Cap 7 3 - Muro à flexão V4

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7. Estruturas de Contenção 
 
7.1. Muros a Flexão 
 
Os muros de arrimo a flexão são estruturas de concreto armado, em balanço 
(Flexão) cujo empuxo do solo é equilibrado pelo muro. Trabalham como 
uma viga em balanço, a flexão, engastada na base. 
 
São estruturas mais esbeltas que os muros de gravidade, contraforte, cuja 
seção transversal tem forma de "L". Para equilibrar os empuxos, de forma 
semelhantes a outros tipos de muros, utiliza-se do seu peso próprio (pequeno 
comprado com muros de gravidade) e do peso do maciço arrimado (peso da 
terra), que se apoia sobre a base do "L". Na extremidade da laje pode ou não 
ser inserida uma viga de borda (viga de rigidez), cuja finalidade é aumentar 
a capacidade resistente ao escorregamento. 
 
Figura 7.1 Muro á flexão: (A) sem viga de borda (B) com viga de borda 
 
 
7.1.1. Pré-dimensionamento 
 
São estruturas de contenção construídas em concreto armado, tornando-se 
em geral, antieconômicos para alturas acima de 7 m. A sua base apresenta 
largura entre 40% a 70% da altura do muro. 
 
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Figura 7.2 - Pré-dimensionamento 
Considerações Experimentais 
(Fórmulas Empíricas): 
B0  h0= 20 cm a 30 cm 
A = (0,10 a 0,20) ∙ h 
O maior {
B ≅ A + h/3
B ≅ (
1
2,5
a
1
1,5
) ∙ h − A
 
b  h1  h/12 a h/10 
 
 
7.1.2. Verificação de estabilidade 
 
 
Figura 7.3 Equilíbrio de forças 
Equações de Equilíbrio 
 
(1) Fh = 0  Ratr. = Ea 
 
(2) Fv = 0  Rsolo = G; 
 
G = Peso do solo + Peso 
do concreto 
 
(3) MT = 0  Ea*e1 = G*e2 
 
 
– Verificação ao escorregamento 
 
Normalmente, esta verificação é crítica. Através dela se determina a base da 
sapata 
 
Da equação de Equilíbrio (1) apresentada acima temos: 
 
 ∑Fh = 0 → Ea = Ratrito 
 
Para segurança do muro contra o escorregamento ou deslizamento temos que 
considerar: 
 
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Fh,Res. = Ratrito > Ea → portanto, Fh,res. = FSg ∙ Ea ∴ μ ∙ G = FSg ∙ Ea 
 
Sendo: 
Fh,res. = Força horizontal resistente; 
G = Peso próprio do maciço; 
Ea = Empuxo ativo ou simplesmente Empuxo; 
FSg = fator de Segurança ≥ 1,4 
 
A atual ABNT, NBR 6122 (2019 recomenda em seu item 6.2.1.1.2) que os 
coeficientes de ponderação para verificação de tração, deslizamento e 
tombamento, devem ser adotados os seguintes valores: 
m igual a 1,2 (minoração) para a parcela favorável do peso; 
m igual a 1,4 (minoração) para a resistência do solo; e, 
m igual a 1,4 (majoração) para o esforço atuante, se disponível apenas o seu 
valor característico; se já fornecido o valor de cálculo, nenhum coeficiente 
de ponderação deve ser aplicado a ele. 
 
Coeficiente de atrito solo-estrutura (1) 
 
O ângulo de atrito sol-estrutura normalmente varia conforme a rugosidade 
da superfície de contato e do tipo de solo. A Tabela 7.1 apresenta valores dos 
mais variados apresentados por diversos autores. 
 
Tabela 7.1 Valores do ângulo de atrito solo-muro () em função do tipo e superfície de 
contato 
 
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Tomando para 1 valores entre 0 (paramento vertical liso, sem atrito) e 
 = coeficiente de atrito (alvenaria ou concreto /solo) 
 Solo seco ....  = 0,55 a 0,5 
 Solo Saturado .......  = 0,3 
 
– Verificação ao Tombamento 
 
Da equação (3) de equilíbrio se obtém: 
 
∑MT = 0 → Ea ∙ e1 = G ∙ e3 
 
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Sendo que: 
 
Mtombamento = Ea ∙ e1 
 
MResistente = G ∙ 𝑒3 
 
Para se evitar o tombamento o Momento Resistente deve ser maior que o 
Momento de Tombamento, logo: 
 
MRes. > MTomb. ∴ MRes. = FSg ∙ MTomb. 
 
FSg = Coeficiente de Segurança, também neste caso será considerado ≥ 1,4 
 
Normalmente essa verificação não constitui elemento de dimensionamento. 
 
- Verificação da Tensão máxima no solo e, se está existindo levantamento 
da base. 
 
Inicialmente transportam-se todas as forças verticais e calculam-se os 
momentos no CG da base 
 
Figura 7.4 Tensões na base: (B) carga resultante, dentro do Núcleo Central de Inércia 
(NCI); (C) carga resultante fora do NCI 
Quando a resultante ficar dentro do Núcleo Central de Inércia (e  B/6) 
(Figura 7.4B), toda seção estará comprimida e neste caso a tensão máximas 
e mínimas são calculadas pela equação de resistência dos materiais: 
σmax. = −
Natuant.
Abase
−
Matuant.
Wbase
= −
Natuant.
1 ∙ B
−
Matuant.
1 ∙ B2/6
 
 
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Quando a resultante ficar fora do Núcleo Central de Inércia (e  B/6)(Figura 
7.4C), para da seção estará comprimida e outra parte estará descolando do 
solo. Neste caso a tensão máxima será calculada como material não resistente 
à tração: 
- inicialmente calcula-se x, fazendo momento em relação a “T”: 
Rsolo ∙
X
3
− NResul. ∙ (
B
2
− e) 
Como Rsolo=NResult. 
X
3
= (
B
2
− e) → X = 3(
B
2
− e) 
- conhecido x, calcula-se a máxima tensão, como material não resistente à 
tração, através do triângulo indicado na Figura 7.4C. Iguala Natuant. a Rsolo e, 
pode-se calcular a max.: 
Natuant. = Rsolo = σmax. ∙
x
2
→ σmax. = 2 ∙
Natuant.
x
≤ σadm. 
 
-Fluxo de Carga e esquema estrutural 
 
Toda carga de empuxo se movimenta no paramento, de cima para baixo. 
 
 
Figura 7.5 Fluxo de carga, carregamentos de deformadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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- Esforços Solicitante 
 
Figura 7.6 Esforços solicitantes 
 
- Dimensionamento e detalhamento dos elementos estruturais 
 
- Flexão simples 
 
Necessário comparar Md com Md,min 
 
Md,min. = 0,8Wfctk,sup. 
fctk,sup. = 1,3 fctk,m = 1,3 x 0,3 x fck
2
3⁄ 
 
kc =
b ∙ d2
Md
→ Tabela → {
kx =
x
d⁄
ks
 
 
As = ks
Md
d
> As,min. = 0,15 ∙ h 
 
- Flexão composta com grande excentricidade (armadura lateral nula) 
 
Normalmente 
 
Para esses casos o dimensionamento pode ser feito como se a peça estivesse 
solicitada à flexão simples, transferindo a força normal para a posição da 
armadura tracionada (Fig.7.7). Tal transferência resulta no aumento do 
momento fletor (Mfc,d) e na redução da taxa de armadura devido a Nd. 
 
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Fig.7.7 Seção transversal solicitada à flexão composta 
Mfc,d = Md + Nd (
h
2
− d′) > Md,min. 
 
As = Ks
Mfc,d
d
− 
Nd
σsd
= Ks
Mfc,d
d
− Ks2Nd 
 
em que: 
 
Mfc,d é o momento devido à flexão composta; 
 
ks2 =
1
σsd
 (Tabelado − variando com a posição da LN). 
 
 
 
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- Dimensionamento à cortante 
 
- Verificação da tensão de compressão à cortante 
 
Vsd ≤ VRd2 
 
VRd2 = 0,27αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d 
 
Sendo: 
αv = (1 −
fck
250
), é um fator redutor da resistência à compressão do concreto, 
quando há tração transversal por efeito de armadura e existência de fissuras 
transversais às tensões de compressão, com fck em megapascal. 
 
- cálculo do valor de VRd1 para não armar à cortante 
 
Para não se armar à cortante 
 
Vsd ≤ VRd2 
 
K = 1,6 - d , não menor que 1,0, com d em metros. 
 
VRd1 = [τRd ∙ K (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw ∙ d 
τRd = 0,25fctd → fctd =
fctk,inf.
γc
 
fctk,inf = 0,7 ∙ fct,m 
 
ρ1 = 
As1
(bw ∙ d)
 
 
 
- Detalhamento das armaduras 
 
Nilsson (1973) apud Leonhardt (1979) indica critérios para armar muros de 
arrimo de flexão. 
• Quando a aba (A) for curta (< espessura b), as barras devem ser 
dispostas de acordo com o tipo indicado na Figura 7.8A; 
• Quando a aba (A) mais comprida ( > espessura b), as barras podem ser 
simplesmente ancoradas (Figura 7.8B); 
• Quando a aba (A) mais comprida ( > espessura b), evita-se fissuras de 
grande abertura com a inclusão de barras inclinadas (Figura 7.8C). 
 
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Figura 7.8 Armadura de muros dearrimo a flexão 
Fonte: Adaptado de Leonhardt (1979) 
 
Figura 7.9 Detalhamento do paramento vertical 
 
7.2. Considerações sobre a fissuração 
 
A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é considerada 
inevitável, principalmente devido à baixa capacidade resistente à tração do 
concreto, e é provocada normalmente por ações diretas, de flexão ou 
cisalhamento (Camacho, 2005). Por isso, faz-se necessário dispor de 
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armaduras nas regiões tracionadas das peças, embebidas na massa de 
concreto, para absorver esses esforços. No entanto, como consequência, o 
concreto que envolve as armaduras pode fissurar-se, possibilitando a 
corrosão das armaduras, que é uma das patologias mais significativas. 
 
As fissuras podem ainda decorrer de uma série de outros fatores, tais como: 
aderência entre a armadura e o concreto (comprimentos de ancoragens 
inadequados, rugosidade da superfície das barras); tensão de trabalho nas 
armaduras; retração plástica do concreto, nas primeiras idades (traço do 
concreto, umidade do ambiente); deformações impostas; variações de 
temperatura; e recalques diferenciais. 
 
O item 17.3.3.3 da NBR 6118 (ABNT, 2014) permite dispensar o cálculo da 
abertura de fissuras, desde que o elemento estrutural respeite os limites 
indicados na tabela que seque, tanto para o diâmetro máximo, quanto para o 
espaçamento máximo das armaduras: 
 
 
 
Segundo o item 7.6.1 da NBR 6118 (ABNT, 2014) o risco e a evolução da 
corrosão do aço na região das fissuras de flexão transversais à armadura 
principal dependem, essencialmente, da qualidade e da espessura do 
concreto de cobrimento da armadura. 
 
Umas das medidas da NBR 6118 (ABNT, 2014), ao indicar cobrimentos 
mínimos para as armaduras utilizadas nas peças de concreto armado, visa 
aumentar durabilidade das estruturas de concreto. Além do aumento da vida 
útil, a resistência ao fogo também passa a ser visada com essas exigências. 
 
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7.2 - Exemplo de Muro a Flexão 
 
Calcular um muro de arrimo a flexão, para o talude indicado na figura, 
sabendo-se que: 
 
Figura 7.10 Indicação do Talude - exemplo 
Dados: 
solo = 1.800 kg/m
3 →solo = 18 
KN/m3; 
conc. = 2.500 kg/m3 → conc. = 25 
KN/m3 (concreto armado) 
fck = 25 MPa; fyk = 500 MPa (Aço 
CA50) 
adm.solo = 2 Kg/cm2 = 200 KN/m2 
= 0,2 MPa 
(100KN/m2 = 0,1MPa = 1Kgf/cm2) 
 
 
ps = pressão do solo na base 
a = coeficiente de empuxo ativo horizontal = tg
2(450-/2) = 0,333 
s = massa específico do solo = 18 KN/m
3 
 = ângulo de atrito do solo 
 
= 300; 
 = 0,55 (coeficiente de atrito: solo arenoso seco - concreto) 
 
1. Pré-dimensões 
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Figura 7.11 - Pré-dimensionamento 
Considerações Experimentais 
(Fórmulas Empíricas): 
B0  h0=20 cm a 30 cm→adotado 20 
cm 
A = (0,10 a 0,20) ∙ h = 0,10 x 6,5
= 65 cm 
O maior 
{
 
 
 
 B ≅ A +
h
3
= 0,65 +
6,5
3
= 2,82 m ≅ 2,85 m
B ≅ (
1
2,5
a
1
1,5
) ∙ h − A
= 1,95 m
 
b  h1  h/12 a h/10 = 0,55 m 
 
 
 
 
2. Cálculo do empuxo e das cargas verticais (peso próprio da estrutura 
de concreto e do solo) 
 
Figura 7.12 - Cargas horizontais e Verticais 
 
- Cálculo do Empuxo ativo 
 
Considerando s = 18KN/m
3;  = 300 ; temos: 
 
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ka = γs ∙ tg
2 (450 − 30
0
2⁄ ) = 18 x 0,333 = 6,0 KN/m
3 
ps = ka ∙ h = 6 x 6,5 = 39 KN/m
2 
Eah = ps ∙
h
2
= 39 x 
6,5
2
= 126,75 KN/m 
 
- Cálculo das cargas verticais 
GC1 = (0,20 + 0,55) ∙
5,95
2
∙ 25 = 55,78 KN/m 
Gc2 = [(3,5 + 0,55)
0,35
2
+ 3,5 ∙ 0,2] ∙ 25 = 1,3075 x 25 = 35,22 KN/m 
 
Gt = [3,5 ∙ 6,5 − Vconc. − Vvazio] ∙ 18
= (22,75 −
55,78
25
−
35,22
25
− 0,65 x 5,95) ∙ 18
= 274,365 KN/m 
 
 
Como o paramento é inclinado, e paramento de concreto liso, o coeficiente 
de atrito solo-paramento será considerado nulo (1=0). logo: 
 
 
Figura 7.13 - Ângulo  
tgθ =
(0,55 − 0,2)
5,95
= 0,0588 
 
=3,3660 
 
δ = φ1 + θ = 0 + 3,366 
 
Ea =
Eah
cosδ
=
126,75
0,998
= 127,00 KN/m 
 
senθ = 0,0587 
Eav = Ea ∙ sen3,366
0 = 7,46 KN/m 
 
 
3. Verificação ao escorregamento 
 
Da equação de Equilíbrio (1) tem-se: 
 
∑FH = 0 → Eah = Ratrito 
 
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Para segurança do muro contra o escorregamento ou deslizamento considera-
se: 
Ratrito > Eah → Ratrito = FSg ∙ Eah 
 
 
Figura 7.14 - Carga aplicadas no muro 
Será considerado: 
 = coeficiente de atrito 
(concreto /solo) – arenoso 
(Solo seco)  = 0,55 
FSg = Coeficiente de 
Segurança ≥ 1,4 
 
Logo: 
FS =
 ∙ ∑ Fv
Eah
 
 
 
 
Gcc = Gc1 + Gc2 = 55,78 + 35,22 = 91,0 KN/m 
 
Gt = 274,37 KN/m 
 
Eav = 7,46 KN/m 
 
FSg =
μ ∙ ∑Fv
Ea
=
0,55 ∙ (Gcc + Gt + Eav)
126,75
=
0,55(91,0 + 274,37 + 7,46)
126,75
= 1,62 > 1,4 → OK:Não haverá escorregamento 
 
4. Verificação ao tombamento 
 
Necessário o cálculo das distâncias de cada força, seja horizontal ou vertical, 
em relação ao ponto “T”. 
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Figura 7.15 Ações aplicas e as respectivas distâncias até o ponto T 
Para facilitar serão desmembradas as cargas Gc2 (em Gc2 – trapézio e Gc3 – 
retângulo: Figura 7.15) e as cargas de terra Gt (em Gt1 – trapézio, Gt2 – 
triângulo e Gt3 – triângulo: Figura 7.15 ) 
 
Tabela 7.2 Força atuante, distância até ponto T e Momentos Tombamento e Resistente 
 
- Fator de segurança 
 
FS =
MRes.
Mtomb.
=
731,24
274,63
= 2,66 > 1,4 → OK 
 
Não haverá tombamento 
 
Para se calcular as distâncias do CG de um trapézio a ilustração da Figura 
7.16 facilita o entendimento 
 
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Figura 7.16 - CG do trapézio 
Características do Trapézio 
Área: 
A =
(b0 + b1)h
2
 
Distâncias do CG 
h1 =
h
3
∙
b1 + 2 ∙ b0
b0 + b1
 
 
h0 = h − h1 
 
xb =
b0
2
−
b1
2
→
xb
h
=
x
h1
→ ei(T) = x +
b1
2
+ t 
 
Exemplificando, para o cálculo ec1: 
 
h1 =
h
3
∙
b1 + 2 ∙ b0
b0 + b1
=
5,95
3
(0,2 + 2 ∗ 0,55)
(0,2 + 0,55)
= 3,437 m 
 
xb =
b0
2
−
b1
2
=
0,55
2
−
0,2
2
= 0,175 
 
xb
h
=
x
h1
→ x =
xb ∙ h1
h
=
0,175 x 3,437
5,95
= 0,101 
 
eic1(T) = x +
b1
2
+ t = 0,101 +
0,2
2
+ 0,65 = 0,851 
 
 
 
 
5. Verificação das tensões no solo 
 
Na Tabela 7.3 estão representados todas as cargas e suas respectivas 
distâncias até o ponto T (na vertical para Eah e para as demais cargas as 
distâncias horizontais: ei(T)). Também estão representadas as distancias até o 
CG da base e, os respectivos Natua. e Matua. 
 
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Tabela 7.3 – Natu. e Matu. no CG 
 
 
 
Figura 7.17 Tensões no solo 
Verificação da excentricidade para verificar 
se a resultante está dentro do NCI ou não 
eResult. =
Matua.
Natua.
=
195,82
372,82
= 0,53 m 
 
K =
(2,85 + 0,65)
6
= 0,58 m 
 
Como ersult. < K, a carga resultante está dentro do NCI, toda base comprime 
o solo. 
 
- cálculo das tensões máxima e mínima 
 
σmax. = −
Natus.
Abase
−
Matua.
Wbase
= −
372,82
1 x (2,85 + 0,65)
−
195,82x 6
3,52
 
 
σmax. = −106,52 − 95,91 = −202,45
KN
m2
> σadm. = −200 KN/m
2 
 
σmin. = −
Natus.
Abase
+
Matua.
Wbase
= −106,52 + 95,91 = −10,61 KN/m2 
 
Como a tensão máxima é maior do que a tensão admissível será necessário 
aumentar a seção, calculando um novo valor de “A”. Para isso, impõem que 
máx. = adm. e, utilizando-se da equação da resistência dos materiais: 
 
σmax. = −
Natus.
ANova
−
Matua.
WNBase
= − 200 
 
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Resolvendo essa equação do 2.º grau se obtém o novo valor para a base: 
 
σmax. = −
Natus.
Abase
−
Matua.
Wbase
= −
372,82
1 x BN
−
195,82x 6
BN
2 = −200 
 
−
372,82
1 ∙ BN
−
195,82𝑥 6
1 ∙ BN
2 = −200 
200BN
2 − 372,82BN − 1.174,92 = 0 
 
BN
2 − 1,86BN − 5,88 = 0 
 
Resultando: 
BN =
1,86 ∓ √1,862 + 4 x 5,88
2
 → {
1,86 + 5,19
2
= 3,53 ≅ 3,60
1,86 − 5,19
2
= descartaLogo: B+A  3,60 → A=3,60-2,85=0,75 m (acréscimo de 10 cm) 
 
Como será alterada a nova base, a situação quanto ao escorregamento e 
tombamento ficam favoráveis, necessário, porém, recalcular os esforços 
atuantes no CG da nova base, para um aumento de 10 cm somente: 
 
Tabela 7.4 Esforços no novo CG da base 
 
 
σmax. = −
Natus.
Abase
−
Matua.
Wbase
= −
374,07
1 x 3,6
−
179,34 x 6
3,62
= −103,91 − 83,03
= −186,94 < σadm. 
 
6. Dimensionamento do muro 
 
Neste item passa-se a analisar os elementos do muro, propriamente dito: 
paramento vertical e base do muro (sapata). 
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Figura 7.18 Ações atuantes no muro 
- Cálculo dos Esforços Solicitantes 
 
 
Figura 7.19 Diagramas de esforços solicitantes 
Os esforços, verificações de tensões e cálculo de armaduras serão feitos na 
seção K, onde o paramento vertical engasta na base (Figura 7.20A) e nas 
seções que faceiam o paramento vertical e a base: seções I-I, II-II e III-III 
(Figura 7.20B). 
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Figura 7.20 Seções onde serão calculados os esforços solicitantes 
ka = γs ∙ tg
2 (450 − 30
0
2⁄ ) = 18 x 0,333 = 6,0 KN/m
3 
 
ps = ka ∙ (h − h2) = 6 x 5,95 = 35,7 KN/m
2 
 
Eah = ps ∙ (h − h2)/2=35,7 x 5,95/2=106,21 KN/m 
 
yCG(base) = 0,217 ≅ 0,22 (Figura 7.20) 
 
Tabela 7.5 Solicitantes na seção K devido a todas as ações atuantes no muro (Figura 7.18) 
 
 
M1 = Eah ∙ [(
h − h2
3
) + (h2 − ycg)] = 106,21 ∙ (
5,95
3
+ (0,55 − 0,22)
= 245,70 KN.m/m 
 
Obs: Quando não se calcula o ycg da base pode-se adotar igual a 0,6h2 
 
V1 = Eah = 106,21 KN/m 
 
 
 
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- Esforços nas seções I-I, II-II e III-III 
 
Tabela 7.6 Esforços nas seções I-I, II-II e III-III 
 
 
- Cálculo e Detalhamento da Armadura 
 
 
Figura 7.21 Diagramas finais na seção k 
 
- Paramento Vertical (seção k): 
M1k=245,70 KN.m/m (M1d= 343,98 KN.m/m); 
V1k=106,21 KN/m (V1d=148,694); 
N1k=Gc1=55,78 KN/m (N1d= 78,09 KN/m) 
 
Como se tem flexocompressão será necessário verificar a excentricidade: 
 
e =
Mk
Nk
=
245,70
55,78
= 4,40 m > 0,55 m → Grande excentricidade 
 
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O dimensionamento será feito como flexão simples, utilizando-se do 
seguinte artifício de cálculo: 
 
Mfc,d = Md + Nd (
h
2
− d′) = 343,98 + 78,09 (
0,55
2
− 0,10) = 357,65 KN.m/m 
 
Altura útil (d) : 0,8b = 0,8 x 55  45 cm (b é a largura do paramento vertical, 
na base) 
 
 
Figura 7.22 Grande excentricidade 
kc =
100 ∙ d2
Mfc,d
=
100 x 452
35.765
= 5,66 → {
kx = 0,150
ks = 0,0246
ks2 = 0,023
 
 
 
 
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As = Ks
Mfc,d
d
− 
Nd
σsd
= Ks
Mfc,d
d
− Ks2Nd 
 
As = 0,0246
35.765
45
− 
78,09
σsd
= 0,0246
35.765
45
− 0,023 x 78,09
= 17,76 cm
2
m⁄ 
- Dimensionamento como flexocompressão com uso de ábaco 
 
 
d =
Nd
Ac ∙ fcd
=
78,09
100 x 55 x 2,5 1,4⁄
= 0,00795 
 
μd =
Md
Ac ∙ h ∙ fcd
=
343,98 x 100
100 x 55 x 55 x 2,5 1,4⁄
= 0,0637 
Ábaco:  =0,10 
As,tot. =
 ∙ Ac ∙ fcd
fyd
=
0,10 x 100 x 55 x 2,5 1,4⁄
50
1,15⁄
= 22,59 cm
2
m⁄ 
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Por face: 
As
face
=
22,59
2
= 11,29 cm
2
m⁄ → 16c/17ou 20c/27 
 
 
- Calculando somente a flexão simples, na seção k: 
 
M1d = 343,98 KN.
m
m
= 34.398 KN. cm/m 
 
Cálculo de Mdmin. 
Md,min. = 0,8Wfctk,sup. 
fctk,sup. = 1,3 fctk,m = 1,3 x 0,3 x fck
2
3⁄ = 0,39 𝑥 25
2
3⁄ = 3,333 MPa
= 0,333 
KN
cm2
 
 
 
Md,min. = 0,8 
100 x 552
6
 0,333 = 13.431 KN ∙
cm
m
< Md
= 34.398 KN. cm/m 
 
- Cálculo do Kc 
 
Para dimensionamento da seção k, pode-se admitir um aumento da altura da 
base (sapata), na relação de 1:3 até o eixo de sua largura. Assim: 
 
dk = dII + (
1
3
) (
b
2
) = dII + b/6 
 
 
Figura 7.23 Dimensões na seção k 
 
dk1 = 45 + 2
35
6
≅ 56 cm 
 
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kc =
100 ∙ d2
Md
=
100 x 562
34.398
= 9,12 → Tabela → ks = 0,0240 
 
 
 
As = ks
Md
d
= 0,0240
34.398
56
= 14,74 cm
2
m⁄ 
 
As,min. = 0,15 hL = 0,15 x 55 = 8,25 
cm2
m⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
- Escolha da bitola e cálculo do espaçamento: 
 
Tabela 7.7 - Especificações das barras e fios 
Barras 
( - mm) 
Massa Nominal 
(Kg/m)(*) 
Área da 
seção 
(mm2) 
Perímetro 
(mm) 
5,0 (*1) 0,154 19,6 15,7 
6,3 0,245 31,2 19,8 
8,0 0,395 50,3 25,1 
10,0 0,617 78,5 31,4 
12,5 0,963 122,7 39,3 
16,0 1,578 201,1 50,3 
20,0 2,466 314,2 62,8 
22,0 2,984 380,1 69,1 
25,0 3,853 490,9 78,5 
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32,0 6,313 804,2 100,5 
40,0 9,865 1256,6 125,7 
Fonte: ABNT NBR 7840 (2007) – 
 
espaçamento 
{
 
 
 
 s12,5 =
100 ∙ As1
17,76
=
122,7
17,76
= 7
s16 =
100 x 2,011
17,76
=
201,1
17,76
= 11
s20 =
100 x 3,142
17,76
=
314,2
17,76
= 17
 
 
→ smax. o menor entre {
2hL = 2 x 55 = 110 cm
20 cm
 
 
20 c/17 →→→ 
Armadura vertical, na face interna (lado do empuxo) 
da cortina 
 
Figura 7.24 Esforços nas seções I-I, II-II e III-III 
Tabela 7.8 Cálculo das armaduras 
 
Mk 
(KN.m/m) 
Md 
(KN.cm/m) 
d 
(cm) 
kc ks 
As 
(cm2/m) 
s 
(esp.) 
Mfic(1) 
245,70 35.765 
(ver cálculo 
acima) 
45 5,66 
Kc= 
0,0246 
Ks2=0,023 
17,76 
16 
c/11 
ou 
20 
c/17 
Nk=78,09 
M1k 245,70 34.398 56 9,17 0,0240 14,74 
MI-I 210,65 29.491 45 6,87 0,0244 16,0 
M2k 196,72 27.541 54 10,59 0,0240 12,24 16 
c/16 MII-II 166,56 23.318 45 8,70 0,0240 12,44 
Md,min 13.431 45 15,08 0,0238 
7,10 
< 
8,25 
12,5 
c/14 
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M3k 77,55 10.857 
MIII-III 45,93 64.302 
 
- Detalhamento à flexão 
 
- Armadura construtiva 
 
As,const. =
As,princ
5
=
17,76
5
= 3,55 cm
2
m⁄ 
 
s6,3 =
100 x 0,312
3,55
≅ 8 
 
s8 =
100 x 0,503
3,55
≅ 14 
 
Figura 7.25 Detalhamento de flexão 
 
- Verificação à cortante 
 
Todas as seções transversais são iguais (0,55 m), mas, as taxas de armaduras 
e outras características são diferentes, portanto, a verificação será feita para 
as cortantes nas três seções: 
Vk=106,21 KN/m (Figura 7.24) 
 
Vsd = 1,4 x 106,21 = 148,69 KN/m ≤ VRd2 
 
VRd2 = 0,27αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d 
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VRd2 = 0,27 (1 −
25
250
) ∙
2,5
1,4
∙ 100 ∙ 45 = 1.952,68 
KN
m
 
Sendo: 
αv = (1 −
fck
250
), é um fator redutor da resistência à compressão do concreto, 
quando há tração transversal por efeito de armadura e existência de fissuras 
transversais às tensões de compressão, com fck em megapascal. 
 
- cálculo do valor de VRd1 para não armar à cortante 
 
VRd1 = [τRd ∙ K (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw ∙ d 
τRd = 0,25fctd → fctd =
fctk,inf.
γc
 
 
k é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
- para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 
|1|; 
- para os demais casos: k = | 1,6 − d |, não menor que | 1 |, com d em metros; 
 
K = (1,6 − 0,45) > 0 K = 1,0 
fctk,inf = 0,7 ∙ fct,m = 0,7 x 0,3 x 25
2/3 = 1,795 MPa = 1.795 KN/m2 
τRd = 0,25
1.795
1,4
= 320,54 KN/m2 
ρ1 = 
As1
(bw ∙ d)
(não maior que 0,02) =
16,94
100 x 45
= 0,00376 
 
σcp = 
Nsd
Ac
=
55,78
1 x 0,55
= 101,42 KN/m2 
 
VRd1 = [320,54 x 1,0 (1,2 + 40 x 0,00376) + 0,15 x 101,42]1,0 x 0,45 
VRd1 = 201,63
KN
m
> Vsd = 148,69 KN/m → OK 
 
 
 
 
 
 
 
 
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- Para as demais seções (Figura 7.24) 
 
Tabela 7.9 Valores de VRd2, nas seções I-I, II-II e III-III 
 
Vk 
(KN/m) 
Vsd 
(KN/m) 
1 
cp 
(KN/m2) 
VRd1 
(KN/m) 
VI 106,21 
148,69 
<VRd2 
0,00376 101,42 201,63 
VII 105,11 
147,15 < 
VRd2 
= (12,44/100 x 45) 
=0,00276 
0 189,016 
VIII 117,84 
164,98 < 
VRd2 
= (8,25/100 x 45) = 
0,00183 
0 188,84 
 
Não haverá ruptura à compressão e nem necessidade de armadura a cortante