MDC(EsSA)

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 PROF. UELTON SOUZA 
 MATEMÁTICA 
 AULA 06 
 
 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) 
O maior divisor comum de dois ou mais 
números, é o maior número que divide os 
números dados exatamente. 
Se não houver nenhum número que divida os 
números dados, além da unidade, o maior 
divisor comum é um e os números 
considerados dizem-se primos entre si. 
Exemplo: 
Consideremos o conjunto dos divisores 
positivos de 24, 30 e 72. 
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 
D (72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} 
E os divisores comuns a 24, 30 e 72: 
D (24) D (30) (72) = {1, 2, 3, 6} 
Logo: o M.D.C (24, 30, 72) = 6 
O processo mostrado acima não é muito 
prático para o cálculo do M. D. C; sendo 
assim, vamos estudar outras maneiras de 
encontrarmos o M.D.C. 
Processos Práticos para o Cálculo do 
M.D.C 
1°) Pela decomposição em fatores primos em 
separado. 
a) Decompõem-se os números em fatores 
primos; e 
b) Toma-se o produto dos fatores primos 
comuns, elevados ao menor de seus 
expoentes. 
 
 
Exemplo: 
Determine o M.D.C (72, 90, 108) 
72 2 90 2 
36 2 45 3 
18 2 15 3 
 9 3 5 5 
 3 3 1 2 . 3² . 5 
 1 2³ . 3² 
 
108 2 
 54 2 
 27 3 
 9 3 
 3 3 
 1 22.33 
 
Logo, o mdc é 2.32 = 18 
 
2°) Pela decomposição em fatores primos em 
conjunto. 
a) Decompõem-se os números em fatores 
primos, simultaneamente, dividindo-os 
somente pelos fatores primos comuns; e 
b) Toma-se o produto desses fatores primos 
comuns. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 AULA 06 
 
 
 
Exemplo: 
Determine o M.D.C (72, 90, 108) = 18 
72 – 90 – 108 2 
36 – 45 – 54 3 
12 – 15 – 18 3 
4 – 5 – 6 2 . 3² 
 
 
3°) Pelo método das divisões sucessivas ou 
algoritmo de Euclides. 
(também conhecido como “jogo da velha”) 
a) Divide-se o maior número pelo menor. 
Depois o menor número pelo resto da 
divisão anterior. Em seguida o resto da 
primeira divisão pelo resto da segunda 
divisão, e assim sucessivamente até 
encontrar um quociente exato; 
b) O último divisor encontrado é o máximo 
divisor comum; e 
c) O último quociente, quando for o menor 
possível, é igual a dois e os demais, igual 
a um. 
Ex.: Determine o M.D.C (72, 90, 108) 
 
 
M. D. C (72, 90, 108) = 18 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Calcule o M.D.C., utilizando qualquer um 
dos métodos ensinados, dos seguintes 
números: 
a) 72, 90 e 108 c) 90, 135 e 225 
b) 60, 90 e 150 d) 120, 180 e 300 
e) 39,52 e 78 f) 128,192 e 224 
 
2) Dividindo-se dois números por 7, seu mdc 
passou a ser 29. Quais são esses números 
sabendo que um é o triplo do outro? 
 
3) O MDC entre os números A = 5400 e B = 
2𝑥. 3𝑦. 5𝑧. 7 é igual a 20. Determine o valor 
de B. 
 
4) O MDC de dois números “A” e “B” é 
 25. 32. 54. 7.Sendo A = 2𝑥. 34. 5𝑧. 7 e B 
= 26. 3𝑦. 55. 7, então xyz é igual a: 
a)20 b)80 c)60 d)40 e)11 
 
5) Na decomposição em fatores primos de 
um número natural N, encontramos o 
seguinte resultado: 
N = 2𝑥. 3𝑦. 5𝑧 , Sabendo que N possui 105 
divisores, calcule o MDC entre x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) Calcule o maior número pelo qual se deve 
dividir 115 e 97 para obter os restos 7 e 1 
respectivamente. 
7) Dividindo-se 1271, 1705 e 6355 pelo maior 
número possível obtêm-se os restos 11,25 e 
55. Calcule esse número. (Questão feita na 
aula) 
8) Uma professora deseja encaixotar 144 
livros de português e 96 livros de 
matemática, colocando o maior número 
possível de livros em cada caixa. O número 
de livros que ele deve colocar em cada caixa, 
para que todas elas tenham a mesma 
quantidade de livros, sem misturar livros de 
matéria diferentes, é: 
a) 36 b)30 c)42 d)46 e)48 
9) Um apaixonado professor de matemática 
escreveu duas poesias intituladas Meu amor 
Algébrico e Análise do Amor Geométrico com 
180 e 96 versos respectivamente e resolveu 
editá-las sob a forma de um livro que 
contenha o menor número de páginas e o 
mesmo números de versos por página. O 
número de páginas do livro é igual a: 
a)20 b)21 c)22 d)23 e)24 
10)(EsSa - 2007) O maior número pelo qual 
se deve dividir 243 e 391 para obter 
respectivamente os restos 3 e 7 é “x”. Pode-
se afirmar que o algarismo das dezenas de 
“x” é igual a: 
a)9 b)8 c)2 d)6 e)4