Integral imprópria, calcular áreas

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Matemática para Economia II — 2018/02 — Turma B1
Lista de exercícios 4 (Setembro de 2018)
Não se atenha apenas aos exercícios desta lista: procure outros em qualquer livro-texto. Vários
dos problemas abaixo foram tirados ou adaptados do livro “Cálculo com Geometria Analítica”,
Vol. 1, de George Simmons. Os livros “Cálculo”, Vol. 1, de James Stewart e “Cálculo: um curso
moderno e suas aplicações” de L. D. Hoffmann e G. L. Bradley também têm muitos exercícios.
1. Encontre o valor da área compreendida entre as curvas y = x2 + 2 e y = 4− x2.
2. Encontre o valor da área compreendida entre as curvas y = x2 e x = y2.
Dica: Esboce as curvas. Note que x = y2 equivale a y = ±
√
x.
3. Em cada item a seguir, esboce as curvas dadas e encontre o valor da área compreendida
entre elas.
(a) y = x2 e y = 2x.
(b) y = x2 − 2x e y = 3.
(c) y = x3 − 3x e y = x, com x > 0.
(d) y = x4 − 4x2 e y = −4.
4. Encontre o valor da área limitada
(a) pelo eixo x e a curva y = x2 − x3;
(b) pelo eixo y e a curva x = 2y − y2.
Há mais exercícios como estes na seção 7.2 do livro de G. Simmons, na seção 6.1 do livro de
J. Stewart (8a edição), ou na seção 5.4 do livro de Hoffmann e Bradley.
5. Escreva cada integral imprópria abaixo como o limite de integrais próprias (ou como uma
soma de tais limites). Em seguida, determine se a integral imprópria converge e, caso
afirmativo, encontre o seu valor.
(a)
∫ ∞
3
e−2x dx
(b)
∫ ∞
8
dx
x4/3
(c)
∫ ∞
0
senx dx
(d)
∫ ∞
1
1
x2
sen
1
x
dx
(e)
∫ 2
0
dx
x2
(f)
∫ ∞
e
dx
x lnx
(g)
∫ ∞
e
dx
x(lnx)2
(h)
∫ 2
0
lnx√
x
dx
(i)
∫ ∞
−∞
|x|e−x2 dx
(j)
∫ ∞
−∞
e−x cosx dx
Há mais exercícios como estes na seção 12.4 do livro de G. Simmons, na seção 7.8 do livro de
J. Stewart (8a edição), ou na seção 6.3 do livro de Hoffmann e Bradley.
1
6. Seja p uma constante positiva. Mostre que a integral imprópria∫ ∞
1
dx
xp
converge se p > 1 e diverge se 0 < p 6 1.
7. Use integração por partes para mostrar que∫ ∞
0
x3e−x dx = 3
∫ ∞
0
x2e−x dx.
8. A função gama Γ(p) é definida, para p > 0, pela integral imprópria
Γ(p) =
∫ ∞
0
xp−1e−x dx.
Esta função tem muitas aplicações em física, teoria da probabilidade, teoria dos números
e em outras áreas de matemática. Uma breve discussão sobre o tema pode ser encontrada
em http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function.
(a) Mostre que Γ(p + 1) = pΓ(p), para p > 0.
Dica: Use integração por partes. Este item é uma generalização do exercício 5.
(b) Verifique que Γ(1) = 1.
(c) Conclua que, se n é um número inteiro positivo, então Γ(n) = (n− 1)!.
Obs.: Lembre que n! denota o fatorial de n, isto é, n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 2 · 1. Por
convenção, 0! = 1.
A função gama, portanto, estende a função fatorial a números não inteiros!
Respostas:
1. A área é 8/3.
2. A área é 1/3.
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