Lista 2 - Produto de Vetores - escalar, vetorial e misto

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FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO:ENG. CIVIL DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA 
PROFESSOR:GREGORIO TOMAS Turma: DATA:03/09/2015 
 
LISTA 2 GEOMETRIA ANALÍTICA – PRODUTO DE VETORES: ESCALAR, 
VETORIAL E MISTO 
 
1) Sabendo que �⃗� = 3𝑖 − 2𝑗 + 4�⃗� , 𝑣 = 𝑖 + 7𝑗 − �⃗� , �⃗⃗� = −3𝑖 + �⃗� , determine: 
 
a) �⃗� ⋅ (3𝑣 − 5�⃗⃗� ). b) o versor de 7�⃗� + (3𝑣 − �⃗⃗� )
 
2) Seja 𝑣 = (𝑚 + 7)𝑖 + (𝑚 + 2)𝑗 + 5�⃗� . Calcular m para que |𝑣 | = √38. 
 
3) Seja o triângulo de vértices 𝐴 = (−1,−2,4), 𝐵 = (−4,−2,0), 𝐶 = (3,−2,1). Determine o 
ângulo interno B. 
 
4) Os ponto A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o 
produto escalar dos vetores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. (Dica: O triângulo equilátero tem todos os ângulos internos iguais a 
60°) 
 
5) Uma força 𝑓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), de intensidade |𝑓 | = 5 N, é aplicada num corpo ortogonalmente ao eixo 
Ox. Sabe-se que o trabalho realizado por 𝑓 ao longo de um deslocamento 𝑑 = 𝑖 + 2𝑗 , em metros, 
é igual a 𝑓 ⋅ 𝑑 = 6 J. Determine: 
 
a) as componentes x, y e z da força 𝑓 . b) o ângulo formado por 𝑓 e 𝑑 . 
 
6) Sejam 𝐴 = (2,1,3), 𝐵 = (𝑚, 3,5) e 𝐶 = (0,4,1) vértices de um triângulo (figura a seguir). 
 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é 
retângulo em A? 
b) Calcule a medida da projeção do cateto AB 
sobre a hipotenusa BC. 
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa 
ao vértice A. 
7) Dados 𝐴 = (2,1, −1), 𝐵 = (3,0,1) e 𝐶 = (2,−1,−3), determine o ponto D tal que 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ×
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
8) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores �⃗� + 2𝑣 e 𝑣 − �⃗� , sendo �⃗� =
(−3,2,0), 𝑣 = (0,−1,−2). 
 
 
9) Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices 𝐴 = (4,1,2), 𝐵 = (5,0,1), 𝐶 = (−1,2, −2) e 𝐷 =
(−2,3, −1) é um paralelogramo e calcular sua área. 
 
10) Sabendo que |�⃗� | = 6, |𝑣 | = 4 e 30° é o ângulo entre �⃗� e 𝑣 , calcular: 
 
a) a área do triângulo determinado por �⃗� e 𝑣 . 
b) a área do paralelogramo por �⃗� e (−𝑣 ). 
 
11) Pretende-se levar água encanada de uma rede de distribuição até uma escola pública situada na 
zona rural de uma cidade, como mostrado na figura a seguir. 
 
 
Sendo o ponto 𝐴 = (1,2, −1), 𝐵 = (4,3,3) e 𝐶 =
(7,−1,5), determine a distância do ponto 𝐵 ao 
encanamento 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . A unidade utilizada é o 
quilômetro. 
12) Dados os vetores �⃗� = (3,−1,1), 𝑣 = (1,2,2) e �⃗⃗� = (2,0,3), calcule: 
a) (�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ) 
b) (�⃗⃗� , �⃗� , 𝑣 ) 
c) (3�⃗� , 3𝑣 , 3�⃗⃗� ) 
d) (�⃗� , 𝑣 , −�⃗⃗� ) 
 
13) Verificar se os vetores são coplanares. 
a) �⃗� = (1,−1,2), 𝑣 = (2,2,1) e �⃗⃗� = (−2,0,−4) 
b) �⃗� = (2,−1,3), 𝑣 = (3,1, −2) e �⃗⃗� = (7,−1,4) 
14) Para que valor de m os pontos 𝐴 = (𝑚, 1,2), 𝐵 = (2,−2,−3), 𝐶 = (5,−1,1) e 𝐷 = (3,−2,−2) 
são coplanares? 
 
15) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores �⃗� = (3,−1,4), 𝑣 = (2,0,1) e �⃗⃗� = (−2,1,5). 
Calcular o seu volume e a altura relativa à base definida por �⃗� e 𝑣 . 
 
16) Calcular o volume do tetraedro de base 𝐴𝐵𝐶 e vértice 𝑃, sendo 𝐴 = (2,0,0), 𝐵 = (2,4,0), 𝐶 =
(0,3,0) e 𝑃 = (2,−2,9). 
 
Referência: 
 
• BOULOS, P; CAMARGO, I. Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial. 3 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. 
• STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica, Rio de Janeiro: MacGraw- Hill, 1987. 
• WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.