Exercicios 1 a 5 - 2x

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1.
		Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo:
x4y(4)+xy3=exx4y(4)+xy3=ex
	
	
	
	Ordem 4 e grau 3.
	
	
	Ordem 1 e grau 1.
	
	
	Ordem 4 e grau 1.
	
	
	Ordem 4 e grau 4.
	
	
	Ordem 1 e grau 4.
	
Explicação:
O aluno deve mostrar conhecimento sobre as definições de ordem e grau de uma EDO
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o limite da função (t2 , cos t, t3) parametrizada quando t tende a zero.
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(0,1)
	
	
	(0,1,0)
	
	
	(1,1,1)
	
	
	(0,2,0)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - (y(IV))2+3xy′+2y=e2x(y(IV))2+3xy′+2y=e2x
II - d2ydt2+tdydt+2y=sen(t)d2ydt2+tdydt+2y=sen(t)
III - d2ydt2+dydt+ty2=0d2ydt2+dydt+ty2=0
Assinale a alternativa verdadeira.
	
	
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a alternativa I e II é linear.
	
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
Explicação:
I possui função exponencial e III tem o termo y2y2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja a função F parametrizada por:
   .
Calcule F(2)
	
	
	
	(6,8)
	
	
	(5,2)
	
	
	(2,16)
	
	
	(4,5)
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy = (sen x)dx, obtemos:
	
	
	
	sen y + cos x = C
	
	
	sen x + cos y = C
	
	
	sen y + cos y = C
	
	
	sen x - cos y = C
	
	
	sen x - cos x = C
	
Explicação:
Resposta: a) sen y + cos x = C Basta fazer (cos y)dy = (sen x)dx e integrar ambos os membros
	
	
	
	 
		
	
		6.
		São grandezas vetoriais, exceto:
	
	
	
	Maria assistindo um filme do arquivo X.
	
	
	João dirigindo o seu carro indo em direção ao bairro do Riacho Fundo.
	
	
	Um corpo em queda livre.
	
	
	O avião da Air France partindo do aeroporto de Brasília com destino a Paris.
	
	
	Maria indo se encontrar com João, na porta do cinema.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Resolvendo a equação diferencial (x+1)y' = x + 6, encontramos:
	
	
	
	y = x + 5 ln | x + 1 | + C
	
	
	y = ln | x - 5 | + C
	
	
	y = -x + 5 ln | x + 1 | + C
	
	
	y = x + 4 ln| x + 1 | + C
	
	
	y = -3x + 8 ln | x - 2 | + C
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante:
y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0
	
	
	
	x5sen(x)+y5=kx5sen(x)+y5=k
	
	
	y5sen(y)+y4=ky5sen(y)+y4=k
	
	
	y5sen(x)+y5=ky5sen(x)+y5=k
	
	
	y5xsen(x)+y5=ky5xsen(x)+y5=k
	
	
	y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k
	
Explicação:
 Para chegar  a  esta solução ,y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k   coloque a ED dada na forma padrão e teremos o P(x). Aplique o método de solução realizando a integração.
		1.
		Considere a equação diferencial ordinária em que a função y depende exclusivamente da variável x, tal que dy - ex.dx = 0 e y(0) = 2. Determine a solução para as condições iniciais apresentadas.
	
	
	
	ex - 2
	
	
	ex
	
	
	ex - 1
	
	
	ex + 2
	
	
	ex + 1
	
Explicação:
dy ¿ ex.dx = 0 , logo  dy = ex.dx. Integrando, temos: y = ex + C. Para x = 0, Y = 2. Portanto, 2 = e0 + C, logo C = 1. Assim, y =  ex + 1.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a solução geral para a EDO de primeira ordem a seguir:
dy/dx  = 2ycosx
	
	
	
	y = c.e(senx)/2
	
	
	y = c.e2senx
	
	
	y = c.esen3x
	
	
	y = c.esen(x/2)
	
	
	y = c.esen2x
	
Explicação:
dy  = 2ycosx.dx
dy/y  = 2cosx.dx
ln(y) = 2senx + k,  y > 0
y = e2senx + k
y = ek.e2senx
y = c.e2senx
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos frequentemente geram uma equação que contém algumas derivadas de uma função desconhecida. Tal equação é chamada de equação diferencial. Para iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma terminologia comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação diferencial se faz necessário classificar esta equações.
Três classificações primordiais são:
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial)
2. Segundo a ordem desta equação.
3. Segundo a linearidade.
Classifique as seguintes equações:
a) dxdt=5(4−x)(1−x)dxdt=5(4-x)(1-x)
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0∂4u∂x4+∂2u∂t2=0
d) d2ydx2+x2(dydx)3−15y=0d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0
Admitindo os seguintes índices para a classificação:
A=1: para E.D.O.
A=2: para E.D.P.
n: A ordem da Equação
B=5: para equação linear
B=6: para equação não linear
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em:
 
	
	
	
	8; 8; 9; 8
	
	
	8; 8; 11; 9
	
	
	7; 8; 9; 8
	
	
	8; 9; 12; 9
	
	
	7; 8; 11; 10
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Resolvendo a equação diferencial separável xdy = ydx, obtemos:
	
	
	
	y = ln x + C
	
	
	ln y = x + C
	
	
	x = ln y + C
	
	
	ln y = ln x + C
	
	
	y + x = C
	
Explicação:
Resposta: a) ln y = ln x + C Basta  separar as variáveis e integrar ambos os membros.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é
	
	
	
	y=ln 2x -1
	
	
	y=2x-ln(x+1)+C
	
	
	y=ln x+C
	
	
	y=x+C
	
	
	y=C/x
	
Explicação:
xy´+y=0 é
xdy/dx = -y
-dy/y = dx/x
-lny = lnx + c
-lny = lncx
lny + lncx = 0
lncxy = 0
cxy = 1
y = 1/cx
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Indique a solução correta da equação diferencial: `dy/dx = sqrt(7x³).
	
	
	
	y=7x+Cy=7x+C
	
	
	y=7x³+Cy=7x³+C
	
	
	y=− 7x³+Cy=- 7x³+C
	
	
	`y = (2sqrt7)/(5)x^(5/2) + C
	
	
	y=x²+Cy=x²+C
	
Explicação:
Calcule a integral: y=√7∫x32dx=25√7x52+Cy=7∫x32dx=257x52+C
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis:
dydt=et−ydydt=et−y
	
	
	
	y=ln(et+c)y=ln(et+c)
	
	
	y=ln(e)+cy=ln(e)+c
	
	
	y=ety+ky=ety+k
	
	
	y=t+ky=t+k
	
	
	y=et−yy=et−y 
	
Explicação:
eydy = etdt
ey = et + c
y = ln(et + c)
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 4y = 32?
	
	
	
	2
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	10
		1.
		Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y).
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2f(x,y)=7x3+2xy2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	É homogênea de grau 4.
	
	
	É homogênea de grau 2.
	
	
	Não é homogênea.
	
	
	É homogênea de grau 3.
	
	
	É homogênea de grau 1.
	
Explicação:
Aplica-se o teste descrito no texto da questão.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0
	
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t)y(t)=53e-t+23e-(4t)
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)y(t)= - 43e-t - 13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t)y(t)=43e-t+13e-(4t)
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4ty(t)=43e-t - 13e4t
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t)
	
Explicação:
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: m²+5m+4=0m²+5m+4=0...(1)
Raízes: m1=−1;m2=−4m1=−1;m2=−4   ... A resposta típica é: y(t)=C1e−t+C2e−4ty(t)=C1e−t+C2e−4t....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
y(0)=1;y′(0)=0y(0)=1;y′(0)=0
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: C1=43;C2=−13C1=43;C2=−13
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
y(t)=y(t)=43e−t−13e−4t43e−t−13e−4t
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
	
	
	
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0(δMδy)=(δNδx)=0
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=7(δMδx)=(δNδy)=7
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=0(δMδx)=(δNδy)=0
	
	
	É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=4(δMδx)=(δNδy)=4
	
	
	É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=5x(δMδy)=(δNδx)=5x
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma função f(x,y)f(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y).Verifique se a função  f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Não é função homogênea.
	
	
	É função homogênea de grau 4.
	
	
	É função homogênea de grau 1.
	
	
	É função homogênea de grau 2.
	
	
	É função homogênea de grau 3.
	
Explicação:
Fazendo a adequada substituição, verifica-se, no presente exercício que f(tx, ty) = t² f(x, y)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyxf(x,y)=x3+xy2eyx é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Homogênea de grau 2.
	
	
	Homogênea de grau 3.
	
	
	Não é homogênea.
	
	
	Homogênea de grau 4.
	
	
	Homogênea de grau 1.
	
Explicação:
Calcular f(tx, ty) e verificar que f(tx, ty) = t³f(x, y)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada uma função de modo que f(5,6)=7  e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que  f(20,24) é:
	
	
	
	24
	
	
	28
	
	
	20
	
	
	7
	
	
	1
	
Explicação:
28
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos respectivamente:
	
	
	
	3 e 1
	
	
	2 e 1
	
	
	2 e 2
	
	
	1 e 2
	
	
	1 e 1
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0:
	
	
	
	equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear.
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear
	
	
	equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear;
	
	
	equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear
	
		1.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x)
	
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolva a seguinte EDO EXATA:
y′=5y−2x−5x+3y2y′=5y−2x−5x+3y2
	
	
	
	−5x2+y3+x2=k−5x2+y3+x2=k
	
	
	−5xy+y3+x2=k−5xy+y3+x2=k
	
	
	−5y+y3+x2=k−5y+y3+x2=k
	
	
	−5xy2+y3+x2=k−5xy2+y3+x2=k
	
	
	−5x+y3+x2=k−5x+y3+x2=k
	
Explicação:
Inicie fazendo y′=dy/dxy′=dy/dx
O método abrange desde a comprovação da Condição de Exatidão, escolhendo-se uma ordem de integração de M(x,y)  ou  N(x,y), chegando-se a uma função g(x,y) que, se derivada parcialmente em relação a x e a y, reproduza M(x,y) e N(x,y). Derive a função abaixo parcialmente em relação a x e a y e encontraremos M e N.
−5xy+y3+x2=k−5xy+y3+x2=k
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy
II - (ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0(ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0
III - (x−y)dx+(x+y)dy=0(x−y)dx+(x+y)dy=0
 
	
	
	
	Apenas I e III.
	
	
	Apenas I e II.
	
	
	Apenas II e II.
	
	
	Todas não são exatas.
	
	
	Todas são exatas.
	
Explicação:
Uma EDO da forma Mdx + Ndy = 0 será exata quando dM/ dy = dN / dx
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule C1C1 e C2C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosxy(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as condições dadas:
y(0)=2y(0)=2; `y '(0) = 1.
Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.
	
	
	
	C1=2C1=2; C2=1C2=1
PVC
	
	
	C1=1C1=1; C2=ln2C2=ln2
PVC
	
	
	C1=−1C1=-1; C2=− 2C2=- 2
PVI
	
	
	C1=1C1=1; C2=2C2=2
PVI
	
	
	C1=√3C1=3; C2=√2C2=2
PVC
	
Explicação:
O chamado, problema de valor inicial - PVI, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo.
O chamado, problema de valor contorno - PVC, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos curvas-solução, em  dois pontos distintos, que atenda ao projeto/processo em estudo.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0.
	
	
	
	y = C1e-t + C2e-t
	
	
	y = C1e-3t + C2e-2t
	
	
	y = C1et + C2e-5t
	
	
	y = C1e-t + C2
	
	
	y = C1e-t + C2et
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2:
	
	
	
	𝑦 = − 𝑥 + 8
	
	
	𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10
	
	
	𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma equação diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é chamada de exata se:
	
	
	
	δM(x,y)δy=−δN(x,y)δxδM(x,y)δy=−δN(x,y)δx
	
	
	δM(x,y)δy=δN(x,y)δxδM(x,y)δy=δN(x,y)δx
	
	
	2δM(x,y)δy=δN(x,y)δx2δM(x,y)δy=δN(x,y)δx
	
	
	δN(x,y)δy=δM(x,y)δxδN(x,y)δy=δM(x,y)δx
	
	
	δM(x,y)=δN(x,y)δM(x,y)=δN(x,y)
	
Explicação:
Este é o critério de Exatidão para uma ED ser considerada Exata: δM(x,y)δy=δN(x,y)δxδM(x,y)δy=δN(x,y)δx
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma  uma equação diferencial exata é necessário que:
	
	
	
	A derivada de N em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
	
	
	A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de M em relação à x.
	
	
	A derivada de M em relação à x seja igual à derivada de N em relação à x.
	
	
	A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x.
	
	
	Nenhuma da alternativas
	
Explicação:
Essa resposta é a condição para que tenhamos uma EDO exata
		1.
		O Wronskiano de 3ª ordem  é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas funções.
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes nesse ponto.
Identifique, entre os pontos do intervalo[−π,π][-π,π] apresentados, onde as funções t,sent,costt,sent,cost são linearmente dependentes.
	
	
	
	t=π2t=π2
	
	
	t=π3t=π3
	
	
	t=πt=π
	
	
	t=0t=0
	
	
	t=π4t=π4
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Identifique no intervalo[ - π,ππ,π] onde as funções {t,t2, t3}{t,t2, t3} são  lineramente dependentes.
	
	
	
	t=−π2t=-π2
	
	
	t= πt= π
	
	
	t=0t=0
	
	
	t=−πt=-π
	
	
	t= π3t= π3
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3yy'=exp(x)
	
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual a única resposta correta como solução da ED :  dydx=yx+1dydx=yx+1 ?
	
	
	
	`lny = ln| 1 - x  |
	
	
	`lny = ln| sqrt(x  1)|
	
	
	`lny = ln|x|
	
	
	`lny = ln|x - 1|
	
	
	`lny = ln|x + 1|
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares.
I - y´+4xy=x4y´+4xy=x4
II - y´−2xy=xy´−2xy=x
III - y´−3y=6y´−3y=6
	
	
	
	Apenas a I.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a II.
	
	
	Nenhuma alternativa anterior está correta.
	
	
	Apenas a III.
	
Explicação:
Uma EDO é linear quando a variável que está sendo derivada não tem, em nenhum termo, expoente diferente de 1
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o Wronskiano W(x3,x5)W(x3,x5)
	
	
	
	4x74x7
	
	
	2x72x7
	
	
	5x75x7
	
	
	x7x7
	
	
	3x73x7
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos fabricados,sabendo  C(1)=1000 unidades monetárias.
	
	
	
	C(x) = ln x
	
	
	C(x) = x(ln x)
	
	
	C(x) = 2x ln x
	
	
	C(x) = x(1000+ln x)
	
	
	C(x) = 5ln x + 40
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
ydx + xdy = 0 concluimos que ela é;
	
	
	
	Separável, Homogênea e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem.
	
	
	Separável, Homogênea e Exata