Apostila - atividades prática de matemática para as Séries Iniciais

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE
RONDÔNIA (IFRO), Campus Cacoal
Em parceria com a Secretaria Municipal de Educação (Semed), Cacoal.
TRANSFORMANDO SABERES NAS SÉRIES INICIAIS COM
PEDAGOGOS
Coordenadora:
Prof. Me. Samanta Margarida Milani
Licenciandos Colaboradores:
Josias Zeferino dos Reis Junior;
Lidiomar Casteluber da Silva;
Tiago Eutiquio Lemes Santana.
Cacoal
2019
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Apresentação
Prezados professores
Com dedicação e carinho, elaboramos esta apostila, disponibilizando
todos os conteúdos e materiais didáticos que preparamos em cada encontro,
para que você professor(a) possa utilizá-lo com seus alunos. Priorizamos
enriquecer o seu trabalho, levando em consideração as atividades
desenvolvidas dentro da rotina de sala de aula, com o auxílio de ferramentas
pedagógicas que estão disponíveis em cada escola, transformando-as em
aulas mais dinâmicas, lúdicas e significativas.
Estas são algumas das razões de existência deste material: fornecer a
vocês, professores, sugestões de práticas educativas, pensando em
aperfeiçoar o trabalho docente e ao mesmo tempo em proporcionar durante
nossos encontros, trocas de experiências para que tenham uma caminhada
com êxito dentro da docência. Cada uma destas propostas pretende valorizar
as iniciativas de incentivo, de estímulo e de formações continuadas, pela busca
de transformar a realidade vivenciada diariamente em sala aula, tanto para os
professores, quanto para os alunos.
A utilização das atividades que se encontram neste caderno, quando
aplicadas com segurança e domínio, é que fornecerão a realização destas,
pelos alunos com mais autonomia e consequentemente melhor aprendizado.
Sendo de suma importância que você dê o subsidio necessário para que seja
possível atingir os objetivos específicos em cada atividade.
Vale ressaltar que é sua responsabilidade abraçar e colocar em prática o
que foi aprendido e estudado em cada encontro, durante a realização deste
projeto, e que futuramente, este material possa ser aproveitado por outros
docentes, na certeza de que a construção do conhecimento se torna uma
ferramenta necessária diariamente, pela luta de mudar e transformar o mundo
em que vivemos.
Cordialmente,
IFRO/SEMED – Instituto Federal de Rondônia em parceria com Secretaria
Municipal de Educação
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Sumário
INTRODUÇÃO 11
MÁGICA COM MATEMÁTICA 13
A ARTE DE FAZER MÁGICA UTILIZANDO A MATEMÁTICA 14
1º ENCONTRO – MÁGICA COM MATEMÁTICA 15
1 – Soma das faces ocultas 15
2 – Adivinhando o resultado da soma com 5 algarismos 16
3 – Adivinhando a soma de quatro 4 números escolhidos entre 16 17
4 – Adivinhando o resultado da subtração de três algarismos distintos 20
5 – Descobrindo a cor e o número do cartão 20
6 – Mágica da sintonia de pensamentos 22
7 – Dinheiro no varal 24
8 – Adivinhando o número pensado na cartela 26
Fotos do 1º encontro 28
Notícia veiculada na página Oficial da SEMED no Facebook 29
MATERIAIS CONCRETOS 30
MATERIAIS MANIPULATIVOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 31
2º ENCONTRO – O MATERIAL DOURADO MONTESSORI 32
Quem foi Maria Montessori 32
O "Material das Contas" 32
Adição com material dourado 33
Adições com substituições 34
Atividades 35
Subtração com material dourado 36
Subtração com transformação 36
Atividades 37
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Multiplicação com o material dourado 38
Princípio Acumulativo 38
Cálculo de área 39
Método posicional 39
Divisão com o material dourado 40
Problema 1 40
Problema 2 42
Problema 3 44
Atividades 46
Fotos do 2º Encontro 47
5º ENCONTRO – O DISCO DE FRAÇÕES 49
Sequência de Atividades 49
Fração do inteiro 49
Relação de ordem 51
Equivalência 52
Fração de fração 53
Adição de frações 54
Subtração de frações 55
Multiplicação de frações 56
Divisão de frações 58
Quando você faz aniversário? 59
Fotos do 5º encontro 60
JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 62
O USO DE JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 63
3º ENCONTRO – JOGO: AVANÇANDO COM O RESTO 65
Fotos do encontro 66
4º ENCONTRO – QUEBRA-CABEÇA TRIANGULAR 68
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Material 68
Sugestões para jogar 68
Construindo o quebra cabeça triangular: 69
Fotos do encontro 71
JOGANDO COM AS 4 OPERAÇÕES 73
TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 75
O USO DE TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 76
6º ENCONTRO – O KAHOOT! 77
Como utilizar o Kahoot 80
Cadastro 80
Criando um questionário 83
Jogando 87
Modo desordem 89
Fotos do 6º encontro 91
APÊNDICE 93
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INTRODUÇÃO
Ao pensar em um curso de formação de professores, buscou-se dar
ênfase a metodologias e abordagens práticas, em que os participantes
(professores de matemática de 1º ao 4º ano) fossem motivados a aplicar os
conhecimentos adquiridos em suas salas de aulas. Em nosso primeiro encontro
conversamos sobre quais materiais a escola em que atuavam possuíam e
sobre quais conteúdos e temas gostariam que trabalhássemos, na ocasião foi
nos relatados, as 4 operações básicas, frações e uso de tecnologia, nos
encontros que decorreram buscamos trabalhar esses conteúdos, além de
outros que julgamos importante.
1º Encontro: Foi um momento de descontração em que utilizamos
matemágicas (mágicas que funcionam por causa da matemática) como forma
de despertar o interesse dos participantes por essa matéria. O uso das
matemágicas se deu com a interação entre os participantes, dessa forma foi
possível conhecer melhor os professores com os quais estávamos trabalhando.
2º Encontro: Utilização do material dourado como facilitador de aprendizagem
das 4 operações básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão) de forma a
tornar as aulas mais dinâmicas e atraentes com a manipulação de objetos. Por
ser um tema extenso, na ocasião só foi possível trabalhar com a soma e
subtração.
3º Encontro: Finalizamos o conteúdo do encontro anterior e confeccionamos o
jogo “avançando com o resto”, visto que a utilização de jogos cria situações
que permitem ao aluno desenvolver métodos de resolução de problemas,
estimulando a sua criatividade, interesse e consequentemente a participação.
4º Encontro: Testamos o jogo “avançando com o resto” e confeccionamos o
“quebra cabeça de triângulos” com o intuito de trabalhar as 4 operações em um
único material, além de incentivar o trabalho em equipe bem como a interação
e o respeito entre os alunos, pois para montar o quebra cabeça é necessário o
trabalho em grupo e cooperação.
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5º Encontro: Com a intenção de trabalhar a matemática no cotidiano em
especial as frações, possibilitando ao aluno relacionar o conteúdo aprendido
com a sua realidade de forma a despertar o interesse dos mesmos, realizamos
juntamente com os professores uma salada de fruta.
6º Encontro: Pensando em alternativas para despertar o interesse e manter
atenção dos alunos nas aulas de matemática, dado que a maioria possui
aparelhos eletrônicos em que muitas vezes são um convite a distração,
podendo até mesmo prejudicar o aprendizado. Decidimos realizar o encontro
voltado ao uso de tecnologias, mais especificamente o KAHOOT, aplicativo que
permite ao professor criar competições dinâmicas envolvendo o conteúdo,
utilizando o smartphone ou o laboratório de informática.
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MÁGICA COM MATEMÁTICA
26 de março de 2019
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A ARTE DE FAZER MÁGICA UTILIZANDO A MATEMÁTICA
Perante a atual realidade que enfrentamos em sala de aula, é lançada
para nós docentes o desafio de encontrarmos formas para tornar a matemática
nossa aliada em busca de um ensino mais completo, menos superficial, que
transforme nossos alunos em seres pensantes, capazes de interpretar e
encontrar soluções diferentes para um mesmo problema. De acordo com Malba
Tahan, a utilização de atividades lúdicas como parte integrante do ensino da
Matemática, gera bons frutos. Compartilhando dessa ideia, este encontro teve
como objetivo trazer uma sequência de atividades para auxiliar docentes de
matemática a introduzir alguns conceitos de maneira desafiadora relacionando
brincadeiras com números e mágicas, tirando a tensão e a cobrança que se
tem em sala de aula, ondeeles aprendem brincando e buscando solucionar o
truque de cada mágica. É evidente que este aprendizado traz respostas
positivas, pois motiva e instiga os alunos a buscarem entender os mecanismos
utilizados em cada atividade, trazendo como maior benefício o aprendizado, o
interesse e a curiosidade em desvendar o segredo da mágica por meio de
habilidades e desafios numéricos.
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1º ENCONTRO – MÁGICA COM MATEMÁTICA
MÁGICA COM MATEMÁTICA
Este tópico aborda alguns números de mágica com a utilização da
calculadora e envolvendo conceitos e propriedades algébricas e aritméticas,
trabalhados no 1º encontro da formação. Na prática, é interessante que os
alunos identifiquem as propriedades matemáticas responsáveis por tornarem
as mágicas possíveis.
1 – Soma das faces ocultas
Material: 3 dados comum, caso preferir construa-os de papelão e papel cartão
para ficarem maiores.
Apresentação da Mágica: O matemágico irá chamar alguém da plateia para
embaralhar e empilhar em uma única coluna os dados enquanto ele estiver de
costas, depois o matemágico irá se virar, colocar a mão em cima dos dados
para se “conectar” com eles e descobrir em questão de segundos qual é a
soma das cinco faces ocultas.
Desvendando o segredo: Note que as faces opostas de um mesmo dado
sempre somam 7, então em três dados a soma das seis faces opostas será
3x7 = 21. No entanto, apenas 5 faces estão ocultas e para descobrir a soma
delas faremos 21 menos a face superior do 1º dado da coluna.
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Conteúdos relacionados: Adição e desenvolve o raciocínio lógico-matemático
na busca por padrões, pois não importa o quanto seja embaralhado os dados,
sempre será possível descobrir a soma das faces ocultas em questão de
segundos.
2 – Adivinhando o resultado da soma com 5 algarismos
Material: Pincel e quadro branco ou caneta e folha de papel.
Apresentação da Mágica:
1. Peça para que um aluno escreva no quadro qualquer número que tenha 4
algarismos, exceto os terminados em 0 ou 1. Ex: 5 873
2. Neste momento o professor escreve o resultado da soma final e entrega
para o aluno.
3. Peça para que algum aluno escreva outro número que tenha 4 algarismos,
agora sem restrição alguma. Ex: 3 987
4. Agora é a vez do professor escrever um número de 4 algarismos.
Nesta etapa o professor irá escolher números que somados ao número anterior
dê 9, ex: O número anterior foi 3 987 o professor deverá escolher o número 6
012, pois somando 3 + 6, 9 + 0, 8 + 1 e 7 + 2, temos o número 9 999.
5. Peça para que outro aluno escreva outro número de 4 algarismos.
Ex: 6 835
6. Novamente o professor escreve um número de 4 algarismos.
O número deverá ser: 3 164, pois o professor deverá novamente escolher os
números que somados aos algarismos anteriores dê 9 999.
7. Peça para que o aluno que recebeu o resultado final some os valores que
estão no quadro e após encontrar o resultado da soma dos 5 valores, revele a
resposta que o professor entregou no início da brincadeira.
No nosso ex: 5 873 + 3 987 + 6 012 + 6 835 + 3 164 = 25 871
Os resultados são iguais? Como o professor sabia a resposta?
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Desvendando o segredo: O resultado será: 25 871, note que os números 587
não mudaram, o que muda é o algarismo da unidade (subtraia 2) e acrescenta
mais um número, neste caso na dezena de milhar (acrescenta o 2).
Conteúdos relacionados: Adição utilizando 4 algarismos.
3 – Adivinhando a soma de quatro 4 números escolhidos entre 16
Material: Pincel e quadro branco ou caneta e folha de papel.
Apresentação da Mágica:
1. Tenha preparado no quadro os números de 1 a 16 em ordem crescente e em
quatro linhas, uma abaixo da outra, com 4 números em cada linha, começando
pela mais superior, conforme o exemplo:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
2. Chame um voluntário para participar da mágica e explique a ele e à plateia
que a mágica consiste em adivinhar o resultado de uma soma de 4 números
que serão escolhidos pelo voluntário, antes mesmo deste voluntário escolher
os números.
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Dicas: É possível improvisar na atuação, por exemplo, pondo a mão na cabeça
e dizendo que está utilizando os seus poderes de matemágico para prever qual
será o resultado da soma.
3. Diga então que você já conseguiu prever o resultado e que irá escrever em
um papel. Escreva então em um papel o resultado: 34. Faça isso sem que
ninguém veja o que você está escrevendo. Após escrever a previsão do
resultado no papel, dobre-o e deixe-o em um lugar visível ou com alguém e
peça para que não abra ainda.
4. Agora, volte ao voluntário e peça que comece escolhendo e circulando um
número entre os 16 escritos no quadro. Após escolhido o número, peça-o que
escreva o número em um espaço vazio do quadro (onde será realizada a
soma) e então, risque a linha e a coluna onde o número escolhido fazia parte.
Por exemplo, caso o voluntário escolha o número 10, o quadro ficará da
seguinte forma:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10
5. Após escolhido o primeiro número, o participante deve escolher o segundo
número, que deve estar entre os números não riscados. Ou seja, no exemplo
acima, ele não poderá escolher os números 2, 6, 9, 11, 12 ou 14. Escolhendo o
segundo número, repete-se o processo, circulando o número escolhido,
escrevendo-o ao lado do primeiro número escolhido (incluindo o sinal de
adição, para no final se fazer a soma) e riscando a linha e a coluna onde o
segundo número escolhido fazia parte. Caso o voluntário escolha o número 8,
por exemplo, o quadro ficará da seguinte forma:
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 + 8
6. Para a escolha do terceiro e quartos números, usa-se a mesma lógica,
sempre escolhendo números que não estejam riscados, circulando-os,
anotando onde a soma será realizada e então, riscando a linha e a coluna. Por
exemplo, se para o terceiro número o participante escolher o número 3,
teremos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 + 8 + 3
Sobrando então, para o quarto número, o 13, finalizando com:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 + 8 + 3 + 13
O resultado final da soma sempre será igual a 34. Mostre o papel com a
previsão e surpreenda a plateia.
Desvendando o segredo: O resultado da adição dos 4 números escolhidos
pelos alunos está na soma dos valores que se encontram na diagonal principal
da matriz, lembrando que os números dispostos nas linhas precisam estar em
sequência.
Conteúdos Relacionados: Adição e sequência numérica.
4 – Adivinhando o resultado da subtração de três algarismos distintos
Material: Pincel e quadro branco ou caneta e folha de papel.
Apresentação da Mágica:
1. Escolha qualquer número que contenha 3 (três) algarismos distintos. Irei
escolher, por exemplo, o número 123 para fazer o teste com ele.
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2. Depois de escolhido um número de três algarismos distintos (no meu caso
foi o número 123) vamos reescrevê-lo só que dessa vez de trás para frente:
123 escrito de trás para frente fica: 321
3. Agora iremos subtrair o maior número pelo menor, no nosso caso:
321 (maior) - 123 (menor) = 198
4. Nesta etapa podemos adivinhar o resultado apenas sabendo o algarismo da
unidade.
Desvendando o segredo: O algarismo da dezena será sempre 9 e a soma do
algarismo da centena com o algarismo da unidade (que você já sabe) será
sempre igual a 9 também.
Outro exemplo:
1. Escolhido o número 259
2. Vamos reescrevê-lo de trás para 952
3. Subtraindo a número maior pelo menor, temos: 952 – 259 = 693
Conteúdos relacionados: Subtração e transformação de dezenas para
unidades.
5 – Descobrindo a cor e o número do cartão
Material: Para a matemágica precisaremos de 52 cartões sendo 13 de cada
uma das seguintes cores; verde, amarelo, azul e vermelho, numerados em
cada cor de 1 até 13.
Apresentação da Mágica: O matemágico escolhe alguém da plateia, fica de
costas com os olhos vendados e diz: “Sem que eu veja escolha um cartão e
mostre para todos, em seguida e com o auxílio de uma calculadora se julgar
necessário siga os passos descritos:
Para fazer um teste, iremos escolher o número 7e a cor azul
1. Multiplique por 2 o número escolhido do cartão: 7 x 2 = 14
2. Some 3: 14 + 3 = 17
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3. Multiplique o resultado por 5: 17 x 5 = 85
4. Preste muita atenção:
● Se o cartão for verde, some 1
● Se o cartão for amarelo, some 2
● Se o cartão for azul, some 3
● Se o cartão for vermelho, some 4
No nosso caso, a cor do cartão é azul, logo teremos: 85 + 3 = 88
5. Diga-me o resultado final e eu direi a cor e o número do cartão”.
Desvendando o segredo: para descobrir o número e a cor do cartão basta
subtrair 5 do algarismo da unidade: 8 – 5 = 3, o resultado é justamente o
número que no item 4, foi solicitado que o participante adiciona-se, no nosso
caso então é a cor azul. Quanto ao algarismo da dezena ou algumas vezes da
centena e dezena basta subtrairmos uma unidade: 8 – 1 = 7. Portanto
concluímos que o número escolhido é o 7 e a cor é a azul.
Outro exemplo: Dessa vez o número escolhido é o 11 e a cor é a verde
1. Multiplique por 2 o número escolhido do cartão: 11 x 2 = 22
2. Some 3: 22 + 3 = 25
3. Multiplique o resultado por 5: 25 x 5 = 125
4. Preste muita atenção:
● Se o cartão for verde, some 1
● Se o cartão for amarelo, some 2
● Se o cartão for azul, some 3
● Se o cartão for vermelho, some 4
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No nosso caso, a cor do cartão é verde, logo teremos: 125 + 1 = 126
Diga-me o resultado final e eu direi a cor e o número do cartão”
Neste caso o resultado foi 126, devemos subtrair 5 do algarismo da unidade: 6
– 5 = 1, logo a cor do nosso cartão será a cor que corresponde ao número 1, a
cor então é a verde. Neste caso temos o algarismo da centena e dezena,
basta subtrairmos uma unidade: 12 – 1 = 11. Portanto concluímos que o
número escolhido é o 11 e a cor é a verde.
Conteúdos relacionados: Essa matemágica é uma questão da prova de 2010
da 2º fase da OBMEP, nível 1. Pode ser utilizada como um problema motivador,
com o intuito de despertar o interesse do aluno por essa olimpíada. Também
podemos trabalhar conceitos como: Adição, subtração e multiplicação.
6 – Mágica da sintonia de pensamentos
Material: Pincel e quadro branco ou caneta e folha de papel.
Apresentação da Mágica:
1. Peça a duas pessoas da plateia que pensem, cada uma delas, em um
número. Chamaremos essas pessoas de A e B.
2. Peça a B que pense em um número inteiro de 1 a 9. Faremos um exemplo
em que B pensou no número 6. Aproxime-se de B e diga que vai adivinhar o
número pensado por A usando forças telepáticas através dele e, nesse
procedimento, vai também adivinhar se A e B tem boa sintonia de
pensamentos. Diga a B que lhe revele em segredo seu número pensado.
3. Voltando-se para A, diga que pense em um número de 1 a 100. Exemplo:
número 34. Peça então que A multiplique o número pensado por 5: 34 x 5 =
170, acrescente 5 ao resultado: 170 + 5 = 175 e multiplique o resultado final por
2: 175 x 2 = 350. Então, peça que A subtrai do último resultado um "número
estratégico" que será: 10 – (número pensado inicialmente por B): 10 – 6 = 4,
então faremos 350 – 4 = 346
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4. Pergunte a A qual foi o resultado. No nosso caso foi 346. Então, volta-se
para A e diga: − Ah, vocês têm os pensamentos em sintonia, porque seu amigo
B pensou no número 6, enquanto que você pensou no número 34!
Alternativamente, é possível trabalhar este truque com várias pessoas da
plateia simultaneamente, "adivinhando" o número pensado por cada uma,
através do número chave dado por B.
Desvendando o segredo: O truque por trás dessa mágica é bem simples e
envolve puramente a manipulação dos números para se que se chegue ao
resultado que o mágico deseja. Temos duas pessoas e cada uma escolhe um
número, sendo um deles de 1 a 9 e outro de 1 a 99. No exemplo mostrado na
apresentação da mágica os números pensados foram 6 e 34 e o mágico deve
então pedir ao participante que realize uma conta que resulte em 346. Uma
forma de se fazer essa conta poderia ser 10x34+6, mas caso somarmos o
número 6, que foi o número dito ao mágico pelo participante B, tudo fica muito
“na cara”, então, faz-se alguns rodeios para que se chegue a esse resultado.
Vamos seguir os passos ditos pelo mágico, escrevendo-os como uma
expressão numérica e observar o que acontece:
1. Pensar em um número de 1 à 99. Foi pensado no 34.
Temos então: 34
2. Multiplicar o número pensado por 5:
34x5
3. Acrescentar 5 ao resultado:
34x5+5
4. Multiplicar o resultado anterior por 2:
(34x5+5)x2
5. Subtrai-se então o “número estratégico”, que sempre será o resultado da
conta 10 menos o número dito pelo primeiro participante. Tendo sido
escolhido o número 6, o mágico deve então pedir que se subtraia 4 (10-6) do
resultado anterior:
(34x5+5)x2-(10-6)
Resolvendo essa expressão numérica de uma forma “estratégica”, é possível
perceber o que acontece:
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(34x5+5)x2-(10-6) =(O sinal negativo fora dos parênteses inverte o sinal
34x5x2+5x2-10+6 = (dos números dentro dos parênteses)
34x10+ - +6 =10 10
10x34+6
Assim chegamos aos 10x34+6, obtendo o 346 desejado pelo mágico, onde 34
e 6 poderiam ser substituídos por quaisquer outros números.
Conteúdos relacionados: Adição, subtração e multiplicação.
7 – Dinheiro no varal
Material: Iremos precisar de uma corda (daquelas utilizadas para fazer varal)
de aproximadamente 1 metro, de 12 prendedores de roupa e uma nota de 10
reais.
Apresentação da mágica:
O matemágico irá convidar alguém da plateia para participar de uma
brincadeira e tentar ganhar o dinheiro. Funciona assim: a pessoa convidada irá
retirar 3,2 ou 1 prendedor, depois é a vez do matemágico retirar 3,2 ou 1
prendedor. Ganha o dinheiro quem retirar o prendedor que segura a nota de 10
reais, no entanto esse deve prendedor deverá ser o último a ser retirado.
“Matemágicamente” não importa quem começa a brincadeira; o matemágico
sempre ganha.
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Figura 5. Materiais e apresentação mágica do dinheiro
Fonte: Autores
Desvendando o segredo: vamos por parte; como ganhar quando a pessoa da
plateia começa? Iremos dividir os 12 prendedores em 3 grupos de 4 unidades:
Figura 6. Esquema da mágica do dinheiro
Fonte: Autores
O convidado irá retirar 3,2 ou 1 prendedor, nisso basta que o matemágico retire
uma quantidade que complete 4. Depois de duas retiradas de cada pessoa
teremos 4 prendedores restantes e será a vez do convidado que nessa altura já
terá percebido que não irá ganhar, pois se ele retirar um prendedor o
matemágico retira 3, entre eles a nota de 10 reais, se ele retirar 2 o
matemágico retira também 2 e ganha, e se ele retirar 3 o matemágico retira o
último, aquele que prende a nota de 10 reais. Mas como o matemágico ganha
quando ele começa? Por meio de uma pequena distração na plateia. Boa sorte
para descobrir a segunda parte do truque.
Conteúdos relacionados: Mostrar como a matemática básica está envolvida
em situações que a princípio parecem ser complexas, pois para desvendar a
25
mágica basta saber fazer a divisão e entender o conceito de múltiplos de um
número.
8 – Adivinhando o número pensado na cartela
Material: Cartelas Mágicas ou Calendário mágico.
Apresentação da Mágica: Neste truque, o mágico pede que alguém escolha
um número de 1 até 60 e não conte para ninguém. Depois, mostra uma após a
outra, seis cartelas contendo vários números. A cada cartela que é exibida, o
participante deve dizer se o número que ele pensou está ou não na cartela.
Figura 7. Cartelas Mágicas
Fonte: Adaptado de:
<http://mauriciomunhoz.blogspot.com/2012/06/jogo-das-cartelas-magicas-relato-de.html>.
Acesso em 19 jun. 2019
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Após mostrar todas as cartelas, o mágico adivinha rapidamente qual foi o
número pensado.
Desvendando o Segredo: Para descobrir o número pensado basta somar os
valores que estão na primeira posição (1° linha e 1° coluna) das cartelas
escolhida pelo aluno.
Conteúdos relacionados: Adição.
A mágica, segue da mesma maneira para os calendários mágicos, onde
se adivinha a data do aniversário de alguém em vez do número pensado.
Figura 8. Calendários Mágicos
Fonte:
<http://www.manualdomundo.com.br/wp-content/uploads/cartelas-adivinacao-numero-folha-inteira.rtf>. Acesso em 04 jun. 2019
Obs.: As cartelas do calendário mágico encontram-se disponíveis no apêndice
ao final da apostila.
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Fotos do 1º encontro
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Notícia veiculada na página Oficial da SEMED no Facebook
Professores de matemática colocam em prática na sala de aula as atividades
propostas na formação continuada que são realizadas a cada 15 dias. essa é
uma parceria prefeitura de Cacoal e IFRO com foco na capacitação profissional
dos nossos educadores
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MATERIAIS CONCRETOS
09 de abril e
21 de maio de 2019
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MATERIAIS MANIPULATIVOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
A utilização e produção de materiais manipulativos pode contribuir para
o ensino de matemática já que o uso destes materiais didáticos tem sido de
grande ajuda para os alunos entenderem a matéria e não mostrarem tanta
dificuldade. No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" algoritmos
a partir de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que
fazem. Com a utilização de materiais concretos a situação muda: as relações
numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a
compreensão. Obtém-se, então, além da compreensão de algoritmos, um
notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável e
significativo. Pensando nisso, elaboramos dois encontros (o 2º e o 5º) onde
apresentamos e utilizamos o material dourado e o disco de frações,
trabalhando algumas atividades com os professores para que eles pudessem
ter a experiência de manipular o material e entender a ideia de como trabalhar
em sala de aula.
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2º ENCONTRO – O MATERIAL DOURADO MONTESSORI
O MATERIAL DOURADO MONTESSORI
O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o
ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos
métodos para efetuar as operações fundamentais (ou seja, os algoritmos).
No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a
partir de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem.
Com o Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas
abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão.
Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um notável
desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável.
O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados
pela médica e educadora italiana Maria Montessori.
Quem foi Maria Montessori
Nos anos iniciais deste século, Maria Montessori dedicou-se à educação
de crianças excepcionais, que, graças à sua orientação, rivalizavam nos
exames de fim de ano com as crianças normais das escolas públicas de Roma.
Esse fato levou Maria Montessori a analisar os métodos de ensino da época e
a propor mudanças compatíveis com sua filosofia de educação.
Segundo Maria Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com
liberdade dentro de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no
enfrentamento pessoal com experiências e materiais. Um desses materiais era
o chamado material das contas que, posteriormente, deu origem ao conhecido
Material Dourado Montessori.
O "Material das Contas"
Vamos conhecer o material das contas pelas palavras de Maria
Montessori:
"Preparei também, para os maiorezinhos do curso elementar, um material
destinado a representar os números sob forma geométrica. Trata-se do
34
excelente material denominado material das contas. As unidades são
representadas por pequenas contas amarelas; a dezena (ou número 10) é
formada por uma barra de dez contas enfiadas num arame bem duro. Esta
barra é repetida 10 vezes em dez outras barras ligadas entre si, formando um
quadrado, "o quadrado de dez", somando o total de cem. Finalmente, dez
quadrados sobrepostos e ligados formando um cubo, "o cubo de 10", isto é,
1000”.
Aconteceu de crianças de quatro anos de idade ficarem atraídas por
esses objetos brilhantes e facilmente manejáveis. Para surpresa nossa,
puseram-se a combiná-los, imitando as crianças maiores. Surgiu assim um tal
entusiasmo pelo trabalho com os números, particularmente com o sistema
decimal, que se pôde afirmar que os exercícios de aritmética tinham se tornado
apaixonantes.
As crianças foram compondo números até 1000. “O desenvolvimento
ulterior foi maravilhoso, a tal ponto que houve crianças de cinco anos que
fizeram as quatro operações com números de milhares de unidades”.
Essas contas douradas acabaram se transformando em cubos que hoje
formam o Material Dourado Montessori.
Adição com material dourado
Para complementar os estudos sobre operação de adição, organize os
alunos em duplas, distribua uma quantidade qualquer de peças a eles e depois
os instrua a realizarem as operações de adição correspondentes às peças
entregues a cada dupla. Veja um exemplo:
Entregue as peças às duplas. Por exemplo: para um aluno, entregue: uma
placa (100), três barras (30) e dois cubinhos (2).
35
Para outro aluno, entregue: uma placa (100), seis barras (60) e cinco cubinhos
(5)
Pedir aos alunos que juntem e somem as quantidades e teremos:
Pedir para que os alunos digam o resultado obtido.
Adições com substituições
Depois que todos os alunos entenderem o método acima pulamos para um
desafio maior com uma quantidade maior de cubinhos. Por exemplo:
Peça que o aluno 1 pegue uma placa (100), cinco barras (50) e oito cubinhos
(8).
E o aluno dois de conter uma placa (100), três barras (30) e cinco cubinhos (5).
36
Ao repetir o mesmo processo de soma os alunos terão 13 cubinhos. Portanto,
deverão trocar por uma barra (10) e ficar com três cubinhos (3) dessa forma:
Atividades
1. Represente as operações de adição abaixo com o material dourado.
37 126 145 159 09
+21 + 232 + 74 + 87 + 14
--------- --------- --------- -------- --------
2. Represente os resultados das seguintes operações:
3. Resolva as seguintes adições:
37
Subtração com material dourado
Na subtração sempre temos 3 elementos numéricos: o minuendo, o
subtraendo e a diferença ou resto. Por exemplo, na subtração
8 – 3 = 5
Temos que 8 é o minuendo, 3 é o subtraendo e 5 é a diferença ou resto.
A subtração com o material dourado diferencia-se da adição pelo fato de
que, em vez de tomarmos as quantidades de material indicado pelos dois
números envolvidos na operação, tomamos apenas a quantidade indicada no
minuendo e deste retiramos a quantidade indicada no subtraendo.
Se tivermos, por exemplo,
16 – 5
apenas tomamos a quantidade de material dourado correspondente ao 16, ou
seja, uma barra (dezenas) e seis cubinhos (unidades) e, para encontrar a
diferença, retiramos a quantidade de material dourado correspondente ao 5, ou
seja, cinco cubinhos (unidades).
Subtração com transformação
Em subtrações do tipo
38
46 – 29
onde o algarismo da unidade do minuendo é menor que o algarismo da
unidade do subtraendo, devemos utilizar a transformação de uma das dezenas
em dez unidades. No material dourado isso é facilmente perceptível, pois só é
possível realizar a subtração realmente trocando uma barra (1 dezena) por dez
cubinhos (10 unidades).
Na imagem, das 4 barrinhas contidas na casa das dezenas, uma delas
foi transformada em 10 cubinhos e estes, inseridos na casa das unidades.
Retiraram-se então, 2 barrinhas e 9 cubinhos, obtendo como resultado, 1
barrinha e 7 cubinhos.
Atividades
1. O JOGO DE RETIRAR
Objetivos: compreender o mecanismo da “transformação” nas subtrações com
recurso; estimular o cálculo mental.
Esta atividade pode ser realizada como um jogo de várias rodadas. Em
cada rodada, os grupos sorteiam um cartão e uma papeleta. No cartão há um
número e eles devem pegar as peças correspondentes a essa quantia. Na
papeleta há uma ordem que indica quanto devem tirar da quantidade que têm.
Por exemplo: cartão com número 41 e papeleta com a ordem: TIRE 28.
39
Figura 10. Modelo de números e papeleta para o jogoFonte: Autores. Arquivo disponível em: <https://bit.ly/2Y6nuGs>.
2. Represente as operações de subtração abaixo com o material dourado:
53 72 145 159 90
- 18 - 34 - 74 - 87 - 72
-------- -------- --------- --------- --------
Multiplicação com o material dourado
Esta etapa só deve ser iniciada quando os alunos demonstrarem uma
boa compreensão da representação dos naturais com material dourado. Iremos
realizar três métodos:
40
• Princípio acumulativo
• Cálculo de área
• Método posicional
Princípio Acumulativo: Iremos organizar em grupos e depois somar
Atividades:
Cálculo de área: Criar um retângulo cujo as medidas dos lados seja o valor de
cada fator da multiplicação e calcular a área dessa figura.
41
Atividades:
Método posicional: Realizar a operação com material dourado, utilizando o
algoritmo da multiplicação
Atividade:
Divisão com o material dourado
Objetivo: ajudar o aluno na compreensão do processo de divisão de um
número natural por outro.
Problema 1: (Divisão exata por unidade)
42
Um grupo de 4 alunos do quinto ano decidiu enfeitar a sala de aula
durante o período junino. Para isso, perceberam que precisavam de 84
bandeirinhas de papel. Quantas bandeirinhas cada aluno deve
confeccionar para que o trabalho fique dividido igualmente entre os
membros do grupo?
Solicite aos alunos que utilizem o material dourado para representar a
quantidade de bandeirinhas (84), utilizando 8 barras para as dezenas e quatro
cubinhos para as unidades (Figura 1). Assim:
Figura 11. Representação do número 84
Fonte: Cajuella, 2013
Agora, solicite que os alunos façam 4 agrupamentos com a mesma
quantidade de peças. Cada agrupamento representará um aluno e a
quantidade representada pelas peças será a quantidade de bandeirinhas que
cada aluno deve confeccionar.
Figura 12. O número 84 em 4 agrupamentos
Fonte: Cajuella, 2013
Leve os alunos a refletirem o que fizeram: ao dividirem as oito dezenas
em quatro grupos, cada grupo ficou com duas dezenas e ao dividirem as quatro
43
unidades em quatro grupos, cada grupo ficou com uma unidade. Mostre, então,
que para resolver o problema era necessário dividir 84 por 4 e que esta divisão
pode ser efetuada dividindo-se as ordens separadamente e juntando os
resultados: 80 unidades divididas por 4 e depois 4 unidades divididas por 4.
Mostre aos alunos que isto pode ser assim representado:
84 4 = (80 4) + (4 4) = 20 + 1 = 21÷ ÷ ÷
Portanto, se representarmos a quantidade de bandeirinhas através do
material dourado, cada aluno deverá confeccionar 21 bandeirinhas.
Problema 2: (Divisão exata por unidade com transformação de ordens)
A escola comprou 345 latinhas de refrigerante para vender na festa
junina. Estas latinhas devem ser armazenadas em 3 refrigeradores. Para
que cada refrigerador fique com a mesma quantidade de latinhas, quantas
devem ser colocadas em cada um?
Solicite que os alunos representem a quantidade de latinhas com o
material dourado utilizando quadrados para representar as centenas, barras
para representar as dezenas e cubinhos para representar as unidades.
Figura 13. Representação do número 345
Fonte: Cajuella, 2013
Agora solicite que os alunos formem 3 grupos com quantidades iguais
de peças e deixem separadas as peças que por ventura sobrarem.
44
Figura 14. O número 345 em 3 agrupamentos
Fonte: Cajuella, 2013
Convide-os a analisar o que foi obtido: as três centenas foram repartidas
igualmente nos três grupos, uma centena para cada grupo e não sobrou
nenhuma; as dezenas foram repartidas uma para cada grupo e sobrou uma, as
unidades foram repartidas uma para cada grupo e sobraram duas (figura 14).
Agora questione os alunos:
É possível dividir igualmente as peças que sobraram? Como fazer
isso?
Comentário: Espere para ver se algum aluno sugere fazer a troca da
dezena por unidades. Se isso não acontecer, apresente a possibilidade e
pergunte se isso possibilita uma nova divisão. Questione:
Trocando uma dezena por 10 unidades, ficamos com um total de
quantas unidades?
É possível dividir 12 unidades igualmente entre os três grupos?
Figura 15. Trocando dezena por unidades
Fonte: Cajuella, 2013
Efetue esta divisão distribuindo as unidades igualmente entre os grupos.
45
Figura 16. Agrupando unidades
Fonte: Cajuella, 2013
Refletindo o resultado obtido!!!
Ao dividir três centenas em três grupos, cada grupo ficou com uma
centena e não sobrou nenhuma, ao dividir quatro dezenas entre os três grupos
cada grupo ficou com uma dezena e sobrou uma, dividindo as cinco unidades
entre os três grupos sobram duas, transformando a dezena que sobrou em
unidades e juntando com as duas unidades que sobraram temos doze
unidades, que divididas em três grupos acrescentam quatro unidades em cada
grupo. Portanto temos:
345 3 = (300 + 40 + 5) 3÷ ÷
Fazendo as divisões separadamente temos: 300 3 = 100; 40 3÷ ÷
=10 (sobram 10) e 5 3 = 1 (sobram 2) ÷
Fazendo 12 (sobras) 3 = 4 ÷
Portanto: 100 + 10 + 1 + 4 = 115
Problema 3: (Divisão não exata por unidades com transformações de
ordens)
Durante a festa junina da escola vão funcionar 6 caixas para vender
fichas. No início da festa estes caixas precisam ter dinheiro para troco. A
tesoureira da escola possui R$ 375,00 para distribuir entre estes caixas.
Quantos reais cada caixa vai receber?
46
Solicite que os alunos representem a quantidade utilizando o material
dourado.
Figura 17. Representando o número 375
Fonte: Cajuella, 2013
Solicite que os alunos distribuam as peças em 6 grupos, sendo que cada
grupo deve ter a mesma quantidade.
Os alunos logo perceberão que 3 centenas não podem ser distribuídas
em 6 grupos.
Questione com os alunos: O que podemos fazer com essas três
centenas?
Espera-se que os alunos respondam que se deve transformar essas
centenas em dezenas, obtendo então 30 dezenas que são divisíveis por 6.
Figura 18.Transformação das centenas do número 375 em dezenas
Fonte: Cajuella, 2013
Agora questione:
Quantas dezenas temos agora?
É possível dividir as 37 dezenas em 6 grupos?
Então vamos agrupá-las.
47
Figura 19. As dezenas do número 375 em 6 agrupamentos
Fonte: Cajuella, 2013
Questione ainda:
Qual é a quantidade representada em cada grupo?
Ainda falta dividir a dezena que sobrou e as unidades, como faremos?
Para responder a questão, temos que transformar a dezena em
unidades e juntando com as 5 unidades que já tínhamos, podemos fazer um
novo agrupamento:
Figura 20. Agrupando as unidades do número 375
Fonte: Cajuella, 2013
Assim, a dezena que sobrou foi transformada em 10 unidades e
juntando com as 5 unidades que tínhamos, ficamos com 15 unidades que
divididas em 6 grupos resultam em duas unidades em cada grupo e sobram 3.
Questione novamente: Qual é a resposta do nosso problema?
Resposta esperada: Pela visualização, a quantidade representada em
cada grupo é 62 e sobraram 3 unidades. Portanto cada caixa ficará com
R$62,00 e sobrará R $3,00 para a tesouraria.
Comentário: O professor sugeriu aos alunos que criem e resolvam
outras divisões utilizando o material dourado.
48
Atividades
1) Represente e resolva as operações de divisão abaixo com o material
dourado.
144 4 = ÷
234 6 =÷
672 5 =÷
2) Resolva as mesmas divisão da atividade 1, utilizando o método
convencional de divisão
144 4 234 6 672 5
3) A diretora de uma escola irá dividir 488 livros e 8 prateleiras. Quantos livros
ela irá colocar em cada prateleira? 
4) Para realizar uma gincana, a organizadora irá dividir 42 pessoas em 6
grupos. Quantas pessoas ficarão em cada grupo? 
5) Uma livraria recebeu uma encomenda de 540 livros. A livraria tem que
enviar esta encomenda pelo correio, porém cada caixa comporta apenas 9
livros. Quantas caixas serão necessárias para enviar todos os livros?
49
Fotos do 2º Encontro
50
51
52
5º ENCONTRO – O DISCO DE FRAÇÕES
FRAÇÕES COMMATERIAL CONCRETO – O DISCO DE FRAÇÕES
A utilização e produção de materiais manipulativos como o disco de
frações pode contribuir para o ensino de matemática já que o uso de materiais
didáticos tem sido de grande ajuda para os alunos entenderem a matéria. Com
o disco de frações é muito mais fácil aos professores ensinarem este conteúdo
trabalhando equivalência, comparações e as quatro operações. Diante disto
neste encontro apresentamos e utilizamos o disco de frações e algumas
atividades aos professores para que eles pudessem ter essa experiência de
manipular o material e entender a ideia de como trabalhar em sala de aula.
Sequência de Atividades
Nesta seção, sugerimos uma sequência de atividades para se trabalhar
com frações utilizando o disco de frações. As instruções aqui definidas foram
elaboradas a partir de um disco de frações onde se tinham as seguintes
relações de cores e frações:
● Branco: 1 inteiro
● Rosa: 1/2
● Azul: 1/3
● Vermelho: 1/4
● Lilás ou roxo: 1/6
● Verde: 1/8
● Laranja: 1/9
● Amarelo: 1/12
É preciso levar isto em consideração e adaptar essas instruções para o
material que você possui, em que as cores relacionadas a cada uma destas
frações podem ser diferentes das aqui mencionadas.
Fração do inteiro
Atividade 1 – Jogo Livre
Esta é uma fase exploratória. Deixe que as crianças manipulem o material
como acharem conveniente, formando figuras ou desenhos.
53
Atividade 2 – Fração do inteiro.
1º) Pegue as peças rosas do kit.
● Quantas são? São todas do mesmo tamanho?
● Junte as duas peças, colocando-as sobre o círculo branco. Deu para
completar?
Então, precisamos de duas peças rosas para completar 1 inteiro.
𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑟𝑜𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 (𝑜𝑢 𝑚𝑒𝑖𝑜) 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚: 12
𝑂 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 é 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 2 𝑚𝑒𝑖𝑜𝑠 1 = 22( ).
2º) Pegue as peças azuis.
● São todas do mesmo tamanho?
● Junte as peças para formar um círculo. Quantas peças foram
necessárias?
𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑢𝑚 𝑡𝑒𝑟ç𝑜 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜. 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠: 13
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟ê𝑠 𝑡𝑒𝑟ç𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 1 = 33( )
3º) Pegue as peças vermelhas.
● São todas do mesmo tamanho?
● Junte as peças para formar um círculo.
Quantas peças foram necessárias?
𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑢𝑚 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜. 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠: 14
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 1 = 44( ).
4º) Continue verificando que:
... 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑙𝑖𝑙á𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑥𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 16 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜.
... 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 18 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜.
... 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 19 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜.
... 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 112 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜.
54
Atividade 3 – Represente as frações abaixo usando as peças do disco de
frações.
a) 3 peças vermelhas.
b) 5 peças laranjas.
c) 2 peças azuis.
d) 3 peças lilás ou roxa.
e) 7 peças amarelas.
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜, 3 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟ã𝑜 34 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜. 𝑂𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒 −
3 e 4 são os termos da fração, sendo que 3 é o numerador e 4 o𝑟𝑎𝑖𝑠
denominador.
Podemos dizer que:
O denominador de uma fração indica em quantas partes o inteiro foi dividido e
o numerador indica quantas partes foram tomadas.
Relação de ordem
Atividade 4 – Relação de ordem
Pegue uma peça de cada cor. Quem é maior:
𝑎) 12 𝑜𝑢 
1
3 ? (𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑝𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑝𝑒ç𝑎𝑠)
𝑏) 13 𝑜𝑢 
1
4 ? (𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑝𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑝𝑒ç𝑎𝑠)
Estabeleça uma relação de ordem:
1
2 > 
1
3 > 
1
4 > 
1
6 > 
1
8 > 
1
9 > 
1
12
Verifique também que:
1
6 < 
2
6 < 
3
6 < 
4
6 < 
5
6 < 
6
6
Conclusão:
● Entre frações de mesmo numerador, é maior a que tiver menor
denominador.
● Entre frações de mesmo denominador, é maior a que tiver maior
numerador.
Atividade 5 – Forme 1 inteiro usando duas cores.
Registre todas as possibilidades, exemplo:
1 = 12 + 
2
4
55
1 = 12 + 
3
6
1 = 13 + 
4
6 , 𝑒𝑡𝑐.
Atividade 6 – Recobrimento.
Recobrir uma figura é cobri-la totalmente, sem deixar vãos, sem remontar e
sem passar nas beiradas.
1º) Quantas peças vermelhas precisamos para recobrir uma rosa? Então, 1
𝑝𝑒ç𝑎 𝑟𝑜𝑠𝑎 é 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 2 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠. 𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟: 12 = 
2
4
2º) Quantas peças verdes precisamos para recobrir duas vermelhas?
3º) Quantas peças laranjas precisamos para recobrir uma azul?
... e assim por diante.
Obs.: Não deixe de fazer o registro.
Equivalência
Atividade 7 – Descobrindo relações entre as peças
1º) 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑝𝑒ç𝑎𝑠: 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑠 (1), 𝑟𝑜𝑠𝑎𝑠 12( ), 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠 14( ), 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒𝑠 18( ) 𝑒 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙𝑎𝑠 112( )
a) Escreva a fração correspondente a cada peça.
b) Ache todas as peças equivalentes. Registre.
c) Forme 1 inteiro usando duas cores (já foi feito). Registre.
d) Forme 1 inteiro usando três cores.
e) Registre.
1
2 + 
1
4 + 
2
8⎡⎣ ⎤⎦
2º) 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑠, 𝑎𝑧𝑢𝑖𝑠 13( ), 𝑙𝑖𝑙á𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑥𝑎 16( ), 𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑠 19( )𝑒 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙𝑎𝑠 112( ).
Proceda como no caso anterior
Atividade 8 – Equivalência
Recobrir uma peça rosa. Achar todas as possibilidades. Registrar.
Facilmente verificamos que:
1
2 = 
2
4 = 
3
6 = 
4
8 = 
6
12
 • 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 12 𝑝𝑎𝑟𝑎 
2
4 , 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑜
denominador por 2;
 • 𝑆𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑠𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑒 24 𝑝𝑎𝑟𝑎 
1
2 , 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖 −
56
 𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 2; 36 𝑝𝑎𝑟𝑎
1
2 , 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 3;
Concluímos que:
O valor de uma fração não se altera, quando multiplicamos (ou dividimos)
ambos os termos da fração por um mesmo número, diferente de zero.
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 48 𝑝𝑎𝑟𝑎 
2
4 , 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜,
porque dividimos ambos os termos por 2.
𝑆𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 24 𝑝𝑎𝑟𝑎 
1
2 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜
é denominada irredutível porque não é mais possível fazer outra simplificação.
Uma fração é irredutível quando o numerador e o denominador forem primos
entre si.
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 912 𝑝𝑎𝑟𝑎 
3
4 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑑𝑢𝑡í𝑣𝑒𝑙.
Fração de fração
Atividade 9 – Fração de fração
𝑄𝑢𝑒 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 à 𝑡𝑒𝑟ç𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑖𝑜 13 𝑑𝑒 
1
2( )?
Para responder a esta pergunta vamos, em primeiro lugar, pegar uma peça
rosa
1
2( ) 𝑒, 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠, 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 3 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑚 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 12 . 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 é 36
𝐸𝑛𝑡ã𝑜 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑙𝑖𝑙á𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑥𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 13 𝑑𝑎 𝑝𝑒ç𝑎 𝑟𝑜𝑠𝑎, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 
1
3 𝑑𝑒 
1
2 é 
1
6 .
𝐴𝑐ℎ𝑒 14 𝑑𝑒 
1
3 
2
3 𝑑𝑒 
1
4 
1
2 𝑑𝑒 
2
3 
1
4 𝑑𝑒 
1
2
Adição de frações
Atividade 10 – Adição de frações
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑢𝑎𝑟 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑎: 38 + 
2
8
Se pegarmos três peças verdes e mais duas peças verdes, não fica dúvida
que teremos cinco peças verdes.
𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 38 + 
2
8 = 
5
8
Verificando para outras frações homogêneas (que têm o mesmo denominador):
 18 +
3
8 = 
2
6 +
2
6 =
 49 +
3
9 = 
5
12 +
3
12 =
Daí a regra:
57
Para somarmos duas frações de mesmo denominador, basta efetuarmos a
somados numeradores e conservarmos o denominador.
Atividade 11 – Adição de frações com denominadores diferentes
(heterogêneas)
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 12 +
1
3 =
𝑆𝑒 𝑣𝑜𝑐ê 𝑝𝑒𝑛𝑠𝑜𝑢 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 é 25⎡⎣ ⎤⎦, 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑡𝑜. 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑜𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑒𝑚 5 𝑝𝑎𝑟
Então, o resultado não é encontrado dessa maneira.
E, só sabemos somar frações com o mesmo denominador!
Bom, o jeito é verificar se podemos encontrar frações equivalentes às frações
dadas e que tenham o mesmo denominador.
Vamos procurar no conjunto dos múltiplos de 2 e de 3, algum que seja comum,
isto é: seja múltiplo dos dois ao mesmo tempo.
M2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, ...}
M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...}
M2 ∩ M3 = {0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}
Temos infinitos múltiplos comuns, porém vamos trabalhar com o menor deles,
que seja diferente de zero: o mínimo múltiplo comum. mmc (2, 3) = 6
Como já descobrimos qual deve ser o novo denominador, o passo seguinte é
achar as frações equivalentes com este denominador.
𝑉𝑒𝑗𝑎: 12 : ← → 
4
6 
1
3 : ← → 
4
6 
Para achar uma fração equivalente, multiplica-se o numerador e o denominador
da fração por um mesmo número (diferente de zero). Como já sabemos qual
deva ser o novo denominador, para encontrar o número que foi multiplicado
pelo denominador antigo para se obter esse novo denominador, faz-se a
operação inversa: divide-se o novo denominador pelo antigo.
O resultado deve ser multiplicado também pelo numerador antigo e assim se
obter o novo numerador e portanto, termos uma fração equivalente.
𝐷𝑎í, 12 + 
1
3 = 
3
6 + 
2
6 = 
5
6
Faça a verificação, recobrindo com as peças correspondentes.
58
𝑂𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 12 + 
1
3 + 
1
6 = 1
𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 12 + 
1
3 = 1 – 
1
6 = 
5
6
Atividade 12 – Determinar a soma das frações seguintes, com o processo de
redução ao mesmo denominador
𝑎) 14 + 
1
6 =
𝑏) 12 + 
1
6 =
𝑐) 18 + 
1
2 =
𝑑) 14 + 
1
3 =
𝑒) 34 + 
1
2 =
Subtração de frações
Atividade 13 – Subtração de frações
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑢𝑎𝑟: 34 – 
1
4 =
Se tivermos 3 peças vermelhas e quisermos subtrair 1 peça vermelha,
teremos como resposta, 2 peças vermelhas.
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 34 – 
1
4 = 
2
4
Caso os denominadores sejam diferentes, procedemos como fizemos para a
adição, reduzindo ao mesmo denominador.
Calcule também:
𝑎) 56 – 
2
6 =
𝑏) 68 – 
5
8 =
𝑐) 1012 – 
7
12 =
𝑑) 23 – 
2
2 = 
𝑒) 56 – 
1
2 = 
 𝑓) 23 – 
1
6 =
𝑔) 12 – 
1
12 = 
ℎ) 13 – 
1
4 =
Multiplicação de frações
Atividade 14 – Multiplicação de frações
1º) Caso: Número Inteiro por Fração
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑎) 3 × 14 =
Pegue 3 vezes uma peça vermelha.
 𝑇𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 14 + 
1
4 + 
1
4 = 
3
4 
 𝑏) 2 × 13 =
Pegue 2 vezes uma peça azul,
 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 13 + 
1
3 = 
2
3 
59
 𝑐) 2 × 38 =
Pegue 2 vezes, três peças verdes,
 𝑇𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 38 + 
3
8 = 
6
8
Vemos que o denominador permanece o mesmo e o numerador fica
multiplicado pelo número inteiro.
Nota: Como para a multiplicação vale a propriedade comutativa, procede-se da
mesma maneira para multiplicar fração por inteiro.
2º) Caso: Fração por fração
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 14 × 
1
2 =
É 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 14 𝑑𝑒 
1
2 (𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎çã𝑜)
Ou seja: vamos tomar a quarta parte da metade.
Pegue a peça rosa. Vamos dividi-la em 4 partes. Coloque sobre ela 4 peças
verdes.
𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 14 𝑑𝑎 𝑟𝑜𝑠𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 
1
8( )
𝑑𝑎í, 14 × 
1
2 = 
1
8 (𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 1 × 1 𝑒 4 × 2)
𝑂𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 23 ×
1
4
Pegue uma peça vermelha. Coloque sobre ela três peças de mesmo tamanho
(3 amarelas).
Cada peça amarela representa 1/3 da vermelha, então 2/3 serão duas peças.
2
3 × 
1
4 = 
2
12 𝑒 
2
12 = 
1
6 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 
2
3 × 
1
4 = 
2×1
3×4
Para multiplicar duas (ou mais) frações, multiplicam-se entre si os numeradores
e os denominadores.
Atividade 15 – Nos exercícios abaixo, efetuar as multiplicações usando as
peças do disco de frações e depois confrontar o resultado usando a regra:
𝑎) 12 × 
2
3 =
𝑏) 23 × 
1
3 =
𝑐) 16 × 
5
6 =
𝑑) 34 × 
2
3 =
𝑒) 23 × 
3
4 =
60
Atividade 16 – Divisão de frações
[Apenas os casos mais elementares]
Fração por número inteiro
𝑎) 𝑆𝑒𝑗𝑎 13 ÷ 2 =
Pegue uma peça azul. Qual é a peça que corresponde à metade dessa?
1 𝑎𝑧𝑢𝑙 é 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 2 𝑙𝑖𝑙á𝑠 𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑥𝑎 ∴ 13 ÷ 2 = 
1
6
𝑏) 𝑆𝑒𝑗𝑎 68 ÷ 3 =
Temos 6 peças verdes e queremos achar um terço delas.
Ora, dividindo-se 6 peças por 3, encontramos 2 peças.
𝐷𝑎í, 𝑠𝑒𝑗𝑎 68 ÷ 3 = 
2
8
Temos a regra:
Para dividir uma fração por um número inteiro, ou multiplica-se denominador
pelo inteiro ou divide-se o numerador pelo inteiro.
Divisão de frações
Atividade 17 – Efetuar as divisões utilizando a regra e em seguida
confrontando o resultado por meio do disco de frações.
2
3 : 2 = 
2
3 : 4 = 
8
9 : 4 = 
1
2 : 6 =
Atividade 18 – Efetuar as divisões utilizando os discos de frações
1
2 ÷ 
1
6 = 
"𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠, 16 𝑐𝑎𝑏𝑒 𝑒𝑚 
1
2 ? "
𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝐶𝑎𝑏𝑒 3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠, 𝑑𝑎í, 12 ÷ 
1
6 = 3.
Faça:
1
2 : 
2
4 = 
3
4 : 
3
8 = 
2
3 : 
2
9 =
3
4 : 
1
12 = 
2
3 : 
1
6 = 
5
6 : 
2
12 =
Quando você faz aniversário?
61
O professor questiona os alunos sobre o mês em que fazem aniversário
e entrega um retângulo de papel branco a cada um. As crianças devem
escrever seu nome no papel.
Em seguida, o professor fixa, no quadro, um cartaz em papel pardo
como o que segue abaixo. Um a um, os alunos dizem o mês do seu aniversário
e colam o cartão com o nome escrito no mês correspondente.
Depois que todos colaram seus cartões, o gráfico resultante pode
fornecer uma série de informações, tais como:
▪ Quantos aniversariantes há em janeiro?
▪ Em que mês não há aniversariantes?
▪ Em que mês há dois aniversariantes? E três?
▪ Em que mês há mais aniversariantes?
▪ Em algum mês há 5 aniversariantes?
Após as informações colhidas na tabela, podemos fazer o gráfico de setores.
62
Fotos do 5º encontro
63
64
65
66
67
68
69
JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
23 de abril e
7 de maio de 2019
70
O USO DE JOGOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Atualmente o mundo vivencia a Era Tecnológica, e com tantas
informações ao mesmo tempo nossos alunos estão perdendo cada vez mais a
curiosidade, vontade, motivação e concentração de se aprender pela forma
tradicional a matemática. Com esta presente situação cabe a nós docentes
encontrarmos métodos pedagógicos diferenciados que estimulem o desejo em
se aprender ou mesmo que tornem mais significativas as aulas desta disciplina.
Autores como Borin (1996) e Macedo (2000) destacam que o jogo é um
meio de diversão que acaba por motivar, desenvolver habilidades, estimular o
raciocínio, a capacidade de compreensão dos conteúdos matemáticos e de
outras áreas de conhecimento. Além disso, se trabalhado em grupo despertam
aspectos emocionais, morais e sociais, proporcionando aos alunos um
raciocínio lógico de uma forma mais divertida, provocando uma maior interação
entre aluno/professor e aluno/aluno, pois, desta forma todos podem expressar
melhor seu pensamento e entendimento do que foi proposto.
Os jogos e materiais didáticos podem ser usados para apresentar,
explorar ou até mesmo se aprofundar em um determinado conteúdo,
entretanto, deve-se lembrar de que eles não servem como passatempo ou
como atividade recreativa, sua maior utilidade é como um instrumento
facilitador, ajudandoa trabalhar as dificuldades e os bloqueios que os
educandos apresentam em alguns conteúdos.
Macedo (2000) destaca que é de grande importância analisar e escolher
bem os jogos ou materiais concretos para utilizar em sala de aula, testando-os
antes de propor para os alunos e definindo os objetivos do conteúdo e da
aprendizagem. Assim, ao final, professor e alunos devem fazer uma reflexão e
discussão, para que possam ser estabelecidos os conteúdos envolvidos no
jogo.
Em geral os trabalhos com jogos e materiais didáticos trazem uma
variedade de benefícios, entre os quais se destacam:
● Desenvolve o raciocínio logico;
● Provoca mais interesse e prazer em aprender o conteúdo;
● Constituem uma forma interessante de propor problemas;
71
● Possibilita a construção de uma atitude positiva perante os
erros;
● Desperta a autoconfiança;
● Os alunos não esperam a resposta pronta e acabada, buscam
sozinhos ou em conjuntos as soluções;
● Não existe o medo de errar, pois o erro é considerado um
meio necessário para se chegar à resposta correta;
● Propicia a reciprocidade e a interação entre alunos e
professor;
● Desenvolve a criatividade e o senso crítico
A aplicação de jogos e materiais didáticos como um método
pedagógico de ensino e aprendizagem nas aulas de matemática, como já
vimos até aqui, é um meio viável para tentar diminuir as dificuldades
encontradas ao longo do caminho. Diante das inúmeras vantagens que a
utilização de jogos didáticos e materiais concretos apresentam, foi que
estes encontros foram pensados e organizados, levando sempre em
consideração a opinião dos pedagogos, a facilidade em confeccioná-los e
os benefícios e conceitos matemáticos que estes poderiam trazer para
dentro da sala de aula.
72
3º ENCONTRO – JOGO: AVANÇANDO COM O RESTO
JOGO: AVANÇANDO COM O RESTO
Figura 22. Tabuleiro do jogo avançando com o resto
Fonte: Autores
Material:
Um tabuleiro
Um dado
Fichas de cores diferentes
Meta:
Chegar primeiro ao espaço com a palavra “fim”.
Regra:
1) As equipes jogam alternadamente. Cada equipe movimenta a sua ficha
colocando-a inicialmente na casa de número 43;
2) Cada equipe, na sua vez, joga o dado e faz a divisão do número onde está
a ficha pelo número que saiu no dado;
3) Feita a divisão, movimenta-se a ficha o número de casas igual ao resto da
divisão;
73
4) A equipe que, na sua vez, efetuar o cálculo errado perderá a vez de jogar;
5) Cada equipe deverá obter um resto que a faça chegar exatamente na casa
marcada com a palavra “FIM” sem ultrapassá-la, mas se isso não for possível,
ela perde a vez de jogar e fica no mesmo lugar;
6) Vence a equipe que primeiro chegar ao espaço marcado com a palavra
“FIM”.
Observação:
Quando alguma equipe cair no “zero”, deverá voltar ao início (casa 43).
Objetivo pedagógico:
Fixação da divisão de 1 a 6.
Proposta de situações para discussão:
a) Quais são os possíveis valores para os restos das divisões pelos números
que aparecem no dado?
b) O que acontece quando sai o número 1 no dado?
c) Se a sua ficha estiver na casa com o número 80, quais são os números que
devem sair no dado para que você ganhe o jogo? Por quê?
d) Quais são os números do tabuleiro que são divisíveis por 2, por 3, por 4,
por 5 e por 6?
Fotos do encontro
74
75
76
77
4º ENCONTRO – QUEBRA-CABEÇA TRIANGULAR
QUEBRA-CABEÇA TRIANGULAR
Material
Um tabuleiro em forma de triângulo equilátero;
16 triângulos equiláteros menores, para encaixe.
Sugestões para jogar
Regras do jogo:
1. Poderá jogar até 4 pessoas.
2. A princípio os alunos podem manipular o jogo de forma livre, para que
se familiarizem com ele.
3. Os alunos devem se concentrar em resolver as contas para que os
triângulos se encaixem corretamente, cada qual em seu devido lugar.
4. Após algum tempo manipulando o jogo, poderá ser feito uma
competição entre os jogadores, marcando o tempo em que cada aluno
monta o triângulo individualmente ou em dupla.
5. Os vencedores serão os alunos que montarem o triângulo em menor
tempo.
78
Objetivo pedagógico: Aperfeiçoar as definições e conceitos das quatro
operações.
Objetivo do jogo Completar o triângulo maior com os triângulos menores, de
forma que os triângulos que contém perguntas deverão se encaixar
corretamente em suas respostas.
Observação: O jogo pode ser usado para revisão do conteúdo, podendo assim
ser adaptado para outros assuntos.
Construindo o quebra cabeça triangular:
Figura 23. Construindo o quebra-cabeça.
Fonte: Autores
Para a construção do quebra-cabeça, iremos precisar dos seguintes materiais:
● Papelão;
● Régua;
● Tesoura;
● Papel cartão ou EVA;
● Transferidor e esquadro;
● Cola;
● Perguntas e respostas sobre o conteúdo que se deseja trabalhar com o
quebra-cabeça.
A maioria dos materiais citados acima é de fácil acesso, além de serem
práticas suas construções. Depois de conseguir todos os materiais, devemos
seguir os passos abaixo:
79
Passo 1: Construir um triângulo equilátero (para isso, podemos usar um
transferidor e esquadro para que todos seus ângulos sejam iguais a 60º) no
papelão, de forma que seus lados tenham 56 cm. Posteriormente, devemos
cortá-lo já que essa será a base do jogo. Para que fique mais apresentável
podemos colar um papel cartão na base.
Passo 2: O segundo passo é fazer os triângulos menores, ou seja, vamos
precisar recortar 16 triângulos, também equiláteros de forma que seus lados
sejam iguais a 10 cm. Assim que todos os triângulos estiverem cortados
também devemos revesti-los com papel cartão ou EVA.
Passo 3: Por último devemos fazer as bordas do triângulo maior. Para isso,
devemos cortar uma borda com 3 cm de largura e 60 cm de comprimento,
usando o transferidor e/ou esquadro para fazer com que suas pontas tenham
um ângulo de 60º. Assim, a borda deverá parecer com um trapézio. Repita o
mesmo procedimento, mas dessa vez as bordas deverão ter 2 cm de largura.
Pode-se personalizar as bordas de acordo com a preferência.
Passo 4: Agora que temos tudo pronto, basta que colamos as duas bordas
(que contém 2 cm de largura) em cada lado do triângulo de forma que suas
pontas fiquem sobreposta as pontas do triângulo maior, ao fazer isso devemos
encaixar os triângulos menores antes de colar a terceira borda para que o
espaço entre eles fique bem justo ao montá-lo.
Depois de seguir todos esses passos o triângulo deve ficar desta forma:
80
Figura 24. Base do jogo pronta.
Fonte: Autores
Passo 5: Agora que seu triângulo está pronto, é preciso colar as perguntas do
conteúdo proposto. Para isso, devemos deixar o quebra-cabeça montado e
colar as perguntas e respostas em cada lado dos triângulos menores. Depois
de feito, voltamos à posição que o mesmo estava. Também devemos lembrar
que cada lado do triângulo maior deverá conter 4 perguntas ou respostas.
Como podemos notar na figura abaixo:
Figura 25. Quebra-cabeça finalizado.
Fonte: Autores
81
Fotos do encontro
82
83
84
JOGANDO COM AS 4 OPERAÇÕES
Figura 26. Tabuleiro do jogo avançando com o resto
Fonte: Autores
Material:
Um tabuleiro
4 fichas coloridas (um para cada jogador)
3 dados numerados de 1 a 6
Regras:
1) Cada jogador um por vez irá jogar simultaneamente os três dados.
2) Do resultado que sair, ele tenta encontrar uma combinação de operações
matemáticas cujo resultado seja o valor da casa que está.
3) Se conseguir achar essa combinação, ele muda para a casa acima, caso
contrário perde a vez e passa para o próximo jogador.
4) Ganha quem conseguir sair conseguir sair da casa de número 9 primeiro.
85
Exemplo:
O jogador está na casa 1 e tirou nos dados 5, 3 e 2. Ele pode fazer 3 x 2 – 5 =1
para mudar de casa.
O jogador está na casa 2 e tirou os dados 4, 2 e 1. Ele pode fazer 4 – 2 x 1 = 2
ou 4 1 – 2 = 2 para mudar de casa. ÷ 
Opção:
● Como uma alternativa para deixar o jogo mais desafiador, o jogador da
vez não precisa dizer a conta que fez para mudar de casa. Porém outro jogador
pode duvidar da conta. Então, ele deve dizer “duvido”
● Se o jogadorda vez mudar de casa sem poder, ao invés de subir ele
desce duas casas, ou permanece no lugar se estiver no número um.
● Se o jogador da vez mostrar a conta que fez e a conta estiver certa,
aquele que duvidou volta uma casa, ou permanece no lugar se estiver no
número um.
Objetivo pedagógico:
Desenvolvimento do raciocínio lógico, estratégia, cálculo mental e fixação dos
conceitos das quatro operações matemáticas.
86
TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
12 de junho de 2019
87
O USO DE TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
O uso da tecnologia na educação deixou de ser novidade já há algum
tempo e, desde que a informática foi introduzida no dia a dia dos alunos, as
ferramentas digitais que vão surgindo aprimoram cada vez mais as novas
formas de aprendizado. E a tecnologia não oferece apenas maneiras mais
dinâmicas para trabalhar os conteúdos. Ela promove novas formas de
aprender, permitindo aos alunos assumirem uma postura muito mais crítica e
atuante no processo de desenvolvimento.
Foi pensando nisso que trabalhamos este tema, no 6º encontro, onde
apresentamos e fizemos uso do aplicativo e site de perguntas e respostas
Kahoot, disponível na Play Store para celulares Android.
88
6º ENCONTRO – O KAHOOT!
O KAHOOT!
Criado em 2013 na Noruega, o Kahoot é uma plataforma de ensino
gratuita que funciona como um gameshow. Os professores criam questionários
de múltipla escolha (no máximo 4 opções) e os alunos participam online, cada
um com seu dispositivo (computador, tablet ou celular). Faz uso da sua
simplicidade de utilização e do fator competição para cativar os alunos e pode
ser utilizada em diversas situações:
● Para introduzir um novo tópico de discussão na sala de aula;
● Como revisão de conteúdos;
● Realizar uma avaliação formativa, uma vez que é possível exportar os
resultados para uma folha de cálculo facilmente editável;
● Coleta de informações;
Para utilizar o aplicativo, o professor deve criar uma conta através do
link, kahoot.com. Ao entrar com sua conta no site ou no aplicativo no celular
temos a possibilidade de consultar e reutilizar milhares de Kahoot’s produzidos
por outros utilizadores.
A aplicação possui uma aparência atraente e apelativo aos jovens e
pode ser utilizada em qualquer dispositivo que tenha acesso à internet e um
navegador web.
Figura 27. Página de acesso ao Kahoot!
Fonte: <https://kahoot.com>. Acesso em: 04 jun. 2019.
89
Para utilizar a aplicação recorremos a dois tipos de layouts de
visualização:
Aquele que contém as questões a serem respondidas e que deverá ser
projetado para todos os participantes poderem ver, acessado através do
link, https://create.kahoot.it.
Figura 28. Página Inicial da conta no Kahoot!
Fonte: <https://create.kahoot.it/>. Acesso em: 04 jun. 2019.
E outro que deve ser acessado através de um código fornecido pelo
professor, que contém as opções de resposta para as questões
projetadas. Este layout pode ser acessado através de diversos
dispositivos (PC, tablet, smartphones) desde que possuam conexão com
a internet, através do link, https://kahoot.it.
Figura 29. Página de acesso ao jogo.
90
Fonte: <https://kahoot.it/>. Acesso em: 04 jun. 2019.
A cada pergunta correta é atribuída uma classificação máxima de 1000
pontos, sendo a pontuação atribuída em função do tempo de resposta.
Figura 30. Tela do aluno: Opções de resposta.
Fonte. <https://kahoot.it/>. Acesso em: 04 jun. 2019.
Depois de cada pergunta é apresentado um gráfico com o número de
acertos dos “jogadores” e respectiva classificação. No final do questionário é
apresentada a classificação final dos primeiros 5 classificados, podendo ser
solicitado aos utilizadores que avaliem a atividade.
Figura 31. Quantidade de jogadores que marcaram cada opção.
Fonte: <https://kahoot.it/>. Acesso em: 04 jun. 2019.
Existe ainda a possibilidade de exportar os dados da atividade para uma
folha de cálculo.
91
Em suma esta é uma aplicação fácil de utilizar e facilmente adaptável ao
contexto e idade dos participantes, fantástica para utilizar em situações de
ensino.
Como utilizar o Kahoot
Cadastro
1. Acesse o link https://kahoot.com através de um navegador da internet.
Recomendamos o uso do navegador Google Chrome, pois o site é
apresentado em inglês e o Chrome possui um tradutor nativo para a língua
portuguesa. As indicações aqui descritas serão dadas seguindo o site
traduzido, utilizando o Google Chrome como navegador.
Figura 32. Página Inicial do Kahoot, onde se acessa o cadastro.
Fonte: <https://kahoot.com>. Acesso em: 04 jun. 2019.
Figura 33. Tradução da página.
92
Fonte: Autores.
2. Se você já possui uma conta no site, acesse a conta clicando em Entrar,
inserindo seus dados de acesso e clicando novamente em Entrar. Após,
siga para o passo 3. Se for o primeiro acesso ao site, clique sobre
inscrever-se. Será aberta uma página perguntando como você quer usar o
Kahoot.
Figura 34. Usar o Kahoot como...
Fonte: <https://create.kahoot.it/register>. Acesso em: 04 jun. 2019
Selecione a opção como professor. Abrirá então uma página
solicitando a forma de inscrição.
Figura 35. Forma de Inscrição.
Fonte: <https://create.kahoot.it/register/sign-up-options>. Acesso em: 04 jun. 2019.
93
Selecione a forma desejada (utilizaremos a opção “Inscreva-se no
Google”) e faça o login utilizando sua conta do Google, da Microsoft ou de
e-mail. Serão solicitados então alguns detalhes da conta.
Figura 36. Detalhes da conta
Fonte: <https://create.kahoot.it/register/details>. Acesso em: 04 jun. 2019.
Preencha o formulário com o que é pedido, aceite os termos e
condições do site e clique no botão Junte-se a Kahoot!. Será aberta então
a página inicial da conta de usuário do Kahoot, solicitando seu nome.
94
Figura 37. Tela de boas-vindas do Kahoot!
Fonte: <https://create.kahoot.it/>. Acesso em: 04 jun. 2019.
Entre com seu nome, clique em Feito e pronto, você terá acesso à
sua conta do Kahoot!
Criando um questionário
3. Acessando sua conta do site, você terá 3 opções:
● Criar um questionário;
● Jogar um questionário já criado e;
● Acessar / Editar seus questionários já criados.
Figura 38. Página Inicial da conta Kahoot!
Fonte: <https://create.kahoot.it/>. Acesso em: 04 jun. 2019.
Para criar um questionário:
95
i. Clique em Crie um questionário ou clique em Crio e em seguida
Questionário. Em Crio, há outras opções de Kahoot, mas nos
focaremos apenas nos questionários.
Figura 39. Criando um novo jogo
Fonte: Autores
ii. Abrirá assim a tela de criação de questionário, onde solicita-se que
sejam inseridos os seguintes dados:
● Título: É o título do questionário. Por exemplo: “Curso de Formação
Continuada” ou “Questionário sobre as 4 operações básicas”. Aceita 90
caracteres.
● Descrição: Espaço para digitar uma descrição do questionário, com até
280 caracteres.
● Imagem de capa: É onde seleciona-se uma imagem para a “capa” do
questionário. Pode ajudar a diferenciá-lo de outros.
● Location: É a “pasta” onde ficará salvo o questionário na sua conta.
Deixe como está.
● Visibilidade: Quem pode ver o questionário. As opções são “Só você” ou
“Todos”. A opção “Só você” permite que seu questionário possa ser
acessado apenas por quem fornecer o ID do jogo, enquanto a opção
“Todos” permite que seu questionário seja público, onde qualquer
pessoa pode encontrar, duplicar ou compartilhar seu questionário, não
podendo, porém, alterar o seu. Deixe como preferir.
● Língua: A língua que foi escrito o questionário, para que, caso ele esteja
público, outras pessoas saibam em que língua estão as perguntas.
Selecione a opção Português (caso faça o questionário em português).
96
● Recursos de crédito: É onde são inseridas as referências utilizadas no
questionário, como imagens ou informações que precisam ser
referenciadas.
Figura 40. Dados do questionário
Fonte: Autores
Após inserir essas informações iniciais do questionário, clique em
OK, vá. Será aberta, então, a tela de criação de perguntas.
Figura 41. Tela de ediçãode questionário
Fonte: Autores
iii. Na tela de criação de perguntas, ao topo, estarão as informações
inseridas anteriormente, com a possibilidade de serem editadas ao clicar
no círculo cinza com um lápis (à direita das informações).
Logo abaixo, na seção Criador do jogo há o campo Adicionar
pergunta. Clicando sobre ele será carregada a tela de criação de
perguntas com um espaço para a inserção da pergunta, com até 95
97
caracteres, o tempo limite dado para se pensar e responder a pergunta,
variando de 5 a 120 segundos, uma opção “Pontos de prêmio”, que é
relacionada à um sistema de prêmios do próprio site Kahoot e pode ser
deixado com “SIM” e, abaixo, os campos onde serão inseridas as
respostas à pergunta.
Figura 42. Dados da pergunta
Fonte: Autores
Cada pergunta deve ter no mínimo 2 e no máximo 4 opções de resposta,
e a quantidade de respostas corretas pode variar de acordo com a
pergunta e as opções, podendo haver apenas 1 resposta correta, ou 2,
ou 3 ou até mesmo as 4 opções estarem corretas. No entanto,
recomendamos que as perguntas formuladas possuam apenas uma
opção correta. Para marcar a opção correta, clique sobre o “✓” ao lado
da resposta correta. Ao terminar de inserir os dados da pergunta, clique
no próximo. O site retornará para a página do questionário e a pergunta
estará criada, podendo ser editada, duplicada ou excluída utilizando os
botões laterais.
98
Figura 43. Questionário com pergunta
Fonte: Autores
Ao terminar de inserir todas as questões, clica-se no botão Salve e o
questionário com as perguntas estará pronto para ser jogado.
iv. Após clicar em Salve, uma página contendo as opções de Editar,
Visualizar, Jogar ou Compartilhar será carregada.
Figura 44. Questionário salvo
Fonte: Autores
Clicando em Edite-o, o site retorna à página de edição do questionário.
Clicando em Visualizar isso o site carregará uma página de
pré-visualização do questionário dividida em duas partes, uma com a
tela do professor, que deverá ser projetada e onde seria dado início ao
questionário e visualizada as perguntas e outra, com a tela de um
celular, que seria a tela vista pelos alunos. É possível com isso ver como
se daria o jogo e se há algo a ser modificado no questionário.
99
Figura 45. Pré-visualização do jogo
Fonte: Autores
A opção Compartilhe fornece um link para que se possa compartilhar o
questionário criado com outras pessoas.
Clicando em Jogue, o site carregará a página de início do jogo, onde
dará as opções de escolher entre Clássico e Modo de Times. Nesta
formação nós focaremos em trabalhar o modo Clássico de jogo.
Jogando
4. Jogando
O jogo possui duas perspectivas: a do professor e a do aluno.
Para jogar, ambos, o professor e os alunos devem utilizar dispositivos
com acesso à internet (computadores, celulares, tablets,..). É necessário
que os alunos vejam a tela do dispositivo do professor, portanto,
recomenda-se que se projete a tela utilizando um projetor para, caso
haja muitos alunos, todos possam vê-la. Mas também é possível exibir a
tela do professor em um TV ou na tela de um computador. Apenas o
professor precisa ter cadastro no Kahoot. É ele quem faz o cadastro dos
questionários e inicia a partida. Para iniciá-la, estando logado na conta
Kahoot e tendo um questionário criado, basta clicar no botão Play,
Jogue, ou Toque (dependendo da tradução) do questionário desejado
que será aberta a tela para escolher o modo de jogo.
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Figura 46. Iniciar um jogo criado
Fonte: Autores
Selecione o modo Clássico e o jogo carregará, fornecerá o PIN
que deverá ser fornecido aos alunos e aguardará os mesmos se
conectarem com o PIN fornecido. Conforme os alunos forem se
conectando os nomes deles aparecerão na tela do PIN. Quando todos
os alunos estiverem conectados basta que o professor clique em
Começar.
Figura 47. Tela de espera por jogadores
Fonte: Autores
Quanto aos alunos, caso estejam utilizando celular ou tablet,
devem possuir o aplicativo do Kahoot instalado e, estando na tela
principal do aplicativo, clicar em Enter PIN. Será mostrado na tela do
celular um campo para inserir o PIN apresentado na tela do professor.
Basta que o aluno insira o PIN, toque em Enter e aguarde o professor
iniciar a partida.
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Caso os alunos estejam usando o computador, devem acessar
https://kahoot.it que será carregada uma página parecida com a do celular,
onde também devem inserir o PIN para que participem do jogo.
Modo desordem
O modo de jogo desordem é uma outra forma interessante de trabalhar
certos conteúdos, onde o professor proporciona aos seus alunos várias
respostas e eles devem organizar em uma certa ordem definida pelo professor.
Figura 49. Tela de seleção de modo de jogo.
Fonte: Autores.
Para criar um jogo do tipo desordem:
1. Em crio, ao clicar na opção desordem você será redirecionado a esta
página onde poderá dar um título a sua atividade, uma descrição e
adicionar uma foto.
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Figura 50. Edição dos dados do jogo no modo desordem.
Fonte: Autores
2. Após preencher toda esta parte, deverá clicar em ok vá, o botão verde
no canto superior direito da tela, sendo redirecionado a uma página
onde serão criadas as questões do modo de jogo desordem.
Figura 51. Tela de criação das questões.
Fonte: Autores
3. Aqui você poderá distinguir o tempo, poderá escrever suas perguntas e
dar as respostas (obrigatoriamente 4).
É muito importante que suas respostas fiquem na ordem correta, pois
quando mostrado aos alunos estarão todas embaralhadas e o aluno
deverá colocar na ordem definida pelo professor no enunciado da
questão.
4. O número de perguntas é definido pelo professor. Para adicionar mais
perguntas basta clicar no botão “próximo” no canto superior direito da
tela. Após escrever todas as perguntas a atividade deverá ser salva.
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Quando tudo estiver pronto, o professor deverá disponibilizar o Game
PIN aos alunos para iniciarem o jogo, assim como no modo questionário.
Caso os alunos estejam usando o computador, devem acessar
https://kahoot.it que será carregada uma página parecida com a do celular,
onde também devem inserir o PIN para que participem do jogo.
O jogo aparecerá da seguinte forma:
Figura 52. Telas do professor (esquerda) e do aluno (direita) no modo desordem.
Fonte: Autores
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Fotos do 6º encontro
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APÊNDICE
Nestas páginas finais da apostila deixamos um apêndice com alguns
materiais que podem ser úteis na aplicação das ideias trabalhadas nos
encontros e que estão na apostila, como materiais para mágicas e jogos, para
que possam destacar, tirar xerox, copiar, ou tomar como base/modelo para
suas construções. Esperamos que façam bom proveito deste material.
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OPERAÇÕES PARA O QUEBRA-CABEÇA TRIANGULAR
2x6 12 3x9 27 15 + 18 33 52 - 12 40
5x6 30 4x7 28 25 + 32 57 18 - 9 9
25 5÷ 5 6x4 24 17 + 24 41 18 9÷ 2
12 4 ÷ 3 3x7 21 64 - 48 16 27 - 13 14
30 3÷ 10 30 + 12 42 32 - 15 17 3 x 5 15
24 6÷ 4 27 + 5 32 48 - 29 19 26 2÷ 13
42 7÷ 6 24 + 28 52 64 - 42 22
64 8÷ 8 8 + 17 25 48 - 25 23
1 3 5 7
9 11 13 15
17 19 21 23
25 27 29 31
2 3 6 7
10 11 14 15
18 19 22 23
26 27 30 31
4 5 6 7
12 13 14 15
20 21 22 23
28 29 30 31
8 9 10 11
12 13 14 15
24 25 26 27
28 29 30 31
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31