Prévia do material em texto
Traducción:
Federico Velasco Coba
Coordinador del InstitUto
de Geofísica
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma
de México
Revisión técn(ca:
Emilio Lluis Riera
Instituto de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional 'Autónoma
de México
Gráficas,
relaciones
y funciones
National Council of
Teachers
of Mathematics
U.S.A.
Editorial Trillas rtl
México, 1972 �
Titulo tleesta obra en inglt<:
Topics in Mothemali� /or Elementory School Teachtrs
Booklet nu1flber 1.1. GropJu. Rdt�tions and FunclionJ
C 1968, Thc Natie>11al Onmdl o/ T.achr71 óf Mathematics. btr.
Wa1Mmrton. D. C.. U. S. A.
Priwuraldici411 '" aPdO/, 1970
R•i,.pr,.i6n, •n•ro1972
Segunda reimpreeión, odubre 1972
lA Pr<'$m/oci6n y dispasici6n e11 conjunto dt<
Tt/ftor dr MattmtUicas. c,.a;lerno 13
Gr4ficas, relacionu y {JJncionu,
$On propitdod del tditor
Der�chos ,.,.u�ados tn lengua tsPDRola
O 1970 Edilorial Trillas, S. A.
Av. 5 dt Maya 43-105, Mb.ico 1, D. F
Mit1flbro d• la Cámi1To Nacional dt la
Industria Editorial. Rt(l. nÑm. l.SR
¡.,p,,so "' Mb.ico
Prólogo
Este cuaderno es uno de las diez nueyas unidades de una sene mtro
ducida en 1964 por el Consejo Naciona) de Profesores de Matemáticas
(N ational Council of Teachers of Mathematics: NCTM) . Como los ocho
primeros cuadernos �ibieron tan buena acogida -ya se han reimpreso
varias veces--, se pens6 que una exte�6n de los temas tratados sería
conveniente.
Como los primeros cuadernos (nú.ms. 1 al 8), las nuevas unidades se
han escrito pensando más bien en los profesores de escuelas primarias que
en sus alumnos. Cada cuaderno presenta la exposici6n de un tema básico
de las matemáticas. Los temas escogidos están entre aquellos con los que
deben familiarizarse los profesores de primaria para poder tratar con ver·
dadera comprensión las matemáticas que por lo común se enseñan en la
escuela primaria. Los cuadernos presentan una introducción al tema que
enfocan, no un tratamiento exhaustivo de él; el lector interesado puede
estudiar estos temas con mayor profundiqad en otras publicaciones.
Los temas se han escogido especiahn�nte con el propósito de propor
cionar material básico a los profesores que creen que las experiencias de
aprendizaje que se proporcionan a los niños en sus primeros años escolares
deben incluir una introducción sencilla a 'algunos de los conceptos unifica
dores centrales de la matemática. Muchos,profesores se han encontrado con
que su educación profesional no los prep;tró para la enseñanza de la arit
mética de un modo acorde con este pun�o de vista. Los autores tienen la
esperanza, al igu.,.l que la NCTM, de q\le esta nueva serie de cuadernos
pueda ayudar eficazmente a los profesores� y también a otros, y ciertamente
a todas aquellas personas interesadas en mejorar la enseñanza de las
matemáticas.
Los primeros títulos son los siguientes:
Cuaderno 1: Conjuntos
Cuaderno 2: Números enteros
Cuaderno 3: Sistemas de num4raci6n para los números enteros
Cuaderno 4: Algoritmos d4 las operaciones con números entero:
S
6 PROLOGO
Cuaderno 5: Números y sus factores
Cuaderno 6: Números racionales
Cuaderno 7: Sistemas de numeración para los números racionales
Cuaderno 8: Proposiciones numéricas
Los nuevos títulos sop. los siguientes:
Cuaderno 9 : El sistem:a de los enteros
Cuaderno 10: El siste11'i;a de los números racionales
Cuaderno 11: El sistema de los números reales
Cuaderno 12: Lógica
Cuaderno 13: Gráficas, relaciones y funciones
Cuaderno 14: Geometría informal
Cuaderno 15: Medida
Cuaderno 16: Recopila�ión, organización e interpretación de datos
Cuaderno 17: Sugerencias para la resolución de problemas
Cuaderno 18: Simetrla, congruencia y semejanza
Se sugiere que, de ordinatio, los cuadernos se lean en el orden de los
números que se les han asignado, pues, hasta cierto punto, se ha seguido
un proceso en espiral para abordar los distintos temas.
Los nuevos cuadernos comenzaron a elaborarlos, en 1966, los miembros
escritores de un grupo de verano. Los autores expresan aquí su más sincero
agradecimiento a las siguient�s personas, por haber leído parte de los ma
nuscritos, y por sus cambios qe impresiones con los auton;s durante la pre
paración de estos cuadernos: a Joseph M. Trotter, director de la Escuela de
San Luis Rey, y a Bonita Trotter, profesora de la Laurel School, ambos
del Distrito Oceánico de la Vnion School; a John M. Hoffman, director
de Ja Sección de Recursos .E�ucativos de la Comunidad del Departamen
to de Educación del condad,o de San Diego ; y a James E. lnskeep, Jr.,
profesor de educación en el S'an Diego State College. Los autores se sienten
en deuda, especialmente con Alice C. Beckenbach, por su amplia ayuda en
la organización y edición del material para varios de los cuadernos. Expre
san también su profundo a$radecimiento a Elaine Barth y a su selecto
grupo de mecan6grafos por su excelente trabajo en la preparación del
manuscrito.
El nuevo proyecto, empn,mdido para proseguir el trabajo del primero,
lo inicio y apadrinó el Co�ité de Publicaciones Suplementarias de la
NCTM, bajo la presidencia de William Wooton. La NCTM, que propor
cionó apoyo financiero, hace ahora público su agradecimiento al grupo de
PRóLOGO 7
autores de la presente extensión de la serie Temas. A continuación damos
los nombres de ellos.
George Arbogast
Manuel P. Berri
Marguerite Brydegaard
Louis S. Cohen
Helen L. Curran
Pataicia Davidson
Walter Fleming
Joseph Hashisaki
Lenore S. John
David Johnson
Robert H. Sorgenfrey
J. Dean Swift
Williám Wooton
Edwin F. Beckenbach, coordinador
lndice general
PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE 11
Proposiciones castellanas abiertas y sus valores de verdad 12
Proposiciones matemáticos abierta$ 13
Variables y conjuntos de reemplazamiento 14
Proposiciones abiertas compuestas 15
Notación constructivo 18
Gráficos de proposiciones abierto$ en una variable 19
PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES 22
Pares ordenados 22
Conjuntos de verdad finitos 23
Conjuntos de verdad infinitos 25
El método tabular 26
Gráficas de pares ordenados 28
Gráficas de proposiciones abiertas de dos variables 31
Proposiciones compuestas en dos variables 36
RELACIONES 41
Definición de lo palabro "relación" 42
Ejemplo de relaciones 44
Gráficas de relaciones 46
Gráficas de relaciones no numéricas 49
Representación de relaciones mediante diagramas de flechas 50
ConveJ�ción 54
RELACIONES DE EQUIVALENCIA 55
Definición de relaciones de equivó,lencia 56
Propiedades de las relaciones 58
Ejemplos de relaciones de equivalencia 61
9
10
Clases de equivalencia
Identificación
INDICE GENERAl
Dos relaciones especiales de equivalencia
Implicaciones en las gráficas
RELACIONES DE UN CONJUNTO EN OTRO
FUNCIONES
Definición de la palabra "función"
Prueba de la vertical
·
Notación funcional
Las funciones como "reglas"
..
Los funciones como "transformaciones''
La "máquina función"
PROBLEMAS EN QUE APARECEN FUNCIONES
Problemas del tipo 1
Problemas del tipo 2
Problemas del tipo 3
RESUMEN
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
63
67
70
7 1
74
76
76
82
84
S7
90
9 1
92
93
95
96
10 1
103
Gráficas, relaciones y
funciones
CUADERNO TRECE 13
fROPOS!CIONES A§IERTAS FN L !NA J(ARIABLt;
En esta primera sección discutiremos v¡uias ideas de considerable impor
tancia que serán usadas en el resto del cuaderno. La sección siguiente,
"Proposiciones abiertas en dos variables", pensamos que será de gran utilidad
para los prof�sores en los últimos años de enseñanza elemental. Estas dos
secciones forman una extensión natural del material del cuaderno 8:
Proposiaiones numéricas. Es posible que el lector quiera ver -o volver a
ver- el cuaderno citado antes de comenzar el estudio de éste; pero no es
indispensable que lo haga, puesto que comenzaremos repasando las ideas
fundamentales que hay en él.
Suponemos que el lector está familiarizado con laidea de recta numérica
y tiene cierto conocimiento, aunque sea superficial, de alguno de los sistemas
numéricos usados comúnmente. Los conjuntos de números que usaremos,
al igual que sus nombres estándar, se mencionan luego para conveniencia
del lector:
N = el conjunto de los números naturales = { 1, 2, 3, ... ) ;
W = el conjunto de los números plenos = {O, 1, 2, 3, • • . } ;
] = el conjunto de los enteros = { . . . , -2, -1, O, 1, 2, ... };
R = el conjunto de los números reales. (Véase el cuaderno 11 : El siste
ma de los números reales.)
Usaremos también el símbolo de igualdad, "= ", el símbolo de no es
igual a "#', y los símbolos de orden que aqw se enumeran junt� con sus
significados:
<significa "es menor que",
> significa "es mayor que",
::; significa "es menor o igual que",
¿significa "es mayor o Igual que''·
1\
12 PROPOSICIONES: ABIERTAS EN UNA VARIABLE
�1=,��3i\W:jllenss pb¡ertgs x sus
El lenguaje de las matemá�cas tiene una gramática, exactamente igual
que la tiene el idioma castellano. Es cierto que a menudo se usan símbolos
en lugar de palabras, pero �tos símbolos son partes m�temáticas del
lenguaje -nombres, pronombres, verbos, etc.-, y podemos usarlos para
formar oraciones tanto simples como compuestas. En matemáticas, como en
castellano, hay oraciones que s.e denominan enunciativas. En esta sección,
clasificamos las oraciones enun�ativas que tienen sentido en tres tipos.
Observemos algunas oracio�es enunciativas en castellano.
V {La ciudad de San Francisco está en Californla. La Tierra es mayor que la Luna.
F {
Abraham Lincoln nació en Francia.
Napoleón &nap*ne murió en 1962.
A {tl fue un presidente de Estados Unidos.
Ella es la mujer del prlncipe Felipe.
Cada una de estas seis· oraciones enuncia algo acerca de algo y ·es,
por tanto, enunciativa. Las que están en el grupo V son proposiciones ver
daderas, mientras que las que están en el grupo F son falsas. Por tanto,
dada una cualquiera de las ppmeras cuatro proposiciones, podemos asig
narle lo que los lógicos llaman un valor de verdad; es decir, podemos
decidir si es verdadera o es falsa.
Pero, ¿qué puede decirse de. las proposiciones del grupo A? ¿Podemos de
cir que la proposición: "Ella es la mujer del príncipe Felipe" es verdadera?,
¿o que es falsa? Desde luego, el nombre de "Isabel Il" nos viene a la
mente, y la proposición es seg.;¡ramente verdadera si éste es el nombre que
usamos para reemplazar al sujeto -pronombre- de la oración. ¿Pero, y si
el nombre con que reempl�emos al sujeto fuera "Brigitte Bardot"? La
proposición seguiría teniendo sentido, pero en esta ocasión sería falsa. Dos
cosas han surgido de esta discusión. Primera, que tan pronto como usamos
el nombre de alguna mujer cualquiera para reemplazar al sujeto, entonces la
proposición tfene un valor de verdad; es decir, o es verdadera o es falsa.
Segunda, que si la sentencia es verdadera o falsa es un problema abierto
en tanto no efectuemos cierto reemplazo. A una proposición de este tipo
se le llama proposición abierta. Tenemos, pues, una clasíficaci6n de ora
ciones enunciativas con sentido en tres tipos: verdaderas, falsas y abiertas.
Las oraciones enunciativas sin �entido como, por ejemplo, .. El rey de Francia
PROPOSICIONES MATEMÁTICAS ABIERTAS 13
tiene el pelo rojo", no serán consideradas en este cuaderno (Véase el cua·
demo 12! Lógica.)
proposiciones motemgticas gbiertas =
El método wado en el lenguaje cotidiano para la clasificación de las
oraciones enunciativas con sentido en verdaderas, falsas o abiertas, también
se emplea en el lenguaje matemático. La idea de proposici6n abierta resulta,
sin embargo, de mucha más importancia en matemáticas que en el caste
llano. En esta seccí6n discutiremos solamente proposiciones numérícar; es
decir, proposiciones en que se afirma algo aJ.:erca de números. Las siguientes
hacen precisamente eso:
V {3 :S 7. 2 X 3+5.
F {i+i= �· 5-2> 4.
Cada una de estas cuatro proposiciones tiene un valor de verdad
definido; esto es, en cada caso podemos decir si la proposición es verda
dera o falsa. Las del grupo V, desde luego, son verdaderas, y las del grupo
F, falsas.
Ahora bien, ¿qué aspecto tiene en matemáticas una proposicl6n abierta?
He aquí algunas: {2+0 = 7.
A 3 X n< 12. 6- 1:!. = 2. X+ 2 > 5.
En estos casos, no podemos decir si las afirmaciones son verdaderas o
falsas hasta que hayamos reemplazado los símbolos O, n, 6. y x por núme
ros. Por ejemplo, la proposici6n "2 + O = 7" se convierte en una proposi
ci6n verdadera si O se reemplaza por 5; pero resulta una proposición falsa
si O se reemplaza por 4:, 7 o, ciertamente� por cualquier numeral de un
número cualquiera distinto del 5. (De aquí en adelante, para ahorramos
palabras, omitiremos a menudo lo de etnumeral de un número". Este hábito
popular da, en muy pocas ocasiones, lugar a error.) Análogamente, la
proposición "3 X n < 12", se convierte en una proposici6n verdadera si
reemplazamos n por 2, porque 3 X 2 = 6 y es verdad que 6 < 12. Pero
tenemos una falsa si reemplazamos a n por 4:, porque 3 X 4 = 12, y es falso
que 12 < 12. Desde luego estos no son los únicos números que hacen que
la proposición "3 X n < 12" sea verdadera.o falsa. ¿Puede el lector encon·
trar algunos más?
14 PROPOSICIONES ASIERTAS EN UNA VARIABLE
\lqcjgbl;s v Qi?Oiuntp� ge reemplazamiento
Los símbolos O, n, 6 y :f, que aparecen en Los ejemplos anteriores,
desempeñan el mismo papel que los pronombres, en ese caso sujetos, "él"
y "ella" juegan en las proposiciones abiertas en castellano que se vieron
en la página 12. En matemáticas se les llama variables. Vemos, pues, que
proposiciones abiertas son las que contienen variables.
Consideremos la proposición abierta "3 X n < 12" más detenidamente.
Al contestar a la pregunta "¿cuáles serán los reemplazamientos de n que
harán que esta proposición sea verdadera? Se observa pronto que si se
reemplaza la variable n por 1, 2, ó 3, se obtiene una proposición verdadera;
pero si n se reemplaza por 4 o cualquier número mayor que 4, la proposi·
ción resultante es falsa. ¿Podemos concluir de ello que la proposición "3 X
n < 12,. es verdadera sólo sin se reemplaza por 1, 2, ó 3? Este es, ciertamen
te, el caso si los únicos reemplazamientos pennisibles para la variable n son
Jos números naturales; es decir, los números del conjunto N = {1, 2, 3,
4, . .. }. Pero supongamos que, dijimos que n podía reemplazarse por cual
quier entero; es decir, cualqui�r número del conjunto ] = { . . . , -2, ·1, O,
1, 2, ... } . En este caso la proposición abierta "3 X n < 12" se convierte
en una proposición verdadera cuando la variable n se reemplaza por cual
quier entero menor que 4. Por ejemplo, si n se reemplaza por -s, la pro
posición se vuelve "3 X -5 < 12", es decir, "-15 < 12!), lo que es una
proposición verdadera.
Vemos, de acuerdo con este ejemplo, que para ser del todo precisos en
la discusión de proposiciones abiertas, debemos hacer algo más que sola
mente enunciar la proposición. Debemos también especificar el conjunto de
reemplazamientos permisibles para la variable en la proposición. A este
conjunto se le llama conjunto de reemplazamiento de la variable. Así pues,
si se nos da una proposición abierta y el conjunto de reemplazamientos para
su variable, entonces los {micos números que es permitido poner en lugar
de la variable son los números del conjunto de reemplazamiento. De ordi
nario, algunos de estos números harán que la proposición sea verdadera y
otros harán que sea falsa. Como usualmente nuestro mayor interés está
en el conjunto de números que hacen que la proposición sea verdadera,
damos a este conjunto un nombre especial: el de conjunto de verdad.
Decimos que eJ conjunto de verdad -o conjunto solución- de una propo·
sición abierta es el conjunto d.e todos los números del conjunto de reempla·
zamiento que hacen que la proposición sea vetdadera.
Aclararemos estas ideas por medio de cierto número de ejemplos; véasela tabla I. Recuérdense los nombres comunes de los conjuntos que se
dieron en la página 11.
Proposiciones abierta!!
3 X 0 < 12
3 X n < 12
3 x o< 12
3 X 0 < 12
3 X�= 12 x2<5 xz<5
2+ �:S2
2+�:S2
PROPOSICIONES ABIERTAS COMPUESTAS
TABLA 1
CONJUNTOS DE VElUlAD
ConJunto de Jeemplazamlco.to
w
w
1
R
N, W, 1 o R
N
1
w
N
Conjunto de verdad
{O, 1, 2, 3)
{0, 1, 2, 3}
{ · • ·, ·2, ·t, O, 1, 2, 3}
{números reales menores que 4-}
(4}
{1, 2}
{-2, -1, o, 1, 2}
(O}
{ }
15
Deben haeerse dos observaciones acerca de estos ejemplos. En los dos
primeros notamos que los conjuntos de verdad son los mismos aunque la
variable en una de las proposiciones se llama O y en la otra se llama n. Esto
no debe sorprendernos, porque las dos proposiciones abiertas afirman lo
mismo; a saber, que "tres por algún número es menor que doce". Conside
ramos por ello que dos proposiciones abiertas son la misma si la única
diferencia entre ellas es el símbolo que se usa para la variable. La proposi·
ci6n "3 + � = 10" significa lo mismo que u3 + x = 10".
La otra observación está ligada con la notación para los conjuntos.
Los conjuntos de verdad en los últimos dos ejemplos son {O} y { ). Estos
conjuntos son diferentes, porque el conjunto {O} contiene un elemento, a
saber, el número O, mientras que { } no tiene elemento alguno. Al último
se le llama el conjunto r;acío y se representa habitualmente por� o por { }.
pmgq§jcjgpe§ gl¡¡jertgs sgmpuestgi
Una proposici6n abierta compuesta puede formarse, en matemáticas,
tomando dos proposiciones simples del tipo que hemos estado considerando
y uniéndol�s con una u otra de las conjunciones "y'• y "o". Así, si ligamos
la proposid6n ''-2 < x" con la proposición "x < 4" por medio de 'Y'
obtenemos "-2 < x y x < 4", lo que usualmente se escribe ''-2 < x < 4"
para mayor brevedad. Un número hace que esta proposici6n sea verdadera
si y sólo si hace que las dos proposiciones simples sean verdaderas. (Véase
el cuaderno 12: Lógica.) Los conjuntos de verdad de esta proposici6n para
distintos conjuntos de reemplazamiento se muestran en la tabla Il.
16 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE
TA1!LA D
CONJUNTOS DE VERDAD PARA Dl'f'ERENTES
CONJUNTOS DE RE.'!MPLAZAJoUENTO
Conj"unto de reezi>p azarniento Conjunto da verdad
{1, 2, 3}
{O, 1, 2, 3)
{-1, o, 1, 2, 3}
Podemos observar que el conjunto de verdad para la proposición com�
puesta es la intersección de los .conjuntos de verdad de las dos proposiciones
simples. Recuérdese que la intersección de dos conjuntos, A y B, consiste en
el conjunto de todos los elemc;ntos que pertenecen a los dos conjuntos; es
decir, el conjunto de todos los �lementos que A y B tienen en común. Se de·
nota por A n B. En este ejemplo, con el conjunto de reemplazamiento
/ el conjunto de verdad de "-2 < x'' es
{-1, (j� 1, 2, 3, 4, 5, . . . },
e l conjunto de verdad de ".x < 4" es
( ... , "'3, -2, -1, o, 1, 2, 3},
y la intersección de estos dos conjuntos es, sin duda,
{-1, o, 1, 2, 3}.
Veamos, mediante un ejemplo, qué es lo que sucede cuando unimos dos
proposiciones simples con "o".· Cuando combinamos "6 < n" con "n < 3''
en esta fonna, obtenemos la proposición compuesta "6 < n o n < 3". No
escribimos esto en la forma "Q < n < 3" porque esta fonna abreviada ha
sido ya apropiada por las proposiciones ''y". Un número hace que la pro
posición "6 < n o n < 3" sea. verdadera si y sólo si hace que una u otra
-o ambas-- de las proposiciones simples sea verdadera. De aquí que, para
N como conjunto de reemplazamiento, el conjunto de verdad de esta pro
posición compuesta es la unión del conjunto de verdad de "6 < n", a saber
{7, 8, 9, . . . ), y el conjunto de verdad de "n < 3", es decir, {1, 2}. Re
cuérdese que la unión de dos <;onjuntos A y B, representada por A U B, es
el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A o a B o a ambos. Por
tanto, el conjunto de verdad es {1, 2, 7, 8, 9, . . . }.
Obsérvese que, en matemáticas, usamos la conjunción "o" en el sentido
"inclusivo" --distributivo gramaticalmente hablando-- de "o uno, u otro, o
PROPOSICIONES ABIERTAS COMPUESTAS 17
ambos". (El barbarismo "yfo" se emplea a veces fuera de las matemáticas
con este propósito expresivo .) Por ejemplo, si J es el conjunto de reempla.
zamicnto para la variable :< es la proposición "2 < :< o x < 6", entonces el
conjunto de verdad es el mismo ]. porque todo número en J hace, al menos
que una de las dos proposiciones simples asociadas sea verdadera. Algunos
números, tales como M2, 1 y 7, hacen que solo una de las proposiciones sea
verdadera; otros, por ejemplo 3 y 5, hacen que ambas sean verdaderas.
Obsétvese, también, que una proposición tal como la x < 3 es una pro·
posición "o", puesto que se lec, ":< es igual � menor que 3". Si el conjunto
de reemplazamiento para esta proposición es N, entonces el conjunto so·
lución es {1, 2, 3}.
GRUPO DE EJERCICIOS 1
l. ¿Son verdaderas, falsas o abiertas las siguientes proposiciones?
a) �1 es primer ministro de Inglaterra.
b) Lincoln fue el primer presidente de Estados U nidos.
e) Ella está sentada en la primera fila.
d) Morelia es la capital de Michoacán.
2. ¿Son verdaderas, falsas o abiertas las siguientes proposiciones matemá
ticas?
a) 3 + 3 = 33
b) 9 X 0 =54
e} 7- 7:::; O
d) n + 13 > 27
e) -4 < 1 < 3
f)2<1o2>3
g) 2 < 1 o 2 > -3
h) -4 <o< 3
i) � > 2 o 6. < -2
j) 2:::; 2 < 4
3. Encuéntrese el conjunto de verdad de cada una de las siguientes pro
posiciones cuando el conjunto de reemplazamiento es W = {0, 1, 2, . .. }:
a) n- 8 = 28.
b) 6 + 1 < 5.
e) 2 X q > 5.
d) X + 1 < 2.
e) z + 1 < l.
4. Encuéntrese el conjunto de verdad en cada una de las siguientes pro
posiciones compuestas cuando el conjunto de verdad es J = { ... , -2,
-¡, o, l, 2, ... ) :
a) 1 <O< 5
b) -1 <X< 1
e) 1 < n < 2
d) 4 < -2 o 6. > 2
e) /::, < 2 o 6. > -2
f)z�3
18 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE
Notgsiéo coo&!n'rtixg
Es conveniente tener una notación "taquigráfica" para el conjunto de
verdad de una proposición abierta dada. Como ejemplo, tornemos la propo·
sición "D. < 4", con N como conjunto de reemplazamiento. La notaci6n
que adoptaremos para indicar el conjunto de verdad de esta proposición es
{D.J D. está en N, y D.< 4}.
Su traducción al lenguaje cotidiano es "el conjunto de todo «triángulo» tal
que «triángulo» está en N y «triángulo» es menor que 4". Así pues, al leer
la notación comiéncese con la frase "el conjunto de todo"; luego, el nolll
bre de la variable; entonces léase la barra vertical como ''tal que"; y, final
mente, léase la proposición o proposiciones que siguen a la barra. A veces
también se lec empleando plurales: "el conjunto de todos (o todas) los «aquí
el nombre de la variable en plural (triángulos, equis, etc.)» tales que
«y aquí, al final, la proposición o proposiciones que siguen a la barra»".
Obsérvese que aunque esta notación parece complicada, comunica toda
la información pertinente acerca del ejemplo. El hecho de que se usen
llaves, { }, nos pone sobre aviso de que Jo que se describe es un conjunto.
La primera mención de /)., antes de la barra vertical, nos dice qué sím
bolo es el que se está usando para la variable. Como observamos anterior.
mente, el símbolo particular usado es de poca importancia, pero debemos
decidirnos por algún símbolo antes de que podamos escribir la proposición
abierta. Después de la barra está la información que nos dice cuál es d
conjunto de reemplazamiento y cuál es la proposición abierta. La harta
está ahí como una especie cie barrera para impedir que las cosas se mezclen;
también suelen usarse en vez de la barra los dos puntos ( : ) •
Digamos ahora unas palabras acerca de la parte de la notación "D. está
en N". Sabemos que es importante haber especificado cuál es el conjunto
de reemplazamiento, pero a veces el conjunto de reemplazamiento se ha
especificado de antemano. Si estamos seguros de que éste es el caso, entonces
podemos omitiruna frase como "D. está en N". Incluso si la frase no puede
omitirse sin peligro de confusión, se puede abreviar escl'ibiendo en su lugar
simplemente "D. e N", en que se usa el símbolo común "e" que significa
"es un elemento de" o "es un miembro de" o "pe.t·tenece a11•
Consideremos algunos ejemplos.
{6,. 1 6,. t. N y D, < 4) :::: {1, 2, 3}.
{D. 1!:::. E: R y f:::. < 4} = {todos los números reales menores que 4}.
{nlnt.Wy-2<n<l) ={O}.
{nlnt:Jy-2<n<l} = {-1, O}.
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABlE 1 9
{xlx&] y -S < x < 4} = {-2,-1, O, l, 2 , 3}.
{0 1 O es uno de )os
Estados de Estados Unidos} = {Alabama, Alaska, • • • , Wyomíng}.
{zlu:]y,z.=::-2} = {-2,-1,0,1,2,3, ... ).
{V' 1 V'&] y V' �-2} = {-2, -l, 0', 1 , 2, 3, . . . }.
Los últimos dos ejemplos señalan de nuevo el hecho de que no importa cuál
sea el símbolo que usemos para la variable.
Como nuestra notaci6n parece, en cierto sentido, ser una especie de
"plan" para la construcción de un conjunto específico, la llamamos nota
ci6n constructiva.
Podemos usar la notación constructiva de un modo diferente, podríamos
decir, hacia atrás. Hacemos esto cuando tenemos un conjunto definido in
mente y deseamos describirlo con la notación. Todo lo que tenemos que
hacer es construir una proposici6n abierta que tenga el conjunto dado como
su conjunto de verdad. Supongamos, por ejemplo, que deseamos describir el
conjunto {0, 1, 2, 3}. Podríamos razonar como sigue: todos los elementos
del conjunto son enteros, el menor es O, el mayor es 3, y todos los enteros
entre o y 3 están en el conjunto; por tanto
{0, 1, 2, 3} = {0 1 o e. J y o< o :;:; 3}.
Un razonamiento un poco diferente nos habría llevado a escribir
o a
{O,t, 2, 3}={xjxe] y -l<x<4}>
{0, 1, 2, 3} = {ni n e W y n :;:; 3}.
Es perfectamente admisible usar algunas palabras. Por ejemplo, para
describir el conjuntQ {1, 3, 5, . . . , 99} de todos los números naturales im
pares menores que 100, podría escribirse {x 1 x e N, x < 100, y x es impar}.
2rgfjsg§ dft pmggskjgpe§ ghjg;�g§ eg ugg ygrjgbl�
Volveremos ahora al problema de diir una representación gráfica del
conjunto de verdad de una proposición abierta en una variable. Para este
propósito necesitaremos la recta numérica que mostramos en la figura 1.
Hemos mostrado, desde luego, solamente una parte de la re· ta y hemos
rotulado splamente aJgunos de !os puntos que se correspondt.n con enteros.
"2 -, o 2 3 4 5
La recta numérica.
FIGURA 1
20 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE
Sin embargo, sabemos que a cada número de cualquiera de nuestros con�
juntos ya habituales, N, W, J y R, corresponde un punto único sobre la
recta. Parece, por tanto, razonable intentar retratar sobre la recta los con
juntos de verdad de las clases de proposiciones abiertas que hasta el mo
mento hemos considerado.
Verdaderamente, lo único que necesitamos es algún método gráfico para
distinguir un conjunto particular de puntos. Una forma de hacerlo consiste
simplemente en ampliar las imágenes de sus elementos, es decir, de hacer
puntos más grandes. Esto no implicará que los puntos se hagan mayores.
Los puntos, después de todo, solamente son sugeridos en cualquier represen
tación; lo cierto es que no tienen existencia física alguna. También pode
mos rotular Jos puntos del conjunto con letras.
A la representación del conju.nto de verdad de una proposición abierta •
por medio de un dibujo, la llamamos gráfica de la proposición. Veamos
ahora tmos cuantos cj<'mplos en la íigul'a 2, donde la descripción de cada
g.-áfica cstít dada abajo de ella en una notación �onstructiva adecuada. En
lugar de estar expresada como <icl conjunto de verdad de la proposición
abierta O < 4, con conjunto de reemplazamiento N", la información se
.3 .2 -, o 2 3 4 5
(01 OzN r o� 4} = 11, 2, 3, 41.
' o • •• • • • • •
"3 "2 -1 o 1 2 3 4 5
In 1 neJ y n > -2} = {-I, O, 1, 2, 3, · • · l .
"3 -. o 2 3 5
o 2 3 4 5
j:r; 1 z e R y z < 21 .,. 1J conjunto de todos los númerosjl reales menores que 2
o 2 3 4 5
....:: } _ {conjunto de todos los números} {x 1 x t: R y x- 2 - 1 • 1 ? rca es 1gua es o menores que -
Gráficas de proposiciones numéricas.
FIGURA 2
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIE�TAS EN UNA VARIABlE 21
expresa simplemente como "{O 1 O ct N y O :::;; 4)." En los primeros tres
ejemplos el conjunto de verdad se da también explícitamente.
En los últimos dos ejemplos presentados en la figura 2, nos encontramos
con una dificultad técnica. ¿Cómo mostra,r que el punto que representa a
2 no está incluido en la primera gráfica, pero sí está claramente incluido
en la segunda? Hay varias maneras de resolver este problema artístico. Aquí,
la que hemos escogido es la de indicar la inclusión rnedian�e un punto
sólido, y la no inclusión mediante uno húeco. Para indicar que todos los
puntos de un segmento o rayo están en la ¡gráfica, usamos una línea gruesa
como puede verse.
Veamos la figura 3, para unos cuantos ejemplos -más, ahora usando
proposiciones compuestas.
�3 '2 -, o 2 3 4 5
lz 1 z e J y -2 ::; z < 31
-3 '2 ., o -2 3 4 5
ID IOcR y -2 �o� 3}
"3 �2 -, o 2 3 4 5
lt 1 ta R y t < -1 o t > 21
GriCicas de proposiciones numéricas compuestaa.
FIGURA 3
GaUPO DE EJBCICIOS 2
l. Exprésense, usando palabras, cada unQ de los conjuntos descritos abajo
en notación constructiva:
a) (O 1.0 e W y O< 3}
b) {n fn & ] y -2 < n < 3}
e) {616 &N y -2 <!:::. < 3}
d) {x]x&R y x+1=3}
e) {61!:::. r.NJ!:::. < 14, y 6 es par}
f) {x 1 x es el nombre de un Estado de Estados Unidos que comienza
con "A"}.
22 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABl.ES
2. Grafíquense cada uno de los· siguientes conjuntos sobre una recta nu
mérica:
a) El conjunto de verdad de O - 1 = 4; conjunto de reemplazamien·
to: N
b) El conjunto de verdad de !::. - 1 < 4; conjunto de reemplazamien-
to: N
e) {!::. J D. e N y !::. - 1 < 4}
d) {x 1 x e R y -2 < x < 1}
e) El conjunto de verdad de -2 < O< 1; conjunto de reemplazamien
to: R
f) {t.jD.eJ y 6<3).,
PRQPOS!pONES ABIERTAS EN ROS y&RIABLES
Hasta el momento hemos considerado proposiciones abiertas que con
tienen solamente una variable. Pasamos ahora a una discusión de las que
contienen dos. Las proposicione� abiertas pueden presentarse en lenguaje
cotidiano en construcciones tales como "esto es mayor que aquello" y "ella
es su mujer". Estas proposiciones son abiertas si no ha habido ninguna
discusión previa que especifique les sujetos n i ningún otro medio de espe
cificación ha establecido antecedentes de los pronombres. Com�;> en español,
proposiciones tan vagas como éstas raramente se presentan fuera de un
contexto, no proseguiremos con ellas. En contraste, proposiciones abiertas
con dos variables se presentan con frecuencia en matemáticas y son de gran
importancia.
Pares ordeqgdg:r
Est�diemos la expresión
(2 X 0) + � = 9.
Esta expresión �s declarativa en su forma, pero no podemos decir si lo
que en ella se afirma es verdadero o falso hasta que se hayan reemplazado
por números los dos S'Ímbolos, O y D., que en ella aparecen. Llamamos a
estos símbolos variables, lo mismo que hicimos en las proposiciones abiertas
que consideramos anteriormente. Si la variable O se reemplaza por 2 y la
variable D. se reemplaza por 5, la proposición se convierte en la "(2 X 2)
+ 5 = 9", que es verdadera. Si O se reemplaza por 3 y D. por 4, la pro
porción resultante es "(2 X 3) + 4 = 9", que es falsa. Vemos que es nece
sario sustituir un par de números, uno para O y el otro para 6, en la
proposición, antes de que tal proposición tenga un valor de verdad; es decir,
CONJUNTOS DE VERDA!) FINITOS 23
antes de que sea verdadera o falsa. Podemos querer enumerar muchos de
tales pares. Para ser consistentes, convengamos en llamar a O primera va
riable y a � segunda variable. Esta elección es completamente arbitraria,
pero una vez hecha tenemos que apegarnos a ella. Cuando estas variables
tienen que expresarse mediante letras del alfabeto, usualmenteel orden
alfabético es el que rige nuestra elección sobre la que debe considerarse pri
mera variable y la que debe considerarse segunda. Entonces, al enumerar
un par escribiremos el reemplazamiento de·O primero, y el de � en se
gundo lugar. Los dos pares que se emplearon en la anterior sustitución
se escribirían ( 2, 5) y (3, 4). El orden en que se escriben los números de
cada par es muy importante. Vimos que el par ( 2, 5) hace que la proposición
sea verdadera. Pero el par ( 5, 2) que contiene a los mismos números pero
en orden opuesto, hace que la proposición abierta se convierta en la " ( 2 X
5) + 2 = 9", que es falsa. Debemos, por tanto, distinguir (2, 5) y (5, 2).
Señalar esto es la razón por la que usamos paréntesis, ( ) , en lugar de
llaves, { ), al escribir tales pares: {2, 5} y {5, 2} representarían exacta�
mente al mismo conjunto. Para enfatizar que el orden es importante, lla
mamos a (2, 5) y (5, 2) pares ordenados. Al primero de los dos números
que aparecen en un par ordenado le llamamos primer componenJe del par
y, al otro, segundo componente.
Antes de continuar con este ejemplo recordemos que al considerar pro·
posiciones en una variable es importante conocer el conjunto de reempla
zamiento para la variable, es decir, el conjunto del que está permitido ob
tener reemplazamientos para la variable. La situación es la misma para las
proposiciones en dos variables, excepto que ahora debemos tener conjuntos
de reemplazamiento para ambas variables.
Se nos da una proposición abierta que contiene dos variables, a una de
las cuales se le llama primera variable y, �gunda variable, a la otra. Se nos
da, también, un conjunto de reemplazamiento, llamémosle A, para la pri
mera variable, y un conjunto de reemplazamiento B, para la segunda. (El
conjunto .8 puede ser o no igual al conjunto A.) Un par ordenado pertenece
al conjunto de verdad de la proposición dada si su primer componente es
un elemento de A, su segundo componente es un elemento de B, y hace de
la proposición una afirmación verdadera. El conjunto de verdad de )a
proposición' es el conjunto de tales pares ordenados.
eooiuntos de yerdgd fjgjtos
Ilustraremos las ideas introducidas al . final de la anteriol' .sección con
tinuando nuestra discusión de la proposición abierta
(2 X 0) + L = 9.
24 PROPOSICION�S ABIERTAS EN DOS VARIABlES
Tornemos corno con junto ge reemplazamiento para cada una de las va
riables O y /:::,. el conjunto N = (1, 2, 3, . . . } . La mayoría de nuestros
ejemplos lo serán del importan'te tipo de proposición en que ambas variables
tienen el mismo conjunto de x:ecrnplazarnicntos. Ahora bien, los números 2
y 5 están en N, y hemos visto ·que cuando reemplazarnos O por 2 y /:::,. por
5 la proposición resulta verdadera. Por tanto, el par ordenl:\do (2, 5) está
en el conjunto de verdad de 1� proposición. Busquemos más elementos del
conjunto de verdad. Una fo'r!Tla sistemática de conducir esta investigación
sería la de reemplazar una de 'las variables, digamos O, por algún número
en N y ver luego si hay algún reemplazamiento para /:::,. que haga que la
proposición sea cierta. Por ejemplo, si sustituimos a O por 1, la proposición
toma la forma " (:! x 1 ) + /:::,. = 9''. Esta es todavía una proposición abier
ta; pero corno solo le queda una variable, el problema se ha hecho más
fácil. Pronto veremos que si se reemplaza /:::,. po.r 7, la proposición se vuelve
verdadera. Hemos encontrado, así, otro par ordenado, el ( 1, 7), del conjunto
de verdad. Si sustituimos ahora; O por 2, obtenemos el par ordenado (2, 5)
que el lector puede comprobar· por sí mismo que pertenece al conjunto de
verdad. Si repetimos este procedimiento, obtenemos ( 3, 3) y ( 4, 1 ) como
resultados de la sustitución de tJ por 3 y por 4. Si sustitujmos O por 5, la
proposición se vuelve "(2 X 5� + /:::,. = 9". Vemos que si 6. se reemplaza
después por cualquier elemento· de N -recuérdese que N es el conjunto de
reemplazamiento para ambas v�riables-, el primer miembro será mayor que
9; por tanto, no puede haber nihgún par ordenado cuyo primer componente
sea 5 en el conjunto de verdad. De la misma manera vemos que si reem
plazarnos O por cualesquiera de los números 6, 1, 8, . . · . , no podemos
reemplazar a /:::,. por ningún elemento de N que haga que la proposici6n
sea verdadera. Podemos, por tanto, concluir que:
El conjunto de verdad de la proposición
(2 ).( 0) + /:::,. = 9,
con N como cónjunto de reempluamiento
para ambas variables, es
{ (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4-, 1 ) }.
Esta proposición puede expresarse más sucintamente en la notaci6n
constructiva: {(0, 6) l O e N, !:::. e N, y (2 X 0) + /:::,. = 9} = (1, ?),
(2, 5), (3, 3 ) , ( 4, l } } . El primer miembro de esta igualdad se leería, "el
conjunto de todos los pares ordenados --cuadrado, triángulo-- tales que
cuadrado está en N, triángulo está en N, y dos por cuadrado, más triánguJo,
es igual a nueve". Todo lo cual está de acuerdo con la forma en que usamos
la notación constructiva en la sección anterior. Sin embargo, ahora tenemos
d()J variables a nombrar en el espacio antes de la barra vertical, y éstas de-
CONJUNTOS. OE VERDAD INFINITOS 25
ben nombrarse en un orden específico; de aquí que allí escribamos el par
ordenado (0, .6.).
Q>gjugtes de yerdad ipfjgjto§
En el ejemplo que estamos considerando, el conjunto de verdad re
sultó finito; es decir, contenía solo un número finito de pares ordenados
(cuatro). Veamos lo que sucede si conservamos la misma proposici6n abier
ta y el mismo conjunto de reemplazamiento, N, para la variable O, pero
establecemos J como conjunto de reemplazamiento para .6. (/ es el conjun
to de los enteros). Es decir, buscamos el conjunto
{(0, .6. ) 1 0 e N, !::. e J, y (2 X 0) + .6. = 9}.
Este conjunto contendrá todos los pares ordenados que antes encontramos,
porque todo elemento de N es también un elemento de J. Pero ahora, si
reemplazamos O por 5, obteq.íendo "(2 X 5) + .6. = 9", podemos encon
trar un reemplazamiento para .6. en J que haga que la proposici6n sea
verdadera, a saber, -1. Luego ( 5,-1) está en ·nuestro conjunto de verdad. De
la misma manera podemos encontrar ( 6, -g), ( 7,-5), etc., todos en nuestro
conjunto de verdad. Por tanto
( (0, 6,} 1 0 E N, ,6. 1: ], y (2 X 0) + 0 = 9}
= {(1, 7), (2,5), (3,3), (4, 1) , (5,-1), (6,-3}, . . . ).
Este conjunto de verdad contiene infini.tos pares ordenados, y observa
mos que en los elementos sucesivos el primer componente aumenta en 1,
comenzando con 1, mientras que el segundo componente disminuye en 2
y comienza con 7.
Con frecuencia es más difícil darse cuenta de una característica de los
pares ordenados del conjunto solución, particularmente si la proposición
es complicada; por ejemplo, si su "verbo" es � en lugar de ::::, o si los
conjuntos de reemplazamiento para las variables son conjuntos muy grandes,
por ejemplo, R.
Como ejemplo, consideremos la. proporción abierta "m + n � 2", donde
el conjunto de reemplazamiento para cada 'una de las variables m y n es J.
Describamos 'su conjunto de verdad:
{(m, n) l m & j, n & j, y m + n $ 2}.
Desde luego, lo que acabamos de expresar describe al conjunto, ¿pero
no podemos hacer algo mejor? No es difícil encontrar un número de parea
ordenados que pertenezcan a este conjunto de verdad; por ejemplo:
(1, 1 ) , (1, 0), (0,0) , (2,0), (-1, 2), (-1,3) , (4,-3).
26 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES
Pero enumerarlos de modo tal que muestren alguna característica es
difícil. ¿Hay alguna otra forma de describir este conjunto? ¡ Si pudiéramos
mostrarlo gráficamente!
Veamos otra vez la proposición abierta que acabamos de considerar,
"x + y :;;; 2" (recuérdese que el nombre que demos a las variables no im
porta) ; pero establezcamos como conjunto de reemplazamiento'para ambas
variables a R, el conjunto de los números reales. Hay ahora'·todavía más
pares ordenados en el conjunto ;de verdad ; por ejemplo, ( !. 1 i), ( H, i),
(?T, -2), (·V2, 3). E l problema d e cómo indicar una lista completa d e estos
pares es insuperable. ¿Estamos, pues, reducidos a decir únicamente que el
conjunto de verdad es { (x, y) J x e R, y e R, y x + y < 2) y quedarnos en
eso? Esta es una descripción precisa, desde luego, pero no nos dice intuiti
vamente mucho de lo que el conjunto de verdad es realmente. De nuevo
sentimos que si solo tuviéramos un modo de representar gráficamente el
conjunto, las cosas serían bastante más claras. Afortunadamente un modo
tal existe, y después de algunos preliminares lo discutiremos.
El métgdg tgbu!er
Con frecuencia es conveniente usar un procedimiento tabular de enu
meraci6n de algunos de los pares ordenados del conjunto de verdad de una
proposición abierta. Ocasionalmente podemos, incluso, evaluarlos todos, como
en el siguiente ejemplo. En la página 22 considerábamos la proposición
abierta "(2 X 0 ) + D. = 9", con N como conjunto de reemplazamiento
para cada una de las variables. Encontramos que el conjunto ,de verdad
{(0, .6.) 1 0 e N, .6. eN, y (2 X 0) + .6. = 9)
era { ( 1, 7), (2, 5) , (3, 3), (4, 1 )}. Podemos enumerar sus elementos eficien
temente en una tabla, como mostramos en )a figura 4. El 1 en la columna O
o .6.
1 7
.2 5
3 3
4 1
{(2 X 0) + .6. = 9, D e N, .6. eN}.
FIGURA 4
tiene que emparejarse con el 7 eil la columna .6. para que se obtenga el par
ordenado (1, 7 ) . Los números que se encuentran en el rcngl6n siguiente
forman el par ordenado (2, 5), y así sucesivamente.
El MBODO TABUlAR 27
o !::, 1 7
2 5
3 3
4 1
5 -1 6 -3
{(2 X 0) + 1:::, :::: 9, O t: N, 1:::, e.J}.
FIGURA 5 ,
Desde luego, no siempre es posible tabular el conjunto de verdad en su
totalidad. La figura 5 nos muestra una tabulaci6n parcial del conjunto de
verdad para la, misma proposición abierta " ( 2 X O} + 1:::, = 9", cuando
el conjunto de reemplazamiento para O sigue siendo N, pero es ] el con
junto de reemplazamiento para 1:::, . Las columnas de puntos indican que la
tabla es incompleta.
GRUPO DE EJERC:ICIOS 3
1. Dígase explícitamente cuáles son los conjuntos de pares ordenados si.
guientes. En los ejercicios la y le, el conjunto de reemplazamiento dado
es el conjunto de reemplazamiento para ambas variables:
a) El conjunto de verdad de O + 1:::, = 5; conjunto de reemplaza
miento: N
b) {(x,y) l x e N, y e N, y x + y = 5}
e) El conjunto de verdad de m + n < ,2; conjunto de reemplazamien
to: W
2. Encuéntrense, al menos, cuatro elementos de cada uno de lo.s siguientes
conjuntO$. El conjunto de reemplazamiento, cuando se da, es para ambas
variables:
a) El conjunto de verdad de x = y; conjunto de reemplazamiento: R
b) El conjunto de verdad de O + !::, = 2, conjunto de reemplazamien
to: J
e) {(m,n) 1 m e ], n. e ], y m + n = 2}
28 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABlES
d) {(0, 6) I O �t R, D. r. R, y 0 < .6.}
e) E l conjunto d e verdad d e ·(2 X O) - D. < O ; conjunto d e reempla
zamiento: f
3. Escríbanse en forma tabular las contestaciones a los ejercicios l a y 2.b.
ljffifisq§ de pQ[ftS grd;qndp� J
El lector recordará que cuando grafkábamos proposiciones abiertas de
una variable -es decir, cuando· graficábamos sus conjuntos de verdad-,
utilizábamos una recta numérica1. Parece razonable pensar que para graficar
los conjuntos de verdad de proposiciones de dos variables, deberemos em
plear con ventaja dos rectas numéricas. Pero, ¿cómo hacerlo? Fue una
gran contribución a las matemáticas que René Descartes ( 1596-1650), filó
sofo y matemático francés, conc�biese la idea de colocar dos rectas numé
ricas, una horizontal, vertical la otra, de manera que se cortasen en el punto
cero de cada una, tal como se muestra en la figura 6. Resulta que este plano
coordenado es precisamente lo que necesitamos para representar pares or
denados de números y, por tant9, para representar el conjunto de verdad
qe una proposición abierta en d� variables. La gráfica de un par ordenado
de números será un punto --qué representaremos por medio de un pul'íto
5
4
3
2
-..
2 3 4 5
El plano coordenado.
FIGURA 6
GRÁFICAS DE PARES ORDENADOS 29
físico- en el plano determinado por las dos ,rectas numéricas que se ínter
secan -por ejemplo, el plano de la hoja de papel o del pizarrón sobre el
que se han dibujado las rectas.
Al describir cómo localizar el punto que es la gráfica de un par ordenado
dado, será conveniente tener un nombre para el punto en el cual las dos
rectas numéricas se cruzan; se llamará origeJ.t. Localicemos ahora el punto
que es la gráfica del par ordenado (3, 2 ) . Comenzamos en el origen y "co
rremos" tres Wlidades hacia la derecha. D�pués corremos dos unidades
perpendicularmente hacia arriba, y allí localizamos el punto. Esto es lo que
se muestra en las dos gráficas de la figura 7.
4
3
2
o
"3 "2 "1 o
"1
"2
"3
(9.)
�(3,2)
2 3 4 3 1'2
segundo
componente
4
3
2
1
o
'l "1 o 1
"'2
"3
(b)
(3.2)
12 ;:s
Gráfica del punto (3, 2) en -el plano coordenado.
FIGURA 7
�
primer
componente
La línea de puntos de la figura 7(a) muestra la ruta (hacia la derecha
3, hacia arriba 2) que seguimos para alcanzar la gráfica de (3, 2) y de ahora
en adelante debemos ignorarla. La figura ,7 (b) difiere de la figura 7 (a)
solamente en' que se han trazado rectas horizontales y verticales por los
"puntos enteros" de las dos rectas numéric�s originales. Todas estas rectas
forman una malla o red que nos hace más sencillo encontrar nuestro ca·
mino. El papel en el que ya aparece impresa tal malla o red se llama papel
para gráficas o papel cuadriculado.
¿Por qué comenzamos por correr tres unidades horizontalmente hacia
la derecha a partir del origen, en lugar de subir verticalmente? Esto no es
30 PROPOSICIONES: ABIERTAS EN DOS VARIABlES
nada más que un convenio, pero uno muy fuerte. Casi siempre asociamos
la dirección horizontal con el primer componente del par ordenado y la
dirección uertical con d segundo componente. Los economistas a menudo
hacen precisamente lo contrario. Pero, ¿por qué corremos tres unidades
a la derecha en lugar de a la izquierda? También esto nada más que por
otro poderoso convenio: que las unidades que están hacia la derecha y
hacia arriba han de considerarse positivas, y las que están hacia la izquier
da y hacia abajo, negativas. A�í pues, medimos tres unidades a la derecha
del origen sobre la recta numérica horizontal; si hubiésemos corrido hacia
la izquierda estaríamos en ·3. Análogamente, al correr dos unidades ha
cia arriba --después de haber corrido tres a la derecha- estamos enfrente
del 2 que está sobre la recta numérica vertical, en lugar de estar enfrente del
·2, adonde habríamos llegado si hubiéramos corrido hacia abajo. No hay
nada, sin embargo, que nos obligue a obedecer estos convenios, y un mate
mático no vacilaría en violarlos si por cualquier raz6n pareciera preferible
para determinado problema.
Las anteriores observaciones sugieren la forma en que localizaríamos un
punto correspondiente a un par de números que tuviera, al menos, uno de
sus componentes negativo. Para localizar ( ·3, 1 ) ; es decir, para localizar el
punto correspondiente a (-3, 1), o que tiene -3 y 1 como coordenados, co
menzamos corriendo tres unidades hacia la izquierda a partir del origen,
y luego una unidad hacia arriba. Para localizar (-2, -3), corremos dos uni
dades hacia la izquierda desde el origen, y Juego tres unidades hacia abajo.
Para localizar ( 1-!, -2!), corremos una y media unidades hacia la derecha,
y luego dos y un tercio unidades hacia abajo. Todos estos puntos aparecen
gralicados en la figura 8.
¿Y qué ocurre si uno o ambos componentes de un par ordenado son O?
Lo único que tenemos que hacer es interpretar la instrucci6n "correr O uni
dades" como si significaran "qpedane en donde se está". Esto puede, sin
embargo, causar alguna confusion por dos razones. Primera, a algunas per
sonas les parece contradictoriala idea de que O sea algo, a pesar de que O
es un número perfectamente correcto. En segundo lugar, y esto confunde
más, cuando seguimos las instf\lcciones para localizar (-4, O), digamos, co
rriendo cuatro unidades hacia la izquierda y luego quedándonos allí, nos
encontramos en el punto marcado -4 en la recta horizontal. Pero -4 no es
lo mismo que (·4, O). Lo que ha sucedido ha sido esto: El r6tulo -4 se dej6
allí desde el tiempo en que est�bamos considerando solamente la recta nu
mérica horizontal. Dejamos tales rótulos sobre la recta numérica, simple
mente porque nos resultaba conveniente para localizar puntos en el plano.
Es importante tener presente q1,1e todos los puntos en el plano, estén o no
en una de las rectas numéricas originales, tiene dos coordenadas. La figu-
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS DE DOS VARIABLES 31
ra 8 muestra varios puntos que representan pares ordenados con un com
ponente igual a O.
Nótese en la figura 8 que las gráficas de (3, 2) y (2, 3) están localizadas
en puntos distintos del plano. Como debe ser, puesto que los pares ordenadQs
son distintos.
('4.4
3.1)
4.0)
4 3 -2
segundo
componente
5
4
3 (0.3)
2
'
o 0.0)
1 o � ·¡
Jl(0:2'
2,3)
(3.2)
(2.0)
¡2 3
2:31 .3 1\:-2 )
(44)
4
primer
componente
Gráficas de puntos en el plano coordenado.
FIGURA 8
La cuadrícula de la figura 8 recuerda el plano de las calles de una ciu
dad. La verdad es que pensarlo de este modo nos ayuda a aclarar las ideas
que hemos estado presentando. El lector puede pensar en fas rectas verti
cales como si representaran calles y en las hc>rizontales como si representaran
avenidas. Entonces, la "dirección" { -3, 1) éstá en la intenecci6n de la ter
cera calle negativa y la primera avenida positiva, mientras que (2, O) está
en la intersección de la segunda calle positiva y la avenida cero.
<;¡ráfjs¡ts. de pmpg§kjgges qhiertgs de dos ygrjgbl¡¡
Ahora que podemos representar gráficamente pares ordenados de nú
meros, es fácil representar conjuntos de p�res ordenados y, por tanto, los
conjuntos de verdad de las proposiciones a�iertas.
Como ejemplo, veamos una vez más la proposición abierta "(2 X 0)
+ b, == 9", con N como conjunto de reemplazamiento para ambas varia-
32 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES
D. 6
a 8
1.7) e(1.7)
6 6
2.5) •(2,5)
4
4
3Jl •(3.3)
� 2
(4,Í) •(4,1)
(1 o 1'2 o 2 4 o .2 o 2 4 o
"2 "2
(a) (b)
Gráfica de (2 X 0) + � = 9, Q t: N, � e: N.
FIGURA 9
bies. Ya vimos anteriormente que el conjunto de verdad es { ( l, 7), (2, 5},
{3, 3), (4, 1 )}.
Las figuras 9(a) y 9(b) m�estran la representación gráfica de este con·
junto de verdad, es decir, la gráfica de la proposición abierta. Rotulamos
las dos rectas numéricas con "O" y "�" para que quede claro que los
reemplazamientos para O, es decir, los primeros componentes de los pares
ordenados, están asociados con la dirección horizontal y que los reempla
zamientos para la � están asociados con la dirección vertical. Aquí hemos
suprimido la cuadricula porque hace excesivamente denso el dibujo. De
aquí en adelante la suprimiremos siempre. Si el lector lo desea puede di.
bujar la cuadricula. El conjunto de verdad en el caso que acabamos de
considerar era relativamente s�ncillo.
Con todo, supongamos que el conjunto de reemplazamiento para las
variables en "(2 X O) + � = 9" es R, en lugar de N. Ahora el conjunto
de verdad ( (0, l:l) 1 O e R, ·6 e R, y (2 X O) + !:l = 9} contiene in
finitos pares ordenados. Enumeremos algunos de ellos en una tabla, figu·
ra lO( a) y, al hacerlo, localicen)os los puntos correspondientes, figura lO(b).
Después de un momento notamos que parece haber una línea recta que
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES A&IERTAS DE DOS VARIABLES 33
contiene a todos estos puntos. Parece ra:t.onable suponer que si todos los
puntos correspondientes a los pares ordemidos del conjunto de verdad
pudieran ser graficados, llenarían tal recta. Dibujamos, por ello, toda la
recta y decimos que es la gráfica de ]a proposición abierta. Esto requiere
cierta dosis de fe por parte nuestra. Una rania de las matemáticas, llamada
geometría analítica, nos da los medios para probar que la gráfica de e�ta
proposición abierta es, ciertamente, la recta -que hemos trazado.
o 6
l 7
2 5
3 3
4 1
5 .1
6 .3
o 9
"1 11
l 8
� 6 "4 s o
(a) (b)
Gr§.fica de (2 x 0) + 6. = .9, O &R, 6. &R.
FIGURA 10
Consideremos l a proposici6n abierta "m + n < 2", con 1 como con junto
de reemplazamiento para las dos varíablcs. Este ejemplo ya s� consideró
brevemente en la página 14. Quizá la manera más sencilla de graficar esta
proposición es comen7.ar con la gráfica de m + n = 2, con J, también,
como conjunto de reemplazamiento. El primer paso se muestra en la fi
gura 1 1 como el conjunto diagonal de puntos agrandados. N6tcse que la
suma de las coordenadas del punto representado por cualquiera de estos
puntos gran�es es exactamente 2. Ahora, al observar cualquiera de estos pun
tos, el lector puede ver que todo punto que se encuentre directamente -es
decir, verticalmente- debajo de él, tiene la misma primera coordenada que
el punto agrandado, pero una segunda coordenada menor que la suya. Lue
go, la suma de estas cordenadas es menor que 2. Así que cualquiera de esos
puntos que tenga coordenadas enteras está en la gráfica de m + n < 2 con
1 como conjunto de reemplazamiento para m y para n. Para ilustrar lo
34 PROPOSICIONeS ABIERTAS EN DOS VARIABLES
dicho, comencemos con ( -1, 3) . . A medida que recorremos para abajo su ce�
sivas unidades de distancia, llegamos a ios puntos correspondientes a (-1, 2 ) ,
(-1, 1 ) , (-1, 0), (-1, -1), etc. En todos los casos, la suma de los componentes
es i�al o menor que 2, por tantp, todos estos puntos están en la gráfica del
conjunto { (m, .n) J m e ], n e ], y m + n. < 2}. La gráfica de la proposi
ción abierta dada, consiste, pues, en una especie de ''triángulo infinitp",
una parte del cual aparece en la figura 11. Tal gráfica se llama, a veces,
"grúfica incompleta", pero ordinariamt•ntc el nombre se omite cuando el
conttxto implica que la gráfica es un tri{,ngulo infinito.
n
7
• 6
• • 5
• • • 4
• • • • 3
. • • • 2
• • . • 1 •
o
""T· ·z '1 o 2 3 4 m • • . . . , • • •
• . • • '2 • • . •
• • • • '3 • • • • •
Gráfica de m + n ,:$ 2, m & J, n t: /.
(gráfica incompleta)
FIGURA 1 1
De la figura 1 1 podemos sacar la gráfica de m + n < 2 con J como
conjunto de reemplazamiento para cada una de las variables. Todo lo que
tenemos que hacer es borrar la recta diagonal r.uperior de ·puntos.
Las gráficas de las proposiciones ".t' + y S:; 2" y ·"x + y < 2", con R
como conjunto de reemplazamiento para ambas variables en las dos pro
posiciones puede construirse de un modo análogo al que acabamos de des
cribir. Se muestran en las figuras 12(a) y 12(b), respectivamente. Nótese
que hemos optado por indicar la presencia en la gráfica 12(a) de los puntos
sobre la recta x + y = 2, tales como (3, -1) y (-�, ll), mediante el dibujo
de una recta continua, mientras que su ausencia la indicamos en la gráfica
l2(b) mediante una rt-cta interrumpida -de trazo interrumpido. En cual
quiera de ambos casos todos los puntos que se encuentran debajo y a la
izquierda de la recta diagonal, están en la gráfica.
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS DE DOS VARIABlES
y
4
3
3
Gráfica de x + y � 2, :c & R, y �: R.
(a)
y
4
3
4 X
3 4 X
Gráfica de x + y < 2, x E R, y E R.
(b)
FIGURA 1 2.
35
36 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES
En los ejemplos ant<·rion$, hemos <'stado usando con mucha libertad
el síwbo)o ''<". tina de las pw¡losicimws mús st'll<:illus que pueden íonnarse
con este símbolo de ord .. n t�s
.'( < )'.
En la sección siguiente m·t�t�sitarcmo� la gt·Mica <.le esta pn1po:;ición. La
mostrrunos t•n la figura 13 par·a 1•l caso 1�11 que el conjunto de reemplaza
miento para cada una de Jas variabks es R. Hemos rotulado unos cuantospuntos para firws de c:ontml: d punto (3, 1 ) 110 l'Stá l'Jt la gráfica, ya que
3 -( t.
y
�3,1)
Cráfk.a de x < y, x E ll, y 1: R.
FIGURA 1 3
R'992§i'ͺPft§ cgmg'!ft§ÍQfi liP QQ§ vgngble§
A Jo largo de toda esta scr..ción, el cClnjunto de reemplazamiento para
todas las variables que aparc"can será R.
Fonnemos una proposición conectando las siguientes proposiciones sim
ples con la conjunción "y" :
(2 X 0) + /::, = 9;
0 = 4 X �.
Obtenemos la proposición compuesta
(2 X 0) + /::, = 9 y 0 = 4 X /::,
PROPOSICIONeS COMPUESTAS EN DOS VARIABLES 37
Nos gustaría encontmr d conjunto d(· \'f'rdad de t•sta proposidón. H•:mos
considerado ya la prinwra de las d'•s proposidoJI(:S simples, y con l'ierto
detenimiento, en las p:íginas 22 a �+. La pmpn-;ición "O = + X 6" l'.S
fácil de analizar; alg¡mos de los par(•s or<h:nados el� su conjunto de wrdad
son (8, 2), (-4, -1}, (2, � ) , (O, O) , (4, l ) ! (.J. v'2, y'2). Rc·cuét"(lt·sc qu•� lu�
mos convenido en que el conjunto de rcempla�atnil·nto será R. Ahora hit•n,
\ó
10
(a) ((2 X 0 ) + !::;. = 9}.
8 0
t::.
10
6
6
4
(b) 10 = 4 X D,).
6
10
8
6
2
o
o 2
(4.1) •
4 8 0
(e) { ( 2 X 0 ) + D, =9}; {0=4Xb,}. (d} { ( 2 X 0 ) + D, =9 y 0=4Xb,}.
Pasos para graficar una prop9sici6n compuesta.
FIGURA 14
38 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLE$
un par ordenado hace que la proposición sea verdadera si y sólo si hace que
las ·dos proposiciones simples s�an verdaderas. N otcmos que el par ( 4, 1)
verifica t'Sto y está, por tanto, eh el conjunto de \'Crdad,
{ (0, 6) 1 ( 2 X O) + !::, = 9 y o = 4 X 6),
de la proposición compuesta. ¿Hay algunos pares ordenado� •más en este
conjunto de verdad? Después de algunas investigaciones, que quizá impli
quen la construcción de una tabla para cada una de las dos proposiciones
simples, comen amos a sentirnos convencidos de que ( 4, 1) es, ciertamente,
el único.
Esta conclusión se refuerz.a cuando miramos las gráficas. El conjunto
de verdad de esta proposición compuesta de tipo "y" es la intersección de
los conjuntos de verdad de las dos proposiciones simples. Por tanto, la grá
fica de la proposición compuc�ta es la intersección de las gráficas de las
proposic.iones simples. La gráfica de "(2 X O) + !::, = 9'' se obtuvo en
la figura 10; la reproducimos en la figura 14(a). La gr:lfica de "O = 4 X
.6.'' no es difícil de trazar. Es 'una línea recta, tam.bi�n, como se muestra
en la figura 14 ( b) . En la figura 14 (e) hemos vuc lto a dibujar estas dos
gráficas en un mismo plano. Resulta evidente ahora que su intersección es
un solo punto, a saber, el asociado con (4, 1 ) . La figura 14(d) muestra la
gráfica de la proposición t"ompuesta.
Estamos ahora convd1cidos de que
{ ( 0, 6 ) : ( 2 X 0 ) + !::, = 9 y 0 = 4 X !::, } = { ( 4, 1 ) } ;
es decir, el conjunto de verdad de la proposición compuesta
(2 X 0) + 6 = 9 y 0 = 4 X 6
es l'i conjunto cuyo único elem�nto es el par ordenado (4, 1 ) .
EstudiC'mos ahora una proposición compuesta cuyo conjunto de verdad
ticnt.' más elementos; por ejemplo,
X < y y X + y < 2.
Las dos proposiciones simples que aquí se asocian se estudiaron en la
sección precedente. De nuevo deseamos encontrar el conjunto de verdad
{ (:�, y) l x < y y x + y < 2}
de la proposición compuesta. Este conjunto contiene muchos pares orde
nados: (0, 1 ) , (�, �), (-3, 2), (-2, -1 ) , para nombrar unos cuantos. El
lector debe vcrific.ar que estos pares están realmente en el conjunto de
verdad de la proposición compuesta. Recuérdese que cada uno de ellos debe
hacer verdaderas a ambas proposiciones. Parece que probablemente la
PROPOSICIONES COMPUff>TAS EN DOS VARIABLES 39
y
__ _ ::.-= =-,
(a) {x < y}. (b) {x + y < 2}.
(1.1)
(e) {x < y} ; {x + y < 2} .
Pasos para graficar proposiciones de desigualdad compuestas.
fiGURA 1 5
mejor forma de describir d conjunto en cuestión es el de representarlo di
bujando su gráfica. Para hacer esto, comenzamos por dibujar las gráficas de
"x < y" [íig. lS (a)] y de "x + y < 2" [fig. 15(b)]. Después las volvemos
a dibujar en un mismo plano como aparece en la figura 15(c) . Después de
alguna práctica, los pasos (a) y (b) pueden omitirse. Usamos ahora el he·
cho de que el conjunto de verdad de una proposición compuesta del tipo
"y" es la in�crsccción de los conjuntos de verdad de las proposiciones sim·
pies que se unen para fonnarla. Supcrponici\do la gráfica de uno de los con
juntos de verdad sobre la del otro, podemos ver que la gráfica del conjunto
de verdad de la proposición compuesta es la parte del doble rayado de la
figura 15( e) . En la figura 15 ( d) se ha simplificado el dibujo de manera
que el conjunto que b•ascamos aparezca mejor.
40 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIAilLfS
Formemos ahora un tipo dif�rcnte de proposición compuesta conectando
las mi.o;mas dos proposiciones simples c.on la conjunción "o" :
El conjunto de vl'rdad
.'1: < y O X + y < 2.
{ (x, y) 1 x < )' o >: + y < 2}
dr. rstc tipo de proposición "o"· consiste en todos los pares ordenados que
hacen que las proposiciones de cualquiera de las proposiciones abiertas
simples sean verdaderas
x < y
.Y + Y < 2.
Es deci .. , el conjunto de verdad de la proposición compuesta es la
unión de los conjuntos de verdad de las dos proposiciones simples. Este
hecho facilita el trazo de la gráfica de la proposición compuesta; és, sim
plemente, la unión de las gráficas de las proposiciones simples. Este conjunto
aparece en la figura 15 (e) como toda 1a parte del dibujo que está som
breada. La mostramos en la íigura 16. Recuérdese que una línea interrum
pida indica que todos los puntos ltasta la línea están incluidos, pero que no
�stán incluidos los puntos situados sobre la linea interrumpida -de trazo
interrumpido. En particular, el par ordenado (1, 1 ) no hace que sea ver
Qadera la proposici6n compuesta.
( x < y o x + y < 2}.
FIGURA 16
PROPOSICIONES COMPUESTAS EN DOS VARIABLES 41
En conexión con esto, podemos hacer notar que la uni6n de las dos
.rt•<·tas de la figura 14( c.), página 37, es la grá(ka de la proposición c.om
pucsta
(2 X 0) + l::. = 9 o 0 = 4 X l::..
GRUPO DE EJERCICIOS 4
l. Grafíquense las siguientes proposiciones en el mismo cuadro. Como con·
junto de reemplazamiento tomaremos a 8, el conjunto de los números
reales,
a) )' = x. b) y = 2 X x. e) y = 3 X x.
2. Grafíqucnsc cada una de las siguientes proposiciones en cuadros separa·
dos, usando W = {0, 1, 2, . . . } como conjunto de ret'mplazamicnto:
a) O + l::. = 2. b) D + t::. < 2. e) O + l::. > 2.
3. Grafíquense cada una de las siguientes proposiciones compuestas, usando
R como conjunto de reemplazamiento:
a) x + y > 2 y y < L b) ·" + y > 2 o y < l .
RELACIONES
En las secciones precedentes hicimos uso de los shnbolos "<" y ";::: ··,
que se usan en lugar de las frases "es menor que" y "es mayor o igual que",
respectivamente. Ahora, cada una de estas frases puede considerarse como
el nombre de una relación que existe entre 'los elementos de ciertos pares
ordenados de números. Pot ejemplo, 1a relación es menor que existe entre
2 y 5, en este orden.
Unas cuantas frases que parece denominan a relaciones entre pares de
cosas aparecen a continuación.
Nombre de la relad6n Cos:lS que se relacionan
es un múltiplo de • • • • • • • • • • • • • • • • enteros
tiene pelo más claro que • . • • • • • • • • persona•
l'S paralela a . • • • • . . • . • • • • . . . • • • • líneas rectas
es \tn hl'mumo de • • . . • • • • • • .
.
• • • . • personas
es \In subconjunto de • . . • . • • . • • . . • conjuntos
es congruente con . • • . • • . . . • • • • . . . triángulos
da mb )�che que . . • • • . . . . , • • . . • ,·acns
no es igltal a • • • • • . • • • • • • • • • • . • • • números
es el cuadrado de . . • • . . . • • • • . • • • • números
.42 RELACIONES
En la siguiente sección decidiremos exactamente qué es lo que queremos
expresar por relación,daremos una definición bastante técnica de la palabra
''relación" y estudiaremos, después, ciertas clases de relaciones que son de
particular importancia en matemáticas.
Pefjgjsjég de lg Qglqbm ''reladég"
Casi todo el mundo cree conocer lo que significa la palabra relación;
pero si se le precisa a que diga e.xactamcnte lo que es una relación, lo más
probable será que se limite a dar algunos ejemplos. En matemáticas no se
definen las cosas dando ejemplos de ellas, aunque es verdad que los ejemplos
ayudan a cualquiera a entender lo que significa una definición. Lo que aquí
requerimos, en términos tan simples como sea posible, es una proposición
que diferencia cada ente que sea una relación de todos aquellos entes que
no lo sean.
Al intentar formular una definición tal es perfectamente admisible
que algunos ejemplos específicos nos guíen. ¿ Qué es lo que tienen de común
todas las frases de la lista anterior? Cada uno es parte de una proposición
sobre un par de cosas; por ejemplo, "12 es un múltiplo de 3", ''Mary tiene
el pelo más claro que Juan'', y "Blanca da más leche que Pinta". Si el
lector no está seguro de lo que la frase es un múltiplo de significa, puede
saltar hasta la página 47 en .donde se discute esto con cierto detalle. Por
otra parte, el orden de los <:lemcntos del par de cosas ha de tenerse en
cuenta. Por ejemplo, "12 es un múltiplo de" es una propQSición verdadera,
mientras que "3 es un múltiplo de 12" es falsa.
Todo esto nos hace recordar nuestra discusión sobre las proposiciones
abiertas. Es claro que cada una de las frases de que hemos estado hablando
puede asociarse de un modo natural con una proposición abierta simple en
dos variables: "O es un múltiplo de 6", "x tiene el pelo más claro que y'',
y así sucesivamente. Ahora bien, ¿qué es realmente lo que queremos que
sea la relación indicada por es un múltiplo de? Podíamos decir que es la
proposición abit�rta "O es un múltiplo de 6", pero preferimos decir que es
el conjunto de verdad de esta proposición. Según este acuerdo, la relación
es un múltiplo de es el con junto { (O, 6 ) 1 O es un múltiplo de 6}, la
relación tiene el pelo más claro que es el conjunto { (x, y) 1 x tiene el pelo
más claro que y}, y así sucesivamente. Desde luego, los conjuntos de reem
plazamiento deben, en cada caso, especificarse. La ventaja que tiene tomar
el conjunto de verdad como la relación, es que nos dice exactamente qué
cosas se considera que están relacionadas con qué otras cosas. Es decir, si el
par ordenado (a, IJ) es uno de los elementos ele CÍ\:rta relación, entonces
sabemos que a está relacion:vl" ron b por t:><;-� relación.
DEFINICIÓN DE LA PALABRA "RELACióN" .43
No hemos terminado del todo. Sabemos qué es lo que entendemos por
cualquier relación específica como, digamos, es un múltiplo de. Pero, ¿qué
es una relación en gen�ral? Es decir, ¿qué cosas son relaciones y qué cosas
no lo son? Para contestar esta pregunta, veamos qué es lo que tienen en
común todas nuestras relaciones específicas. Para comenzar, todas ellas son
conjuntos de pares ordenados. Pero esto es también todo lo que encontra
mos como rasgo común. ¿ Qué más es lo que tienen en común conjuntos
tales como {(12, 3), ( 18, 3) , (8, 2) . . . }, { { María, Juan ) , (Juan, Elena),
. . . }, etc.? ¡Nada! Nos vemos, pues, casi C:ompletamente obligados a dar
la siguiente definición:
Una relación es un conjunto de pares ordenados.
Esta definición tiene ciertas ventajas. Solo usa términos elementales,
"conjunto" y "par ordenado" ; y discrimina completamente. No deja duda
alguna sobre si una cosa es una relación o no. Por otra parte, no parece
amoldarse a nuestra idea intuitiva sobre Jo que es una relaci6n. Probable·
mente la. razón para esto es que tenden1os a pensar en relaciones específicas;
relaciones que tienen nombres o que pueden describirse con facilidad. Como
ejemplo de esta dificultad, consideremos { (Tombuctú, Roma), (Roma,
Londres), (Tornbuctú, Londres) } . De acuerdo con nuestra definición, este
conjunto de pares ordenados es una relación. ¿Pero qué relaci6n es? ¿Cuál
es su nombre? Podría ser tiene una población más pequeña qtte, o está sÍ·
tuada al Sur de, o alguna otra cosa. Sin embargo, subsiste el hecho de que
la única cosa común a todas las relaciones es que todas ellas son conjuntos
de pares ordenados.
Una palabra más acerca de la terminología. En muchas situaciones im·
portantes, una relación dada asocia alguno;; elementos de cierto conjunto
con otros elementos del mismo con junto. ESte es el caso de todas las rela
ciones que enumeramos en la página 41. Di;eimos entonces que la relación
está definida sobre ese conjunto. En términos más técnicos, una rela.
ción está definida sobre un conjunto A si los dos componentes de cada uno
de los pares ordenados de la relación son elemento A. Algunas veces abre
viamos esa fr�seología y simplemente decirnos que una relación está sobre A.
Por ejcmploj la relación es un múltiplo de está definida sobre ], los enteros ;
da más leche que está definida sobre cualquier hato de ,·acas; y es el cua·
drado de está sobre R, el conjunto de Jos .números reales. Esto no quiere
decir que estas relaciones no puedan definirse sobre otros conjuntos. Por
ejemplo, es un múltiplo de está también définida sobre N, el conjunto de
los n!'1meros naturales.
RELACIONES
No todas. las relaciones están ddinidas sobre un solo conjunto. Por �;j(:m
plo, nació en el año -como ''Juan nació en d aiío 1958"- relaciona gentes
con enteros.• Más adelante consideraremos estas relaciones.
Gjemplo de 'elgdep&»
Quizá sea de ayuda para aclarar la idea de n•lación como conjunto
de pares ordenados que consideremos un ejemplo en el•que algunas rela
ciones pueden enunciarse explícitamente en forma total. Consideremos la
familia Pérez, que consiste en el matido, la esposa, dos hijos varones y una
hija. En la tabla III se dan algunos de sus datos fundamentales.
TABLA lii
LA I'AMILJA PÉRE:Z:
Nombre Edad Peso Est;.tura (años) (lg) {m)
El señor Pérez (papi) 42 7 7 1.87
La señora Pérez {mamá) 40 57 1.68
Tom&s J!) 6 1 1.80
Edmundo 1 7 66 1.63
Linda 15 43 1.53
Hay muchas relaciones definidas en la familia Pérc7.. Es hermano de
-hermano, no hermana- es una. De acuerdo con la secdón anterior, esta
relación, como conjunto de pares ordenados, es el conjunto de verdad de la
proposición abierta "X es lwrmano de Y", con la familia Pércz como con
junto de reemplazamiento para cada una de las \'ariablt�S. Es drdr, esta
rda<·ión sobre la familia Pércz es d conjunto { (X, Y) l X t•s hcnnano de
Y}. Este conjunto t'!r suficicntemE:'nic pequeño para que podamos enumerar
todos sus elementos, y cncontran¡os así que la relación es hermano de es
{(Tomás, EdmundoL (Edmundo, Tomás), (Tomás, Linda) ,
(Edmundo, Linda)}.
El lectm· puede convencerse de que cada uno de estos pares pertenece
al conjunto sustituyéndolos uno por uno en la proposición abierta. Debe
• El lector preparado podrá decir, con razón, que tal proposición está defi·
nida en el conjunto unión dd conjunto de gentes con el conjunto de enteros. [N.
del T.]
EJEMPlO DE RELACIONES AS
también asegurarse de que ningunos otros pares pertenecen al conjunto.
Por ejemplo, pruébese el par (Linda, Tomás} en la proposición abierta.
Antes ele dar más ejemplos de relaciones sobre la familia Pérez, y con
el fin de abre\'Íar lo que tengamos que decir, convengamos en represen
tar d nombre del señor Pérez por P (papá), el de la señora Pérez por lvf
(malllá), el de Tomás por T, el de Edmundo por E, y finalm�nte, el de
Linda por L. Entonces, la primera reladón definida sobre la familia Pé
rez es
C'S hermano de = { (T, E), (E, T), (T, L), (E, L) ).
Algunas otras rdaciones definidas sobre la familia Pércz son
es hijo de = { (T, P), (T, M) , (E, P) , (E, M), (L,P), (L, M) }.
nació antes de haber pasado tres años de haber nacido
= {(P,P), (P, M), (M, M) , (M,P}, (T,T), (T,E}, (E,E)
(E, T), (E, L) ,(L, L), (L, E) } .
Nótese aquí que, por ejemplo papá nació antes de haber pasado tres
años el<� haber nacido papá. Si, arbitraria!llente, convenimos en que una
persona es más grande que otra si y solo si es más alta y de mayor peso,
ambas cosas, que esta otra, entonces
es más grande que = {(P,M}, (P, T), (P,E), (P,L), (M, L) ,
(T, M), (T, L) , (E, L} }.
Pruebe el lector nombrar algunas otras relaciones específicas definidas
sobre la familia Pérez y t•numere después lo� pares ordenados del correspon
diente conjunto. Algunos de estos pueden ser bastante extensos. Por ejemplo,
es Jel mismo sexo qtte consta de 13 pares ordenados; contiene pares como
(P, P) y tanto {P, T) como (T, P).
GRUPO DE EJElCIC�OS 5
1. EnúncÍ<',llSc explícitamente, como conjuntos de pares ordenados, las si
guientes relaciones definidas sobre la familia Pérez de la sección prece
dente:
a) es la hermana de
b) es hermano o hermana de
e) es de más edad y más estatura que
46 RELACIONES
2. Encuéntrense al menos cuatro pares ordenados pertenecientes a cada
una de las relaciones que abajo se indican :
a) nació antes que, definida sobre el conjunto {Colón, Cieopatra, Eisen
hower, Napoleón}.
b) está situada al Este de, definida sobre el conjunto de todas las ciu
dades de Estados Unidos.
3. Encuéntrense dos frases que tengan dos significados diferentes, pero de
nominen la siguiente relación, definida sobre el conjunto {Esfinge, Par
tenón, Torre Eiffel}: (Esfinge, Partenón) , {Partenón, Torre Eiffel),
(Esfinge, Torre Eiffcl) .
GráHsgs de re¡adog¡¡
Hay dos fonnas estándar de representar las relaciones. Una, es por mi!·
dio de diagramas de flechas, procedimiento que discutiremos en la siguiente
sección; la otra, es por medio de gráficas.
Comencemos por considerat· las gráficas de relaciones numéricas, es
decir, de relaciones que están definidas sobre conjuntos de números. Vere
mos primero la relación es menor que ( <), definida sobre R, el conjunto
de los números reales. De acuerdo con nuestra definición, esta relación es
precisamente el conjunto de verdad de la proposición abierta x < y, con R
como conjunto de reemplazamiento, y a este conjunto de verdad ya lo
hemos representado gráficamente en la figura 13. El dibujo de la figura 13
es la gráfica de la relación es menor que definida sobre R. La gráfica en la
figura 17, como la de la figura 13, es desde luego incompleta.
y
• • • • • • •
• • • • • •
• • • • •
• • • • 1
X
• • •
• •
•
La relación es menor que, definida sobre /.
FIGURA 1 7
GRÁFICAS DE RELACIONES 47
Supóngase que consideramos ahora la misma relación es menor que,
pero esta vez definida sobre J, el conjunto de los enteros. (Véase la figura
17.) No es difícil ver que la gráfica consiste ahora en aquellos puntos de la
gráfica que aparecen en la figura 13, correspondientes a pares ordenados
cuyos dos componentes son enteros.
En este momento podemos hacer una pausa para recordar que el con
junto de verdad de toda proposici6n abierta en dos variables, es un conjunto
de pares ordenados y es, por tanto, una relación. La segunda sección de este
cuaderno ''Proposiciones abiertas en dos variables", nos proporciona, en
consecuencia muchos ejemplos de relaciones y sus gráficas. Algunas de éstas
son un poco difíciles de denominar verbalmente. Por ejemplo, discutimos la
proposición abierta "m + n :::; 2" con J, el conjunto de los enteros, como
conjunto de reemplazamiento. Si nos empeñamos, podemos construir una
frase que denomine a la relación correspondiente. Por ejemplo, la frase
da lugar a una suma que no es mayor que 2 cuando sumado a
Ensáyese poniendo un 3 delante de la frase y un -¡ detrás de ella. Esto
está muy lejos de frases tan sencillas como e� menor que o es la suma de,
pero describe la relación en cuestión. El punto importante, no obstante,
es que podamos pensar en un nombre adecuado para ella o no, {(m, n) 1
m e J, n e:. J, y m + n :::; 2} es una relación definida sobre J. La figura 11 ,
muestra su gráfica.
Vemos, pues, que nada nuevo tenemos que aprender para poder graficar
relaciones porque ya sabemos cómo graficar conjuntos de pares ordenados
de números. Daremos, sin embargo, un ejemplo más.
Hemos hecho frecuentes referencias a la relación es un múltiplo de,
definida sobre el conjunto J de los enteros. Observémosla en detalle y cons
truyamos su gráfica. Para fijar la idea de múltiplo en nuestras mentes,
preguntémonos cuáles son ]os múltiplos de 3. Cierto, 1 X 3, 2 X 3, y 3 X 3
son algunos de ellos. Pero también ]o son O X 3, -¡ X 3, -2 X 3, . . . . Ve
mos, pues, que todos los números . . . , -6, -s, O, 3, 6, 9, . . . son múltiplos
de 3 ; y, por tanto, los pares ordenados . . . (-6, 3 ) , (-3, 3) , (O, 3 ) , (3, 3 ) ,
(6, 3 ) , (9, 3 ) , • • . están en l a relaci6n es un múltiplo de. Análogamente, Jos
múltiplos de -3 son
. . . , -2 X -3, -1 X -3, 0 X -3, 1 X -3, 2 X -3,
y, consecuentemente, los pares ordenados
. . . ' (6, -3)' (3, -3)' (0, -3 ) ' (-3, -3)' (-6, -3)' . . .
están en la relación. Nótese que todos los pares ordenados en las dos listas
son diferentes. Si graficamos los pares orden�dos que hemos obtenido hasta
48 RELACIONES
el momento, tendremos dos renglones de puntos, uno a tres unidades sobre
la recta numérica horizontal, el otro a tres unidades por dehajo de ella.
Repitamos el procedimiento para los múltiplos de O, los múltiplos de l y -1,
de 2 y ·2, de 4 y de -4 (ya hemos graficado los múltiplos de 3 y -3), de
5 y -5, etc. Nótese que el único múltiplo de O es el propio O, porque el
producto de cualquier número por O es O. Los múltiplos de i son todos los
enteros, que también son los múltiplos de -I. Cuando hayamos grafkado
bastantes puntos, habremos obtenido la gráfica en forma de mariposa que
mostramos en la figura 18.
�
3
• 12 f9 ro � 3 6 ¡g 12
.3
"6
La relación el un múltiplo de, definida sobre ].
FIGURA 1 8
Podríamos haber abordado este problema de obtención de la gráfica de
es un múltiplo de, en forma diferente: para un entero dado, por ejemplo 6,
podríamos preguntar, ¿cuáles s.on los enteros del que es múltiplo? Como 6 es
igual a cualquiera de los productos 1 X 6, 2 X 3, 3 X 2, 6 X 1, -6 X -1,
-3 X -2, -2 X -3 y -1 X -6, pero no a ningún otro producto de enteros,
vemos que 6 es un múltiplo de, exactamente, 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -s. Por
tanto, Jos pares (6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1 ) , (6, -1), (6, -2) , (6, -3) y (6, -6)
GRÁFICAS DE RELACIONES NO NUM�RICAS 49
están en la relación, pero no está ningún otro par con 6 como primer com
ponente. Cuando graficamos estos pares ordt·nados, obtenemos toda la parte
de la gráfica que se encuentra directamente arriba y abajo dd punto de
la recta numérica horizontal ·que tiene 6 com() rótulo.
Insistimos en este momento ante el lector para que cicr·rc este cuaderno
y grafique es un múltiplo de, definida sobre ]� por sí mismo -el papel cua
driculado facilita la tarea. La construcción de esta grMira es un medio
excelente de llegar a entender realmente lo que son los múltiplos de los
enteros.
�réfkgs de relgdopes go gumé[jss¡i
¿Cómo -podemos graficar una relación que está definida sobre un con
junto de cosas que no son números sino, por ejemplo, personas o vacas?
Pongamos un ejemplo de técnica apropiada para estos casos.
L • • L
E • E
T • T
M M • • •
p p • • •
M T B L � M T B L
es hcnnano de e.!l hijo de
(a.) (b)
L • • L • • • •
E • • • E •
T • • T •
M • • M • •
p • • p
p M T E L p M T L
se lleva rnencu de tres años con es más grande que
(e} (d)
Gráficas de relaciones definidas soqre la familia Pérez.
FIGURA 1 9
50 RELACIONES
Recuérdese que en las páginas 44 y 45 considerábamos algunas relacio
nes definidas sobre la familia :Pérez. Los elementos de la familia y los sím
bolos que usamos para rcpres�ntarlos eran los siguientes: señor Pérez, P;
señora Pérez, M; sus hijos, Tomás, T, y Edmundo, E; su hija, Linda L.
Una de las relacionesque considerábamos, es hermano de, �s d conjunto
de pares ordenados
{ ( T, E), (E,1"), (T, L), (E, L) }.
Para graíicar esta relación, podemos tomar las rectas numéricas entre
cru7.adas que hemos usado, y sobre cada una de ellas usar los rótulos P,
M, T, E, y L en lugar de 1, 2, 3, 4 y 5. Entonces podemos graficar el
par ordenado (T, E) marcando un punto directamente sobre el punto ro
tulado con la T y en el mismo nivel que el punto rotulado con la E. Si
hacemos esto con todos los pares de la relación, obtenemos la gráfica que
se muestra en la figura 19(a).
Las partes ( b ) , (e) y (d) de la figura 19 muestran gráficas de las otras
relaciones definidas sobre la familia Pérez que anterionnente discutimos.
Para eliminar complicaciones �nnecesarias hemos mostrado sólo las partes
de las rectas numéricas que realmente necesitamos.
ittlíi)F@§ftQtgrjóp d& q¡:lgcjgge¡ medjqgte djqqmmq�
� fle&hgs
Un segundo método de representación de relaciones es de máxima uti
lidad para las relaciones que contienen un número de pares relativamente
pequeño. La idea es esta: supongamos que tenemos definida una relación
··�
z •
y • •
Y. o .. / •
" y
Diagrama de flechas Orifica
(a) (b)
La relaci6n {{x, y), (y, y), (y, z), (.�, x) }
FIGURA 20
RELACIONES CON DIAGRAMAS 01: FLECHAS
es hermano de
(a)
se lleva menos de tres años con
(e)
•
L
es hijn de
(b)
es mú grande que
(d)
Diagramas de flechas de las relaciones definidas sobre la familia Pére:t.
FIGURA 21
51
sobre un conjunto S. Marcamos en nuestro papel o en el pizarrón un con�
junto de puntos, uno por cada elemento de S, y los rotulamos con Jos
nombres de los elementos de S. Luego, para cada par (x, y) de la rela-ción,
trazamos una flecha que apunte desde el punto rotulado x hacia el punto
rotulado y. Es decir, si x está relacionado con y, dibujamos una flecha del
punto x al punto y. Cuando hemos acabado, tenemos el diagrama de flechas
que repreS'enta la relación.
Como ejemplo, en la figura 20 (a) hemos trazado el diagrama de flechas
para la relación { (x, y), (y, y), (y, z), (z, x)} definida sobre el conjunto
{ x, y, z}. No intentamos denominar esta relad6n ni encontrar ningún sig
nificado particular que la cuadre. Solo la estamos utilizando como ejem
plo. Para que se comparen, en la figura 20{b) mostramos la gráfica de la
52 RElACIONES
misma relación .. Nótese que la flecha en anillo que va de )' a )' es necesaria,
porque de algún modo debemos interpretar visualmente la información de
que )' está relacionada a sí misma; es decir, que ()', )') está. en la relación.
En la figura 21 damos más ejemplos de esta técnica, mostrando los dia
gramas de flechas de las mismas cuatro relaciones sobre la familia Pérez
que graficamos en la figura 19.
'
En las figuras 21(a) y (e), aparecen pares de flechas, Q . Tales pares
se reemplazan a menudo por flechas de doble cabeza, · ++ · . La figura 22
muestra en qué se transforma la figura 21 (e) cuando empleamos esta sus
titución. El empleo de ésta simplifica la apariencia del diagrama, pero
dificulta ver las relaciones particulares. Por ejemplo, para encontrar cuán
tas individuales hay -es decir; cuántos pares ordenados hay en la rela
ción-, debemos contar cabezas de flecha en lugar de flechas.
Q __ G)
G----:v
./ �
Diagrama con flechas de doble cabeza.
FIGURA 22
Al presentar a los niños el concepto de relación, el primero y más im
portante de Jos objetivos es el de hacer que capten la idea de conjunto de
pares ordenados. Quizá esto se consiga usando las gráficas de diagrama
de flechas. Como ejemplo del procedimiento, presentamos una discusión de
clase adaptada de una demostración dada por Georges Papy.1
¿Conocen cuáles son Jos nombres y apellidos de sus compañeros? Señalen a cual·
quiera de los otros muchachos, cuyo apellido comience con la misma letra que su
nombre.
1 .c¡pm� TcH"1 r Afgtka�eitr� Dir. Trevor J. Fletcher. Londres: Cambridge Univemty ress, l g ; pags. J • . Esta excelente colección de artículos, escrita
por miembros de la Associ4tion of Teach11r of Mathematic, presenta tanto hu rela·
clones como cierto número de otros temas en una forma muy interesante.
RELACIONES CON DIAGRAMAS DE FLECHAS 53
¿Cómo podríamos indicar esto en el pizarr6n? Necesitamos un plano de la clase.
¿No hay nadie que quiera pasar al pizarrón para hacer este plano del modo más
sencillo posible? ¿No quiere ahora decirme donde está su sitio en el plano? ¿Es
verdad lo que ha dicho? Ana, ¿no quiere pasar e indicarme d6nde está su sitio en
este plano? ¿Está bien?
Se tiene ahora un conjunto de puntos en el pizarrón que indican las posiciones
de !os alumnos. (Véase la figura 23.)
• • • • • • •
• • • •
• • • • • •
• • • • • •
La discusión en la clase.
FIGURA 23
Ahora, ¿quiere alguno de los que están señalando pasar y mostrar lo que están
haciendo en el pizarrón? ¿Son éstas las posiciones reales? ¿Cómo vamos a saber
que estaba. señalando precisamente a él? Tenemos que ser daros aobre cuál es la
dirección en que estábamos apuntando, Una fiecba es un buen procedimiento. (Se
dibuja la flecha.)
¿No hay nadie más que quiera pasar para mostramos a quién estaba apuntando?
¿Está bien lo que ha hecho? ¿Cómo lo sabe? Otro más, por favor. ¿No hay ninguno
de ustedes que pueda aeñalar a más de una persona? Si hay alguien, que pinte
lodat las flechas que sean necesarias. Muy bien; pase y enséñcnos lo que ha hecho.
Tenemos ya varias rectas en el dibujo y no queremos que nos confundan. Tengan,
pues, cuidado al trazar sus rectas. ¿Está ahora esa flecha pasando por donde debe?
Pase y dibújela bien.
Esta situación puede prolongarse todo lo que parezca necesario. Puede tenerae
una discusión interesante si a alguien se le ocurre señalarse a ai mismo. Si la clase
no nos proporciona un ejemplo adecuado, el maestro puede fabricar un nuevo dis
cípulo, por ejemplo, Cantinflas o Brigiue Bardot, que sirva a nuestros propósitos.
¿Cómo aparecerá. en la gráfica esta clase de aeña1amiento? U na forma bastante
natural de hacer esto es la de dibujar una especie de anillito que una el punto
consigo mismo: ¿Necesitaremos poner una cabeza de flecha en este anillito? Quizá
haya otras ideas, o gérmenes de ideas más importantes, por ejemplo, cuando dos
individuos están apuntándose uno a otro. ¿Por qué sucede esto? Supongamos que
George Grant y Grace Garvie están en la clase, ¿cómo estarán traza.das las flechas?
Cuando este proyecto está terminado, lo que nos mostrará la figura 23'
será, desde luego, el diagrama de flechas p;¡lra la relaci6n
tiene un nombre cuya inicial es igual a la inicial del apellido de
54 RELACIONES
Como d nombre de esta relación particular es tan falto de gracia, no
·pan· e�· atonsejabk insistir en él; quizá lo mejor será que ni se mencione
en la clase.
GRUPO DE EJERCICIOS 6
l. Tr:ín·usc: a) la gráfica, y b) d diagrama de flechas, de lli relación
\ ( J.,, E), (L, T), (L,M), (L, P) , (E, T), (E, M),
(E, P ) , (1', P ) , (M, P ) } .
En realidad esta relación es la es más jovm y más bajo (o baja) que.,
definida sobre la familia Pénr.t de .la página 44.
2. Dibújese lo suficiente de la rdación es nta,·or que, definida sobre el
conjunto N de los números naturales, para que se nos haga evidente
cuál es su pauta.
Convención
Tuvimos bastantes dificultades para llegar a nuestra definición de rela
ción como conjunto de pares ordenados. Ahora que ya la hemos establecido
veremos cómo nos lleva a algunas situaciones bastante extrañás.
Consideremos por un momento la relación es ml"nor que. Esta relación
�s tan importante que para representarla tenemos un símbolo especial, d
símbolo "<". Ahora bien, de acuerdo con nuestra definición esta relación
es el con junto { ("'y) J x < y}. Nos vemos, puesj forzados a aceptar que
< = {(x, ,•) l x < y}
y a que
es menor que = { (x, y) 1 x < y}
son proposiciones correctas. Quizá aún más extraño es el hecho de que
como 2 < 5, son correctas lasproposiciones siguientes:
(2,5) s. <
y
(2, 5) e es rn.t•twr que
Aunque quizá sean correctasj la verdad t.'.S que tienen un aspecto e-:o:
traño y, por ello, preferiremos evitarlas. Ciertamente, preferiremos escribir
2 < 5 que ( 2, 5) e < .
¿Podemos siempre hacer cosas análogas? No hay ningún inconveniente
si la relación puede describirse mediante una simple frase o un símbolo con·
CONVENCIÓN 55
vencional. Siempre podríamos escribir "Tomás es hijo del señor Pérez"
en lugar de (Tomás, señor Pérez) e es hijo de, en particular si nos interesa
que nuestros hermanos, los hombres .. nos entiendan.
Pero a veces trabajamos con relaciones para las que no existen símbolos
convencionales y que pueden ser muy difíciles de describir con palabras.
Debemos entonces inventar por nuestra cuenta un símbolo como nombre de
la relación. Supongamos que nos encontramos en esta situación: decidimos
nombrar a nuestra relación R. ¿ Qué es lo que sabemos sobre R? Que es un
conjunto de pares ordenados. Ahora bien, si el par ordenado (a, b) está en
este conjunto, podemos escribir (a, b) e R. Esto es lo correspondiente a
escribir ( 2, 5) e < . Pero como ( 2, 5) e < se escribe habitualmente 2 < 5,
decidimos hacer el cambio correspondiente en nuestro caso y escribir aRb.
En otras palabras, adoptaremos el siguiente convenio:
Sea R una relación.. Entonces aRb significa lo mismo que ( a,b) e R.
Pongamos un ejemplo de este convenio con la relación es u� múltiplo de.
Ahora bien, esta relación ya tiene una simple frase que la describe. Sin
embargo, podemos decidir abreviarla aún más y llamarla M, por ejemplo.
Si así lo hacemos, entonces
M = { (0, t::.) 1 O es un múltiplo de t::. } .
D e acuerdo con lo convenido, " ( 18, 3) t M" y "18M3" significan exac
tamente Jo mismo, a saber, que 18 es un múltiplo de 3.
GRUPO Oti EJERCICIOS 7
l. Sea R el nombre de la relación { (x, y), (y, z), (y, y), (z, z) }.
a) ¿Es zRy una proposición verdadera?
b) ¿Es yRz una proposición verdadera?
e) Formúlese una lista de todas !as proposiciones verdaderas.
2. Supongamos que de la proposición R sabemos que solamente las si
guientes proposiciones son verdaderas : xRy, xRz, zRy, yRz y zRz. Escrí
base entQnces la relación R como conjunto de pares ordenados.
���&QQNES DE E9U!VAlENCI�
Algunas relaciones tienen características especiales, o propiedades, que
las hacen particularmente útiles tanto en matemáticas como en otras <fisci-
56 RElACIONES OE EQUIVALENCIA
plin:1s. Algunas el�: c·stas clases generales de relaciones son tan importantes
que tienen n()Jnbn·s particulares. Tres de estas clases son )as llamadas rela
ciones de <'quivnlt�ncia, las relacjones de orden y las funciones.
El lector probablemente ha :oído la palabra "íuncí6n" usaqa casi en su
sentido matcmútiw en c.xprcsioncs tan habituales como "su :.impuesto es
función de sus ingl'csos'' y "la i�comodidad que se siente es funci6n no solo
dd calor sino también de la humedad". Ya que las funciones son útiles
en matemáticas, mús adelante dtdicaremos varias secciones a su estudio.
Ya hemos usndo nosotros relaciones de orden tales como < y s; en sec
ciones precedentes. Podríamos 01nalizar y generalizar el concepto de orden
como relaci6n, pero la falta de espacio nos impide hacerlo en este cuaderno.
En )as siguientes secciones estudiaremos las relaciones de eqllivalencia
-y ciertas otros importantes prop�edades de las relaciones.
l;�efjqkjég de re'n&íemw de egyjyg!.pd9
Casi todo el mundo tiene i�eas preconcebidas sobre las equivalencias.
Por ejemplo, tenemos la idea de que las fracciones 2/6 y 3/9 ron equiva
lentes. ¿Por qué? Porque denominan al mismo número. Podíamos sentimos
inclinados a conn·nir, desde ahora, en que la relación denomina al mismo
n1ímero que, definida sobre el conjunto de las fracciones, es una "relación
de equi\·alcncia".2 Por otra parte, lo más probable es que sintamos que la
relación es 'me110r que, no es ul).a relación de equivalencia. ¿Por qué no?
Por una razón, ttncmos la idea de que la equivalencia implica cierta clase
(le reciprocidad, y es menor que no tiene esta característica. Por ejemplo,
2 está relacionado a 5 porque es menor que, pero 5 no está relacionado a 2
de ese modo.
Nuestro objetivo es el de decjdir cuáles son las características o propie
Qades que una relación debe tener antes de que estemos dispuestos a llamarla
·�relación de equivalencia". Comenzaremos este proyecto observar.do una re
lación no matemática, relación que, no obstante, resultará ser una relación
de equivalencia.
Consideremos la escuda elemental de Pradoumbroso en un determinado
momento. Los varios cientos de personas de la escuela: profesores, alumnos,
director, etc., están, todos, trab�jando contentos y felices en los distint:>s
salones. Ahora la frase en el mismo sal6n -o habitación- denomina
una relación específica definida sobre el conjunto de personas que están
en la escuela. Vemos que esta relación tiene las siguientes tres sencillas
propiedades:
2 La idea de relación de equivalencia se discutió ampliamente en el cuaderno
1 o : El sistema d6' los nvm•ros tocionale'S,
DEFINICIÓN DE RELACIONES DÉ EQUIVAlENCIA 57
l. Toda persona está en la misma habitación en que está ella misma.
2. Si una persona está en la misma habitación que una segunda, en
tonces la segunda está en la misma :habitación que la primera.
3. Si una persona está en la misma habitación que una segunda, y esta
segunda está en la misma habitación que una tercera, entonces la
primera persona está en la misma habitación que la tercera.
Estas tres afirmaciones son tan obvias que casi parece tonto hacerlas
notar. Parece, sin embargo, que cualquier relación que deseemos llamar:
relación de equivalencia debería tener propiedades análogas a estas, y no
podemos pensar en ninguna otra propiedad que tuviera que exigirse a cual
quiera relación de tal tipo.
Para estudiar la estructura de estas tres propiedades e, incidentalmente,
abreviar nuestras proposiciones, usemos algunos símbolos. Usaremos símbolos
para ocupar el puesto de los elementos del conjunto sobre el que la relación
está definida; es decir, para las personas que están en la escuela. Usaremos
también la letra R como nombre de la mil!ma relación; es decir, R signi
ficará está en la misma luJbitación que. La proposición simbólica xRy, es,
por tanto, una abreviatura de la proposición "la persona x está en la misma
habitación que la persona y". Las tres propiedades de la relación está en lo
misma habitación que, que antes enunciamos (las tres propiedades de la re.
ladón R) pueden ahora escribirse en forma muy concisa como sigue:
l . Para todo x, tenemos xRx.
2. Si xRy, entonces ,..Rx.
3. Sí xRy y yRz, entonces xR.z.
El lector debe convencerse por si mismo que estas tres propOSlciones
simbólicas significan lo mismo que las primeras tres proposiciones de la
página siguiente. Procúrese·leerlas �n voz alta, diciendo "la persona x" en
lugar de "x", y "está en la misma habitación que" en lugar de "R".
Las tres proposiciones simbólicas podrían ser proposiciones -no necesa
riamente verdaderas- acerca de cualquier relación, no precisamente la que
hemos estado considerando. Consideremos1 pues, una relación R cualquiera,
definida sobre un conjunto S. Recuérdese que R es un conjunto de pares
ordenados de elementos de S. Recuérdese también que, según lo que con·
vinimos, consideramos (x,y) e R y xRy como significando exactamente lo
mismo. Establos ahora en posibilidad de epunciar la definición básica de
relaéión de equivalencia.
Una relación R, definida sobre un conjunto S es una relación
de equivalencia si y solo si tiene las siguientes propiedades;
58 RELACIONES DE EQUIVALENCIA
l. Para todo x en S, tenemos xRx.
2. Si xRy, entonces yRx.
3. Si xRy y yRz, entonces xRz.
Admitimos que estas condiciones son rígidas, quizá hasta aterradoras,
en su abstracción y brevedad. Pero el lector encontrará que no son tan
malas si lee de unmodo un poco más "pegado al suelo", sea 'en voz alta,
sea para sí mismo. Una forma de leer "xRy", por ejemplo, es decir o pen
sar, «x está relacionado según R a y", o simplemente, "x está relacionado
a y". En este último caso debe tenerse presente que por "relacionado"
entendemos "relacionado según Ia relación R". Si usamos este procedi
miento, las propiedades que aparecen en la definición se leerían como sigue:
l . Para todo x en S, x está: relacionado a x, es decir, todo elemento
de S está relacionado a sí mismo.
2. Si x está relacionado a y, entonces y está relacionado a x; es decir,
si un elemento de S está reJacionado a un segundo, entonces el se
gundo está relacionado al primero.
3. Si x está relacionado a y y y está relacionado a z, entonces x está
relacionado a z, es decir, si un elemento de S está relacionado a un
segundo, y ese segundo elemento está 1·elacionado a un tercero, en
tonces el primero está relacionado al tercero.
En vista de la definición arriba dada y de nuestra discusión previa,
vemos que la relación está en la misma habitación que, definida sobre el
conjunto de personas que están en la escuela, es un ejemplo de una relación
de equivalencia. Dentro de poco daremos más ejemplos de relaciones de
equivalencia.
e¡gpjedgde§ de lqs relgFigpe;
Discutamos primero, no obstante, por separado las tres propiedades
que aparecen en la definición de relación de equivalencia. Cada una de
ellas aparece con tanta frecuencia en matemáticas que ha recibido un nom
bre. A la propiedad 1 se le Hama reflexividad; y si una relación R sobre
un conjunto S es tal que cada cosa en S esté relacionada según R consigo
misma, entonces se dice que R es una relación reflexiva. La propiedad 2
se llama simetría, y cualquier rciación que tiene esta propiedad es una re
ración simétrica. A la propiedad 3 se le llama transitiuidad, y cualquier
relación que tiene esta propiedad se llama relación transitiva. Se ha dicho
que los matemáticos dan nombres fáciles a ideas difíciles; en este caso Jo que
es verdad es exactamente lo contrario.
PROPIEDADES DE lAS RELACIONES 59
Determinada relación puede satisfacer a! todas, a alguna o algunas, o a
ninguna de las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad. Sola
mente si satisface a las tres decimos que la relación es una relación de
cqui valencia.
La rdación <, es menor que, definida s.obre el conjunto de los enteros,
no es reflexiva, ya que no es cierto, por ejemplo, que 3 < 3. El símbolo
"<" está, ahora, clcsempeñanClo ·el papel de R. Ni es simétrica, porque
tenemos 2 < 5, pero no 5 < 2. La relación < es transitiva, sin embargo_,
ya que si x < y y y < z� entonces x < z. Pero como no satisface todas las
condiciones requeridas, < no es una relación de equivalencia.
La relación �' es igual o menor que, es reflexiva, ya que x � x para
todo .t. Es también transitiva. Pero no es simétrica. (¿ Por qué no? Bueno,
porque 2 � 5, pero . . . . ) Por tanto, � no es una relación de equivalencia.
La relación se lleva menos de tres años con, definida sobre la familia
Pérez (véase la página 4-5), resulta reflexiva y simétrica. El lector debería
comprobar esto. Pero no es transitiva, porque aunque Linda se lleva me
nos de tres añqs c.on Edmundo, y Edmundo se lleva menos de tres años con
Tomás, Linda no se lleva menos de tres años con Tomás. Por tanto, se lleva
menos de tres años con no es una relación de equivalencia.
Consideremos ahora la relación R = { (a, a), (e, e), (a, e) , (e, a) ) , defi
nida sobre el conjunto S = {a, b, e}. Pod�mos verificar que esta relación
es simétrica y transitiva por una comprobación exhaustiva de todos los casos.
Por ejemplo, como (a, e) y ( e, a) están en R, tenemos aRe y eRa. ¿Tenemos
también el aRa que se requeriría para la tra.nsitividad ? Sí, puesto que (a, a)
está en R. Pero la relación R no es una rt;:lación reflexiva, puesto que no
contiene a ( b, b ) . Tenemos pues, que aunque b e S, no se tiene bRb.
En los últimos tres párrafos hemos dado ejemplos de relaciones que
tienen dos de las tres propiedades de reflexividad, simetría y transitividad,
pero no la tercera. Veamos ahora una relación que tiene las tres propie
dades.
Decimos que dos números naturales tienen la misma paridad si ambos
son pares o ambos son ímpares. Por ejemplo, 6 tiene la misma paridad que
14 porque ambos son pares, y 7 tiene la misma paridad que 3 porque ambos
son impares. Pero 5 no tiene la misma paridad que 8. Ahora bien, tiene
la misma p�ridad que denomina una relación definida sobre el conjunto·
de los números naturales. El lector puede .comprobar que esta relación es
reflexiva, simétrica y transitiva; tiene la tnisma paridad que, por tanto,
t:S una relación de equivalencia.
Algunas veces nos encontramos trabajando con alguna relación de equi
valencia determinada, R, durante mucho tiempo. Si no hemos establecido
un nombre o una frase corta para la rela<;ión, a menudo usamos la frase
60 RELACIONES D.E EQUIVAlENCIA
intuitivamente atrayente "x es equivalente a y" paia describir la situación
xRy, es decir, (x, y) & R. Usam�s tal frase solamente cuando la relaci6n de
que tratamos es una relaci6n d,e equivalencia. Por otra parte, como "x es
equivalente a y" no hace referencia alguna a una relaci6n en particular,
debe entenderse claramente cuál es la relaci6n no mencionada.
La frase "equivalente a" se usa también ocasionalmente en un sentido
genérico, como sigue. Uno de los axiomas de Euclides nos dice que "cosas
,que son iguales a la misma cosa son iguales una a la otra". Para expresar
la idea de que las relaciones de equivalencia son como la igualdad a este
respecto, podríamos decir que '¡cosas que son equivalentes a la misma cosa
son equivalentes una a la otra". El significado preciso de esta proposici6n
se expresa en el siguiente teorema.
Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto S, y
sean x, y y r. elementos de S. Si xRz y yRz, entonces xRy.
La primera parte de este teorema prepara el escenario, por así decirlo,
mientras que, la segunda, describe en términos exactos aquella propiedad
de las relaciones de equivalencia de la que nos estamos ocupando. La si
tuación puede parecer un poco confusa, porque lo que tenemos que probar
se parece mucho a la propiedad transitiva y ya sabemos que la relación R es
transitiva. Pero al mirar las cosas más de cerca, sin embargo, vemos que
hay una diferencia. N6tese que ia prueba del teorema, que ahora daremos,
usa dos de las propiedades de las tres propiedades que ha de tener una
relación de equivalencia: como' R es una relación simétrica y se nos dice
que yRz, tenemos también zRy. Tenemos ahora xRr. (dado) . y zRy, y como
R es transitiva, tendremos, por tanto, xRy.
GRUPO DE EJEIICICIO$ 8
l. La condición de que una relación R sobre un conjunto S sea reflexiva
puede expresarse en términos de pares ordenados como sigue: para todo
x&S, tenemos ( x, x) & R. Exprésense las condiciones de simetría y tran
sitividad en términos de pares ordenados.
2. Detenn[nense cuáles de )as siguientes relaciones sobre el conjunto
{x, y, r.} es una relación de equivalencia y cuál no Jo es:
a) { (X, X) , (y, )') , ( z, Z), ( x, Z), ( z, X) }
b) {(x, x), (y, y) , (z, z), (x,z) , (z, x) , (x, y), (y, x } }
3. ¿Es la relación no es igual a, definida sobre el conjunto J de los enteros,
reflexiva, simétrica, transitiva?
EJEMPlOS DE RELACIONES DE EQUIVALENCIA 61
4. ¿Es la relaci6n "es hermano o hermana de'' una relaci6n de equiva
lencia?
5. ¿Es la relaci6n tiene el mismo padre que, una relaci6n de equivalencia?
Ejemplos de relaciones de esujyglegsjg
Hemos visto ya dos ejemplos de relaciones de equivalencia: está en la
misma habitación que, pág. 58, y tiene la misma paridad que, pág. 59.
Enumeramos unos cuantos ejemplos más, con los conjuntos sobre los que
las relaciones están definidas.
Relaci6n
es un ciudadano del mismo pa[s que
tiene el mismo número de patas que
tiene el mismo número deletras que
tiene la misma letra inicial que
es paralela a
es congruente �
Conjunto
peraonas del mundo
animale$ (mamlferos, pájaros, �ces)
palabras de la lengua castellana.
palabras de la lengua castellana
líneas rectas
triángulos
Es muy sencillo verificar que cada una de estas relaciones es reflexiva,
simétrica y transitiva y es, por tanto, una relaci6n de equivalencia.
Muchas relaciones de equivalencia aparecen en matemáticas y a las más
importantes de entre ellas se les han dado nombres como "es isomorfo a" y
''es homeomorfo a". Desgraciadamente, una explicación completa de estos
términos sería tan técnica que caería fuera de los límites de este cuaderno.
Dedicaremos el resto de esta sección al estudio de una relación de equiva
lencia matemática más sencilla.
En este ejemplo usaremos ,.._, en lugar de R para denominar a nuestra
relación, porque queremos reservar R para t,m uso posterior.
Definamos una relación ,.._, sobre el conjunto J de los enteros descri
biendo exactamente el momento en que un entero está relacionado a un
segundo entero, como sigue:
m ,._, n si y solo si m - n es un múltiplo de 3.
Una forma completamente equivalente de decir esto es
(m, n) e ,..., si y solo si m - n es un múltiplo de 3.
Podemos leer m-n como "m está relacionado según ,.., a n» o, como solo
estaremos tratando de la relación ,...- en este ejemplo, simplemente como
"m está relacionado a n". No estaría justificado que dijésemos "m es equi
valente a n" porque aún no sabemos que - sea una equivalencia. La
definición de nuestra relación dice, entonces, en palabras que un entero está
62 RELACIONES DE EQUIVALENCIA
relacionado a un segundo entero si el primer entero menos el segundo es un
múltiplo de 3 ; es decir, si esta diferencia es uno de los n(uneros . . . , ·9, -6,
·3, O, 3, 6, 9, . . . . Recuérdese nuestra discusión de múltiplos de 3 en las
·páginas 45 y 4 7.
Vemos, pues, que 1 1 �-' 5 porque 1 1 - 5 = rr_. y 6 es un múltiplo de 3.
También 5 ,.w -4 porque 5 - -4 = 9, que es un múltiplo de ·s; y 5 ,..._ 1 1
porque 5 - 1 1 = -6, que es un múltiplo de 3. Pero no es cierto que
2 - 7, porque 2 - 7 = �s, que no es un múltiplo de 3. Obsérvese que 4 ,_ 4
porque 4 - 4 = O, que es un múltiplo de 3. ¿Sugiere esta obseJVación al
guna afirmación de tipo general? Obtendremos más pares de la relaci6n
,.w y dibujaremos su gráfica más adelante.
¿Es ,....., una relación de equivalencia? Es fácil probar que ,....., es refle
xiva: sea x un elemento cualquiera de J, es decir, un entero cualquiera.
Sabemos que x - x = O y que O es un múltiplo de 3, porque O X 3 = O.
Por tanto, de acuerdo con la definición ,....-, tanto m como n reemplazados
por x, vemos que x .-- x; es decir, para todo xe.J, tenemos x .-x.
Las pruebas de que ,.w es simétrica y transitiva requieren más álgebra;
específicamente, necesitamos lo� hechos de que -( x - y) = y - x y de que
(x - y) + (y - z) = x - z, y por eso las omitiremos. La consideración de
algunos casos numéricos, sin embargo, puede ser bastante ilustrativa. Res
pecto a la simetría (si x --'·y, entonces y .-- x), notamos que tenemos 'la
proposición verdadera 1 1 ,....- 5 y que también tenemos 5 .-- 11 ; tenemos 6 ,.....,
21, y también 21 ,... 6,; tenemos 5 ,_ -4, y también -4 ,-5. Algunas de estas
proposiciones se verificaron dos párrafos antes. El lector debe comprobar
las otras, usando la definici6n de ,...,, A propósito de la ti:'ansitividad (si
x ,- y y y �-' z, entonces x ,_ z) , vemos que tenemos las proposiciones ver.
dad eras 1 1 �-' 5 y 5 ,..., -4, y vemos también que 1 1 ,_ -4; que tenemos
6 ,....., 21 y 21 .-- -3, y también 6 ,_, -3.
Una vez que estamos convencidos de que �-' es una relación de equiva
lencia, estamos justificados en usar ''m es equivalente a n" en lugar de
m ,_ n, si lo deseamos. Procedamos sistemáticamente para encontrar qué
enteros son equivalentes entre sí.
¿Cuáles son los enteros equivalentes a O? De acuerdo con la definición
de nuestra relación, un entero m es equivalente a O (es decir, m .-- O) si
y solo si m - O es un múltiplo de 3. Como m - O = m, esto nos dice qu'!
los enteros equivalentes a O son precisamente los múltiplos de 3, es decir, Jos
enteros del conjunto
A. = { . . . , -9, -6, -3, o_, s, 6, 9, . . . } .
Ahora bien, de acuerdo con el teorema de la página 60 vemos que cuales
quiera dos enteros que son equivalentes a O son equivalentes entre sí. Por
CLASES DE EQUIVAlENCIA 63.
ejemplo, como -9 ,..._ O y 6 ,....., O, tenemos -9 ,....., 6. Vemos que cualesquiera
dos enteros del conjunto A .son equivalentes entre sí.
¿Qué enteros son equivalentes a 1 ? Sabemos que el que m sea equiva
lente a 1, es decir, que el que m ,....., 1, significa que m - 1 es un múltiplo
de 3. }lor tanto, m mismo debe ser precisamente uno más que un múltiplo de
3. Como el conjunto A contiene a todos los múltiplos de 3, vemos que si
sumamos 1 a cualquier entero de ese conjunto obtenemos un entero que
es equivalente a l . Por tanto, cada elemento del conjunto
B = { . . . , -s, -s, -2, 1, 4, 1, 10, . . . }
es equivalente a l . Exactamente lo mismo que antes, una aplicaci6n del
teorema de Ja página 60 muestra que cada dos enteros del conjunto B son
equivalentes entre sí.
El mismo razonamiento nos dice que dos enteros cualesquiera del con
junto
e = { . . . , -7, -4, -1, 2, s, s, 11 , . . . }
son equivalentes entre sí.
Conocemos ahora un gran número de pares ordenados de la relación ,.....,,
Es decir, si m y n son dos enteros cualesquiera escogidos de uno mismo de
los conjuntos A, B o e, entonces m ,....., n, es decir, (m, n) S """'· Puede pro
barse que no hay pares ordenados en ,...., aparte de los que obtengamos de
esta fonna. En otras palabras, ningún entero de cualquiera de los conjuntos
A, B y C es equivalente a un entero de cualquier otro de los otros dos.
conjuntos.
Estamos ahora en posición de graficar la relación ,....., . V e amos, por
ejemplo, cuáles son los puntos de la gráfica que se encuentran arriba y abajo
del punto rotulado con 5 de la recta numérica horizontal. Hemos visto que
todos Jos enteros con los que 5 es equivalente están contenidos en el con.
junto e, y por tanto los puntos que buscamos son los correspondientes a
. . . , (S,-7), (5,-4), (5, -1 ) , (5, 2 ) , (5, 5 ) , (5, 8), . . . .
Después de localiT.ar estos y varias otras columnas de puntos, digamos, por
ejemplo, las de los puntos arriba y abajo de los puntos rotulados con 6 y 7
sobre la recta numérica horizontal, vemos desarrollarse un plan general en
su distribución y podemos con gran facilidad encontrar el cuadro que apa
rece en la figura 24.
Clases de esuivalepdg
Cuando estábamos estudiando la relación de equivalencia ,..., sobre J
en el ejemplo precedente -recuérdese que um ,..., n" quiere decir "m - n
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
n
• • • 9 • • •
• • • 8 • • •
• • • 7 • • •
• • • 6 • • •
• • • 5 • • •
• • • 4 • • •
• • • • • •
• • • 2 • • •
• • • • • •
• . o -� • o ·g ·a '7 '5 '4 '"3 "2 "1 o 2 3 4 5 6 7 8 9 m
• • • "1 • • •
• • • '2 • • •
• • • "3 • • •
• • • "4 • • •
• • • ·s • • •
• • • ·e • • •
• • • '7 • • •
• • • ·a • • •
• • • -g • • •
Grifica de la relaci6n -.
FIGURA 24
es un múltiplo de 3"-, encontramos conveniente introducir los subconjuntos
A# B y C de J, en donde
A :::: { • • • , -9, -6, -3, O, 3, 6, • • • },
B = { . . . , -8, -5, -2, 1 , 4, 7, . . . },
e = { . . . , -7, '"4, -1, 2, s, a, . . . }.
Vimos que los conjuntos A, B y C tienen la siguiente propiedad.
1 . Cada elemento de cualquiera de los conjuntos A, B o C es equiva-
lente a cualquier entero de ese conjunto, pero no es equivalente
a ningún otro elemento de J.
CLASES OE EQUIVALEJ'.!CIA 65
Podemos también ver sin gran dificultad que:
2. Todo elemento de 1 puede estar en solamente uno de los conjuntos
A, B o C .
.Asi: pues, la relación de equivalencia ...., parece descomponer o partir,
al conjunto 1 en conjuntosque tienen las propiedades 1 y 2.
Resulta que toda relación de equivalencia parte al conjunto sobre d
que está definida, en subconjuntos que tienen propiedades análogas a la
1 y 2.
Como otro ejemplo de este fenómeno de partición, consideremos la re
lación de equivalencia tiene la misma pari4ad que, definida sobre el con
junto N de los números naturales (véase la página 60) . Consideremos los
dos conjuntos
H = {1, 3, 5, . . . } y K = {2, 4, 6, . . . }
de N, qu!! consisten, respectivamente, de :Jos números naturales impares
y de los números naturales pares. Vemos que estos subconjuntos de N tie
nen las siguientes propiedades:
la. Cada elemento de cualquiera de los dós conjuntos H y K es equi
valente a � decir, tiene la misma paridad que- cualquier número
natural de ese conjunto, pero no es equivalente a ningún otro ele
mento de N.
2a. Todo elemento de N está exactamente en uno de los conjuntos
H o K.
Estas propiedades son las análogas de las propiedades 1 y 2, de modo
que tenemos otra vez esta partición "natural" de un conjunto por una re
lación de equivalencia definida sobre él.
Como un ejemplo más, consideremos la �lación de equivalencia tiene la
misma letra inicial que, definida sobre el conjunto de todas las palabras de
la lengua castellana. Esta relación parte al conjunto sobre el que está defini
da en ventiocho subconjuntos :
{abacial, abreviar, alcachofa, . . . },
{bicicleta, bollo, bromuro, . . . } ,
(zángano, zumbido, zutano, . . . ).
Un diccionario no abreviado nos da ul\a lista casi completa de los ele
mentos de estos veintiocho conjuntos.
66 RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Hemos dicho que cualquier relación de equivalencia parte el conjunto
sobre el que está definida en sub.conjuntos que tienen propiedades análogas
á las 1 r 2. Resulta. conveniente tener un nombre para estos subconjuntos.
Damos por ello la siguiente definición:
Sea R una relación de equivalencia, definida sobre un conj\}nto S; sea
u un elemento cualquiera de S:
La clase de equivalencia de u es el conjunto de todos los ele
mentos da S que son R-equivalentes a u.
La palabra "clase" se usa aguí como sinónima de la palabra "conjunto".
Podríamos haber usado propiamente la frase "conjunto de equivalencia",
pero �'clase de equivalencia" h a llegado a ser una expresión tradicional. Si
usamos la notación constructiva, vemos que la definición arriba dada ex
presa el hecho de que la clase de equivalencia de un elemento u de S es
{x ! xeS y xRu}, o en forma más sencilla, {x 1 xRu}.
. Nos indujo a hacer esta definición lo que pasó en el caso de la relación
de equivalencia ,..., sobre 1. ¿Cómo es que surgieron al principio los con
juntos A, B y C? Recordemos que A se definió como el conjunto de todos
los enteros que son equivalentes según ,..., a O; es decir, A = {m 1 m e. J y
m ,..., O), o simplemente, A :::: {m 1 m ,.._ 0}. Vemos, por tanto, que si hace
f!lOS que ,.._ desempeñe el papel de R, que 1 desempeñe el papel de S, y
que O desempeñe el papel de u, el conjunto A es precisamente la clase de
e<Juivalcncia de O. Análogamente, como B es el conjunto de todos los enteros
que son equivalentes según ,._, a. 1, B es la clase de equival<¡ncia de l . Y
como e = (m 1 m - 2}, el conjunto e es la clase de equivalencia de 2.
¿Cuáles son las clases de equivalencia de los otros elementos de J? To
memos como ejemplo a ·s. Vemos que -5 está en B. Ahora bien, las pro
piedades 1 y 2 (pág. 65) nos dicen que cada uno de los elementos de B es
equivalente según ,..., a ·5, y que ningún otro elemento de J lo cs. Es decir,
B es el conjunto de todos los elementos de 1 que son equivalentes según
,._, a -5 y, por tanto, B es la clase de equivalencia de -S. Vemos por esto
q,uc es perfectamente posible que dos elell).entos distintos de J tengan un
mismo conjunto como su clase de equivalencia. No es difícil ver que si dos
eiementos de J son mutuamente equivalentes, entonces sus clases de equi
valencia .son iguales. Así pues, )a clase de equivalencia de cada uno de los
enteros . . . , -6, -3, O, 3, 6, . . . es el conjunto A, y C es la clase de equiva
lencia de cada uno de los enteros -7, -4, ·t, 2, 5, . . . . Concluimos que
aunque cada elemento de 1 tiene una clase de equivalencia, hay solamente
tres clases de equivalencia distintas, a saber, A, B y C.
Votvamos ahor-a a la relación de equivalencia tiene la misma paridad que,
definida sobre el conjunto N de los números naturales. Podemos ver que el
IDENTIFICACIÓN 67
conjunto H = { 1, 3, 5, . . . } es la clase de equivalencia de cualquir.ra
de los números naturales impares. Y que K = {2, 4, 6, . . . } es la clase de
equivalencia de cualquiera de los números naturales pares. En este ej<'mplo
tenemos solamente dos clases de equivalencia distintas.
En el caso de la relación de equivalencia tiene la misma letra ·inicial que,
definida sobre el conjunto de todas las palabras de la lengua castellana�
hay veintiocho clases de equivalencia distintas. Estos veintiocho conjuntos
de palabras son, desde luego, los que mencionábamos en la página 65.
Después de haber considerado los anteriores ejemplos, tenemos ya bas
tante confianza en que lo que sigue es probable que sea verdadero.
Sea R una relación de equivalencia cualquiera, definida sobre un con
junto S.
Ib. Todo elemento de una clase de equivakncia dada es equivakntc
a cualquiera de los elementos de esa clase, pero a ningún ott·o ele·
mento de S.
2b. Todo elemento de S está en, exactamente, una clase d<� equiva
lencia . .
Estas dos propiedades son las análogas en el caso general de las propie
dades 1 y 2 de las páginas 64 y 65. Hemos usado simplemente la termino
logía de las clases de equivalencia en su enunciado. Las propiedades 1 b y
2b son, ciertamente, verdaderas para cualquier relación de equivalencia. Sus
demostraciones, aunque nada difíciles, son algo abstractas y no las daremos
aquí.
El hecho de que cualquier relación de equivalencia parta el conjunto
sobre el que está definida cn clases de equivalencia la usaremos más ade·
lante.
ldegtjfjcgdép
Muchas veces en matemáticas estimamos conveniente considerar todas
las cosas que se encuentran en cada clase de equivalencia como si fueran
iguales. Decimos entonces que identificamos -es decir, consideramos como
idénticas-- las cosas en cada clase de equivalencia. Ilustremos esto con dos
ejemplos.
Sea A el, conjunto de todas las flechas que pueden trazarse desde un
punto entcr6 de la recta de los números hasta otro. Un "punto entero"
es la gráfica de un entero. Mostramos algunas de estas flechas en la fi·
gura 25, donde las hemos trazado un poco más arriba de la recta numérica
de manera que puedan verse mejor. Nos resultará conveniente que denote-
�
mos la flecha que se extiende desde el punto a hasta el punto b por a, b. La
68 RELACIONES DE EQUIVALENCIA
� .
flecha de trazo interrumpido de la figura 25 es la 2.-1. Definamos ahora
una relación R sobre el conjunto A de todas estas flechas conviniendo en
que una flecha está relacionada a otra segunda si la primera tiene la misma
� �
longitud y la misma dirccci6.n que la segunda. Por ejemplo, 2, ·1 R 6, 3
porque la primera tiene una ,longitud igual a 3 y dirección • de derecha a
izquierda, exactamente igual que Ja segunda.
,
.-.(------------ -
4 3 "1 o 2 3 4 5
Flechas sobre la recta numérica.
FIGURA 25
6
El lector puede comprobar rápidamente que la relación R sobre A es
--+
una relación de equivalencia. Ahora bien, la clase de equivalencia de 2,-1
� � � �
contiene muchas flechas: 6, 3; O, -3; -t, -4 y 1, ·2 son unas pocas de entre
ellas. Para ciertos prop6sitos, podríamos considerarlas como si todas fueran
una misma. Por ejemplo, podrÍamos considerarlas como representando todas
a la operación de sumar ·3. En este caso identificaríamos a todas las flechas
de esta clase de equivalencia. Todos los elementos de la .clase de equiva-
--+ --+ � � ----+ � .
lencía de O, 2(1, 3; -4, ·2;O, 2; ·2, O; y ·1, 1 son algunos) se considerarían,
pues, como el mismo porque representan la operación de sumar 2. El mé
todo que acabamos de delinear se usa en el cuaderno 9 : El sistema de los
enteros.
Nuestro segundo ejemplo muestra cómo podemos formar los números
racionales a partir de los enteros. El método que presentaremos se us6, de
un modo más bien informal, ep el cuaderno 1 O: El sistema de los números
racionales. Definiremos ahora una relación R que resulta denomina el
mismo número racional que. Comencemos por considerar el conjunto F de
todos los pares ordenados de enteros, con la restricción de que O no sea el
segundo componente de ninguno de los pares ordenados. Aunque F es
un conjunto de pares ordenados, no es la relación que estamos buscando.
La relación R la vamos a definir sobre el conjunto F. Un elemento de R
será, pues, un par ordenado de elementos de F, es decir, un par ordenado
de pares ordenados. Para disminuir la confusión, escribamos los números de
F en la forma mjn, en lugar de en la forma habitual (m, n ) . Así pues
IDENTIFICACIÓN 69
F = {;j m e (, n e ], y n =F O}
A los elementos de F les llamaremos fracciones.
Definimos ahora la relación R sobre F estableciendo que m R p_ si y solo
�� q
' ' 2 R 5 2 10 4 5
12 R -4 s1 m X q = n X p. Ast pues,4 10 puesto que X = X ; y -9 3:
porque 12 X 3 = -9 X -4.
Con ayuda de un poquito de álgebra se puede mostrar que R es una
relación de equivalencia. Una vez que sabemos esto, sabemos también que
R parte F en clases de equivalencia. AlgunaS de estas son
{ -3 -2 -1 1 2 3 } . . . • -6' =4· =2· 2· 4· 6· . . .
{ . . . -:. -:. -:. !2. -�· � . . . . }
{ . . . . i 1· f. :, .� .-} . . . . }
Todas las fracciones en cualquiera de estas clases de equivalencia deno
minan el mismo número. A tales números les llamamos números raciona
les. Es completamente natural, por tanto, identificar las fracciones de cada
clase de equivalencia y considerarlas a todas como una misma. En la prác
tica esto es realmente lo que se hace. Por ejemplo, si vemos las fracciones
""9 f 6 y 3/-2 (que están en la misma clase de equivalencia), tendemos a
pensar en ellas como si fueran iguales en lugar de equivalentes solamente,
1 ' 'b'
-9 3 1 d 1 ""9 R 3 v o c1erto es que e sen 1mos -6 = -2 en ugar e a go como - - . . - 6 -2
GRUPO DE �JEICICIOS 9
l . Encuéntrense las clases de equivalencia .de 1, 2, 3, 9 y 10 formadas por·
la relación de equivalencia tiene la mis.ma paridad que, definida sobre
el conjunto N de los números naturales.
2. La relación es coincidente con, o paralela a, definida sobre el conjunto
de todas'}as líneas rectas del plano coor<:lenado, es una relación de equi
valencia. Descríbansc tres de las clases de equivalencia formadas por
esta relación.
3. Considérese la relación de equivalencia �enomina al mismo número que,
definida sobre el conjunto F de todas las fracciones. Encuéntrense, al
70 RELAciONES DE EQUIVALENCIA
menos, cuatro elementos de las clases de equivalencia de cada una de
las siguientes fracciones.
1
a) -
3
•') b) ..::.
6
d) �
�os reladoges especiales de eguiyalencia
No debemos dejar el tema de las relaciones de equivalencia sin men·
cionar las dos relaciones de equivalencia más sencillas de todas.
La primera de estas es la relación de ígualdad, o identidad, sobre cual
quier conjunto S. Como conjunto de pares ordenados, esta relación es
simplemente
{(x,y) r x � s. y � s. y x = y) o {(x,x) r x � s}.
Comprobar que la igualdad es reflexiva, simétrica y transitiva, y que,
por tanto, es una relación de equivalencia, es un simple ejercicio mental.
Esta relación se llama también relación diagonal sobre S, a causa de la
apariencia de su gráfica. Para ver cuál es tal aspecto, consideremos un con
junto específico S = {a, b, e, d}. Escribiendo expHcitamente la relación de
igualdad en S tenemos es { (a, a), (b, b) , {e, e), (d, d) }. Si graficamos esta
relación, usando el método int.roducido en la página 49, obtenemos el conM
junto de puntos gruesos que aparecen en la figura 26. Los puntos más
pequeños representan pares ordenados que no están en la relació.n y se han
puesto principalmt>nte para hacer más patente cuál es el aspecto de la
gráfica. Puede vetse que estos dieciséis puntos forman un dispositivo cua
drado, y que la gráfica de la relación identidad es una diagonal de este
d • • • •
e • • •
• • •
• •
a e d
A sobre (a, b, e, d}.
FIGURA 26
IMPLICACIONES EN LAS GRÁFICAS 71
cuadrado. De aquí el nombre de "relación diagonal". A menudo usamos
el símbolo ll. para esta relación. El símbolo ll. no es un triángulo, sino la
letra griega mayúscula ''delta". La ll. corresponde a nuestra D, la letra ini·
cial de la palabra "diagonal''.
Otra sencilla relación que puede definirse sobre cualquier conjunto
S es una en que se relacione cada elemento de S con cualquier elemento
de S. A esta relación se le llama producto cartesiano de S por sí mismo y se.
representa por S X S. (Véase el cuaderno 1 : Conjuntos, págs. 52 y 55.)
Así pues
S X S = {(x,y) l x e S, y e.S} ;
es decir, S x S consiste en todos los pares ordenados de elementos del:
conjunto S. Todos los puntos, gruesos o finos, de la figura 26 constituyen·
la gráfica de S X S para el caso S = {a, b> e, d}. Como relación, S X S
es demasiado "grande" para ser de mucho interés: todo está relacionado
con todo. Pero tiene la c.aractcrística de que toda relación definida sobre
S es un subconjunto de S X S. Ciertamente, podríamos haber usado este
hecho como d�finición:
Una relación sobre un conjunto S es un subconjunto de S X S.
lwpHsgsiones eg lgs gráfjsgs
Veamos cuáles son los efectos que tienen la reflexividad y la simetría
<le una relación sobre su gráfica. Supóngase que sabemos que una relación
R sobre un conjunto S es reflexiva. Entonces para todo x perteneciente a S;
tenemos xRx, o ( x, x) e R. Esto quiere decir que R contiene a /l. (cuando
. pensamos en ambas relaciones como en conjuntos de pares ordenados) . Estq
significa, a su vez, que la gráfica de R debe contener a la gráfica de �:>., e5
decir, a la diagonal (fig. 27) de S X S. Esta situación está ilustrada en las
figuras 28(a) y 28(c). Otras gráficas de relaciones reflexivas se muestran
en las figuras 18, 19(c) y 24. Nótese que en cada uno de Jos casos la grá
fica contiene a la diagonal, es decir, a todos los puntos sobre la recta qué
forma un ángulo de 45° con la dirección positiva de la recta numérica
horizontal en el origen.
Si una r�lación .R sobre un conjunto S es simétrica, sabemos que si pRq,
entonces' qRp; es decir, si (p, q) e R, entonces (q, p) e R. La figura 27
muestra cómo se encuentran las gráficas de ( p, q) y ( q, p} . Parece razonable
decir que son simétricas respecto a la djagonal, es decir, que están simétri,.
camente situadas, o que están reflejadas, o que son imágenes una de la
otra con respecto a la diagonal. Si todo punto de una figura está empa'
rejado con otro punto de manera que esto� puntos son simétricos respecto
72
S
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
"
diagonal """"'- , " q ------·(.· ) �
,
1 p,q " 1 ; 1 ; 1 ; 1 / 1 ;' 1 , . , 1 ; . , 1 ,' 1 , 1 ,
," ;
1 ;
p ----��� - - - - - - - - - -, (q,p) , 1 1 / 1 1 , 1 , .
.' .
p q
S
Reflexividad y simetría.
FIGURA 27
a la diagonal, entonces decimos· que toda la figura es simétrica respecto a la
diagonal. La gráfica de cualquier relación simétrica debe tener esta pro·
piedad. Las figuras 28 (b) y 28 (e) nos muestran las gráficas de relaciones
simétricas. Otras tienen que encontrarse en las figuras 1 1 , 12(a), 12(b),
19(c) y 24.
e
d
e
b
D
;
;
"'
1/
,
a
•
,
,¡
o "
, ,
� ,
•
•
e d e
Una relad6n reAexiva,
pero no simétrica
(e.)
e • "
/
d , , , , ,
e • • ; , ,
,
b JI • •
IJ
; " ,
,, , • ,
a b e d e
Una relación simétrica
pero no reflexiva
(b)
e
d
e
b
a
•
,
•
• •' ;
•
/
" • , ,
,� ,
•
JI , • ,
e éle
Una relación reflexiva
y simétrica
(e)
Gráficas de algunas relaciones sobre {a, b, e, d).
FIGURA 28
En vista de las anteriores observaciones vemos que si tenemos la gráfica
de una relaci6n ante nosotros, podemos decir casi inmediatamente si la
relaci6n es reflexiva o simétrica. Hay una prueba gráfica para la transití.
vidad, pero como es difícil de describir y aplicar, no lo discutiremos.
IMPLICACIONES EN lAS GRÁFICAS 73
Las comprobaciones mediante el diagrama 4e flechas de la reflexividad,
simetría y transitividad son realmente muy simples. Recuérdese· que para
construir el diagrama de flechas de una relación R sobre un conjunto S,
marcamos y rotulamos un conjunto de puntos, uno para cada elemento de.
S. Luego, si (x, y) e R, es decir, si xRy, trazamos una flecha desde x hasta
y. Las propiedades que acabamos de mencionar tienen los siguientes efectos
sobre el diagrama de flechas de la relaci6n que las posee;
Refluividad; Para todo punto "• 1 debe tenene •·8
Sím•trla : s; t�nemo.t 4·- --,.b debem01 tener •._!' ·y, por tanto, las flech••
vienen por pares como e$ta�: ••;:::::::•b
Tumsitividdd: Si tenemoa •.- ./> y b.-.c debemos lener "• .e
es decir, a.�.c
La figura 29 muestra el diagrama de flechas de una relaci6n de equiva-.
lencia sobre el conjunto {a, b, e, d, e, f}, es decir, de una relación que tiene
todas las propiedades anteriores.
0
Diagrama de flechas de una relación de equivalencia.
FIGURA 29
GRUPO DE EJERCICIOS 1 O
1. Este ejercicio se refiere a la relación cuyo diagrama de flechas se mues4
tra en la figura 29.
a) Escríbase la relación como un conjul)to de pares ordenados.
b) Constrúyase la gráfica de la relad6n.
e) Encuéntrense las clases de equivalencia formadas por la relación.
74 RELACIONES DE UN CONJUNTO EN OTRO
•
z • • • •
y • •
% •
X y z w
Relaci6n.
FIGURA ;30
2. En la figura 30 se muestra la gráfica de una relación.
a) ¿Es la relación reflexiva?
b) ¿Es la relación simétrica?
e) Escríbase la relación corno un conjunto de pares ordenados.
d) Constrúyase el diagrama de flechas de la relación.
e) ¿Es la relación transitiva?
RELACIONES QE uN cpN "1�rg EN gr�o
La mayoría de las relaciones que hasta el mom·ento hemos estudiado
han relacionado elementos de cierto conjunto de cosas con otros elementos
del mismo conjunto. Al hablar en términos generales de estós conjuntos, los
hemos representado generalmente mediante la letra S }; hemos dicho que la
relación de que tratábamos' estaba definida sobre S. Hay muchas relaciones,
no obstante, que relacionan cosas de un conjunto con cosas de un conjunto
diferente. Por ejemplo, nació en el año relaciona personas con enteros. (El
presidente Johnson nació en el año 1908; Julio César nació probablemente
en el año 102 A.c., es decir, en el año -102.) Y la relación fue montado por
relaciona los caballos a Jos jockeys en determinada carrera.
Nada de esto cambia nuestro concepto básico de relación como conjunto
de pares ordenados. Pero ahota, si los primeros componentes de todos los
pares ordenados de una relación .R son elementos de un conjunto S, y los se·
gundos componentes de todos los pares ordenados de R son elementos de
un conjunto T, decimos que la relación es de S a T. Así pues, la relación
nació en. el año que antes mencionamos es una relación del conjunto de
todas las personas en el conjunto J de los enteros. Dos de los muchos pares
ordenados de esta relación son (presidente Johnson, 1908) y (Julio César,
-102} . La relación fue montado por � una relación de cierto conjunto de
RELACIONES OE UN CONJUNTO EN OTRO 75
V
•
�: • • o
o ' • L l o
• �: • • Q
a e o u
(a) (b)
Relación de "trasliteraci6n".
FIGURA 31
caballos a -o en, nos permitiremos una u otra preposición para estos caso�
cierto conjunto de jockeys.
La reflexividad, la simetría y la transitividad son propiedades que no tie
nen sentido para las relaciones de un conjunto en un conjunto diferente,
luego las relaciones de esta clase no pueden ser relaciones de equivalen
cia. Las relaciones más importantes de un conjunto en otro son las funciones
que más adelante estudiaremos en este mismo cuaderno. Podemos, sin embar
go, representar relaciones de esta nueva clase tanto por medio de gráficas
como por medio de diagramas de flechas. Ilustremos esto con un ejemplo.
Como el lector sabe, el alfabeto que empleamos se derivó del latín. Con
tiene cinco letras que se llaman vocales: a, e, i, o, u, -no complicaremos las
cosas incluyendo la " que, además, no es latina. Pero hay otros alfabetos
también en uso actualmente. Veamos el alfabeto griego. Contiene veinticua·
tro letras, siete de las cuales son vocales. Son estas a, E, r¡, t, o, v y (1) ( denomi.
nadas alfa, epsil6n, eta, iota, omicr6n, ipsilón y omega) . Cualquiera que
traduzca, o mejor dicho, efectúe la trasliteraci6n de un alfabeto al otro,
debe saber cuáles vocales griegas son las que corresponden con cuáles vocal�
latinas. Debe saber, por ejemplo, que a la "a" latina corresponde la grjega
"a'•. Es dec;i'r, debe conocer la relación del conjunto L de vocales latinas, al
conjunto Ó de vocales griegas ; el par ordenado (a, a) es uno de Jos de·
mentos de esta relación. Escrita explícitamente, la relación es
{ (a, a) , (e, e), (e, .,), (t� ,) , (o, o), (o, (1)) , {u, v ) }
La gráfica de esta relación n o presenta dificultad alguna. El único cam
bio que hacemos en el procedimiento que ya habíamos establecido consiste
76 FUNCIONES
e� la rotulación de las rectas horizontal y vertical. En este caso rotulamos
la recta horizontal con los nomb�s de los elementos de L, y la recta vertical
con los nombres de los elementos de G. Procedemos luego exactamente como
ante$ y representamos el par (e, �), por ejemplo, por un punto por encima
d� la e y a la altura de la .,. La gráfica se muestra en la figura 31 (a).
Para construir el diagrama de flechas de la relación, necesitamos ahora
poner dos conjuntos de puntos, uno para el conjunto L, el otro para el con
junto G, y rotulados. Luego trazamos las flechas como antes hicimos:
como (e, '1) está en la relación, por ejemplo, trazamos una flecha del punto
e al punto '1· El diagrama de flechas completo aparece en la figura 31 (b).
fYNC!QNES
Algunas veces oímos el nombre "función" usado en la conversación
casual en proposiciones tales comQ "su peso está en función de lo que come,
y "el porcentaje de sus impuestos es función de sus ingresos". También se
u�a en frases tales como "función social" y "la función del hígado", pero
en un sentido düerente que aquí no nos interesa. En las matemáticas y las
ciencias, la frase "es función de" se emplea para expresar la idea de q1,1e
upa "condición" o "estado" depe�de de otro. Escuchamos fraseS tales como
"la distancia es una función del tiempo", "la presión del agua es función
de la profundidad" y "el área de un círculo es una función de su radio".
Estas proposiciones sugieren ia idea de relación entre p(.lres de cosas:
d¡stancia y tiempo, presión y profundidad, área y radio. En lo que sigue
V!!remos que las funciones son, en: realidad, una clase especial de relaciones.
Qefjpjdép de lq gglqhm. "f, mdén"
Consideremos la relación es M;o de, definida sobre un conjunto de hom
bres y muchachos. Supongamos que un nombre se coloca precediendo a esta
f�ase obteniendo, digamos, "Juan es hijo de". Como Juan tiene solamente
un. padre, solo el nombre de una persona puede colocarse correctamente al
fi,nal de la frase. Así pues, si "Juan es hijo del señor Pérez, es cierto, enton
c�s "Juan es hijo del señor L6pez", "Juan es híjo del señor García'', etc.,
son proposiciones falsas. Si pensamos en la relación es hijo de como un
conjunto de pares ordenados, vemos que solo podemos tener un par orde
�do con un primer componente dado. Es decir, si B =fo C, entonces no es
posible que los dos pares ordenados (A, B) y (A, C) estén, ambos, en la
relación. Pues que si estuvieren, tendríamos "A es hijo de B" y"A es hijo
DEFINICION DE LA PALABRA "FUNCIÓN" 77
de C", lo que, biológicamente, es imposible. A las relaciones de este tipo
las llamaremos '(funciones".
Por contraste, consideremos la relación es hermano de, también defi·
nida sobre un conjunto de hombres y muchachos. Supongamos que este
conjunto contiene tres hijos, X, Y, Z, de Jos mismos padres. Entonces tanto
la proposición ux es hermano de Y" como la proposición "X es hermano
de Z" son, ambas, ciertas. Luego, ambos pares ordenados, (X, Y) y (X, Z),
están en la relación. Por tanto, si nos dicen que el primer componente de
un par ordenado de la relación es hermano de es X, vemos que el par
ordenado en cuestión no queda, por ello, únicamente determinado. La
definición de "función" que damos en seguida elimina las relaciones en que
existe tal ambigüedad.
Nuestra definición general es como sigue:
U na función es una relación en la que no ha')J dos pares orde·
nados diferentes que tengan el mismo primer componente.
Aclaremo� esta definición considerando cierto número de relaciones,
algunas. de las cuales son funciones y otras no.
EJBMPLO 1
Cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados es, desde luego,
una relación. úsese la definici6n anterior para determinar cuáles de ellos
son funciones.
F = {(1, 1 ) , {2,2), (3, 3} , (4-, 4-)}
G = { ( 1, 1 ) , (1, 2}, (2, 1 ) }
H = { (1, 1 ) , (2,4-) , (3, 9), (4-, 16), (5, 25)}
K = { ( 1, 1 ) , (2, 1 ) , (3, 2}, {4, 2 )}
De estas cuatro relaciones, solamente. G no es una función. La relación G
contiene dos diferentes pares ordenados con el mismo primer componente 1 .
Obsérvese que K contiene pares ordenados distintos con el mismo segundo
componente. Pero esto no esta prohibido por la definición de función.
EJEMPLO ?
Considérese la relación, definida sobre el conjunto W de los números
plenos, que consiste en todos los pares ordenados de la forma (m, 7 X m).
Est¡s relación puede pensarse como la tabla de multiplicación por 7. Algunos
de los pares ordenados en ella son (0, O), (l, 7), (2, 14), ( 5, 35) y (22, 154) ;
el lector puede encontrar muchos más si lo desea. ¿Es esta relación una
función? Sabemos que cuando multiplicamos un número por siete hay un
78 FUNCIONES
producto único. Luego, para cualquier número pleno que decidamos esco
ger como primer componente de un par ordenado, hay exactamente un
niímero que puede servir como 'segundo componente, a saber, el que es
igual a siete veces el primer número. Entonces, el primer componente deter
mina inequívocamente el par ordenado, y la relación es una función. Esta
función, escrita en notación constructiva, es
·
{(m,n) J m s. W, n e W, y n = 7 X m},
o, más simplemente, { (m, 7 X m) 1 m e W}.
EJEMPLO 3
Consideremos la siguiente relación del conjunto de los cincuenta Estados
de Estados Unidos de América en el conjunto de las letras del alfabeto :
{ (O, .6.) 1 .6. es la primera letra en el nombre de O}.
Algunos d e los pares ordenados d e esta relación son ( Alabama, A),
(Alaska, A), (Nuevo México, N) y (Texas, T). El lector puede expresar
otros. Como el nombre de cada Estado es único, está claro que esta relación
es una función.
Si cambiamos el orden de O y 6 en cada uno de los pares, obtenemos
una relación distinta
{ (.6., 0) 1 D. es la primera }c.tra en el nombre de O}.
Esta relación del alfabeto en el conjunto de los Estados no es una función.
E.sto se debe a que contiene dos pares ordenados diferentes �on el mismo
primer componente : (T, Texas) y (T., Tennessee), por ejemplo. ¿Puede
el lector encontrar otros ejemplos?
Funcíón
(a)
No función
(b)
Diagramas de flechas de dos relaciones.
FIGURA 32
DEFINICIÓN DE LA PALABRA "FUNCIÓN" 79
EJEMPLO 4
Hemos visto cómo puede describirse una relación por su diagrama de
flechas. Consideremos dos relaciones descritas en esta forma y decidamos
si son o no funciones. La figura 32 muestra los diagramas de flechas de
dos relaciones, ambas del conjunto S = {a, b, e, d} en el conjunto
T = {h, i, j, k, l}.
Escríbase la relación representada en la figura 32(a) como un conjunto
de pares ordenados. Puede verse que no hay dos pares ordenados en este
conjunto que tengan el mismo primer componente. Esta relación es, por
tanto, una función. Nótese que la presencia de los pares ordenados (b, k) y
(e, k) en la relación está permitida en la definición de función.
En la figura 32 ( b) puede verse que hay flechas que salen de e a k y de
e a l. Esto significa que los pares ordenados (e, k) y (e, l) son, ambos, de la
relación correspondiente. Como estos dos pares diferentes tienen el mismo
. primer componente, esta relación no es una función.
EJEMPLO 5
Exactamente de la misma manera en que podemos describir una relación
por su diagrama de flechas, también la podemos describir por su gráfíca. En
la figura 33 se muestran las gráficas de dos relaciones. Una de estas rela
ciones es una función, mientras que la otra no. ¿No ve el lector que las
relaciones cuyas gráficas aparecen en la figura 33 son las mismas cuyos
diagramas de flechas se mostraron en la figura 32? Vemos, pues, en la fi
gura 33 (a) la gráfica de una funci6n, y en la figura 33 ( b), la gráfica de
1 1 • 1
1
l< • • k +
1
T j T j 1 • 1 1
j • •
h • h •
a e d ¡;¡ e i:/
�
S S
Función No funci6n
(a) (b)
Gráficas de doJ relaciones.
FIGURA 33
so FUNCIONES
una relación que no es una fun<;i6n. Nótese que en el último dibujo hay una
vertical que contiene dos puntos de la gráfica. Esta situación es típica de las
gráficas de relaciones que no son funciones; nos referiremos de nuevo a ella
más adelante.
La mayorla de las funciones que hemos considerado hasta el momento
han constado solamente de un número finito de pares ordenados. En ma
temáticas y sus aplicaciones, las funciones más importantes son las que
contienen una infinidad de pares. De éstas, las que aparecen con mayor
frecuencia son las funciones definidas en R, el conjunto de los números
reales. En los restantes ejemplos numéricos se deberá sobrentender que las
relaciones discutidas están todas definidas sobre R. Mostraremos las grá
ficas de estas relaciones. InfortUnadamente, sin el uso de una rama de las
matemáticas llamada geometría analítica, no podemos realmente probar que
estas gráficas son las correctas.
EJEMPLO 6
¿Es la relación { (x, y) 1 x < y} una función? Para mostrar que no lo es,
solamente necesitamos observar que si x se reemplaza por un número cual
quiera, entonces hay muchos �emplazamientos posibles para y que harán
que el par resultante esté en la relación. Así, para x = 3 pares ordenados
tales como (3,4), {3,5) y (3, 17) están en la relación. Como todos ellos
tienen el mismo primer componente, debe concluirse que la relación no es
una función. La gráfica de esta relación aparece en la figura 13.
EJEMPLO 7
La relación ((x. ,.,) 1 y = (2 X x) - 1} es una función. Pues es real
mente cierto que si multiplicamos un número por 2 y luego restamos 1,
obtenemos un resultado único. Por tanto, si se nos da un número como
primer componente, x, de un par ordenado, el segundo componente, y, está
determinado en forma única. La gráfica de esta función puede trazarse
construyendo una tabla en la q�e aparezcan algunos de los pares ordenados
de la función, como se muestra en la figura 34. Se localizan luego estos
puntos y se observa que aparecen sobre cierta línea recta. Esta recta es
realmente la gráfica de la función.
EJltMPLO 8
La relación { (x, y) 1 y = x2} podría llamarse relación "elevación al
cuadrado" ya que el segundo componente de cada uno de los pares orde
nados de la relación es el cuadrado del primer componente. La relación
DEFINICIÓN DE LA PALABRA "FUNCION" 81
X y
o . ,
1 1
2 3
3 S
-, "3
"2
1
J o
((x, >') l i' = (2 X x) - 1}.
FIGURA 34
{ (x, y) 1 y ::: x:i}.
FIGURA 35
82 FUNCIONES
es una función, porque si un número se eleva al cuadrado, es decir, si se
multiplica por símismo, el resultado es único. Alguno de los pares ordena
dos de Ja función son (0, 0), (1, 1), (2, 4), {3, 9), (-1, 1 ) , (·2 ,4), (-3, 9),
(1/2, 1/4) y (-1/2, 1/4) . La gráfica de esta función es la curva que se mues
tra en la figura 35. La curva se llama parábola. Se presenta. tanto en la
naturaleza como en la tecnología: ciertos cometas siguen trayectorias para
bólicas, y los cables de un puente colgante cuelgan aproximadamente como
una porcíón de una parábola.
EJEMPLO 9
La relación { ( x, y) 1 x� + y� = 25} no es una función. Podemos ver
esto por el hecho de que tanto el par ordenado (3, 4) como el (3, -4) están
en la relación. (Obsérvese que 3:i + 42 == 9 + 16 = 25 y 3: + (-4)2 = 9 +
16 = 25.) Sabemos que una función no puede contener a dos pares orde
nados diferentes con el mismo primer componente. El lector debe intentar
encontrar algunos otros pares ordenados de la relación. Si graficamos los dos
pares ordenados que acabamos de obtener y otros, tales como {O, 5), (O, -5),
(5, O), (-5, O) y (·4, ·3), veremos que los puntos resultantes aparecen, todos,
sobre Ja circunferencia que tiene radio 5 y centro en el origen. Esta circun
ferencia, que mostramos en la figura 36, es en realidad la gráfica de la
relación.
Pruebe de la ;¡s;¡kql
Observemos las gráficas de las relaciones que estamos considerando en
los anteriores ejemplos. Notamos que en cada uno de los casos en que
Ja relación no es una función, es posible encontrar una recta vertical
que contenga al menos dos puntos de la gráfica. Señalamos esto explícita·
mente en el ejemplo 5 de Ja página 79. El lector puede comprobar por sí
mismo que en la figura 36 hay un<>. recta vertical que interseca a la gráfica
de la Hno función" { (x, y) 1 x2 + r = 25} en más de un punto. Lo cict10
es que hay muchas de tales rectas verticales. Y lo mismo puede hacer
en la figura 13, que muestra la gráfica de { (x, y) 1 x < y}.
Por otra parte, observamos que no hay recta vertical alguna que con·
tenga más de un punto en la gráfica de una relación, cttando ésta es una
función. Es posible que haya rectas verticales que no contengan punto al
guno de la gráfica, mientras que otras pueden contener un punto. Pero
ninguna recta vertical interseca a la gráfica de una función en dos puntos
ni en más de dos puntos. El lector debe comprobar esto en los casos de las
funciones que hemos discutido en los ejemplos anteriores.
PRUEBA DE LA VERTICAL
y
6
5
3
2
"6
2 3 4
{ (x,y) ¡ x� + ,.� = 25}.
FIGURA 36
83
6 x
Tenernos, pues, un procedimiento de comprobación que nos permite
decir por inspección de la gráfica de una relación si esa relación es o no
una función:
Si hay wza recta vertical que interseca a la gráfica de una re
lación en más de un punto, entonces la rdación no es ur�a
función. Si no hay tal recta vertical, entonces la relación es
una función.
La razón de que este procedimiento de comprobación funcione es fácil
de ver: si hay dos puntos de la gráfica de una relación sobre cierta recta
vertical, entonces los dos pares ordenados correspondientes en la relación
tienen el mismo primer componente, pero segundos componentes distintos.,
Esto quiere decir que la relación no es una función, de acuerdo con la
misma definiCión de función.
GRUPO DE EURCICIOS 11
1. ¿ Cuáles de las siguientes relaciones son funciones?
a) { ( 1, 0) , (2, O) , (3, O) }
b} {(0, 1 ) , (0, 2), (0, 3 ) }
fUNCIONES
e) {(a, b) , (b, c), (c, d), (d, a) }
d) {(x,y) l x ¡¡. R, y e R y ,y: = .\'}
2. En este ejercicio, q representa a cualquier número del conjunto de los
números reales positivos. ¿Cuáles de las siguientes relaciones son fun
ciones?
a) { (p, q) 1 p es un rectángulo y q es el área de p}
b) { ( q, P} 1 p es un rectángulo y q es el área de p}
e) { (q, p) 1 JI es un cuadrado y q es el área de p}
3. La figura 37 muestra la gráfica de dos relaciones. ¿Cuáles de estas rela
ciones es una función?
(a) (b)
Dos relaciones.
FIGURA 37
�gtgdép f¡ 'P5i09Cd
En secciones anteriores de e.ste cuader11o, encontramos conveniente em
plear un solo símbolo como denominación de una relación -ordinariamente
usamos "R". Es útil hacer lo mismo en el caso de las funciones. En deter
minada discusión acerca de una función podernos, desde Juego, tomar como
nombre de la función cualquier símbolo que no se haya usado. A menudo
usamos la letra "f' para este propósito, sin embargo, porque es la letra
inicial de la palabra "función". Otros nombres populares para funciones
son g, h, y ep (fi, la letra griega equh-alente a la "f'). A las funciones se
les suele denominar con letras cursivas minúsculas tales como {1 g, h y </>,
pero en este cuaderno usaremos también n�gritas para mayor énfasis.
También es útil tener un nombre para d conjunto de todos los primeros
componentes de los pares ordenados de determinada íunci6n; a este con
junto Jo llamamos dominio de la función. Así, en el caso de la función
f = { ( 1 ,2 ) , (2,4), (3, 6) , (4, 8) },
NOTACIÓN FUNCIONAl as
el dominio de f es el conjunto { 1 , 2, 3, 4}. El conjunto de todos los segu11dos
componentes de los pares ordenados de una función se llama imagen de la
función. En el anterior ejemplo, la imagen de f es el conjunto {2, +, 6, 8}.
V ca m os la funci6n
que consideramos en el ejemplo 8. La notacíón constructiva contiene la
proposición "x s R", concerniente a los primeros componentes de los pares
ordenados de g. Esto nos dice que el domino de g es el conjunto R de los
números reales. El lector debe tener cuidado de no confundir esta "R"
que representa al conjunto de los números reales, con la "R" que representa.
una relación que hemos usado previamen�e. ¿Cuál es la imagen de g?
La proposición "y = x2" nos dice que el segundo componente, ,., de cada
uno de los pares ordenados de g es el cuadrado del primer componente, ,<(.
Sabemos que ningún cuadrado de un número real puede ser negativo, de
donde concluimos que la imagen de g no contiene a ningún número nega
tivo. Se puede demostrar que la imagen de g consiste en todos los números
reales que no son negativos (véase el cuaderno 1 1 : El sistema de los nú
meros reales} ¡ es decir, la imagen de g es {y ¡ y " R y y � O}.
Quizá resulte apropiado mostrar algo del simbolismo empleado por'
los matemáticos, aunque no lo vayamos a usar en este cuaderno. Los matt:·
máticos suelen usar cualquiera de las notaciones
{
f : S _.,. T o S -+ 1'
para transmitir toda la siguiente información: f es una función, el dominio.
de f es el conjunto S, y la imagen de f está contenida en el conjunto T.
Nótese que la notaci6n no dice que la imagen de f es T, sino solamente
que es un subconjunto de T.
Consic!cremos ahora cualquier función fJ y sea el conjunto S el dominio
de f. Sabemos que para cada elemento x de S hay exactamente un par
ordenado de f que tiene x como su primer componente. Que hay al menos
un par ordenado en f con x como primer componente se sigue de nuestra
definición de lo que es el dominio de f. Que no hay más de uno es conse.;
cuencia de la definición de función. Es coxweniente tener un símbolo para
denominar el segundo componente de este único par ordenado. Para este
prop6sito usamos el símbolo f(x}. [Advertencia : f(x) no es el producto
de f y x, aunque se le parece un poquito; f no es ni siquiera un número.)
El símbolo f(x} se lee "f de x". A menudo llamamos a f(x) el valor de hi
función f en x. Ilustraremos estas ideas con algunos ejemplos.
86 FUNCIONES
Sea f = { (a, i ) , ( b, k) j (e, k), ( d, lt) } . Esta es la función que considera
mos en los ejemplos 4 y 5 de la página 79. El dominio de f es el con
junto {a, b, e, d}, y la imag(.!n de f es el conjunto {h, i, k}. ¿Qué es
f (a) ? Es el segundo componente del único par ordenado de f que tiene a
a como primer componente. Como este par ordenado es (a� i ) , tenemos
f (a) = i. Análogamente, como. ( b, k) es el único par de r- que tiene b
como primer componente, vemos que f ( b)= k. De igual modo encontramos
que f(c) = k y que f(d) = h.
Si consideramos una función que está simbolizada por una letra o signo
distinto de f, debemos alterar el resto de la notación de acuerdo con ello.
Así, si la denominación d� una, función es g, usamos g(�·) para indicar el
segundo componente del par ordl'nado de g que til'nc .t· como primer com
ponente. Y si, en este caso, preferimos llamar al primer componente, diga
mos, :, en lugar de x, entonces el segundo componente sería g(z). Recuér
dese el principio de "lo que está en un nombre" que tanto usamos
anteriormente en este cuadertló: no impotta qué símbolo escojamos para
la variable en una proposición abierta. Pero una vez que lo hemos elegido,
debemos ser consistentes en su uso. La situación es aquí análoga.
Hl!mos considerado la función
g = { (x, y) 1 x " R, r e-. R, y y = -'':�}
en el ejemplo 8 de la página 80 y antcri;>rmcnte en esta misma secc¡on.
Vimos que algunos de los pares ordenados en g son (0, O), ( 1, 1 ) , (2, 4) ,
(3,9), (·2,4) y ( 1/2, 1/4). Vemos que g(O) = O, g ( l ) :i::: 1, g(2) = 4,
g(3) = 9, g(-2) = 4 y g(1/2) = 1/4. Realmente, no necesitamos una
lista de los pares ordenados para encontrar g(.t) para un x dado. Solamente
;necesitamos observar que los símbolos g(.�) y y están en lugar de la misma
cosa: a saber, el segundo componente del par ordenado único en g, cuyo
,primer componente es x. En este ejemplo� sabemos también que .y = x:!
Por tanto, tenemos g(x) = x�. Esta expresión puede considerarse comp una
''regla" que nos permite encontrar el segundo componente de un par or·
.dcnado de g, dado su primer componente. La regla, por tanto, describe
esencialmente la funci6n g. Una vez que tenemos la regla, es fácil cncon*
trar tantos \·aJores de la función como gust<.•mos. Simplemente con .sustituir
por números la variable en g(x) = .\'�, encontl'amos que
g(5) = 53 = 25, g(-�) = {"3):.: = 9, g( l ) = p = 1,
r así sucesivamente.
En el ejemplo 7 de la página 80, consideramos la Íllnción
9 = { {x, y) 1 x e R, y e R, y y = (2 X ;r) - 1} .
LAS FUNCIONES COMO ''REGlAS'' 87
Hemos ahora dado a la función un nombre, �· En este caso, exactamen
te igual que antes, observamos que tanto �(x) como y son símbolos que
representan el segundo componente del único par ordenado en � que tiene
como primer componente a x. En este ejemplo, sin embargo, se nos dice
que y = (2 X x) - l . Por tanto, la regla, o fórmula, que nos permite cm·
contrar el segundo componente cuando se nos da el primero, toma Ja forma
Ci(x) = (2 X x) - 1. Por sustitución, encóntramos que
<p(O) = (2 X O) - 1 = O - 1 = -1,
rp( 1 ) = ( 2 X 1 ) - 1 == 2 - 1 = 1,
<p(2) = (2 X 2} - l = 4 - 1 = 3,
cp(3) = (2 X 3) - 1 = 6 - 1 e 5,
<p(-1) = (2 X -I) - 1 = -2 - 1 = -3,
<p(}) = (2 X !·) - 1 = 1 - 1 = O.
Compárense estas expresiones con las dadas en la tabla de la figura 34.
La misma información concerniente a la función se transmite en ambos
lugares.
GIUPO DE EJERCICIOS 1 2
Descrlbanse el dominio y l a imagen d e cada una d e Jas siguientes fun
ciones. Encuéntrense también los valores que se piden.
l . f = { (-3, 3), (-2, 2), (-1, 1), (0, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}. Encuéntrense
f(2), f(-2), f(O) y f(-1 } .
2 . g = { (x, y) ¡ .t' & R y y = x - 2}. Encuéntrense g(5), g{2), g(O), g(-2)
y g( 1) .
3. t.¡ - {(O, .6.) 1 O es la .6.-ésima letra del alfabeto castellano} = {(A,
1), (B, 2) , (C, 3) , . • . , (Y, 27), (Z, 28) }. Encuéntrense cp(N), t¡{C),
�(T) y e¡(M).
.
Las funcioqes como "reslas"
En los ejemplos que están al final de lá sección precedente, notamos que
las expresiones g(x) = x3 y �(x) = (2 X x) - l describían esencialmen·
te las funcipnes g y e¡. Podemos considerar estas expresiones como "reglas"
que nos difen cómo encontrar el segundo componente del par ordenado q\!e
tiene un primer componente dado. Para tener una información completa
acerca de la función debemos saber, desde luego, cuáles son los primeros
componentes admisibles ; es dedr, debemos conocer el dominio de la función
al igual que la regla. En la práctica, la mayoría de las funciones se des-
88 FUNCIONES
criben por las reglas y no dándolas explícitamente como un conjunto de
pares ordenados.
Supongamos, por ejemplo, que se nos dice que el dominio de una deter.
minada funci6n { es el conjunto {1, 2, 3, 4} y que para cada x en este
conjunto, f(x) = x + 2 (esta es la regla). ¿Cuñl es la función como con
junto de pares ordenados? Sabemos que los primeros compone�tes de estos
pares son los números en el dominio. Para encontrar los segundos compo
nentes correspondientes, necesitamos solamente sustituirlos en la íónnula en
que se expresa la regla. Así, si sustituimos por el 1, encontramos f ( 1 ) = 1 +
2 :::: 3, y por tanto, ( 1 , 3) está en f. Sustituyendo por 2 tenemos f(2) =
2 + 2 = 4; de donde (2, 4) ef. Continuando así vemos que f = { ( 1, 3),
(2, 4)., (3, 5), (4, 6) } .
Desde Juego, no siempre podemos escribir todos los pares ordenados de
una función como acabamos de hacer. Pero dada la información acerca
de su dominio y su regla, podemos escribir explícitamente tantos pares
ordenados permisibles de una función como deseemos, y podemos expresar
el conjunto de todos los pares ordenados de la función, usando la notación
c.onstructiva. La primera proposición en el siguiente párrafo ilustra la fra
seología que usamos cuando describimos una función por una regla.
Definamos la función f sobre el conjunto R de los números reales por
f(x) = 2 -x. Nótese que tanto el dominio de f como la regla están espe
cificados. Podemos obtener valores de esta función por sustitución de la
f6nnula que expresa la regla. Encontramos así que
f(O) = 2 - O = 2, f ( l ) = 2 - 1 ::::1 1, f(2) = 2 - 2 = O,
y
f(3) = 2 - 3 = -t.
Las expresiones que acabamos de obtener nos dicen que los pares orde
nados (O, 2) , ( 1, 1 ) , (2, O), y (3, •1) son de la función f. Estos son solamente
unos cuantos de los infinitos pares ordenados de f. Para expresar la función
cpmo el conjunto de todos los pares ordenados que pertenecen a ella, usa
mos ]a notación constructi\'a y escribimos
f = { ( x, y) 1 x e R y )' :.:: 2 - x}.
No es necesario escribir y e R, porque si x es un número real, también
lo es 2 - x y, por tanto, y. Podemos, si queremos, eliminar completamen·
te la y y escribir f = {x, 2 - x) J x eR}.
La regla que describe una función no necesita ser una fónnula mate
mática como en los anteriores casos. Por ejemplo, la regla de que h (p) es
la altura en pulgadas de la persona p describe una función h definida sobre
el ct�njunto de todas las personas. Podíamos llamar a h la función "altura".
lAS FUNCIONES COMO "RfGLAS" 89
Algunos pares ordenados de h son (Isabel II, 64) y (presidente Johnson,
74). La función misma en notación constructiva es
h e ( (p, q) 1 p es una persona y q es la altura de p en metros}.
En vista del hecho de ser tan conveniente describir funciones específicas
por medio de reglas, podría preguntarse el lector por qué no usamos esta
idea para dar una definición geueral de función. ¿Por qué no usar como
definición algo parecido a lo que sigue?
Una función es una regla que hace corresponder un elemento
único de un conjunto T a cada elemento de un con.junto S.
Si f es el nombre de la función, entonces f( x) denota el ele
mento de T correspondiente al elemento x de S.
Esta proposición expresa perfectamente lo que hemos observado en las
páginas anteriores. Lo cierto es que muchos libros usan enunciados muy
parecidos a éste como definición de función. Una "definición dinámica"
tal tiene un atractivo intuitivo considerable y es muy útil en muchas áreas
de las matemáticas.
Al definir una función una regla, sin embargo, surge el problema de lo
que es una "regla". Es cierto que la pal�bra "regla" es bastante más
común que la palabra "funci6n" y podría considerarse lo suficientemente
elemental y primitiva para que se pudiera usar como basede una definición.
Pero un análisis cuidadoso de lo que se entiende por "regla" nos conduciría
probablemente a la idea de ''emparejamiento" y, finalmente, a la idea de
"conjunto de pares ordenados". Es por esta razón que escogimos definir una
función como una cierta clase de relación, es decir, como cierta clase de
conjunto de pares ordenados.
Desde luego, no todo puede definirse sin l.legar a lo que se conoce como
"circularidad". Un ejemplo clásico de circularidad se encuentra en cierto
diccionario que contiene las siguientes definiciones: "un galápago es una
tortuga marina!' y "una tortuga es un galápago terrestre". Algunas cosas
siempre deben permanecer como conceptos nó definidos, y otras deben defi
nirse en términos de éstas. En este cuaderno escogimos usar "conjunto" y
"par ordenado" como conceptos no definidos· en base a que son ideas muy
primitivas y elementales.
No hay n�da problemático, sin embargo, en que escogiéramos definir
funciones especificas mediante proposicione� de esta forma: "definamos
la función f sobre un con junto S por {la regla) f ( x) = . . . ", en donde los
tres puntos representan alguna expresión en la que aparecería x. Hemos
visto que tal enunciado nos da una información completa acerca de lo que
la función f es, como conjunto de pares ordenados.
90 FUNCIONES
GRUPO DI EJERCICIOS 13
l. Definamos la función f sobre el conjunto {2, 4, 6, 8, 10} según la regla
í(x) = :t - l. Descríbase en forma explícita y completa a 'Í como con.
junto de pares ordenados.
2. Sea g la función definida sobre el conjunto J de los enteros según g{n)
= 4 - n2• Encuéntrense g(-�), g(-1), g(O) , g( 1 ) y g(2) .
3. Supongamos � = { (x, y) 1 x e R y y = x + 3}. Llénense las líneas en
blanco en la siguiente proposici6n: la funci6n � está definida sobre
el conjunto según la regla -----
Lgs funcioges como "transfgrrpadoges"
A menudo se usan las palabras "aplicación" o "transformación" como
sinónimas de "función". En el, idioma inglés se usa también la palabra
"map". El uso de este último término lo inspiro probablemente la cartogra
fía, que es la representación de una parte de la superficie terrestre por un
:mapa. Si pensamos, por ejemplo, en un mapa de Estados Unidos, vemos
que a cada punto del país físico real le corresponde un punto en la hoja
de papel sobre la que el mapa 'ha sido impreso. Si representamos por x el
punto de la Tierra y por f(x) el punto sobre el mapa que Jo representa,
vemos que hemos definido una función f. Notamos que f es' realmente una
.íunci6n, no solo una relación, porque ningún punto de la Tierra está
;representado por dos puntos diferentes del mapa. Dos puntos físicos, uno
.directamente sobre el otro, estarían representados por el mismo p:unto sobre
el mapa, pero esto no violaría la definición de función.
Muchas personas piensan que las palabras aplicación y transformación
'llevan consigo la idea de una clase especial de correspondencia que la pa·
labra "función". Cuando un matemático piensa en una función como
aplicación, por lo general tiene in mente una imagen de dos conjuntos de
objetos y alguna indicación de correspondencia, quizá por medio de flechas.
'Este cuadro mental puede ser análogo al diagrama de flechas de la figura
32(a) de la página 78, o puede ser menos detallado romo el que mostra
mos en la figura 38. En esta figura la especie de burbuja rotulada ron la
S representa el dominio de f, y la rotulada con la T representa un conjunto
que contiene la imagen de f.
En conexión con esto se usan a veces los verbos aplicar o transformar en
expresiones tales como "Ja funci6n f aplica o transforma x en f(x) ". Supon·
LA "MÁQUINA �UNCIÓN" 91
Representación esqu�mática de un mapeo.
FIGURA 38
gamos, pot ejemplo, que cstamcs considerando la aplicación o fu:tci6n g
definida sobre el conjunto N de números naturales por g(x) = x�. Decimos
entonces que g aplica (o transforma) 1 en 1, 2 en 4, 3 en 9, etc. Estas
afirmaciones son otro modo de decir que �(1) = 1, g(2) = 4, g(3) = 9,
etcétera.·
1 .. , • f , , " ¡2 mggumq • mqg�
Un dispositivo que a veces es útil para explicar el concepto de función,.
es el llamado de la máquina función. Puede describirse como sigue: para,
determinada función, f, imaginamos una caja, la "máquina-f'. La. caja
tiene una abertura de entrada en la que podemos insertar cualquier ele
mento del domino de f. Tiene también una abertura de salida. El meca
nismo real que esté en el interior de la caja no nos interesa. Suponemos, sin
embargo, que es capaz de tomar lo que le pongamos en la abertura de
entrada, digamos, x; trabajar sobre ello, y luego expulsar por la abertura
de salida el valor f ( x) . La figura 39 muestra una imagen esquemática de
la máquina f en operac�n. Cada entidad que se expulsa es un elemento
de la imagen de la función f. Recuérdese la definición de imagen de una
función dada en la página 85.
Consideremos la función f definida sobr� el conjunto N de los números
naturales segtm Ja regla f (x) = :�: + 3. La "'máquina" asociada podría lla
marse "máquina de sumar 3". Si ponemos 2 en esta máquina, lo que obt�
ncmos en la salida es f ( 2) = 2 + 3 = 5; ¡¡i lo que introducimos es 7, lo
que sale será f(7) = 7 + 3 = 10; etc.
Las computadoras modernas �n ejemplos de máquinas función que
rf'álmP.nte existen. Estas máquinas tienen la capacidad de producir números
D�>minio
de 1
U-,
' '
' \
\
r l
�
Imagen
de 1
PROSLEMAS EN QVe APARECEN FUNCIONES
Dominic. Dominio
de 1 de f
D D
� t:j
Imagen Imagen
de 1 de 1
Máquina 1 en operación.
FIGURA 39
muy grandes de valores de funciones muy complicadas en periodos muy
cortos.
GRUPO 'DE EJERCICIOS 14
l. Si Ja función f está definida en el conjunto R de los números reales por
f(x) = x:, la "máquina f" correspondiente podría llamarse "máquina
de elevar al cuadrado". Encuéntrese qué es lo que saldría en la máqui
na de elevar al cuadrado cuando se introdujera en ella cada uno de
los siguientes números: 2, O, ·3_, ·2, J /2 y -1/2.
2. Repítase el ejercicio 1 con la «máquina de elevar al cubo" o ''máquina
g", donde g(x) = x8, en lugar de la máquina f.
CROBLEMAS EN QUE APABEC&N FUNC!ON�
En esta sección discutiremos tres importantes tipos de problemas que sur
gen en conexión con funciones. Recordemos primero, sin embargo, que
una relación general R, como consiste en un conjunto de pares ordenados,
puede escribirse en notación constructiva. En efecto, podíamos escribir
PROBLEMAS DEL TIPO \ 93
R = ( (x, y) 1 . . . h donde los tres puntos que siguen a la barra vertical apa•
recen en vez de alguna proposición acerca de x y y que nos permite decidir
si un par ordenado está o no en R. Como una función es una clase par�
ticular de relación, también puede escribirse en la forma f = { (x, y) 1 . . . },
pero ahora la proposición acerca de x y � que sigue a la barra vertical debe
ser tal que no haya dos pares diferentes eri f que tengan el mismo primer
componente.
Cuando observamos a
f = {(x,y) [ . . . },
vemos los tres símbolos f, x y y. Los tres tipos de problemas a que antes.
nos referimos pueden admitir una primera clasüicación en términos de estos
símbolos como sigue:
Tipo 1 : dados f y x, encuéntrese y.
Tipo 2: dados f y y, encuéntrese x.
Tipo 3 : dados algunos pares (x, y), encuéntrese f.
Lo que realmente significan estos problemas lo explicaremos a conti
nuación con ayuda de algunos ejemplos. La clasificación de estos proble-,
mas en los tipos 1, 2 y 3 no es estándar; aqui la introducimos solamente
porque nos resulta conveniente.
Problemas del tipo 1
En este tipo de problema se supone que tenemos una información com
pleta sobre lo que la función en cuestión es. Quizá la tenemos escrita en
forma explícita como un conjunto de pares ordenados, pero usualmente
la tendremos descrita por una regla o fórmula. Se nos ha dado también
un primer componente determinado de uno de los pares ordenados de !a
función. Deseamos encontrar el segundocomponente. En términos de nota
ción funcional esto significa que se nos ha dado una función f y un ele
mento x de su dominio; lo que queremos hallar es f(x). Esta es preCÍ5amente
la clase de problema que ya hemos consid�rado en las secciones tituladas
Notaci6n funcional y Las fun.ciones como reglas. Consideremos dos ejem
plos más.
Sea f la :función "área de un cuadrado". Es decir, f(x) es el área -el
número de unidades cuadradas- de un 4uadrado con lado de longitud:
x -el número de unidades lineales. Como la longitud del lado de un cua-:
drado es positiva, el dominio de f es el conjunto P de números reales posi
tivos. Así. pues, la función f está definida sobre el conjunto P por la:
fórmula f(x) = .Y:. Si ahora se nos pide en�ontrar el área de un cuadrado,
94 PROBLEMAS EN QUE APARECEN FUNCIONES
dada la longitud de un lado, tenemos un problema del tipo 1 : conocemos
f'y x, y queremos encontrar f(x). La solución del problema es simplemente
cuestión de sustituir el valor dado de x en la fórmula definitoria f(x) = x2•
Así, por ejemplo, el área de un cuadrado de lado 3 es f(3) = 32 = 9; el
área de un cuadrado de lado � es f(�) = m � = � = 6 t, y suc�sivamente.
Consideremos ahora una función algo más complicada, la función "área
de un rectángulo" (figura 40). Sabemos que el área de un rectángulo que
tiene base de longitud b y altura de longitud h es b X h. ¿Cómo expresa
remos esto en lenguaje fuodonal? Observamos que el área de un rectán
gulo depende del par (b, h) de números y no solo de un número, como en
el caso de un cuadrado. Si usamos g como denominación de la función
''área de un rectángulo", y vemo� que g está definida sobre el conjunto de
todos Jos pares ordenados de números reales positivos. En este ejemplo
T
1
Area = b X h
lo------- b-----�
An:a de un rectángulo.
FIGURA 40
particular sucede que no importa que los pares sean ordenados. En general,
sin embargo, sí es importante en qué orden se tomen los números. Si repre
sentamos por P al conjunto de todos los números reales positivos, debemos
e.ntonces recordar que el conjunto de todos los pares ordenados de elemen
tos de P es el producto cartesiano P X P. (Véase la página 71 y el cua
derno 1 : Conjuntos, páginas 52 y 55.) Así pues, la función g está definida
sobre el conjunto P X P por la fórmula g[(b, h)J = b X h.
Una función como g que está definida sobre un conjunto de pares orde
nados se llama, a veces, "función de dos variables". Es convencional omitir
lps paréntesis exteriores en símbolos tales como g[ ( b, h) ], de modo que
aparezca en la forma más simple g( b, h) ; sin embargo, en este breve trata
miento no prescindiremos de estos paréntesis.
Como el dominio P X P mismo de )a función g consiste en pares orde
�ados, los elementos de g tendrán un aspecto algo extraño. Los pares or
denados de g tienen otros pares ordenados como sus primeros componentes,
PROBLEMAS DEl TIPO 2 95
a saber, los elementos de P X P. Así, por ejemplo, el par ordenado [(6, 2),
12] está en g porque el área de un rectángulo de base 6 y altura 2 es 12.
Otros pares ordenados de g son ( ( 4, 3), 12], [( 1, 5), 5} y [(3, 3), 9].
El encontrar el área de un rectángulo dada su hase y su altura es el
problema de tipo 1 en este ejemplo. Es decir, conocemos la función g por
su fórmula ddinitoria g[ ( b, lz)] = b X h, y se nos dan b y h ; de donde tene
mos d elemento (b, h) del dominio de g. Queremos encontrar g[(b, h)].
Si comparamos lo dicho con nuestra introducción original de los proble
mas de tipo 1 de la página 93, vemos que g desempeña el papel de f; ( b, h)
el de x; y g[(b, h)] el de y. La solución de este problema de tipo 1 se ve
una vez más que es solo cuestión de sustitución en la fórmula que define g.
Tenemos, pues, que si b = 5 y h = 2, entonces g[(5, 2)] = 5 X 2 = 10.
Problemas del tipo 2
En este tipo de problema suponemos de nuevo conocida la función f.
Puede haberse dado como un conjunto de pares ordenados, o quizá se
haya descrito por una regla o fórmula. Ahora, sin embargo, se nos da un
valor que ha de ser el segundo componente de un par ordenado de f, y lo
que queremos encontrar es el primer compqnente. Es decir, tenemos f y
f{x), y queremos encontrar x.
Vemos que un problema del tipo 2 puede tener más de una solución,
lo que nunca es el caso con un problema de tipo l . Supongamos, por ejem·
plo, que se nos ha dado la función f = { ( 1, 2), (2,4), (3,4), (4, 6 ) } y el
valor 4 para f(x). El problema de tipo 2 es encontrar una x tal que f(x) =
4. Este problema tiene dos soluciones, a saber, x = 2 y x = 3, porque
f(2) = 4 y f(S) = 4.
Vemos, también, que el valor dado par� f(x) debe ser un elemento
imagen de f. Así, verbigracia, vemos que en el anterior ejemplo no hay
ninguna solución para el problema de tipo � de encontrar una x tal que
f(;'") = 3. Esto se debe a que 3 no es el segl)ndo componente de ninguno
de los pares ordenados de f; es decir, a que 3 no pertenece al dominio de f.
Las situaciones que acabamos de describir pueden presentarse exacta
mente igual si la función dada está descrita por una regla o fórmula. Su
pongamos, por ejemplo, que f está definida sobre el conjunto R de tos
números reales por f(x) = x-z, Tenemos ahora dos soluciones para el pro·
blema de tipo 2 de encontrar una x tal que f(x) = 9: x = 3 y x = ·3, ya
que f{3) = 32 = 9 y f(-3) = (-3)!! = 9. Por otra parte, no hay ninguna
solución al problema de encontnr una x tal que f(x} = -4. Este problema
es el de encontrar una :e tal que x2 = -4, y sabemos que no hay ningún
número real que tenga un cuadrado negativó.
96 PROBLEMAS EN QUE APARECEN FUNCIONES
En muchas aplicaciones, un conocimiento del dominio de )a función
dada nos permite eliminar soluciones "extrañas". Por ejemplo, si la fun
ción f del párrafo precedente fuera el "área de un cuadrado)', función que ya
antes consideramos, estaría todavía descrita por la fórmula f(x) = x:!. Pero
el dominio de f es ahora el conjunto P de los números reales. positivos, ya
que la longitud del lado de todo cuadrado es positiva. En .. este caso, la
soluci6n x = 3 es única para el problema de tipo 2 de encontrar una x tal
que f(x) = 9, porque la otra solución, -3, que encontramos en el anterior
párrafo, no está en el dominio P de la función f que ahora estamos consi
derando. La verdad es que las funciones consideradas en este párrafo y en
el precedente son funciones diferentes. Aunque ambas están descritas por la
misma fórmula, tienen dominios diferentes y son, por tanto, conjuntos dife
rentes de pares ordenados.
Consideremos los problemas de tipo 2 asociados con la función g, "área
de un rectángulo", que consideramos antes. La función g está definida por
la fórmula g[ ( b, h)] = b X h, donde tanto b como h son números reales
positivos. El problema de tipo 2 que da 12, digamos, como el valor de g, es
encontrar b y h tales que f[ ( b, h)] = 12, es decir b X h = 12. Nos enco.n
tramos con que hay muchas soluciones: ( 2, 6), ( 4, 3), ( 12, l ) y ( 8, 1 t) son
unas cuantas de ellas. Esto era de esperar, desde luego, ya que hay muchos
rectángulos que tienen área 12.
Incluso si un problema del tipo 2 tiene una sol}lci6n única, es posible
que sea difícil de encontrar. Si Ja fónnula que describe la funCión dada
es complicada, digamos f(x) = x� - x• + 2, encontrar una x tal que f(x)
= 4 nos lleva a un problema: extremadamente difícil de solución de ecua
ciones. Los matemáticos han trabajado durante siglos en el problema de
la resolución de ecuaciones y han conseguido probar que las soluciones de la
mayoría de las ecuaciones pueden obtenerse sólo aproximadamente.* Desde
un punto de vista práctico, esto no debe preocuparnos. Las soluciones de
las ecuaciones que se presentan en los problemas prácticos pueden obtenerse
en las modernas calculadoras en tiempo muy corto.
Problemas del tipo 3
Introduzcamos este tipo de problemas con un �jemplo.
Supongamos que se nos dan los pares ordenados ( 1 , 2 ) , (2,4),(3,6) y
( 4, 8) , y deseamos encontrar una función f definida sobre el conjunto R
de los números reales tal que estos pares estén en f. El problema, en la
forma que lo hemos planteado, tiene muchas soluciones. Por ejemplo, po-
" El lector comprenderá que es sólo un modo de decir las cosas. [N. del T.]
PROBI.EMAS DEL TIPO 3 97
drlamos tomar como f el conjunto de pares ordenados consistente en los
mencionados junto con todos los pares de la forma (x, O) en que x es un
número real cualquiera distinto de 1, 2, 3, y 4. Esta solución, sin embargo;
parece poco natural y muy poco estética.
Si estudiamos los cuatro pares ordenados, notamos que cada uno de
los segundos componentes es igual al doble del primer componente corres�
pondíente. Parece, en consecuencia, que la "mejor" función, en cierto !:en·
tido, que conttene los pares dados, es aquella en que el segundo componente
de cada par es igual al doble del primero. Esta función f, como conjun.
to de pares ordenados es { ( x, y) 1 x e R y y = 2 X x}. Si deseamos describir
f mediante una fórmula, dinamos que f es la función definida sobre R
por t(x) = 2 X x. Observamos que esta 'función "encaja'' con los pares
dados; es decir, que tenemos
y
f(l) = 2 X 1 = 2, f (2) = 2 X 2 = 4, f(3) = 2 X 3 = 6,
f(4) = 2 X 4 = 8.
Estas aíinnaciones son equivalentes, respectivamente, a decir que ( 1, 2),
(2, 4), (3, 6), y ( 4, 8) están en f.
U na interpretación gráfica de lo que acabamos de hacer es la que sigue;
si representamos gráficamente los pares ordenados dados, obtenemos los
cuatro puntos mostrados en la figura 41 (a) . El problema de tipo 3 es el de
encontrar una fWldón cuya gráfica "contenga" estos pWltoS, es decir, que
y y
g g
8 • 8
7 1
6 • 6
5 5
4 •
3
2 •
1 2 3 4 5 :r: 2 3 4 5 "
(a) (b)
{(x, y)¡.q; R y y = 2 X x}.
FIGURA 41
98 PROBlEMAS EN QUE APARECEN FUNCIONES
pase por ellos. Escogimos como la "mejor" soluci6n para este problema
la funci6n f descrita en el párrafo precedente. Su gráfica se muestra en la
figura 41(b). Es por estas interpretaciones gráficas que Jos problemas del
tipo 3 se denominan con frecuencia problemas de ajuste de curva. En
matemáticas �xtendemos el significado usual de la palabra "curva,. para
que en él queden incluidas las líneas rectas como "cuxvas».
·
No hemos contestado realmente a la pregunta de cuál de las muchas
funciones posibles debíamos eseoger como la "mejor' solución de un pro
blema determinado del tipo 3. Parece que los problemas de este tipo por
lo general se presentan en las aplicaciones. En tales casos tenemos con fre
cuencia una información complementaria que nos ayuda a hacer· nuestra
elección.
Una modificación de esta clase de problemas del tipo 3 es particular
mente importante en las aplicaciones. Esta modificación consist� en la
elección como soluci6n de un problema dado de una función que no nece
sariamente ha de contener a los pares ordenados dados, sino en una que, en
cierto sentido, pasa muy cerca de ellos. Gráficamente, esto significa que
escogemos una función cuya gráfica pasa cerca de los puntos que repre
sentan los pares dados, pero que no necesariamente pasa por ellos.
¿ Por qué deberíamos hacer tal elecd6n ? En la práctica, los pares orde
nados dados se han obtenido usualmente por la observación de experimen
tos, y éstos están sujetos a errores. Es por eso por lo que no nos interesa
particularmente que la función contenga realmente a estos pares, que pro·
bablemente no son, de modo alguno, exactamente correctos. :Permitiéndonos
alguna desviación, podemos encontrar una función que es simple en su
forma o que puede estar sugerida por otras consideraciones. Un ejemplo
puede ayudar a aclarar todas e.Stas cuestiones.
Supongamos que un científico está estudiando cierta dieta sobre una
rata y desea encontrar una función que relacione el peso de la rata en on
zas a su edad en días. Pesa la rata cada día y registra esos pesos en una
tabla:
Número del día 2 3
Peso en onzas 1.7 1 .8 2 .3 3 .2
Esta tabla nos da un número de pares ordenados : ( 1 , 1.7), (2, 1.8), (3, 2.3)
y ( 4, 3.2). Cuando los representamos gráficamente, los cuatro resultantes
son los que aparecen en la figura 42.
Podemos ver que no hay ninguna línea recta que contenga a todos estos
puntos. Esto quiere decir que ninguna función cuya gráfica sea una línea
recta puede contener a los pares ordenados observados. El científico, sin
PROBLEMAS DEl TIPO 3 99
4�---+----+----1-----r-
3�---+----4-----r----;--
2�--�-----+----�----;--
1�--��--�----�----�--
2 3 4
Gráfica de un experimento.
FIGURA 42
embargo, puede tener buenas razones para necesitar una función de tal tipo;
y puede atribuir el hecho de que realmente no haya ninguna función oe
este tipo a deficiencias en los datos observados. Estas deficiencias pueden
haber sido causadas, por ejemplo, por falta de exactitud en las balanzas o
quizá por una rata poco colaboradora. En este caso desea encontrar uila
función cuya gráfica sea una línea recta que pase "cerca" de los cuat:ro
puntos. Hay un procedimiento estándar, llamado método de los mlnimos
cuadrados, que nos dará tal función. Si se aplica el método en este ca�o,
resulta la función f, definida por la fórmula f(x) = 1.0 + (0.5) X x. La
gráfica de f se muestra en la figura 43 (a) .
Resulta que hay una función bastante sencilla que contiene realmente
a todos los pares ordenados del ejemplo que arriba hemos dado. Está defi
nida por la fórmula
g(x) = 2.0 - (0.5) X x + (0.2) X x2,
y su gráfica aparece en la figura 43(b). La verificación de que g realmente
contiene a los cuatro pares dados, nos lleva a cuatro problemas del tipo 1 .
Así, si sustituimos la x por 3 en la fórmula definitoria, encontramos que
g(3) ·= 2.0 - (0.5) X 3 + (0.2) X 3� = 2.0 - 1.5 + 1.8 ;::: 2.3.
Esto quiere decir que el par (3, 2.3) está en g. El lector puede efectuar
por sí mismo las otras tres partes de la verificaci6n.
Aunque existe esta función g que "encaja" exactamente los datos obser
vados, el científico puede, por razones propias, seguir prefiriendo usar la
100 PROBLEMAS EN QUE APARECEN fUNCIONES
4 4
3 '/ V / 2 2
V
/ V � V
3
V 1� 1
1 2 3
f(x) t=! 1.0 + (0.5) X x
(a)
4 X 1 2 3 4 X
g(x) = 2.0 - (0.5) X x + (0.2) X x'
Ajustes de curvas. (b)
FIGURA 43
función más sencilla f que encontramos primero. Supongamos que el cientí
fi�o decide que la función f definida por la fórmula f ( x) = 1 .0 + ( 0.5)
X x es la que representa el aumento de peso de su rata. ¿Qué podemos
hacer con esta función? En primer lugar, podemos usarla con propósitos de
predicción. Por ejemplo, para predecir el peso de la rata cuando tenga
cinco días, solo necesita sustituir la x por el 5 en la fórmula definitoria
p¡tra x y obtener f(5) = 1.0 + (0.5) X 5 = 3.5. (Este es un; problema de
tipo 1.) De acuerdo con esto, estima que la rata pesará 3.5 onzas cuando
tenga 5 días. O es posible que quiera saber cuándo pesará la rata 4.0 onzas
Entonces se encuentra ante un problema del tipo 2 : Quiere encontrar una
.� tal que f(x) = 4.0; es decir, tal que 1.0 + (0.5) X x = 4. El valor de x
que hace que esto sea cierto es 6. Por lo que predice que la rata pesará 4.0
onzas cuando -tenga seis días. Al usar la función f de este modo debemos
tener en cuenta que hay limitaciones en su dominio de validez; probable ..
mente éste se reduce a unos cuantos días. Esperemos, al menos, que la dieta
que el científico está estudiando no tenga tanto éxito que llegue a producir
una rata de dos años que pese 366 onzas.
En esta secci6n hemos considerado tres clases de problemas referentes
a las funciones: problemas del tipo 1, que ordinariamente se reducen a una
sustituci6n en la fórmula; problemas del tipo 2, que incluyen la soluci6rt
de una ecuación; y problemas del tipo 3, a los que usualmente se les lla.
ma de ajuste de curva. Una gran parte de las matemáticas superior�s está
d�dicada al estudio de las funciones, y los anteriores tiposde problemas no
RESUMEN 1ÓI
hacen más que rascar un poquito en la superficie de este tema. Las funcio
nes más interesantes e importante son las ·que satisfacen ciertas condiciones
que no tenemos espacio de discutir aquí. El análisis, por ejemplo, que es
una de las grandes ramas de Ja matemática moderna, incluye el estudio
del comportamiento de funciones que satisfacen ciertas condiciones de
tersura o "lisura".
GRUPO DE EJERCICIOS 15
l. Sea g la función definida en el conjuntó J de los enteros por g(n)
4 - n1• Encuéntrense dos soluciones ·para cada uno de los siguientes
· problemas del tipo 2 :
a) g(n) = 3 b) g(n) = O
(Sugerencia: véase el ejercicio 2 del :grupo de ejercicios 13, de la pá·
gina 90.)
2. Recuérdese que el área de un triángulo con base de longitud b y altura
h está daaa por la expresión 1/2 X b X h. Por tanto, la función "á�a
de un triángulo" está definida sobre el conjunto de todos los pares orde
nados de números reales positivos por la regla f[(b, h)] = 1/2 X b X -h.
a) Encuéntrense f((5, lO)J, f[(2, 6)], f[(4, 3)] y f(( 12, 1)).
b) EnClléntrense tres soluciones para cada uno de los siguientes proble
más de tipo 2:
l) f[(b, h)] = 6. u) f[(b, h)] = 12.
3. Supongamos que se nos han dado los pares ordenados (·3, 3), (-2, 2),
(-.t, 1), (0, O), ( 1, -¡ ) , (2, -2) y (3, -3). ¿ Cuál es, a juicio del lector, la
"mejor" funci6n f, definida sobre R, que contiene todos estos pares
ordenados?
RESUMEN
A medida que las matemáticas han ido desarrollándose a través de los
siglos, se han expandído hasta abarcar un gran número de ternas muy
especiales y, generalmente, muy complic!ldos. Mediante el estudio de estos
temas esp�ciales con el fin de descubrir las propiedades que tienen en co
mún, los matemáticos han descubierto cierto número de conceptos unifica
dores durante los últimos cincuenta años. ·cada uno de estos conceptos se
basa en ideas completamente elementales� y cada uno contiene, como casos
especiales, unos cuantos de los temas tradicionales aparentemente distintos.
102 RESUMEN
En este cuaderno tenemos un �jemplo de tal unificación. Aquí, el concep
to unificador ha sido el de relación. Hemos visto que el concepto de relación
se basa en dos ideas muy elementales: las de conjunto y par ordenado.
Exactamente, una relación es precisamente un conjunto de pares ordena
qos. Hemos visto también que el concepto de relación abarca · �m número
de teorías diferentes más especiales: hemos estudiado dos de ellas, las rela
c.iones de equivalencia y las funciones) con alguna extensión, y tuvimos mu
cho que decir acerca de las rel{lciones de orden. Estos temas, a su vez,
contienen innumerables casos particulares que a primera vista parecen tener
poco en común, pero que en realidad resultan ser todos ellos relaciones.
Para lecturas complementarias
Entre las diversa.! referencias útiles que tratan el tema que aquí
hemos introducido se encuentran las siguientes:
MA.v, KENNETH O. VAN ENOEN, HERNY. "Rclations and Functions"
en The Growth of Mathematical Ideas, Grades K-12. Vigésimo·
cuarto anuario del National Coundl of Teachers of Mathematics.
Washington, D. C.: The Council, 1959. Puede obtenerse en el
National Council of Tcachers of Mathemat'ics, 1201 Sixteenth St.,
N. W., Washington, D. C. 20036.
McFADDEN, MvRA; Mooae, J. WtLLIAM y SMrrH, WENDELL l. �' 6clgtig¡¡t�n4 Fuqctjgp¡: A Programmt:d Unit in 'Modt:rn Math
tmatics. ueva York: McGraw-Hill Book Co., 1963. 299 págs.
Puede obtenerse en McGraw-Hill Book Co., 330 W. 42nd St.,
Nueva York, N.Y. 10036.
SELBY) SAMUEL M. y SWEET, l.EoNARD. St!(S-Re{g'ioru-funG'iqgs: An
/ntroductien. Nueva York: McGraw-Hill Book Co., 1963. 233
págs. Puede obtenerse en McGraw-Hill Book Co., 330 W. 42nd
. St., Nueva York, N. Y. 10036.
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Grupo de ejercicios 1 (pág. 1 7)
l . a) Abierta e) Abierta
b} Falsa d) Verdadera
2. Verdaderas: e), e), g), j). Falsas: a}, f). Abiertas: b), d), h), i).
3. a) {36)
�) {0, 1, 2, 3}
e) { 3, 4, 5, . • . }
d) {O}
e) { }, o fJ
4. a) {2, 3, 4}
b) {O}
d) { . . . , -4, -3, 3, 4; . . . }
e) /
e) { }, o fJ f) { . . . , -2, -t, o, 1, 2, 3}
Grupo de ejercicios 2 (pág. 2 1 )
1. a) {0, 1 , 2}
b) (-1, o, 1, 2}
e) { 1 , 2}
d) {2}
e) {2, 4, 6, 8, 10, l2}
f) {Aiabama, Alaska, Arkansas, Arizona}
2. a)
b), e)
1 o 2 3 4
d), e)
-� o ... • • "4 "3 ·¡ o 1
f)
• • •
"3 '2 "1 o 2
Grupo de ejercicios 3 (pág. 27}
l. a), b) ((1,4), (2, 3), (3, 2), (4, 1 ) }
e} ((O, 1) , (0, 0), ( 1 , 0) }
5 6 7
2 ;; 4
3 4 5
2. Hay muchas contestaciones aceptables en este ejercicio, pero cada un¡l
debe constar de, al menos, cúatro pares. ordenados. Abajo damos algunos
ejemplos de contestacione5:
103
104 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
a) (0, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3}, (-1, -1), (-2, -2), (j, -!), . . .
b), e) (O, 2), (1, 1 ) , (2, 0), (3, -1}, (4, ·2), (-1, 3), (-2, 4), . . .
d) (0, 1 ) , (0, 2), (0,3), (1, 2), {1 ,3) , (2, 3) , (-3, 1 ) , (-l, i), . . .
e) (0, 1 ) , (0, 2), (0, 3), (1, 3), (1, 4), (-1, 0), (-1, -1), . . .
3. a) X y b) o �
1 4 o 2
2 3 1 1
3 2 2 o
4 l 3 -1
4 -2
-t 3
-2 4
Grupo de ejercicios 4 {pág. 41 }
i .
RESPUESTAS A lOS EJERCICIOS lOS
2. a) t::. b) l::l e) t::.
3., D)
4
3
-¡
y
3
2
3 4 o 2 3 4 o
b)
4 • • • •
• • • •
• • • •
• • •
2 3 4 o
(Gráfica incompleta)
Grupo de ejercicios 5 (pág. 45)
l. a) {(L, T), (L, E) }
b) { (T, E), (E, T), (T, L) , (L, T), (E, L), {L, E) }
e) ( (P, M), (P, T), (P,E), (P, L), (M, E), (M, L), (T,E), (T, L) ,
(E, L))
2. a) La relaci6n completa es { (Cleopatra, Colón), (Cleopatra, Napoleón),
(Cleopatra, Eisenhower), (Colón, Napole6n), (Col6n, Eisenhower),
(Nap?le6n, Eisenhower)}.
b) Ejemplos: (Nueva York, Cleveland), (Cleveland, Chicago) , (Den
ver, Reno), (Denver, San Francisco) .
3. Ejemplos: fue construido antes, está situado al Sur ,de, no es tan alto
como.
lOó RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Grupo de e¡ercicios 6 (pág. 54)
l . a)
L
E
r.
p
2.
p
5
4
3
2
•
M
•
T
•
•
•
E
•
•
•
•
L
•
• •
• • •
• • • •
2 3 4 5
Grupo de ejercicios 7 (pág. 55)
l. a) No.
b) Sí.
e) xRy, yRz, yRy, zRx.
2. {(x,y), (x,z), (z,y), (y, z), (z, z) }
Grupo de ejercicios 8 (pág. 60)
1 . Simetría: sí ( x, y) e R, entonces (y, x) e R.
Transitividad: sí (x,y) e R y (y, z) e R, entonces (.�, z) e R.
2. a) Es una relaci6n de equivalencia.
b) .tsta no es una relación de equivalencia, porque tenemos
zRx y xRy, pero no zRy.
3. Es simétrica, pero no es reflexiva ni transitiva. (N6tese que 2 =fo 3 y
3 =:f= 2, pero 2 =1= 2 es falsa.)
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 107
4. No. No es reflexiva.
5. Sí.
Grupo de ejercicios 9 (pág. 69)
1. La clase de equivalencia tanto de 1, como de 3, como de 9 es H (véase
pág. 67) ; la clase de equivalencia de 2 y la de 10 es K.
2. El conjunto de todas las rectas verticales, el conjunto de todas las rectas'
horizontales, el conjunto de todas las rectas a 45°.
3. Respuestas ejemplo:
1 2 �¡ -2 5 a) 3• 6• -3' ·6' 15
-2 2 -¡ 1 •3 b) 6' ·6' 37 ·3' 9
-4 1 2 -¡ 21
e) -4• l1 2• -¡' 21
o o o o o
dJ 2• T• -t• 3• 4
Grupo de ejercicios 1 O (pág. 73)
l . a) {(a,a), (b, b), (c,c), (d, d), (e, e) , (f, f), (a, d), (d, a) ,
(a,e ) , (e, a), (d, e) , (e, d), (c,f), (f, c) }
b) "
e
d
e
b
a
•
•
•
•
•
•
.1 b e
e) {a,d,e}, {b}, y {c,f}
2. a) Sí.
b) No.
•
• •
• •
•
• •
e) { (x,x) , (y,y) , (z,.z), (w,w), (x,y), (x, z), (y, z), (w, z) }
108 RESPU�TAS A lOS EJERCICIOS
d)
e) Si. (Esto se ve mejor eón el diagrama de flechas) .
Grupo de ejercicios 1 1 (pág. 83)
1. (a) y (e) son funciones; (b) y (d) no lo son.
2. (a) y (e) son funciones; ( b) no lo es, porque Ja longitud y el ancho de
un rectángulo no están determinados por su área.
3. ( b) es la gráfica de una funci6n; (a) no lo es.
Grupo de ejercicios 1 2 ·(pág. 87)
1 .El dominio de f es (-3, "'2, -1, O, 1, 2, 3}, la imagen es {O, 1, 2, 3).
f(2) = 2, f(-2) = 2, f(O) = O, f(-1) = l.
2. Tanto el dominio como la imagen de g es R. g(5) = 3, g(2) = O,
g(O) = -2, g(-2) = -4, g( 1 ) = -t .
3. El dominio de co¡ es el conjunto de las letras del alfabeto castellano, la
imagen es el conjunto de los primeros 28 números naturales. co¡(N) =
16, co¡(C) = 3, co¡(T) = 22, �(M) = 15.
Grupo de .ejercicios 1 3 (pág. 90)
1. {(2, 1 ) , (4, 3), (6,5}, (8, 7), (10, 9) }.
2. g(-2) = O, g(-1) = 3, g(O) = 4, g(l) = 3, g(2) = O.
3 . . . . conjunto R según la regla �(x) = x + 3.
RESPUESTAS A lOS EJERCICIOS 109
Grupo de ejercicios 14 (pág. 92)
l. Las salidas son f(2) = 4, f{O) = O, f(-3) = 9, f(-2) = -4, f(!) = ! y
f(-i) = t.
2. Las salidas son g{2) = 8, g(O) = O, g(-3) = ·27, g(-2) = -8, g( !) = l
y g(·i) = -*·
Grupo de ejercicios 1 5 (pág. 10 1 }
1. a) n = 1 y n = -L
b) n = 2 y n = -2.
2. a) f[(5, 10)] = 25, f[(2, 6)] = 6, f[(4, 3)] = 6 y f((l2,1)] = 6.
b) Respuestas ejemplo: I) (2, 6), ( 4, 3), ( 1, 12), (3, 4) .
n) (2, 12), (3, 8), (8, 3), (4, 6) .
3. ¿No escogió el lector la {unción f definida por f(x) = -x?Mais conteúdos dessa disciplina
1 (22)- Cinética Química e Logaritmos
- Lista-de-exercicios-de-Matematica-02-2-ano-Flavio
- Resolução de Sequências Matemáticas
- Resolução de Logaritmos
- Unidades-de-medidas
- Problemas Matemáticos Diversos
- Ana Laura trabalha no departamento financeiro de uma loja de artigos para decoração, sua gestora solicitou que ela apresente a Demonstração do Resultado de um determinado período utilizando os dois re
- Ana Laura trabalha no departamento financeiro de uma loja de artigos para decoração, sua gestora solicitou que ela apresente a Demonstração do Resultado de um determinado período utilizando os dois re
- Na teoria de grafos, floresta é um conjunto de Opção A arestas com vértices em comum. Opção B árvores sem arestas em comum. Opção C árvores com vértic
- Árvore geradora de um grafo G é um subgrafo gerador Opção A conexo e acíclico. Opção B desconexo em vértices e cíclico em arestas. Opção C desconexo e
- A construção de uma cultura ética e democrática no ambiente escolar não depende apenas da relação entre professores e alunos, mas também da valoriz...
- A formação ética e cidadã no ambiente escolar vai além do ensino teórico, buscando envolver os alunos em práticas que fortaleçam valores como solid...
- Analise as afirmativas a seguir sobre o conceito de capacitismo:
Está correto o que se afirma em:
I- O capacitismo é uma forma de discriminação que...
- Leia as afirmativas abaixo acerca da Inclusão escolar e equidade social:
Com base nessas asserções, assinale a alternativa correta:
I – A Constitui...
- Analise as seguintes afirmativas sobre os objetivos e os princípios fundamentais do Código de Ética do Pedagogo, estabelecido pela Resolução n. 03/...
- Analise as afirmacoes abaixo sobre a ética profissional docente, com base na Resolução n. 03/2018 do CFEP (Código de Ética do Pedagogo), na LDB, no...
- Em relação aos códigos, resoluções e fundamentos legais que orientam a ética na atuação do profissional da educação, assinale a alternativa incorre...
- A educação antirracista é um compromisso ético e político com a equidade racial no ambiente escolar. Ela busca combater o racismo estrutural por me...
- Práticas inclusivas e equitativas devem ir além da simples presença física dos alunos na escola. Elas consistem em ações pedagógicas e instituciona...
- Diante dos recentes casos de racismo, homofobia e exclusão de alunos bolsistas em escolas particulares de elite, qual ação seria mais eficaz e etic...
- O desenho a seguir é considerado um grafo? Se sim, quantos vértices e arestas ele possui? img_2_exer1_perg2.jpg Opção A Sim, o desenho acima é um graf
- SAS 2021 - Matemática 1 - Livro 1
- jogos Matematicos Atividade 3
