Series e Calculo Diferencial

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2006/07 Análise Matemática IID - Exame (Época Especial) 2h30 (+30m de tolerância)
I - Séries e Cálculo Diferencial
1.
a. Seja {an}n∈N uma sucessão real convergente e seja un = an+1 − an.
Mostre que a série
∑
un é convergente e que
∞
∑
n=1
un = lim
n→∞
an − a1.
b. O que entende por “constante de Euler” ?
Mostre que a série
∞
∑
n=1
2
n(2n + 1)
converge e calcule a sua soma.
2. Seja f : R2 → R uma aplicação.
a. O que entende por “f é diferenciável no ponto a = (a1, a2)” ?
b. Dê a definição de f ′u(a), a derivada de f em a segundo o vector u = (u1, u2) não
nulo.
Mostre que se f é diferenciável em a, tem-se f ′u(a) =
∂f
∂x
(a)u1 +
∂f
∂y
(a)u2.
c. Considere a função
f : (x, y) →



x3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Calcule separadamente
∂f
∂x
(0, 0),
∂f
∂y
(0, 0) e f ′(2,1)(0, 0). f é diferenciável na origem ?
3.
a. Considerando duas funções f : Rn → Rm e g : Rm → Rp diferenciáveis, enuncie o
teorema de diferenciação da função composta.
b. Seja F uma função diferenciável em R2 e H(x, y) = F (exe−y, 3x − 3y).
Mostre que
∂H
∂x
+
∂H
∂y
= 0.
4. Identifique e classifique, caso existam, os extremos locais da função definida em R2
pela expressão
f(x, y) = 3xey − x3 − e3y.
II - Cálculo Integral
5. Calcule a cota zG do centro de massa do sólido homogéneo do semi-espaço z ≥ 0
delimitado pelo plano de equação z = 0 e pela superf́ıcie de equação z2 = 2 − x2 − y2.
6. Depois de inverter a ordem de integração, calcule
∫ 3
1
∫ log(x)
0
xdydx.
7. Determine o fluxo do rotacional do campo F(x, y, z) = (y, z, 0) através da face exterior
da porção de superf́ıcie parabólica de equação z = 4 − (x2 + 1
4
y2), delimitada pelo plano
de equação z = 1,
a. por um cálculo directo;
b. utilizando judiciosamente o teorema de Stokes.
8. Considere os pontos A = (0, π
2
), B = (1, 0), D = (−1,−1) e a linha fechada C
definida pelos segmentos [BD], [AD] e pelo gráfico da função y = arccos(x), x ∈ [0, 1].
a. Calcule o integral de linha
∮
C
ds.
b. Considere os campos de vectores de R2 definidos por
F1(x, y) = (x − y, y − x) , F2(x, y) = (e
x cos(y),−ex sin(y)) e F3(x, y) = (e
y, 1) .
Sendo C orientada no sentido positivo, calcule as circulações
∮
C
Fj .ds para j = 1, 2, 3.
Sugestão: comece por estudar se alguns dos campos indicados são conservativos.
c. Enuncie o teorema de Green e utilize-o para calcular a área da superf́ıcie delimitada
por C.