Álgebra Vetorial - Produto Misto, Volumes, Coplanaridade

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Projeto Álgebra Vetorial – Prof. Hugo Mesquita 
Vetores – Lista 05 
 
1) Em que ponto a reta que 
passa por ( )2,3,4A e ( )1,0, 2B − 
intercepta o plano xy? 
2) Dadas as retas 
1 3
:
2 3 4
x y z
r
− −
= = e 
4
:
2 3 4
x y z
s
−
= = , obtenha uma 
equação geral para o plano 
determinado por r e s. 
 
3) São dados os planos 
: 2 0x y z + − = e : 2 4 4x y z − − =
. Determine: 
a) o vetor diretor da reta 
gerada pela intersecção entre 
os planos dados. 
b) o cosseno do ângulo entre 
esses planos. 
 
4) Encontre a equação do 
plano que é perpendicular ao 
plano 8 2 6 1x y z− + = e que 
passa pelos pontos ( )1 1,2,5P − e 
( )2 2,1,4P . 
5) Determine a projeção 
ortogonal da reta 
: 1 2 3 3r x y z+ = + = − sobre o 
plano : 2 0x y z − + = . 
6) O ângulo formado entre a 
reta ( ) ( ): , , 2 3 , 4 , 1 5r x y z t t t= + − − + 
e o plano : 2 7 1 0x y z − + − = , 
em radianos, é: 
a) 
12

 b) 
6

 c) 
4

 
d) 
3

 e) 
2

 
 
7) Um plano 1 contém os 
pontos ( )1,3,2M − e ( )2,0,1N − . 
Se 1 é perpendicular ao 
plano 
2 :3 2 15 0x y z − + − = , é 
possível dizer que o ângulo 
agudo entre 1 e o plano 
3 : 2 7 0x y z + + − = vale: 
a) 
8 2
arccos
15
 
  
 
 b) 60° 
c) 
61
arccos
45 2
 
 
 
 c) 30° 
e) 
4 2
arccos
15
 
  
 
 
 
8) Qual é o valor de n para 
que seja de 30 o ângulo 
entre as retas: 
2 4
:
4 5 3
x y z
r
− +
= = 
5
:
2 2
y nx
s
z x
= +

= −
 
 
9) A reta r é paralela aos 
planos  , de equação 
3 4 9 0x y z− + = , e  , de 
equação 3 12 3 17x y z+ − = , corta 
as retas s e t de equações: 
 
4 5
:
2 3 4
x y z
s
− +
= = e 
2
: 8 3
2
y
t x z
−
− = = − − . 
A soma das coordenadas dos 
pontos de intersecção de r e 
s é: 
a) 4 b) 0 c) 1 d) 
2 e) -1 
 
10) Sejam  e  dois planos 
no 
3 cuja intersecção é a 
reta r. Os vetores ( )2,1,3u = e 
( )2, 3,1v = − são perpendiculares 
aos planos  e  , 
respectivamente. A equação da 
reta s que passa pelo centro 
da esfera de equação 
2 2 2 6 2 9 0x y z x z+ + − + + = e é 
paralela à reta r é: 
a) 
3 1
2 3
x z
y
+ −
= =
−
 
b) 
3 1
5 2 4
x y z+ −
= =
−
 
c) 
3
1
2 3
x y
z
−
= = +
−
 
d)
3 1
5 2 4
x y z+ +
= =
−
 
e) 
3 1
5 2 4
x y z− +
= =
−
 
 
11) Determine a equação de um 
plano que passa pelos pontos 
( )1,3,0M e ( )4,0,0N , fazendo 
um ângulo de 30° com o plano 
1 0x y z+ + − = . 
12) A imagem de :f →, 
dada por 
( ) ( )22cos 2 1f x x sen x= + − é  ,a b
. Seja  o plano que passa 
pelo ponto ( )9, 1,0A − e é 
paralelo aos vetores ( )0,1,0u = 
e ( )1,1,1v = . Qual é a menor 
distância do ponto , ,1
b
P a
a
 
 
 
 
ao plano  ? 
a) 7 2 b) 5 2 c) 
9 3
4
 d) 
11 2
2
 e) 4 3 
13) Considere 
3r  cuja 
equação geral é dada por 
2 3 1x y z
a b c
− + − +
= = e na qual a, 
b e c são números reais 
diferentes de zero. 
Considere, também, o plano 
3  , cuja equação geral é 
dada por 4 2 5 7x y z− + = 
 
 
Se a reta r é paralela ao 
plano  , então a, b e c 
satisfazem a equação: 
a) 4 2 5 0a b c− − = 
b)4 2 5 0a b c− + = 
c)2 3 0a b c− + = 
d) 4 2 5 0a b c− − + = 
e)2 3 0a b c− − = 
 
14) Expresse a equação 
reduzida do plano que contém 
os pontos ( )1,2,3A e ( )5,4,1B − 
e que é perpendicular ao 
plano 2 3 2 0x y z+ − + = . 
15) Seja A o ponto de 
intersecção entre as retas: 
 
1
3
:
2 1
x z
r
y z
= +

= − −
 e 
2
1 5
: 2 3 2
5 9
x t
r y t
z t
= −

= − +
 = +
 
e seja B o ponto de 
intersecção entre as retas: 
3
2 1
: 1
4 3
x y
r z
+ −
= = +
−
 e 
4
2 15 5
: 2 8 3
2 2
x t
r y t
z t
= +

= +
 = +
 
A equação do plano mediador 
entre os pontos A e B é: 
a) 3 2 2 6 0x y z− − − = 
b) 
3 3
5 1 0
2 4
x y z+ − − = 
c)55 37 12 1 0x y z− + − = 
d) 2 3 12 0x y z− + − = 
e) 28 12 8 64 0x y z− + − + = 
 
16) Em 
3 , o plano de equação 
2 2 6 0x y z− + + = secciona a 
esfera que tem para sua 
superfície a equação 
2 2 2 4 2 20 0x y z x z+ + − + − = . Qual 
é a área da secção formada? 
 
17) Considere uma esfera de 
centro na origem e raio 3. 
Determine a equação do plano 
que tangencia essa esfera no 
ponto ( )2, 1, 2− . 
18) Qual é o ponto do plano 
2 3 5 4x y z− + = mais próximo do 
ponto ( )1,2, 1P − ? 
19) A distância entre os 
planos 2 2 1 0x y z+ − + = e 
2 4 4 5 0x y z+ − + = é: 
a) 
1
2
 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4 
20) O raio da circunferência 
2 2 2 2 4 6 11 0
2 3 6 5 0
x y z x y z
x y z
 + + + + + − =

+ + + =
vale:a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5