Questão resolvida - Suponha a seguinte função_f(x) x 2sen(x) 2, 0 x 2 Encontre o intervalo para o qual a função é decrescente e assinale a alternativa correta_ - Cálculo II - UNICID

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Suponha a seguinte função:
 
f x = x + 2sen x + 2, 0 ≤ x ≤ 2π( ) ( )
 
Encontre o intervalo para o qual a função é decrescente e assinale a alternativa correta:
 
a) < x <
2𝜋
3
4𝜋
3
b) 0 < x <
2𝜋
3
c) < x < 2𝜋
4𝜋
3
d) < x <
𝜋
3
3𝜋
2
 
Resolução:
 
Vamos, primeiro, encontrar as coordenadas dos pontos críticos de , para isso, derivamos x f
a função e igualamos a zero e resolvemos para ;x
 
f x = x + 2sen x + 2 f' x = 1 + 2cos x( ) ( ) → ( ) ( )
 
Igualando a zero e resolvendo para ;x
 
 1 + 2cos x = 0 2cos x = - 1 cos x = cos x = -( ) → ( ) → ( )
-1
2
→ ( )
1
2
 
 
Vamos a analisar os ângulos notáveis para verificar onde o cosseno é igual a ;
1
2
 
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Veja que no primeiro quadrante, quando , o cosseno é igual a , o que ocorre no x =
𝜋
3
1
2
primeiro quadrante se repete nos próximos com o mesmo valor em módulo. Vejamos, então, 
o ciclo trigonométrico;
 
Os valores de no segundo, terceiro e quarto quadrante são;x
 
2° quadrante x = 𝜋- x = x =→
𝜋
3
→
3𝜋-𝜋
3
→
2𝜋
3
 
3° quadrante x = 𝜋+ x = x =→
𝜋
3
→
3𝜋+𝜋
3
→
4𝜋
3
 
2° quadrante x = 2𝜋- x = x =→
𝜋
3
→
6𝜋-𝜋
3
→
5𝜋
3
 
 
 
 
 
Perceba que os únicos valores de ângulo que geram valor para o cosseno no intervalo -
1
2
 são e , essas são as coodenadas dos pontos críticos de , assim, 0 ≤ x ≤ 2π
2𝜋
3
4𝜋
3
x f
vamos verificar que tipos de pontos críticos são esses. Dessa forma, vamos verificar qual o 
sinal de antes de (em ), entre (em ), e para f'(x)
2𝜋
3
 x =
𝜋
2
x = e x =
2𝜋
3
4𝜋
3
x = 𝜋 x >
4𝜋
3
(em ); x =
3𝜋
2
 
se x = f' = 1 + 2cos f' = 1 + 2 ⋅ 0 f' = 1 - 0
𝜋
2
→
𝜋
2
𝜋
2
→
𝜋
2
( ) →
5𝜋
6
 
f' = 1 > 0
5𝜋
6
 
se x = 𝜋 f' 𝜋 = 1 + 2cos 𝜋 f' 𝜋 = 1 + 2 ⋅ -1 f' 𝜋 = 1 - 2→ ( ) ( ) → ( ) ( ) → ( )
 
f' 𝜋 = - 1 < 0( )
 
 
 
sen x( )
cos
-
1
2
1
2
𝜋
3
2𝜋
3
4𝜋
3
5𝜋
3
se x = f' = 1 + 2cos f' = 1 + 2 ⋅ 0 f' = 1 - 0
3𝜋
2
→
3𝜋
2
3𝜋
2
→
3𝜋
2
( ) →
3𝜋
2
 
f' = 1 > 0
3𝜋
2
 
Onde a derivada é negativa, a função decresce e onde a derivada é positiva a função 
cresce, com isso, podemos montar o esquema a seguir;
 
Com isso, é possível concluir que o intervalo de decrescimento de no intervalo f x( )
 é;0 ≤ x ≤ 2π
 
< x <
2𝜋
3
4𝜋
3
 
 
𝜋2𝜋
3
3𝜋
2
+
𝜋
2
4𝜋
3
-+
decrescentecrescente crescente
(Resposta )