GEOMETRIA ESPACIAL EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Sólidos GeométricosM17
Matemática 44
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
colorida em torno de um eixo que passa pelos centros dos
semicírculos.
44 (UFRJ) Considere um retângulo, de altura y e base
x, com x . y, e dois semicírculos com centros nos lados
do retângulo, como na figura abaixo.
 
→ 



V
y
x
xy
cil
= π 9 =
π
2 4
2 2
Semi-esferas:
O sólido obtido equivale a um cilindro de onde foram retiradas duas semi-
esferas:
Cilindro 
R
y
=
2
h = x
1
4
2
4
3
 
R
y
V
y y
y
= =
π
=
π 9
=
π
2
4
3 2
2
4
3 8
2 12
3
3
3
→




semi-
esfera
 
V V V
xy y xy y
sólido cil
= − 9 =
π
− 9
π
=
π
−
π
2
4
2
12 4 6
2 3 2 3
semi-
esfera
46 (UFRJ) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vér-
tices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície
de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é
tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r.
Usando o teorema de Pitágoras:
 
r x2 2
2
5 2= 0 ( ) → r2 = x2 0 50 �
Como PPδ = r 0 x = 10 Θ x = 10 − r.
Substituindo em �:
r2 = (10 − r)2 0 50
r2 = 100 − 20r 0 r2 0 50
20r = 150 Θ r = 7,5
Seja O o centro da esfera e Pδ a projeção ortogonal de P sobre a face F.
No #AOPδ retângulo:
AO = r; OP = x; 
 
AP = =
10 2
2
5 2 (diagonal do quadrado F )
xy y
V
y
sólido
π − π
= =
π −3
12 12
2 3 22 (3x 2y)
y
x
A B
C
D
10
P
F
A B
C
D
P
Pδ
O
10
F
a)
 
S S
C C2 1
216= 0 → 6 9 (a 0 2)2 = 6a2 0 216
6(a2 0 4a 0 4) = 6a2 0 216 Θ 6a2 0 24a 0 24 = 6a2 0 216
24a = 192 Θ a = 8 cm
b) a 0 2 = 10 cm
V2 = 10
3 = 1 000 cm3
Determine:
a) a medida da aresta do cubo C1;
b) o volume do cubo C2.
45 (Unesp-SP) Aumentando em 2 cm a aresta a de um
cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície to-
tal aumenta em 216 cm2, em relação à do cubo C1.
a a 0 2
C1 C2
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