. (b) Aqui não há devolução. Portanto, a primeira carta pode ser escolhida de 52 maneiras, a segunda de 51, e a terceira de 50 maneiras. Logo, 22 4.3.2 Diferenças entre arranjo e permutação Segundo SANTOS (2008), tanto no arranjo quanto na permutação, a ordem dos elementos organizados faz diferença e é importante. Na ordem de uma fila de crianças, por exemplo, a organização Cláudia, Mara e Fernanda é diferente de Fernanda, Mara e Cláudia, que, por sua vez, é diferente de Mara, Cláudia e Fernanda, e assim por diante. Então, como saber quando a situação-problema é de arranjo ou permutação? É bem simples! Sempre que o número de objetos a serem organizados for maior que os agrupamentos que você precisa fazer, isso será arranjo. Por outro lado, quando o agrupamento tiver o mesmo número que a quantidade de objetos que você possui, então, será permutação (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Suponha que você tenha em mãos um baralho, contendo 52 cartas. De quantas maneiras diferentes estas cartas podem ser apresentadas, de acordo com a sua ordem? Essa resolução será realizada com a permutação, pois você possui 52 cartas a serem combinadas em 52 posições distintas. Assim: Caso a intenção fosse organizar as cartas desse mesmo baralho, agrupadas de duas a duas, quantas seriam as diferentes possibilidades? 23 Problemas utilizando arranjo e permutação: 1) Em um pacote de 6 balas, foram colocados 6 sabores diferentes. De quantas maneiras distintas as balas, por ordem de sabores, podem ser retiradas do pacote? Como as balas poderão ser escolhidas aleatoriamente, não há uma ordem de sabores definida. Você sabe que são 6 balas e 6 sabores distintos a serem retirados em ordens também distintas. Assim, trata-se de um problema a ser resolvido com permutação (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): Logo, seria possível obter 720 combinações diferentes na ordem dos sabores. 2) Uma operadora de telefones pretende iniciar suas atividades. Atualmente, os números de telefones têm 8 dígitos. Para seu funcionamento, foram liberadas quaisquer 24 sequências numéricas, desde que o primeiro dígito fosse 5. Quantos números diferentes essa operadora poderá disponibilizar para seus clientes?Como o primeiro número da sequência, obrigatoriamente, precisa ser 5, resta a organização dos números de 0 a 9, em 7 posições diferentes. Resolveremos esse problema com um arranjo de 10 algarismos, organizados de 7 em 7. Logo, estariam disponíveis 604.800 combinações numéricas diferentes, com o número inicial sendo igual a 5. 3) Uma empresa necessita organizar trios de trabalho para operar três equipamentos diferentes, ininterruptamente, durante 30 dias. Considerando que essa empresa possua um total de 273 funcionários, de quantas formas diferentes eles podem ser organizados, pensando inclusive nas diferentes possibilidades de operação de cada um dos equipamentos (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? Novamente, você precisa organizar um número de funcionários de maneiras diferentes, em grupos menores que o total de pessoas que trabalham na empresa. Seriam possíveis 20.123.376 trios diferentes, considerando a operação de equipamentos distintos. 25 4) Em uma confecção de panos de prato, os lotes produzidos deverão conter uma sequência de 3 letras. Quantos lotes poderão ser produzidos até que uma nova forma de controlar os lotes seja necessária? Nosso alfabeto possui 26 letras que deverão ser distribuídas em 3 posições: A confecção poderá produzir 15.600 lotes até que uma nova maneira de controlar os lotes seja necessária. 4.4 Combinação Combinações são subconjuntos do grupo em que a ordem dos elementos não é um fator a ser considerado. (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p, onde n ≥ 1 e p é um número natural tal que p ≤ n são as escolhas não ordenadas de p desses n elementos, utiliza-se a seguinte relação: 26 Onde: n = total de elementos do grupo; p = total de elementos por combinação. Diferentemente do arranjo, na combinação, não se faz presente a ordem entre os elementos, não sendo atribuída posição/qualificação/diferença conforme a disposição dos elementos do grupo em questão. Assim, estamos diante de uma combinação quando, ao obtermos os agrupamentos possíveis, eles permanecem iguais ao se inverter a posição dos elementos. Exemplos: 1) Cinco alunos compõem um grupo de pesquisa que foi selecionado para se apresentar em uma feira internacional. No entanto, apenas dois deverão representar essa pesquisa. Assim, quantos grupos podem ser formados? Note que, para o grupo a ser formado, não existe uma especificação para a escolha, assim, estamos diante de um caso de combinação que será resolvido por: Logo, podem ser formados 10 grupos diferentes. 2) Um professor resolveu elaborar 18 questões para compor a sua prova, porém, constatou que haveria pouco tempo para a sua resolução e propôs aos seus alunos que escolhessem 15 das 18 questões disponíveis. De quantas maneiras cada aluno poderá realizar essas escolhas? 27 Existem 18 questões disponíveis dentre as quais 15 devem ser escolhidas, como a ordem de escolha não foi imposta, o resultado é obtido por: Logo, cada aluno tem 816 maneiras diferentes de escolher as questões da prova. 5 BINÔMIO DE NEWTON Descoberto por Isaac Newton, o binômio de Newton é útil para o cálculo de potência de um binômio do tipo , ou seja, a soma de duas variáveis distintas elevada a determinado valor, facilitando a determinação dessa expressão algébrica que, quando n for um número pequeno, é de fácil determinação, caso contrário, é um processo muito trabalhoso. A seguir, observe o desenvolvimento de alguns binômios: Assim, Newton observou que os termos obtidos pelo desenvolvimento de obedecem sempre ao mesmo formato, representado pelo somatório (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): Onde o número binomial é representado por: 28 Nessa temática, alguns termos recebem uma nomeação especial devido às suas características, que podem ser observadas a seguir (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): Termo médio ou central: indica o termo que se localiza ao centro perante os demais e, se o desenvolvimento ocorrer com um número par, sua posição é calculada por Termo independente: é a variável cujo expoente é igual a 0. Os números binomiais possuem algumas propriedades, ou seja, características próprias de sua constituição. Se os coeficientes binomiais possuem mesmo numerador e a soma dos denominadores é igual ao numerador, ou seja, n, p e k ∈ ℕ e p + k = n, logo: Estes são chamados de complementares. Exemplo: A relação de Stifel afirma que, se n, p e k ∈ ℕ e p ≥ p – 1 ≥ 0, então, é valido que: Exemplo: 29 O símbolo que se lê “nCr” ou “combinação de n por r”, onde r e n são inteiros positivos com r ≤ n, é definido como se segue (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): Observe que n − (n − r) = r. Isso nos leva à importante relação a seguir: Motivados por esse fato, definimos 0! = 1. Afinal: Exemplos: 1) Calcule o sexto termo obtido pela expansão de Observe que as informações são: a = a; b = –5b e n = 9, i + 1 = 6, logo, i =5. Assim: 2) Desenvolva a potência descrita por Para desenvolver essa potência, é necessário encontrar os termos que a compõem. Logo: 30 6 TRIÂNGULO DE PASCAL O triângulo de Pascal corresponde a uma organização de todos os coeficientes binomiais em um formato específico. É um triângulo aritmético dividido entre linhas e colunas que se inicia pelo número 0, assim, os números binomiais estudados e calculados anteriormente são os componentes constituintes e principais desse polígono, como apresentado na Figura 1 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Um número binomial pode ser calculado por uma combinação, ou seja, encontramos o seu resultado pela relação: 31 Desse modo, o triângulo de Pascal pode ser representado também pelos resultados numéricos obtidos pelo desenvolvimento desse cálculo, como pode ser verificado na Figura 2 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Esse intrigante dispositivo matemático sempre foi estudado por inúmeros cientistas e, por meio dessas análises, chegou-se à conclusão de algumas propriedades. O primeiro e o último elemento de cada linha são sempre equivalentes a 1. Ao longo das linhas do triângulo de Pascal, os elementos distantes uma posição dos extremos corresponde aos números naturais, uma vez que: Em toda linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais, por isso recebem o nome de números binomiais complementares, ou seja: 32 A soma dos termos de cada linha do triângulo de Pascal é uma potência de 2, cujo expoente é o próprio número da linha. Essa relação é descrita por: A soma dos elementos de qualquer coluna, partindo do elemento até outro qualquer, equivale ao elemento localizado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo. A soma dos elementos dispostos na mesma diagonal a partir do primeiro elemento da primeira coluna até o de qualquer outra é igual ao elemento imediatamente abaixo deste (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Resultados obtidos por potências de onze são encontrados a partir dos elementos das linhas do triângulo de Pascal; assim, na primeira linha, há o resultado 1 equivalente a 11º já na leitura da segunda linha, é encontrado o número 11 frutos de 11¹ na terceira linha, a leitura feita é do número 121 resultados de 11² e assim sucessivamente. Com base na relação de Stifel, todo número que compõe esse triângulo é fruto do resultado entre a soma dos dois números localizados acima dele. 33 7 APLICAÇÃO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA Conforme Safier (2011), a análise combinatória consiste na arte de identificar uma sequência de possibilidades e contabilizá-la. Logo, perante essa amplitude de oportunidades, relacionar esses fundamentos torna-se uma tarefa fácil, umavez que vários ramos da ciência podem estar inseridos nessa dinâmica, conforme demonstram os exemplos a seguir. 7.1 Geometria plana Geometria plana é um ramo da matemática que se dedica ao estudo das figuras planas e de suas respectivas concepções. Assim, relacionar esses fundamentos aos de combinatória possibilita a contagem de quantidade de circunferências possíveis de serem construídas, ou ainda, a contabilização de triângulos dada uma quantidade de pontos. Observe atentamente as resoluções a seguir e acompanhe essa associação de conteúdos da matemática. Exemplos: 1) Quantos triângulos distintos podem ser formados utilizando os 14 pontos dispostos em um plano? Admita que não existem 3 pontos alinhados. Atente-se ao fato de que, para construir um triângulo, são necessários 3 pontos quaisquer desde que não se encontrem alinhados. Como a informação é de que esse fato não ocorre entre os pontos disponíveis, o total de triângulos pode ser calculado pela combinação desses pontos tomados 3 a 3, ou seja: Assim, é possível concluir que 364 triângulos distintos podem ser formados. 2) Sob uma circunferência, são marcados 10 pontos distintos. Quantos quadrados distintos podem ser traçados com os vértices nesses pontos? 34 Note que, para traçar um quadrado, são necessários quatro pontos distintos, logo, ao calcular a combinação desses pontos, é possível determinar o resultado almejado. Assim, 210 quadrados diferentes podem ser construídos a partir dos pontos da circunferência. 7.2 Computação Na computação, em geral, várias situações englobando problemas de contagem ocorrem. As concepções dessa temática possibilitam o desenvolvimento de linguagens de programação, criptografia e software. A seguir, são apresentados alguns exemplos relacionados a computação que necessitam das relações estudadas pela análise combinatória (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Exemplos: 1) Em um sistema computacional que possui cinco unidades de entrada/saída A, B, C, D e E e quatro processadores X, Y, Z e W, sabe-se que qualquer unidade de entrada/saída pode ser conectada a um processador. Quantas maneiras distintas possibilitam a conexão entre uma unidade de entrada/saída a um processador? Note que esse problema representa uma situação típica do princípio fundamental da contagem, em que a solução é encontrada pela multiplicação entre as possibilidades de cada evento, logo: 5 × 4 = 20 Assim, existem 20 possibilidades diferentes de se estabelecer essa conexão entre o computador e a unidade de entrada/saída. 35 2) Uma sequência de caracteres utilizada para indicar palavras, frases ou textos na programação de computadores recebe o nome de string, assim, quantos strings de 8 bits possuem exatamente quatro bits 1’? Para descobrir o resultado, basta calcular a combinação desses elementos, ou seja: Logo, existem 70 possibilidades distintas de constituir strings mediante as condições apresentadas. 8 PROBABILIDADE A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível, não se pode determiná-lo antes de ser realizado e não podemos prever, mas podemos saber quais são os possíveis resultados. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais). Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances e as probabilidades de um determinado resultado ocorrer. 36 8.1 Espaço amostral O espaço amostral, também chamado de universo, é um conjunto que possui todos os pontos amostrais de um evento aleatório, por exemplo, quando se referir ao experimento lançar uma moeda, ele será formado por cara e coroa. Além disso, como se trata de um conjunto, qualquer notação deste pode representá-lo (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Assim, o espaço amostral, seus subconjuntos e as operações que o envolvem herdam as propriedades e operações dos conjuntos numéricos, por isso, pode-se dizer que os possíveis resultados do lançamento de duas moedas são: Nesse caso, S representa o conjunto de pares ordenados, formados pelos resultados dos dois dados. Já o número de elementos de um espaço amostral é representado da seguinte maneira: dado o espaço amostral Ω, o número de elementos de Ω é n(Ω). Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral, que vamos indicar por U ou Ω. Veja os seguintes exemplos. Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima: U = {cara, coroa}. Lançar um dado e observar a face voltada para cima: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 37 8.2 Evento Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral, ou seja, os resultados que poderão ocorrer em um determinado fenômeno. Resultados esses que queremos que aconteçam ou não. No lançamento de um dado, por exemplo, em relação à face voltada para cima, podemos ter os seguintes eventos (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). O número é par: {2, 4, 6}. O número é menor que 5: U = {1, 2, 3, 4}. O número é 8: {}. 9 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES E EVENTOS COMPLEMENTARES Eventos que não podem ocorrer conjuntamente são conhecidos com eventos mutuamente excludentes (também chamados de eventos mutuamente exclusivos). Caso dois ou mais eventos sejam mutuamente excludentes, no máximo um deles irá ocorrer a cada vez que repetirmos o experimento. Por conseguinte, a ocorrência de um evento exclui a ocorrência do outro, ou de outros eventos. 38 Considerando, por exemplo, dois lançamentos de uma moeda, esse experimento tem quatro resultados possíveis: cara/cara, cara/coroa, coroa/cara, coroa/coroa. Esses resultados são mutuamente excludentes, uma vez que um, e somente um, deles irá ocorrer ao lançarmos a moeda duas vezes. Chama-se evento complementar de um evento A e é representado por Ā o conjunto formado por todos os elementos do espaço amostral U que não pertencem ao evento A (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). No lançamento de um dado, temos o seu espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considere os eventos a seguir. O evento A: o número obtido é menor que 3. O evento Ā: o número obtido é maior ou igual a 3. Observe que os eventos A = {1, 2} e Ā = {3, 4, 5, 6}. Estes são complementares, pois, A ∩ Ā = { } e A Ā = U, a interseção (o que há de comum entre os conjuntos) entre os dois conjuntos resulta em um resultado vazio, visto que os dois conjuntos não possuem resultados em comum, e a união (unir todos os elementos dos conjuntos envolvidos) entre os dois conjuntos resulta no conjunto espaço amostral U. 9.1 Eventos independentes e eventos dependentes Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois eventos são dependentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento. Os eventos independentes e dependentes são chamados de com e sem reposição, respectivamente. Com reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de origem. É isso que mantém a probabilidade de sorteio constante, portanto, não se altera a probabilidade de sorteio do evento seguinte. 39 Sem reposição significa o não retorno do evento sorteado ou do seu conjunto de origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte. Exemplo de evento independente: Dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados como eventosindependentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento não tem efeito algum nas probabilidades de ocorrer uma cara ou uma coroa no segundo lançamento (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Exemplo de evento dependente: A retirada de duas bolas, sem reposição, de uma urna contendo 20 bolas numeradas de 1 a 20 são dependentes, pois as probabilidades do resultado da retirada da segunda bola estão diretamente ligadas a retirada da primeira bola. Especificamente, se na primeira bola retirada saiu a de número 10, e se não houver reposição, com certeza não existirá a probabilidade de que, na segunda retirada, a bola 10 apareça, pois esta não se encontra mais na urna, ou seja, a primeira retirada afetou completamente as probabilidades de retirada da segunda bola. 10 CÁLCULO DE PROBABILIDADE Como se calcular questões e/ou experimentos de probabilidade? Considere uma área muito visitada no Museu de Animais. Em um recipiente, existem 12 aranhas, das 40 quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha macho para um experimento é de? No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4? Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma bola, ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da bola sorteada seja divisível por 3? Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5? Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três de ouro. Ela guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a? Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são brancas. Qual a probabilidade de, ao retirar duas bolas sucessivamente, sem reposição, obtermos a 1ª vermelha e a 2ª branca? Para se calcular as probabilidades de ocorrer determinado evento, como os casos apresentados acima, além dos conceitos de espaço amostral, eventos e tipos de eventos, apresentados neste capítulo anteriormente, foi preciso saber diferenciar os tipos de probabilidade, que veremos adiante: probabilidade de um evento em um espaço amostral finito; probabilidade condicional; e probabilidades de eventos independentes. Além de sabermos apresentar os cálculos de probabilidade nas 3 maneiras diferentes de apresentação: valor fracionário, valor numérico e valor percentual (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 41 10.1 Resultados da probabilidade Como citado anteriormente, podemos apresentar os resultados obtidos nos cálculos de probabilidade de três maneiras diferentes: Valor fracionário: quando se faz um cálculo de probabilidade, como veremos adiante, o primeiro resultado obtido é o fracionário, em que temos um número que fica na parte superior da fração, chamado de numerador, e outro valor, na parte inferior da mesma fração, chamado de denominador (a/b). Exemplo: Valor numérico: quando acharmos o valor fracionário e realizarmos a divisão proposta, ou seja, o numerador (em cima) dividido pelo denominador (embaixo) obterá um resultado, que chamaremos de valor numérico. É o resultado da divisão do valor fracionário. Exemplo: Valor percentual: ao chegarmos ao valor numérico, podemos transformar qualquer um deles em valor percentual, apenas multiplicando o valor por 100 (cem) e após colocar o símbolo de porcentagem (%). Exemplo: 0,40 × 100 = 40% (quarenta por cento). Os resultados podem ser apresentados em qualquer uma das três maneiras, isso vai depender do que for pedido no enunciado de algum problema/questão/ experimento. 11 PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO A probabilidade de um evento em um espaço amostral finito também é conhecida como probabilidade clássica. A regra da probabilidade clássica é aplicada para se calcularem as probabilidades de eventos a um experimento para o qual os resultados sejam igualmente possíveis (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 42 Dado um experimento aleatório, sendo U o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de U tenham a mesma chance de acontecer Chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que: Todas as possíveis respostas favoráveis (eventos) são divididas por todas de respostas possíveis (espaço amostral) (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 43 No início do texto referente ao título Cálculo de probabilidade, apresentamos várias questões sobre probabilidade. Vamos aproveitar agora que aprendemos a calcular a probabilidade de um evento em um espaço amostral finito (probabilidade clássica) e resolvermos estas (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): 1) Considere uma área muito visitada do Museu de Animais. Em um recipiente existem 12 aranhas, das quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha macho para um experimento é de quanto? Solução: No total, existem 12 aranhas no recipiente e todas elas possuem a mesma possibilidade de serem sorteadas (espaço amostral) e queremos sortear aranhas- - macho. Se o problema apresenta que 8 das aranhas são fêmeas, então 4 são machos (evento). Colocando os valores na fórmula: 44 2) No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? Solução: Um dado possui 6 faces numeradas, ou seja, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 possuem as mesmas possibilidades, ao jogarmos o dado, da face desse número cair voltada para cima (espaço amostral). O problema pede a probabilidade de sair a face para cima de um número maior do que 4. Temos como possíveis respostas os números 5 e 6 (evento). Colocando na fórmula: 3) Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando uma bola, ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da bola sorteada seja divisível por 3? Solução: Na urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20, em que todas possuem a mesma possibilidade de serem retiradas (espaço amostral). O problema quer calcular a probabilidade de se retirar uma bola, cujo número seja divisível por 3. Esses números são: 3, 6, 9, 12, 15 e 18, ou seja, temos 6 possíveis números que são favoráveis ao que o problema está solicitando (evento). Colocando na fórmula: 45 4) Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5 (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? Solução: Em primeiro lugar, precisamos calcular o valor do espaço amostral e da quantidade de possíveis respostas. Utilizando a operação que foi citada no Fique Atento acima, como estamos jogando 3 dados ao mesmo tempo, vamos utilizar a operação: O problema está solicitando as respostas em que a soma de todos os dados ao mesmo tempo sejam 5. Vamos achar essas possíveis respostas: (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2) e (2, 2, 1), totalizando 6 possíveis respostas favoráveis. Colocando na fórmula: Simplificando, ou seja, dividindo os dois valores por 6, chegamos ao valor final 1 36 (valor fracionário). A cada 36 vezes que jogarmos os 3 dados ao mesmo tempo, 1 das jogadas dará como soma de todos os números o valor 5. 46 12 PROBABILIDADE CONDICIONAL A probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com base em um anterior e, evidentemente, ambos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um espaço amostral finito. Por exemplo, se nolançamento simultâneo de dois dados obtêm-se números em suas faces superiores, qual a probabilidade de que a soma desses números seja 8, desde que seus resultados sejam ímpares? Veja que ela está condicionada aos resultados ímpares nos dois dados, logo, lançamentos que têm um ou dois números pares na face superior podem ser descartados, havendo uma redução no espaço amostral (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). O novo espaço amostral é composto dos seguintes pares: {1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}. Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de se obter 8 no lançamento de dois dados é de 2/9, considerando que os resultados obtidos são ambos ímpares. Para entender melhor a probabilidade condicional, considere um espaço amostral S finito não vazio e um evento A de S, se quiser outro evento B desse espaço S, a nova probabilidade é indicada por P(B|a), denominada como a probabilidade condicional de B em relação ao A. Assim, ela formará um novo espaço amostral, pois agora este será A e os elementos do evento B pertencerão a B ∩ A, como você pode ver na Figura 2. 47 Há diversos casos para ilustrar a probabilidade condicional, por exemplo, as chances de um bebê nascer menina é um evento A, mas a probabilidade de essa criança ter doença celíaca (intolerância ao glúten) se trata de um evento B. Essa situação pode ser considerada uma probabilidade condicional, porque a doença celíaca atinge mais mulheres do que homens. Se as chances fossem iguais para pessoas dos dois gêneros, esses eventos não estariam condicionados e seriam uma probabilidade marginal ou incondicional, pois, a possibilidade de que um deles ocorra não influencia na do outro (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). Assim, se os eventos forem independentes, a probabilidade não será condicional, pois você representa a probabilidade condicional com a seguinte expressão: P (A|B), que se lê “a probabilidade condicional de A em relação a B”. Já a fórmula para calculá-la é: P (A|B) = P(A∩B)/P(B) Quando dois eventos são independentes, a probabilidade de ocorrerem ao mesmo tempo é dada por: P(A∩B) = P(A).P(B) Já se você colocar isso na fórmula da probabilidade condicional, encontrar: 48 P (A|B) = P(A∩B)/P(B) P (A|B) = P(A).P(B)/P(B) P (A|B) = P(A).P(B)/P(B) P(A|B) = P(A) Portanto, a probabilidade de A ocorrer não se altera. Se a probabilidade de ocorrência de um evento B interfere na probabilidade de ocorrência de um evento A, então dizemos que a probabilidade de A está condicionada à probabilidade de B e representamos por P(A/B). Lê-se: probabilidade de A dado B (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). A/B significa a ocorrência do evento A sabendo que o evento B já ocorreu ou que a ocorrência de B esteja garantida (os eventos A e B são dependentes). 49 Resolvendo o problema citado anteriormente: Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três de ouro. Ela guarda todas essas pulseiras, e apenas essas em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? Solução: 50 Verificamos que a condição é ser uma pulseira de prata, por isso, precisamos saber o total de pulseiras de prata que Maria ganhou: 12. Ela quer saber a probabilidade de que essa pulseira que ela está pegando no escuro tenha sido dada de presente pelo João. Então, precisamos verificar quantas pulseiras de prata João deu de presente: 4. Utilizando a fórmula: 12.1 Probabilidade de eventos independentes Dois eventos, A e B, são chamados independentes quando a probabilidade de ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do outro, ou seja (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008): P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A) Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência de A e B será: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 51 Resolvendo o problema citado anteriormente: Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são brancas. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas, sucessivamente, sem reposição, sendo a 1ª vermelha e a 2ª branca (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008)? Solução: Calculando a probabilidade de ocorrer o primeiro evento, em que dentro da urna há 8 bolas (espaço amostral) e queremos sortear uma bola vermelha, tendo, dentro da urna, um total de 3 dessa cor (evento): 52 Calculando a probabilidade de ocorrer o segundo evento, e sabendo que não houve reposição, dentro da urna há 7 bolas (espaço amostral), e queremos sortear, desta vez, uma bola branca, sabendo que, dentro dessa urna, há um total de 5 bolas dessa cor (evento): Calculando a probabilidade de que os eventos ocorram como fora solicitado, utilizaremos a fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 13 TEOREMA DE BAYES O teorema de Bayes é uma fórmula matemática usada para o cálculo da probabilidade de um evento dado que outro já ocorreu, o que se chama probabilidade condicional. Para esse teorema, precisa-se ter alguma informação anterior ou saber que determinado evento já ocorreu e qual sua probabilidade. Baseada nessa inferência bayesiana, surge a expressão grau de crença, ou a confiança em algum evento anterior (SANTOS; MELLO; MURARI, 2008). 53 Uma das muitas aplicações do teorema de Bayes é a inferência bayesiana, uma abordagem particular da inferência estatística. Assim, quando for aplicado, as probabilidades envolvidas nele podem ter diferentes interpretações de probabilidade. Com a interpretação bayesiana, o teorema expressa como a probabilidade de um evento (ou seu grau de crença) deve ser alterada após considerar as evidências sobre sua ocorrência. Apesar do pioneirismo, essa abordagem caiu em esquecimento nas ciências e foi preterida pela frequentista, que ainda é hegemônica, mas devido ao grande aumento na capacidade de processamento dos computadores, a bayesiana renasceu com muita força. Para calcular pelo teorema de Bayes a probabilidade de um evento A dado que um B ocorreu, P(A|B), tem-se a seguinte fórmula: Em que, P(B|A): probabilidade de B acontecer dado que A ocorreu; P(A): probabilidade de A ocorrer; P(B): probabilidade de B ocorrer. 14 APLICAÇÃO DA PROBABILIDADE NA INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL A inteligência artificial é um campo amplo há muitas décadas, que vem sendo impulsionado rapidamente com a informática e a computação. Sua aplicação nos sistemas especialistas procura escrever programas que copiem e reproduzam os modos como os seres humanos pensam, falam, compreendem e aprendem, elaborando uma réplica da inteligência humana e aplicando-a nas diversas áreas da empresa. Esses sistemas especialistas aplicam a inteligência artificial nas empresas e, segundo O´Brien (2004), situam-se na área da ciência cognitiva, a qual utiliza disciplinas como biologia, neurologia, psicologia e matemática para verificar como os seres humanos aprendem, criam e desenvolvem as aplicações baseadas no conhecimento com 54 acompanhamento de um especialista. Trata-se de sistemas que agem e comportam-se como um ser humano, utilizados para solucionar problemas em áreas específicas da empresa. Os dois grandes paradigmas para o desenvolvimento de sistemas especialistas em inteligência artificial são o simbólico e o subsimbólico (conexionista). No paradigma conexionista, utiliza-se técnicas de redes neurais para representar e solucionarproblemas em um domínio específico, sendo aplicável aos domínios nos quais a forma de raciocínio do especialista não pode ser totalmente explicitada. No simbólico, por sua vez, o conhecimento é disposto em uma base de conhecimentos, em que as inferências são representadas por meio de regras do tipo SE-ENTÃO. Geralmente, o raciocínio do sistema se baseia em uma árvore de decisões, mas nesse caso, o conhecimento do especialista deve ser adquirido e representado do modo mais aprofundado possível para permitir que o sistema emule seu comportamento. A rede bayesiana trabalha com relações causais quantificadas por valores de probabilidade condicional e, segundo Murteira (1990), “a causalidade é a vantagem de nossa existência e a desvantagem de nossa matemática. Acreditamos em causalidade em nossas interações com a realidade, mas é difícil capturá-la em nossos modelos”. Portanto, considerando que a causa precede o efeito, é fundamental ter um processo unidirecional para modelar a causalidade se B causa A, então B ocorre antes de A. Já no contexto da lógica clássica, a implicação não capta uma relação causal por problemas de falta de direcionalidade, em que (B->A) é equivalente a (]B->]A), assim não permite que a causalidade seja modelada. As redes bayesianas são compostas de duas partes complementares: uma qualitativa e outra quantitativa (GAAG, 1996). A parte qualitativa é um modelo gráfico (grafo acíclico direcionado), em que as variáveis incluem os nodos e as regras, relações de dependência entre elas, chamadas de arcos direcionados. Assim, um arco ligando as variáveis A e B (na forma A->B) indica que a variável B é a consequência e a variável A se trata da causa, apresentando uma relação de dependência resumida na regra “se A então B”. Porém, se não houver um arco ligando duas variáveis, assume-se que elas são independentes. 55 Nos sistemas especialistas probabilísticos, os valores de probabilidade refletem a crença do especialista sobre o que espera que ocorra em situações similares às que têm experiência e aprendeu ao longo de sua vivência. Assim, ele tenta extrapolar com base em experiência e aprendizado no domínio de aplicação. 56 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14.1 Bibliografia Básica HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar- Volume 5. 7ª.ed. São Paulo: Atual, 2004. MORGADO, A.C.O.; CARVALHO, J. B.P; CARVALHO, P.C.; FERNANDEZ, P. Análise combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 2005. SANTOS, J.P.O.; MURARI, I.T.C.; MELLO, M.P. Introdução à análise combinatória. 4ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. 14.2 Bibliografia Complementar ALMEIDA, M. C. Origens dos numerais. In: SEMINÁRIO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 4., 2001, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: SBHMat, 2001. p. 119–130. ANDERSON, D. 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