AD1 2019.2 - MÉTODOS DETERMINÍSTICOS II - GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2019
Questa˜o 1: (1,8pts) Ache os valores de x ∈ R tais que
3
√
x2 − 4
5
√
x+ 6
> 0.
Soluc¸a˜o: (Se o aluno percebeu que pode se livrar dos radicais 0,8pt + 1,0pt se conseguiu fazer a
ana´lise correta) Como radicais ı´mpares na˜o mudam o sinal do radicando basta analisarmos o sinal de
x2−4
x+6 , mas isso e´ equivalente a analisar o sinal de (x
2 − 4)(x+ 6). Ana´lise esta feita abaixo.
Portanto, os valores que satisfazem a desigualdade sa˜o x ∈ R : x ∈ (−6,−2) ∪ (2,+∞).
Questa˜o 2: (1,6pts) Calcule os limites:
a) lim
x→2
x+ 2
x2 − 4 b) limx→+∞
1 + 3x4
x+ 5x4
Soluc¸a˜o: (cada limite vale 0,8pt) a) como ao substituir obtemos 2/0 temos uma indeterminac¸a˜o
lim
x→2
x+ 2
x2 − 4 = limx→2
x+ 2
(x+ 2)(x− 2) = limx→2
1
(x− 2) = ±∞.
sendo −∞ quando x→ 2− e +∞ quando x→ 2+.
b)
lim
x→+∞
1 + 3x4
x+ 5x4
= lim
x→+∞
(
x4
x4
)(
1/x4 + 3
1/x3 + 5
)
=
3
5
.
Questa˜o 3: (1,3pts) Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (6,−3) e (−2, 1).
1
Soluc¸a˜o: (achar o coeficiente angular vale 0,5pt + se encontrou a equac¸a˜o correta 0,8pt) Vamos
calcular o coeficiente angular
m =
1− (−3)
−2− 6 = −
4
8
= −1
2
e substituindo (−2, 1) na equac¸a˜o geral da reta temos
y − 1 = −1
2
(x− (−2))⇒ x+ 2y = 0.
Questa˜o 4: (1,8pts) Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
quando f(x) = x2−3√x e a = 4.
Soluc¸a˜o: (Cada limite vale 0,9pt) a)
lim
x→4
x2 − 3√x− 10
x− 4 = limx→4
(x2 − 16)− (3√x− 6)
x− 4
= lim
x→4
(x− 4)(x+ 4)
x− 4 − 3 limx→4
(√
x− 2
x− 4
)(√
x+ 2√
x+ 2
)
= lim
x→4
x+ 4− 3 lim
x→4
1√
x+ 2
= 8− 3
4
=
29
4
.
b)
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
(4 + h)2 − 3√4 + h− 10
h
= lim
h→0
16 + 8h+ h2 − 3√4 + h− 10
h
= lim
h→0
8h+ h2 − 3√4 + h+ 6
h
= lim
h→0
h(8 + h)− 3 (√4 + h− 2)
h
= lim
h→0
h(8 + h)
h
− 3
(√
4 + h− 2
h
)(√
4 + h+ 2√
4 + h+ 2
)
= lim
h→0
8 + h− 3
(
4 + h− 4
h
)(
1√
4 + h+ 2
)
= lim
h→0
8 + h− 3
(
1√
4 + h+ 2
)
= 8− 3
4
=
29
4
.
Questa˜o 5: (1,5pts) Uma func¸a˜o e´ par se f(x) = f(−x) e e´ ı´mpar se f(x) = −f(−x).
a) Determine quando f + g e´ par, ı´mpar, ou na˜o necessariamente nenhuma delas. Fac¸a uma tabela
2× 2 quando f for par ou ı´mpar e g for par ou ı´mpar.
b) Fac¸a o mesmo para f ◦ g.
c) Prove que para qualquer func¸a˜o f com domı´nio os reais pode ser escrita de maneira u´nica como
f = P +Q, onde P e´ uma func¸a˜o par e Q e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
Soluc¸a˜o: (cada item vale 0,5pt) a) na˜o e´ preciso fazer a tabela neste caso, pois f+g = g+f . Quando
somarmos func¸o˜es pares com ı´mpares obtemos func¸o˜es que na˜o sa˜o nenhuma delas. O exemplo mais
2
simples e´: se a func¸a˜o par f(x) = x2 e a func¸a˜o ı´mpar for g(x) = x, enta˜o (f + g)(x) = x+x2 que na˜o
e´ par nem ı´mpar. Agora se f, g sa˜o pares temos (f+g)(−x) = f(−x)+g(−x) = f(x)+g(x), portanto,
a soma de duas func¸o˜es pares e´ par. Se f, g sa˜o func¸o˜es ı´mpares temos (f+g)(−x) = f(−x)+g(−x) =
−f(x)− g(x) = −(f + g)(x), portanto, a soma de duas func¸o˜es ı´mpares e´ ı´mpar.
b) Aqui f e´ par e g e´ ı´mpar.
◦ f g
f f ◦ f e´ par f ◦ g e´ par
g g ◦ f e´ par g ◦ g e´ ı´mpar
c) Considere f uma func¸a˜o qualquer. Enta˜o podemos escreveˆ-la da seguinte forma:
f(x) =
f(x) + f(−x)
2
+
f(x)− f(−x)
2
.
Chamando P (x) = f(x)+f(−x)2 e Q(x) =
f(x)−f(−x)
2 e´ fa´cil de verificar que P (−x) = P (x) e que
Q(−x) = −Q(x). Portanto, desta forma podemos escrever toda func¸a˜o como uma func¸a˜o par mais
um func¸a˜o ı´mpar.
Questa˜o 6: (2,0pts) Encontre o domı´nio de
a) f(x) = −3 +√x2 − 4x+ 5,
b) g(x) =
√
4
(x+1)2
+ x−3x+1 − 49.
Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) a u´nica restric¸a˜o e´ que o que se encontra sob o radical deve ser
positivo, isto e´, x2 − 4x + 5 > 0, mas ∆ = 16 − 4 × 5 = −4 < 0. Segue que este polinoˆmio na˜o tem
ra´ızes Reais e como, por exemplo: o polinoˆmio avaliado em x = 0 retorna 5 > 0 segue que ele sempre
sera´ positivo. Portanto, o domı´nio de f sa˜o todos os nu´meros Reais.
b)Veja que
4
(x+ 1)2
+
x− 3
x+ 1
− 49 = 4
(x+ 1)2
+
(x− 3)(x+ 1)
(x+ 1)2
− 49(x+ 1)
2
(x+ 1)2
=
−48x2 − 100x− 48
(x+ 1)2
=
−48(x+ 43)(x+ 34)
(x+ 1)2
Veja que (x+ 1)2 ≥ 0. Como o polinoˆmio de segundo grau tem coeficiente negativo acompanhado
o termo x2 segue que este polinoˆmio so´ sera´ positivo entre suas ra´ızes, isto e´, −43 ≤ x ≤ −34 . Como
x = −1 pertence a este intervalo. O domı´nio da g sera´{
x ∈ R : x ∈ [−4
3
,−1) ∪ (−1,−3
4
]
}
.
3