Suponha a seguinte função: f(x) = x + 2sen(x) + 2, 0 ≤ x ≤ 2π. Encontre o intervalo para o qual a função é decrescente e assinale a alternativa c...

Para encontrar o intervalo no qual a função é decrescente, você precisa calcular a derivada da função e encontrar os intervalos nos quais a derivada é negativa. Vou fazer isso agora: A derivada da função f(x) = x + 2sen(x) + 2 é f'(x) = 1 + 2cos(x). Para encontrar os intervalos de decrescimento, igualamos a derivada a zero e resolvemos a equação: 1 + 2cos(x) = 0 2cos(x) = -1 cos(x) = -1/2 Os valores de x para os quais o cosseno é -1/2 estão no segundo e terceiro quadrantes. Portanto, x = 2π/3 e x = 4π/3. Assim, o intervalo no qual a função é decrescente é (2π/3, 4π/3). Portanto, a alternativa correta é a alternativa c).

Para encontrar os intervalos nos quais a função \( f(x) = x + 2\sin(x) + 2 \) é decrescente, precisamos encontrar onde sua derivada é negativa.

1. Primeiro, vamos encontrar a derivada da função \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}[x] + \frac{d}{dx}[2\sin(x)] + \frac{d}{dx}[2] \]

\[ f'(x) = 1 + 2\cos(x) + 0 \]

\[ f'(x) = 1 + 2\cos(x) \]

2. Agora, vamos determinar os valores de \( x \) para os quais \( f'(x) < 0 \), indicando os intervalos onde a função \( f(x) \) é decrescente.

\[ 1 + 2\cos(x) < 0 \]

\[ 2\cos(x) < -1 \]

\[ \cos(x) < -\frac{1}{2} \]

O intervalo para o qual \( \cos(x) < -\frac{1}{2} \) é \( \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3} \), já que o cosseno é negativo nos quadrantes II e III do círculo unitário.

Portanto, a função \( f(x) = x + 2\sin(x) + 2 \) é decrescente no intervalo \( \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3} \) quando \( 0 \leq x \leq 2\pi \).