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FACULDADE CAPIXABA DA SERRA/EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
CÁLCULO I
SUMÁRIO
CÁLCULO I
2
CÁLCULO I
SUMÁRIO
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul
do Estado do Espírito Santo, com unidades em
Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova
Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória.
Desde 1999 atua no mercado capixaba, des-
tacando-se pela oferta de cursos de gradua-
ção, técnico, pós-graduação e extensão, com
qualidade nas quatro áreas do conhecimen-
to: Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, sem-
pre primando pela qualidade de seu ensino
e pela formação de profissionais com cons-
ciência cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto
grupo de Instituições de Ensino Superior que
possuem conceito de excelência junto ao
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 institui-
ções avaliadas no Brasil, apenas 15% conquistaram
notas 4 e 5, que são consideradas conceitos
de excelência em ensino.
Estes resultados acadêmicos colocam
todas as unidades da Multivix entre as
melhores do Estado do Espírito Santo e
entre as 50 melhores do país.
MISSÃO
Formar profissionais com consciência cida-
dã para o mercado de trabalho, com ele-
vado padrão de qualidade, sempre mantendo a
credibilidade, segurança e modernidade, visando
à satisfação dos clientes e colaboradores.
VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconheci-
da nacionalmente como referência em qualidade
educacional.
GRUPO
MULTIVIX
3
CÁLCULO I
SUMÁRIO
EDITORIAL
Diretor Executivo
Tadeu Antônio de Oliveira Penina
Diretora Acadêmica
Eliene Maria Gava Ferrão Penina
Diretor Administrativo Financeiro
Fernando Bom Costalonga
Diretor Geral
Helber Barcellos da Costa
Diretor da Educação a Distância
Pedro Cunha
Conselho Editorial
Eliene Maria Gava Ferrão Penina (presidente
do Conselho Editorial)
Kessya Penitente Fabiano Costalonga
Carina Sabadim Veloso
Patrícia de Oliveira Penina
Roberta Caldas Simões
Revisão de Língua Portuguesa
Leandro Siqueira Lima
Revisão Técnica
Alexandra Oliveira
Alessandro Ventorin
Graziela Vieira Carneiro
Design Editorial e Controle de Produção de Conteúdo
Carina Sabadim Veloso
Maico Pagani Roncatto
Ednilson José Roncatto
Aline Ximenes Fragoso
Genivaldo Félix Soares
Multivix Educação a Distância
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Pedagógico
Gestão Acadêmica - Coord. Didático Semipresencial
Gestão de Materiais Pedagógicos e Metodologia
Direção EaD
Coordenação Acadêmica EaD
4
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Aluno (a) Multivix,
Estamos muito felizes por você agora fazer parte
do maior grupo educacional de Ensino Superior do
Espírito Santo e principalmente por ter escolhido a
Multivix para fazer parte da sua trajetória profissional.
A Faculdade Multivix possui unidades em Cachoei-
ro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, Nova Venécia,
São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória. Desde 1999,
no mercado capixaba, destaca-se pela oferta de
cursos de graduação, pós-graduação e extensão
de qualidade nas quatro áreas do conhecimento:
Agrárias, Exatas, Humanas e Saúde, tanto na mo-
dalidade presencial quanto a distância.
Além da qualidade de ensino já comprova-
da pelo MEC, que coloca todas as unidades do
Grupo Multivix como parte do seleto grupo das
Instituições de Ensino Superior de excelência no
Brasil, contando com sete unidades do Grupo en-
tre as 100 melhores do País, a Multivix preocupa-
-se bastante com o contexto da realidade local e
com o desenvolvimento do país. E para isso, pro-
cura fazer a sua parte, investindo em projetos so-
ciais, ambientais e na promoção de oportunida-
des para os que sonham em fazer uma faculdade
de qualidade mas que precisam superar alguns
obstáculos.
Buscamos a cada dia cumprir nossa missão que é:
“Formar profissionais com consciência cidadã para o
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e
colaboradores.”
Entendemos que a educação de qualidade sempre
foi a melhor resposta para um país crescer. Para a
Multivix, educar é mais que ensinar. É transformar o
mundo à sua volta.
Seja bem-vindo!
APRESENTAÇÃO
DA DIREÇÃO
EXECUTIVA
Prof. Tadeu Antônio de Oliveira Penina
Diretor Executivo do Grupo Multivix
5
CÁLCULO I
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
> FIGURA 1 - Comprimento da circunferência 20
> FIGURA 2 - Conjuntos numéricos 21
> FIGURA 3 - Conjuntos que representam os dias trabalhados e
valor do pagamento 28
> FIGURA 4 - Diagrama da função g: A → B 29
> FIGURA 5 - Plano cartesiano 31
> FIGURA 6 - Plano cartesiano (quadrantes) 31
> FIGURA 7 - Plano Cartesiano- representação de um ponto 32
> FIGURA 8 - Plano cartesiano – representação dos pontos (3,5) e (5,3) 33
> FIGURA 9 - Representação gráfica da função y = 3x 35
> FIGURA 10 - Representação gráfica da função f(x) = –2x + 6 40
> FIGURA 11 - Pontos de coordenadas A(–2, 0) e B(0, 6) no
plano cartesiano 42
> FIGURA 12 - Pontos de coordenadas A(1,0) e B(0,2), no
plano cartesiano 43
> FIGURA 13 - Pontos de coordenadas A(0, 3) e B(1, 3), no
plano cartesiano 44
> FIGURA 14 - Localização das coordenadas dos pontos da
função f(x) = 2x –1 45
> FIGURA 15 - Representação gráfica da função f(x) = 2x –1 45
> FIGURA 16 - Localização das coordenadas dos pontos
da função f(x) = –2x –1 46
> FIGURA 18 - Representação gráfica da função f(x) = x + 1 47
> FIGURA 17 - Representação gráfica da função f(x) = –2x –1 47
> FIGURA 19 - Representação gráfica da função f(x) = –x + 1 48
> FIGURA 20 - Representação gráfica para a função
f(x) = ax + b e o a > 0 49
> FIGURA 21 - Representação gráfica para a função f(x)=ax+b e o a< 0 49
> FIGURA 22 - Representação gráfica para a função f(x) = ax + b 52
6
CÁLCULO I
SUMÁRIO
> FIGURA 23 - Localização das coordenadas dos pontos da
função f(x) = –x² + 1 56
> FIGURA 24 - Pontos importantes da parábola 57
> FIGURA 25 - Representação gráfica das raízes da função
f(x) = x2 – 5x + 6 58
> FIGURA 26 - Representação gráfica da função g (x) = 4x2 – 4x + 1 59
> FIGURA 27 - Representação gráfica da função h(x) = 2x2 + 3x + 4 60
> FIGURA 28 - Vértices da parábola 61
> FIGURA 29 - Situações possíveis para a função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 62
> FIGURA 30 - Representação gráfica da função f(x) = –x2 – 2x + 3 64
> FIGURA 31 - Representação gráfica da função y = x2 – 2x + 1 64
> FIGURA 32 - Representação gráfica da função Y = –x2 + 3x + 10 65
> FIGURA 33 - Representação gráfica de uma parábola 67
> FIGURA 34 - Inserção dos números na tabela 69
> FIGURA 35 - Inserção da fórmula 70
> FIGURA 36 - Resultado do cálculo após a inserção da fórmula 70
> FIGURA 37 - Gráfico de dispersão xy 71
> FIGURA 38 - Mapa conceitual referente ao conceito de grandeza 72
> FIGURA 39 - Triângulo retângulo 77
> FIGURA 40 - Triângulo com medida dos ângulos e dos lados 78
> FIGURA 41 - Elementos triângulo retângulo ABC 79
> FIGURA 42 - Triângulo retângulo ABC com ângulo de 30º 82
> FIGURA 43 - Esquematização do exemplo 2 84
> FIGURA 44 - Teclas que acionam o cálculo do valor das
relações trigonométricas na calculadora científica 85
> FIGURA 45 - Esquematização do exemplo 3 85
> FIGURA 46 - Arcos 87
> FIGURA 47 - Medida angular 88
> FIGURA 48 - Arcos concêntricos 88
> FIGURA 49 - Divisões da circunferência em arcos de 1 rad 89
> FIGURA 50 - Circunferência trigonométrica 92
> FIGURA 51 - Arcos côngruos 93
> FIGURA 52 - Seno e Cosseno de um arco 94
7
CÁLCULO I
SUMÁRIO
> FIGURA 53 - Representação do círculo trigonométrico 95
> FIGURA 54 - Gráfico das ondas formadas pelo campo
elétrico e magnético 98
> FIGURA 55 - Função Y=sen(x) 100
> FIGURA 56 - Elementos do gráfico da função y=sem(x) 100
> FIGURA 57 - Função y=cos(x) 103
> FIGURA 58 - Elementos da função y=cos(x) 103
> FIGURA 59 - O valor das tangentes na circunferência trigonométrica 104
> FIGURA 60 - Função y=tg(x)105
> FIGURA 61 - Translação vertical – influência do parâmetro a
na função y=a+senx 106
> FIGURA 62 - Alteração na amplitude – influência do parâmetro
b na função y=b.senx 107
> FIGURA 63 - Alteração no período - influência do parâmetro
a na função y=sen(cx) 108
> FIGURA 64 - Translação horizontal – influência do parâmetro
d na função y=sen(x+d) 108
> FIGURA 65 - Propriedade das potências 113
> FIGURA 66 - Propriedade dos radicais com radicandos
não negativos 116
> FIGURA 67 - Janela inicial do Winplot 136
> FIGURA 68 - Janela 2 dimensões 136
> FIGURA 69 - Janela de entrada das equações que descrevem
as funções 137
> FIGURA 70 - Gráfico da função y = 2x 137
> FIGURA 71 - Gráficos da função exponencial com bases diferentes 138
> FIGURA 72 - Gráfico da função y = 2 e a sua inversa y = log2x 139
> FIGURA 73 - Faixa de Moebius 143
> FIGURA 74 - Aproximação pela direita e pela esquerda 144
> FIGURA 75 - Análise dos valores de y quando se aproxima de x = 85. 145
> FIGURA 76 - Aproximação do ponto de ultrapassagem C 146
> FIGURA 77 - Comportamento da função para valores de x se
aproximando de 2 148
8
CÁLCULO I
SUMÁRIO
> FIGURA 78 - Comportamento da função y = + +
+
x x
x
² 5 6
2
para valores
de x se aproximando de –2 150
> FIGURA 79 - Função descontínua para alguns valores do domínio 153
> FIGURA 80 - Gráfico da função f x x x
x
( )
²
=
+
+
2
2
154
> FIGURA 81 - Comportamento da função f x
x
( ) =
−
1
3
para valores
de x se aproximando de 3 156
> FIGURA 82 - Comportamento da função f x
x
( ) =
−
1
3
para valores
de x crescendo ilimitadamente 157
> FIGURA 83 - Comportamento da função f x
x
( ) =
−
1
3
para valores
de x decrescendo ilimitadamente 158
> FIGURA 84 - Taxas de variações da função C(x)=20 +4x 159
> FIGURA 85 - Taxas de variações da função P=t² 160
> FIGURA 86 - Interpretação geométrica da derivada 161
> FIGURA 88 - Reta tangente à curva no ponto onde t = 1 168
> FIGURA 89 - Pontos onde a função não é derivável 169
> FIGURA 90 - f(x) = 3x2 + x e a reta tangente no ponto de abscissa 2 173
> FIGURA 91 - Comportamento da função f e as retas tangentes
ao gráfico f 189
> FIGURA 92 - Função f(x)=2x-6 190
> FIGURA 93 - Função f(x) = x² – 6x + 7 190
> FIGURA 94 - Função f`(x) = –3x² + 6x 191
> FIGURA 95 - função f(x) = –x³ + 3x² 191
> FIGURA 96 - Pontos críticos 192
> FIGURA 97 - função g(x) = x4 – x³ 194
> FIGURA 98 - Máximos e Mínimos relativos e absolutos 194
> FIGURA 99 - Pontos Máximos e Mínimos locais 195
> FIGURA 100 - Ponto de inflexão 196
> FIGURA 101 - Gráfico da função f(x) = x3 – 3x2 199
> FIGURA 102 - Áreas sob a curvas das funções y = 3 e y = x. 204
> FIGURA 103 - Área sob o gráfico da função y=x 205
> FIGURA 104 - Aproximação da área sob a curva com a utilização
de retângulos com larguras iguais 205
9
CÁLCULO I
SUMÁRIO
LISTA DE QUADROS
> QUADRO 1 - Símbolos matemáticos e seu significado 25
> QUADRO 2 - Cálculo dos valores do pagamento da diarista 27
> QUADRO 3 - Tabela representativa da função y = 3x (f(x)=3x) 34
> QUADRO 4 - Tabela representativa da função f(x) = 3 43
> QUADRO 5 - Valores de X,Y para a função y = 2x-1 44
> QUADRO 6 - Valores de X,Y para a função y = –2 x –1 46
> QUADRO 7 - Tabela da função y = x2 –2 54
> QUADRO 8 - Localização das coordenadas dos pontos da função
f(x)=x²+1 55
> QUADRO 9 - Tabela da função f(x) = –x2 + 1 55
> QUADRO 11 - valores das razões trigonométricas dos
ângulos notáveis 82
> QUADRO 12 - Cálculo dos valores de x e y da função y=senx 98
> QUADRO 13 - Cálculo dos valores de x e y da função y=cosx 101
> QUADRO 14 - Tabela com os valores X e Y do gráfico da
função y = 2x 121
> QUADRO 15 - Localização das coordenadas dos pontos e gráfico
da função f(x) = 2x 122
> QUADRO 16 - Tabela com os valores X e Y do gráfico da
função y = (1/2)x 123
> QUADRO 17 - Localização das coordenadas dos pontos e
gráfico da função y = (1/2)x 124
> QUADRO 18 - Resumo da função exponencial f(x)=ax 125
> QUADRO 19 - Tabela 14 - Valores para construção do gráfico da
função y = log2x. 132
> QUADRO 21 - Construção do gráfico da função y = log(1/2)x 133
10
CÁLCULO I
SUMÁRIO
ICONOGRAFIA
ATENÇÃO
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
11
CÁLCULO I
SUMÁRIO
SUMÁRIO
1UNIDADE 1 NÚMEROS REAIS E FUNÇÕES POLINOMIAIS 171.1 NÚMEROS REAIS E FUNÇÕES POLINOMIAIS 17
1.1.1 NÚMEROS REAIS 17
1.1.1.1 REPRESENTAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R
NA RETA NUMÉRICA 22
1.1.1.2 INTERVALOS REAIS 23
1.2 FUNÇÕES 26
1.2.1 CONCEITO DE FUNÇÕES 26
1.2.2 DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO 30
1.2.3 NOÇÕES BÁSICAS DE PLANO CARTESIANO 30
1.2.4 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 33
1.3 FUNÇÃO AFIM 35
1.3.1 VALOR DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 37
1.3.2 RAIZ DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU E EQUAÇÃO
DO 1º GRAU 38
1.3.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 40
1.3.4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU CRESCENTE E DECRESCENTE 44
1.3.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 47
1.3.6 LEI DE FORMAÇÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 50
1.4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 53
1.4.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 54
1.4.2 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 57
1.4.3 VÉRTICE DA PARÁBOLA, IMAGEM E VALOR MÁXIMO E MÍNIMO
DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 60
1.4.4 CONSTRUÇÃO DO ESBOÇO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO
POLINOMIAL DO 2º GRAU 63
1.4.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 65
1.4.6 LEI DE FORMAÇÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 66
1.5 ESTUDO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º E 2º GRAU POR
MEIO DE SOFTWARES EDUCACIONAIS 69
CONCLUSÃO 73
12
CÁLCULO I
SUMÁRIO
SUMÁRIO
2 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 76
2.1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 76
2.2 ARCOS, ÂNGULO E MEDIDA DE ARCO 87
2.3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA 91
2.4 SENO E COSSENO DE UM ARCO 94
2.5 FUNÇÕES PERIÓDICAS 97
2.5.1 FUNÇÃO SENO 98
2.5.2 FUNÇÃO COSSENO 101
2.5.3 FUNÇÃO TANGENTE 104
2.6 ESTUDO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS POR MEIO
DE SOFTWARES EDUCACIONAIS 106
CONCLUSÃO 109
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 112
3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 113
3.2 FUNÇÃO EXPONENCIAL 121
3.3 DEFINIÇÃO DE LOGARITMOS 126
3.4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LOGARITMO 129
3.5 MUDANÇA DE BASE 130
3.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 131
3.7 ESTUDO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS POR
MEIO DE SOFTWARE EDUCACIONAL 135
CONCLUSÃO 139
4 LIMITES E DERIVADA 142
4.1 LIMITES E DERIVADA 143
4.1.1 LIMITES 143
4.1.2 LIMITES E PROPRIEDADES 151
4.1.3 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 153
4.1.4 LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO 155
4.2 DERIVADA - INTRODUÇÃO 159
CONCLUSÃO 162
2UNIDADE
3UNIDADE
4UNIDADE
13
CÁLCULO I
SUMÁRIO
SUMÁRIO
5UNIDADE
6UNIDADE
5 DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO 165
5.1 DERIVADA – DEFINIÇÃO 166
5.2 DERIVADAS FUNDAMENTAIS 173
5.3 REGRAS DE DERIVAÇÃO 176
5.3.1 DERIVADA DO PRODUTO E QUOCIENTE 177
5.3.2 REGRA DA CADEIA OU DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 179
5.3.3 DERIVADA EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 181
5.3.4 DERIVADA TRIGONOMÉTRICA E DERIVADAS SUCESSIVAS 183
CONCLUSÃO 185
6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 188
6.1 ANÁLISE DE FUNÇÕES – CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 188
6.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS 194
6.3 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO 196
6.4 OTIMIZAÇÃO 199
6.5 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE INTEGRAL 203
CONCLUSÃO 208
REFERÊNCIAS 210
14
CÁLCULO I
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Bem-vindo à disciplina de Cálculo I!
Nesta disciplina, você será apresentado a conceitos, como funções, limites, derivada e
integral, que são os principais tópicos de Cálculo Diferencial e Integral. O seu material
é composto por aulas interativas que apresentam os principais temas que deverão
ser estudados. Além destes, conte também com fóruns de discussão e atividades ela-
boradas para que você consiga uma melhor compreensão dos conceitos trabalhados.
Participe ativamente das atividades!A estrutura desse material contempla 6 (seis) unidades de ensino. Nas três primeiras,
são abordados conceitos, propriedades em relação às operações, interpretação de
gráficos e aplicações de algumas funções, sendo divididas da seguinte forma: nú-
meros reais e funções polinomiais: apresenta os conjuntos numéricos com ênfase no
conjunto dos números reais, inicia o estudo sobre as funções e nas funções denomi-
nadas polinomiais do 1º e 2º graus, Funções Trigonométricas, Funções Exponenciais
e as Logarítmicas. Nas demais unidades, iniciaremos os estudos sobre: Limites e de-
rivada; conceito e aplicação de limites, assim como o conceito de derivada e algu-
mas regras de derivação. Regras de derivação: produto, quociente, regra da cadeia,
derivada exponencial, logarítmica e trigonométrica. Aplicação de derivada: derivada
implícita, taxa relacionada, máximo/mínimo e otimização e a introdução ao conceito
de integral.
No final de cada uma das três primeiras unidades, será abordada a utilização de soft-
wares educacionais para o estudo de funções e seus gráficos. As discussões relativas ao
processo de ensino-aprendizagem da matemática, ao se trabalhar os conteúdos abor-
dados, serão realizadas ao longo da disciplina através de exemplos e demais atividades.
Enfim, os conteúdos foram organizados tendo em vista um melhor aproveitamento
e rendimento, mas, para que isso se concretize, é necessário que se mantenha uma
rotina de estudos que o possibilite dedicar-se aos processos de leitura, participação e
realização das atividades propostas.
Desde já, desejamos a você bons estudos!
15
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Objetivos da disciplina
Ao final desta disciplina, esperamos que você seja capaz de:
• Explicar os conceitos de função, limite, derivada e integral.
• Analisar as funções em suas várias formas (tabelas, gráficos, fórmulas e descri-
ção verbal).
• Aplicar o estudo de funções na descrição de fenômenos e situações.
• Empregar as regras de derivação e calcular derivadas de funções específicas.
• Aplicar o conceito de derivada na resolução de problemas.
16
CÁLCULO I
SUMÁRIO
OBJETIVO
Ao final desta
unidade,
esperamos
que possa:
> Identificar e
representar as
funções de várias
formas (tabelas,
gráficos, fórmulas e
descrição verbal).
> Aplicar o estudo de
funções na descrição
de fenômenos e
situações.
> Estabelecer
discussões
relativas ao ensino-
aprendizagem da
Matemática.
UNIDADE 1
17
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1 NÚMEROS REAIS E
FUNÇÕES POLINOMIAIS
No estudo desta unidade, vamos começar a explorar o conceito de função, um dos
mais importantes da matemática. Esse conceito é intuitivo e presente em nosso coti-
diano, mas não temos ciência disso. Tomemos como exemplo o código de barras tão
utilizado no comércio para o registro de produtos e identificação de contas, por meio
de uma representação gráfica padronizada de dados numéricos e alfanuméricos as-
socia-se um objeto a uma determinada informação. Essa informação é facilmente
capturada por um instrumento de leitura, otimizando processos em diversas áreas.
E é essa a ideia básica quando se trabalha com funções: encontrar uma relação entre
grandezas e, dessa forma, possa expressá-la através de uma fórmula matemática.
Assim sendo, iremos estudar os números reais e os conjuntos numéricos e iniciar o
estudo de funções descritas por polinômios do 1º e 2º grau, além de analisar suas
variações, identificar seus elementos, seu gráfico e suas aplicações.
Busca-se também, fomentar discussões relativas ao processo ensino-aprendizagem
da matemática ao se trabalhar o conceito de funções. Esse tema será abordado em
exemplos, exercícios e no fórum. E, ainda, apresentar a utilização de software educa-
cionais no processo de ensino-aprendizagem de funções polinomiais do 1º e 2º grau.
1.1 NÚMEROS REAIS E FUNÇÕES POLINOMIAIS
1.1.1 NÚMEROS REAIS
Para organizarmos os conhecimentos numéricos acumulados pela humanidade,
agrupamo-los em conjuntos. De acordo com a utilidade dos números os classi-
ficamos em naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Os números
reais se referem a possíveis resultados de medições, ou seja, a valores de grandezas.
No conjunto dos números reais, representado por R, estão contidos os demais con-
juntos numéricos – naturais, inteiros, racionais e irracionais.
18
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Utilizamos conjuntos com muita frequência em nosso
dia a dia. Assim, temos uma noção intuitiva de conjun-
tos, toda vez em que se agrupa objetos, coisas, conforme
uma propriedade ou característica, estamos formando
um conjunto. Exemplo: ao organizar e decidir onde os
objetos de uma casa ficarão, levamos em consideração a
sua utilização, como, por exemplo, o papel higiênico que
fica no banheiro, as panelas na cozinha. Assim, podemos
considerar cada espaço da casa um conjunto e os obje-
tos seus elementos.
Sendo assim, temos:
O conjunto dos números naturais N, também chamado de conjunto da contagem, é
um conjunto infinito de números positivos, ou seja,
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 20, 21, 23, ..., 100, 101, ..., 500, ...}
A necessidade do ser humano em contar coisas, objetos remontam o começo dos
tempos. Assim, a ideia de um, dois, três ou mais apareceu naturalmente, materializa-
da nas transações de troca de itens e mercadorias.
O conjunto dos números inteiros Z, que é um conjunto infinito de números positivos
e negativos, ou seja,
ℤ = {..., - 10, -9, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, ...}
Observe que esse conjunto é composto por todos os elementos de N e seus opostos
(ou simétricos).
O conjunto dos números racionais Q é o conjunto das frações p/q, com p e q inteiros
e q ≠ 0.
ℚ = {0, ± 1,±1/2,±1/3,…,±2,±2/3,±2/5,…,±3,±3/2,±3/4,…}
19
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Assim, temos que os números inteiros também são racionais pois: 2 é racional, pois
pode ser escrito como 2/1 e , assim também com os demais números inteiros.
Ao dividirmos uma fração, podemos nos deparar com números decimais que pode
ser:
a) Números decimais exatos:
1 5 15
10
3
2
, ��= −
Forma fracionária
A parte decimal do
número é finita.
b) Dízimas periódicas ou infinitas:
0 6
9
2
3
, ... �6666 = −
A parte de decimal é periódica e
infinita. O período é o valor que se
repete initerruptamente, no caso, 6.
Os números decimais exatos e periódicos (dizimas
periódicas) possuem uma representação fracio-
nária, ou seja, podemos encontrar uma fração que
representa esse número. Da mesma forma, dada
uma fração podemos encontrar sua representa-
ção decimal, efetuando a divisão do numerador
pelo denominador.
Assim como existem números decimais que po-
dem ser escritos como frações – com numerador
e denominador inteiros – há os que não admitem
tal representação. Trata-se dos números decimais não exatos. Esse conjunto de nú-
meros é chamado de conjuntos dos números irracionais e o representamos por I.
Um exemplo de número irracional é o número � que é obtido pela divisão do com-
primento da circunferência pelo seu diâmetro.
Numerador
Denominador10
15
20
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 1 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
Cir
cunferência
Circunferência
Diâmetro
Diâm
etro
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
� = 3,1415926....
A parte de decimal é infinita
mas não é periódica.
Assim também √3=1,7320508..., √2= 1,414213...e outros números são irracionais.
Um número irracional bastante conhecido desde a anti-
guidade é o número de ouro, representado pela letra �
(lê-se fi), � =1,61803... . Utilizado pelos egípcios e por vários
outros ao longo da história em busca da perfeição, beleza
e harmonia únicas em obras de arte e construções.
Para saber mais sobre Número Áureo e outros números
irracionais consulte, em Minha Biblioteca, o livro O fantás-
tico mundo dos números: a matemática do zero ao infini-
to, escrito por Ian Stewart, e leia o capítulo sobre Números
Irracionais.
21
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Ao reunirmos os conjuntos dos númerosirracionais com o dos racionais, formamos
o conjunto dos números Reais, representado por R. Portanto, os números naturais,
inteiros, racionais e irracionais são números Reais. Podemos pensar nos conjuntos nu-
méricos como ilustrado no infográfico a seguir. Cada conjunto é um caldeirão menor
que vai misturando ao maior.
FIGURA 2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
O conjunto dos números naturais ℕ. Seus ele-
mentos representam contagem.
O conjunto dos números Inteiros ℤ é formado
acrescentando o conjunto dos números naturais
ℕ aos seus simétricos (os valores negativos).
O conjunto dos números Racionais ℚ é formado
acrescentando o conjunto dos números inteiros
ℤ aos valores escritos em fração (denominador
diferente de zero), os decimais exatos e aos de-
cimais infinitos e periódicos.
O conjunto dos números irracionais I é compos-
to pelos valores que são formados por decimais
infinitos e não periódicos.
O conjunto dos números Reais ℝ reúne todos os elementos dos outros conjuntos, os
números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais.
10, 1, 34, 2
-16, 108
-7 0,352
7
Cir
cunferência
Circunferência
Diâmetro
Diâm
etro
15 0,92 -3 3
32 Co
Fonte: Elaborada pelo autor.
22
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Pensando em aplicações de conjuntos numéricos em nosso
cotidiano, vejamos o exemplo. Ao ir ao supermercado para
comprar uma lata de leite em pó, temos a opção da lata de
400g e a de 800g. Para saber qual compensaria levar, em
relação ao custo, podemos dividir o preço pela quantidade
em gramas e multiplicá-lo por 100, para saber o valor de
cada 100 g do produto. O resultado será um número que se
enquadra em qual conjunto numérico (naturais, racionais,
etc.)? A melhor resposta para essa questão é o conjunto que
engloba todos os outros, o conjunto dos números reais.
1.1.1.1 REPRESENTAÇÃO DO CONJUNTO DOS
NÚMEROS REAIS R NA RETA NUMÉRICA
Uma forma de representar os números Reais é utilizando a reta numérica. Conside-
rando que uma reta é um conjunto infinitos de pontos alinhados, podemos relacio-
nar de forma biunívoca cada número a um ponto da reta.
-6
-4.4 5 -1/2 0.8 2.5-
-5 -4 -3 -2 -1 -0 1 2 3 4 5 6
23
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.1
É interessante observarmos que entre dois pontos quaisquer da reta existem infinitos
números, como, por exemplo, entre os números 2 e 3 existem uma infinidade de va-
lores como 2,1; 2,01; 2,001, 2,00001 e etc.
23
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Há uma passagem do livro que também virou um filme A
culpa é das estrelas, que o autor explora a ideia de infinito
no conjunto dos números reais para expressar a dor da per-
sonagem Hazel Grace:
“Não sou formada em matemática, mas sei de uma coisa:
existe uma quantidade infinita de números entre 0 e 1. Tem
o 0,1 e o 0,12 e o 0,112 e uma infinidade de outros. Obvia-
mente, existe um conjunto ainda maior entre o 0 e o 2, ou
entre o 0 e o 1 milhão. Alguns infinitos são maiores que ou-
tros... Há dias, muito deles, em que fico zangada com o ta-
manho do meu conjunto ilimitado. Eu queria mais números
do que provavelmente vou ter” (GREEN, 2014).
Para saber mais sobre este tema, assista ao vídeo Conjuntos
Numéricos e a Reta Numérica, Professora Ângela, disponível
na internet.
1.1.1.2 INTERVALOS REAIS
Ao nos referimos a quaisquer dois ou mais valores no conjunto dos números Reais,
não podemos deixar de trabalhar o infinito, conforme citado anteriormente. Portan-
to, utilizamos subconjuntos denominados intervalos, ou seja, conjuntos com todos
os valores delimitados por dois números, os quais são determinados por meio de
desigualdades.
Para indicarmos um determinado intervalo, podemos fazê-lo utilizando a simbologia
de conjuntos ou representá-lo graficamente.
24
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para determinar o intervalo compreendido entre 3 (inclusive) e 7 no conjunto dos
números reais, podemos representá-lo das seguintes formas:
{x ∈ ℝ/3 < x < 7}
Leia-se: x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é maior que 3 e menor
do que 7}.
Em algumas situações, a representação gráfica se mostra mais apropriadas; assim,
podemos representar esse intervalo por meio de um segmento de reta:
2 3 4 5 6 7 8 9
Observe que o círculo que está sobre o 3 está preenchido, identificando que o 3 é
um valor que pertence ao conjunto (maiores e iguais a 3), mas o círculo do 7 não está
preenchido, pois o 7 é um valor que não pertence ao intervalo. Ele apenas indica a
extremidade do conjunto.
Diz-se então que o intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita, pode se repre-
sentar esse conjunto simbolicamente da seguinte forma: [3,7[
Vejamos mais alguns exemplos:
{x ∈ ℝ/4 ≤ x ≤ 7}
3 4 5 6 7 8 9
[4,8]
{x ∈ ℝ/x ≤ 6}
2 3 4 5 6 7 8 9
]-∞,6]
O símbolo -∞ significa que o intervalo tem início ilimitadamente negativo e, nesse
caso, termina no número 6.
25
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para saber mais, pesquise na internet sobre intervalos
de números reais.
Na tabela a seguir, são apresentados alguns símbolos utilizados em Matemática e
importantes para a compreensão do conteúdo abordado. Sejam x e y números.
QUADRO 1 - SÍMBOLOS MATEMÁTICOS E SEU SIGNIFICADO
SÍMBOLO SIGNIFICADO
< e >
É menor que, é maior que.
x < y: significa que x é menor que y.
x > y: significa que x é maior que y.
< e >
Menor ou igual a, é maior ou igual a.
x < y: significa: x é menor ou igual a y;
x > y: significa: x é maior ou igual a y.
{ , }
Chaves: indica a delimitação dos elementos de um conjunto.
Ex.: {a, b, c} representa o conjunto composto pelos elementos a, b e c.
{ } ou Ø Conjunto vazio: significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.
] O extremo não pertence ao intervalo.
[ O extremo pertence ao intervalo.
∀
"para todo" ou "para qualquer que seja".
Ex.: ∀ x > 0, x é positivo. Significa que, para qualquer x maior que 0, x é positivo.
/
“tal que”.
Ex.: Considere o conjunto A = {x ∈ ℝ x � 5}. Significa que esse conjunto A contém
números reais, tais que (satisfaçam à condição) de serem maiores ou iguais a 5.
∈
“pertence”.
Ex.: 6 ∈. ℤ indica que o 6 pertence aos números inteiros.
26
CÁLCULO I
SUMÁRIO
SÍMBOLO SIGNIFICADO
∉
Não pertence.
Ex.: -1 ∉ ℕ. Significa que o número -1 não pertence aos números naturais.
=
Lê-se: "igual a".
Ex.: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. Por exemplo: 3 + 5 = 7 + 1
≠
Lê-se: “diferente de”.
Ex.: x ≠ y, significa que x e y possuem valores diferentes. Por exemplo: 3 + 4 ≠ 7 + 3.
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.2 FUNÇÕES
1.2.1 CONCEITO DE FUNÇÕES
O conceito de função sempre está presente quando relacionamos duas grandezas
variáveis. Veja o exemplo:
Uma diarista cobra por dia de trabalho R$ 120,00. Ela pre-
fere receber o pagamento no final do mês. Sendo assim,
quanto ela receberá? Esse valor dependerá do quê?
Perceba que há duas grandezas envolvidas nesse problema: uma é o valor que a
diarista receberá, e a outra, o tempo, ou seja, os dias trabalhados. Para o cálculo do
valor do pagamento, é necessário saber quantos dias a diarista trabalhou. Nesse caso,
dizemos que o valor pago depende dos dias trabalhados e, assim, será denominado
variável dependente, e os dias trabalhados, variável independente.
Vamos então, construir uma tabela explicitando como calcular os valores do paga-
mento para que possamos observar a relação existente entre as duas grandezas e
verificar a lei que as relaciona:
27
CÁLCULO I
SUMÁRIO
QUADRO 2 - CÁLCULO DOS VALORES DO PAGAMENTO DA DIARISTA
QUANTIDADE DE DIAS TRABALHADOS (D) VALOR A SER PAGO (P)
0 P=120.0=0
1 P=120.1=120
2 P=120.2=240
3 P=120.3=360
4 P=120.4=480
5 P=120.5=600
6 P=120.6=720
7 P=120.7=840
8 P=120.8=960
9 P=120.9=1080
10 P=120.10=1200
.
.
.
.
.
.
d P=120.d
Fonte: Elaborada pela autora.
Observe que podemos encontrar o valor do pagamento pela expressão P = 120.d,
logo essa é uma relação descrita por uma lei matemática.
Você consegue descrever alguma relação entre grandezasem seu dia a dia?
Perceba que, frequentemente, estabelecemos relações entre grandezas. A física, quí-
mica, assim como as demais ciências descrevem relações entre grandezas que são
seus objetos de estudos e essas aparecem descritas pelas fórmulas que utilizam.
Para que uma relação seja considerada uma função, ela precisa atender ao seguinte
critério:
Uma função f:A → B é uma lei ou regra que associa a cada elemento de A um
único elemento de B.
Escrevemos f: A → B uma função.
x → f (x)
x → y
28
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Vamos considerar 10 dias do exemplo do cálculo do pagamento da diarista: sendo
os Dias trabalhados (conjunto D), Valor do pagamento (conjunto P). Assim, temos a
seguinte representação desses dois conjuntos e a relação entre eles:
FIGURA 3 - CONJUNTOS QUE REPRESENTAM OS DIAS TRABALHADOS
E VALOR DO PAGAMENTO
D
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
120
240
360
480
600
720
840
960
1080
1200
P
Fonte: Elaborada pelo autor.
Verifique que todos valores do conjunto D encontram um único resultado, ou seja,
um único valor no conjunto P. Portanto, P está em uma função de D. Assim, essa re-
lação representa uma função.
Logo, a função f: D → P (função de D em P) é dada pela lei P = 120.d.
De modo geral, denominamos o conjunto D (variável independente - varia sem de-
pender de nenhuma outra variável) de Domínio D(f) e x seus elementos. Já o conjun-
to P de contradomínio CD(f), e o subconjunto formado pelos elementos de P que
estão associados aos elementos de D, de imagem (variável dependente – valores de y
depende da variação da variável x).
Vamos exemplificar esses conceitos com um outro exemplo:
Seja os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5} em que
x ∈ A o elemento y ∈ B.
29
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Seja g: A → B, podemos ter uma função de A em B representada pelo diagrama a
seguir.
FIGURA 4 - DIAGRAMA DA FUNÇÃO G: A → B
1 2
2 3
3 4
4 5
g: A → B
Valores de y
Valores de x
(Domínio)
BA
Contradomínio,
formado por todos
os elementos de B.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse caso, observe que a lei de correspondência que associa cada número real x ao
número real y, é y → x + 1.
Observe que essa relação representa uma função, pois todos os elementos de A (Do-
mínio) encontram um valor no contradomínio. Mesmo que o elemento 6, pertencen-
te ao conjunto B, contradomínio, não corresponda a nenhum valor, temos a função g
que associa os valores de A em B.
Assim, temos as seguintes observações:
• Todos os elementos pertencentes ao domínio da função possuem, obrigato-
riamente, uma e somente uma, imagem no contradomínio da função.
• Não podemos ter um elemento do domínio sem uma imagem corresponden-
te ou um elemento do domínio com mais de uma imagem.
• Em contrapartida, podemos ter elementos do contradomínio que não são
imagens de nenhum elemento do domínio.
• O conjunto imagem está contido no conjunto do contradomínio da função f,
podendo o conjunto imagem ser igual ao conjunto contradomínio ou o con-
junto imagem ser um subconjunto (uma parte) do contradomínio.
30
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.2.2 DETERMINAÇÃO DO DOMÍNIO
Muitas vezes, faz-se referência a uma função f dizendo apenas qual é a lei de cor-
respondência que a define. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f,
deve-se subentender que D é formado por todos os números reais que podem ser
colocados no lugar de x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, efetuados os
cálculos, resulte um y real.
Muitas vezes, faz-se referência a uma função f dizendo apenas qual é a lei de cor-
respondência que a define. Quando não é dado explicitamente o domínio D de f,
deve-se subentender que D é formado por todos os números reais que podem ser
colocados no lugar de x na lei de correspondência y = f(x), de modo que, efetuados os
cálculos, resulte um y real.
O domínio da função definida pela lei y = 3x – 1 é ℝ, pois qualquer que seja o valor real
atribuído a x, o número 3x – 1 também é real.
O domínio da função dada por y x
x
=
+ 2
é ℝ*, pois, para todo x real diferente de 0, o
número
x
x
+ 2
é real.
O domínio da função dada por y x= +1 é D = {x ∈ ℝ|x ≥ –1}, pois x +1 só é real se
x + 1 ≥ 0.
A função dada por y =
x
x
x+ + +2 1 só é definida para x ≠ 0 e x ≥ –1. Então, seu do-
mínio é D = {x ∈ ℝ|x≥-1 e x ≠ 0}.
1.2.3 NOÇÕES BÁSICAS DE PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano é composto por dois eixos: um eixo horizontal, pode ser chamado
de eixo Ox, ou também de eixo das abscissas, e um eixo vertical pode ser chamado
de eixo Oy e também de eixo das ordenadas. O ponto O (interseção de Ox com Oy) é
31
CÁLCULO I
SUMÁRIO
chamado de origem. O plano que contém Ox e Oy é o plano cartesiano. Esse plano
é bidimensional (duas dimensões), e o utilizamos para representar um par ordenado
(x,y) ou ponto qualquer (x,y).
FIGURA 5 - PLANO CARTESIANO
y (eixo das ordenadas)
0
(origem)
x (eixo das abscissas)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Cada eixo representa o conjunto dos números reais, e o conjunto infinito de pares
ordenados existentes formam um plano. Os eixos Ox e Oy dividem esse plano em
quatro partes denominadas de quadrantes. A numeração dos quadrantes é feita no
sentido anti-horário.
FIGURA 6 - PLANO CARTESIANO (QUADRANTES)
1º Quadrante 2º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
Sen�do an�-horário
x
y
Fonte: Elaborada pelo autor.
32
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Um ponto qualquer (x, y) pode localizar-se em qualquer um dos quatro quadrantes
ou em um dos eixos coordenados. Observe que:
• Um ponto no 1º quadrante possui valores de x e y positivos → (+, +).
• Um ponto no 2º quadrante possui valor de x negativo e y positivo → ( - , +).
• Um ponto no 3º quadrante possui valores de x e y negativos → ( -, - ).
• Um ponto no 4º quadrante possui valor de x positivo e y negativo → ( +, - ).
• Um ponto localizado no eixo das abscissas pode ter x positivo ou negativo,
mas terá, obrigatoriamente, como ordenada y o valor zero → (+ ou -, 0).
• Um ponto localizado no eixo das ordenadas pode ter y positivo ou negativo,
mas terá, obrigatoriamente, como abscissa x o valor zero → (0, + ou -).
Para representarmos geometricamente uma par ordenado (x,y) no plano cartesiano,
podemos proceder da seguinte maneira:
1) desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a interseção O como origem
para cada um deles;
2) marcamos no eixo horizontal o ponto A, que representa o valor de x;
3) marcamos no eixo vertical o ponto B, que representa o valor de y;
4) traçamos uma reta s paralela ao eixo horizontal passando por B;
5) destacamos a interseção das retas r e s, chamando-a de P, que é o ponto que repre-
senta graficamente o par ordenado (x, y). O par (x, y) é chamado de coordenadas de P.
FIGURA 7 - PLANO CARTESIANO- REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO
y (eixo das ordenadas)
x (eixo das abscissas) 0 (origem)
P(x,y)
A
B
Fonte: Elaborada pelo autor.
33
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Sendo P o ponto de coordenadas (x, y), veja:
• (3,5) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 3, valor de x, e o segundo
é 5, valor de y.
• (5,3) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 5, valor de x, e o segundo
é 3, valor de y.
• Note que os pares (3, 5) e (5, 3) diferem entre si pela ordem de seus elementos.
FIGURA 8 - PLANO CARTESIANO – REPRESENTAÇÃO DOS PONTOS (3,5) E (5,3)
(3,5)A
B
x
6543210
1
2
3
4
5
6
(5,3)
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.2.4 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano
coordenado, onde x pertence ao domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo
uma tabela que nos dá as coordenadas, calculadas por meio da lei y = f(x). Represen-
tamos cada par ordenado (x, y) da tabela por um ponto no plano cartesiano. O con-
junto dos pontos obtidos constitui o gráfico da função.
34
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Vejamos como construir ográfico da função y = 3x.
Salientamos alguns pontos, de acordo com a tabela.
Lembramos que podemos escolher números reais para atribuirmos para x (variável
independente) e a partir desses valores escolhidos, substituímos na função dada y =
3x, gerando os valores de y. A união desse valor para x e seu correspondente para y
será as coordenadas do ponto (x, y) que iremos ‘marcar’ no gráfico. Para isso, devemos
atribuir alguns valores para x, gerando os pontos calculados, e ligar esses pontos vi-
sualizando o gráfico da função dada.
Normalmente, para efeito de facilitar nossas contas, escolhemos números menores
positivos, negativos e o número 0, ou seja, vamos atribuir a x os valores de –3, –2, –1,
0, 1, 2, 3. Como é a função y ou f(x) que depende de x, atribuímos os valores para x e
depois substituímos na função y = 3x (f(x) = 3x), como mostra o QUADRO 3.
QUADRO 3 - TABELA REPRESENTATIVA DA FUNÇÃO Y = 3X (F(X)=3X)
x y = 3x (x, y)
–3 Y = 3 . (–3) = –9 A (–3, –9)
–2 Y = 3 . (–2) = –6 B (- 2, –6)
–1 Y = 3 . ( –1) = –3 C ( –1, –3)
0 Y = 3 . (0) = 0 D (0, 0)
1 Y = 3 . (1) = 3 E (1, 3)
2 Y = 3 . (2) = 6 N (2, 6)
3 Y = 3 . (3) = 9 O (3, 9)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Após encontrarmos as coordenadas de cada ponto, agora vamos representá-lo (ou
marcá-lo) no plano cartesiano a seguir. Após a representação de cada um dos pontos,
vamos ligá-los, visualizando a reta que esboça o gráfico da função y = 3x.
35
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 9 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO Y = 3X
O
A B
N
y
8
6
4
2
E
x
-6 -4 -2
-2
-4
-6
-8
-10
A
C
B
0
D
E
N
0
y10
8
6
4
2
2 4 6
xD
C
B
A
-8
-6
-4
-2
0-2-4 2 4
Legenda:
a) Pontos de coordenadas (x,y) localizados no plano cartesiano
b) gráfico formado por esses pontos.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ao ligarmos todos os pontos encontrados, temos a representação gráfica da função
que, no caso, é uma reta.
1.3 FUNÇÃO AFIM
Ao relacionarmos duas grandezas e observarmos que elas são diretamente propor-
cionais, observamos que podemos expressá-la através de uma função afim ou função
polinomial do 1º grau.
Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando se
observa que a variação ocorrida em uma provoca a mesma
variação na outra. Assim, se uma duplica, a outra também
duplicará. Se uma é dividida em três partes iguais, a outra
também será dividida por esse mesmo valor.
36
CÁLCULO I
SUMÁRIO
A função afim é um tipo específico de função descrita por um polinômio e, por esse
motivo, é também denominada função polinomial de grau 1.
Um comerciante vende um determinado produto a R$ 2,50
cada unidade.
a) Quantos produtos podemos comprar com R$15?
b) Qual o valor pago por 32 unidades?
Observe que as grandezas envolvidas são o valor a ser pago (P) e a quantidade de
unidades (Q). A primeira depende diretamente da segunda, assim podemos escrever
a relação entre elas como:
P = 2,50. Q
Assim, reconhecemos a função afim quando a função se apresenta na lei:
f(x) = ax + b ou y = ax + b
temos que:
a - É um número real, denominado de coeficiente angular e a ≠ 0.
b - É um número real, denominado de coeficiente linear, também chamado de ter-
mo independente ou termo constante da função.
x - variável independente.
f(x) ou y- variável dependente.
f(x) = 3x – 4, em que a = 3 e b = –4
f(x) = –2x + 6, em que a = - 2 e b = 6
g(x) = –x – 6, em que a = –1 e b = –6
y = 2
5
x +
1
3
, em que a = 2
5
e b =
1
3
y = 10x, em que a = 10 e b = 0.
37
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.3.1 VALOR DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º
GRAU
Encontramos o valor da função dada por f(x) = ax + b, a ≠ 0, quando substituímos o
valor de x e encontramos o valor da função, ou seja, f(x) ou y.
Dada a função f(x)= 3x+2, encontre:
a) f(2)
o exercício pede o valor da função quando o valor de x é 2. Assim, temos:
f(x) = 3x + 2
f(2) = 3 . (2) + 2
f(2) = 8 , logo o valor da função quando x é igual a 2 é 8.
b) f(–3)
f(x) = 3x+2
f(–3) = 3 . (–3) + 2
f(–3) = –9 + 2
f(–3) = 7
c) f(x) = 2
Nesse caso, deseja-se saber o valor de x quando o valor da função for 2.
f(x) = 3x + 2
2 = 3x + 2
3x + 2 = 2
3x = 2 – 2
3x = 0
X = 0/2 = 0, logo o valor de x tem que ser 0 para que f(x) = 2.
38
CÁLCULO I
SUMÁRIO
O domínio da função polinomial do 1º grau serão os valores de x que podem ser atri-
buídos na função f(x) = ax + b. Como não temos nenhuma restrição para essa igualda-
de, teremos D(f) = ℝ.
A imagem da função do 1º grau serão os valores de y ou de f(x) encontrados na lei da
função como resposta a cada x real do domínio.
Dada a função f(x) = –3x + 2, determine as imagens correspondentes a x = -1, x = 0 e
x = 4. Teremos, então:
f( –1) = – 2. (–1) + 3 = 2 + 3 = 5
f(0) = – 2. 0 + 3 = 0 + 3 = 3
f(4) = – 2. 4 + 3 = = 8 + 3 = – 5
Logo, as imagens serão 5, 3 e – 5.
Assim, a imagem de funções do 1º grau, cujo domínio é real, será também real, es-
crevemos Im(f) = ℝ.
1.3.2 RAIZ DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
E EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Chamamos de raiz ou zero de uma função polinomial do 1º grau, dada por f(x) = ax
+ b, a ≠ 0, o número real x, tal que f(x) = 0, ou seja, o valor de x que atribuído à função
encontra o valor de y = 0.
39
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.Dada a função f(x) = 2x – 4, para encontrar sua raiz, devemos fazer
f(x)=0
2x – 6 = 0;
2x = 6;
x = 6/2 ;
logo x = 3.
2. Cálculo da raiz da função g(x) = –2x + 5:
g(x) = 0
– 2x + 5 = 0
–2x = –5
2x = 5
x = 5/2.
3.Cálculo da abscissa do ponto em que a função h(x) = –x –4 será igual a zero, teremos:
h(x) = 0
–x – 4 = 0
–x = 4
x = –4
A raiz da função linear é dada por x=(-b)/a, pois, fazendo ax + b = 0, temos que ax = –b.
Logo:
x =
−b
a
Observação: Em algumas bibliografias trazem a denominação de zero da função ao
invés de raiz.
Equação do 1º grau
Equação do 1º grau
Equação do 1º grau
40
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.3.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
Vimos que, para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pon-
tos fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. Esses pontos são calculados por
meio da lei y = f(x). Representamos cada par ordenado (x, y) da tabela por um ponto
no plano cartesiano. O conjunto dos pontos obtidos constitui o gráfico da função.
O gráfico de uma função linear é uma reta não paralela aos eixos coordenados.
Assim sendo, necessitamos somente de dois pontos quaisquer para que o gráfico
possa ser construído. Porém, utilizamos os pontos onde a reta irá cortar os eixos x e y,
assim temos os pontos (x, 0) e (0, y).
Note que o ponto (x, 0) é a raiz da função e, como na interseção com o eixo y, o valor
de x é zero. Y vai ser igual ao valor do coeficiente linear, ou seja, b.
Veja o gráfico a seguir:
FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO F(X) = –2X + 6
y Eixo das ordenadas
7
F
6
5
4
3
2
1
0-1 1 2 3 4
G
5 6
x
F(0,6) – ponto onde a reta corta o
eixo y. Obtemos as coordenadas
do ponto da forma (o,b), sendo b
o valor do coeficiente linear.
G(3,0) – ponto onde a reta corta o
eixo x. Podemos obter as coorde-
nadas do ponto da forma G( ,0).-b
a
Eixo das abscissas
Fonte: Elaborada pelo autor.
41
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Assim, utilizando essas informações, podemos fazer o gráfico de qualquer função po-
linomial do 1º grau.
1º Exemplo: Dada a função de ℝ em ℝ, definida por f(x) = 3x + 6, construa o gráfico.
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção com:
a) o eixo das abscissas (x, o)
x b
a
=
−
=
−
= −
6
3
2
Portanto, as coordenadas do ponto de interseção com o eixo das abscissas é (-2,0).
b) com o eixo das ordenadas (0, y).
Nesse caso, o valor de x = 0 assim,
f(x) = 3x + 6
f(0) = 3 . (0) + 6
f(0) = 6
Observe que, na função f(x) = 3x + 6, o valor do coeficien-
te angular a = 3, e o coeficiente linear b = 6.
Portanto, as coordenadas do ponto de interseção com o eixo das ordenadas é (0, 6),
ou seja, o valor do coeficiente linear.
Vamos esboçar o gráfico com os pontos encontrados, ou seja, A(–2, 0) eB(0, 6), locali-
zando-os no plano cartesiano:
42
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 11 - PONTOS DE COORDENADAS A(–2, 0) E B(0, 6) NO PLANO CARTESIANO
y8
7
6
5
4
3
2
1
B
A
-4 -2
-1
0 2 4
x
-4 -2 0
1
A
2
3
4
5
6
7
8 y
B
A B
-1
2 4
x
Legenda:
a) Pontos de coordenadas A(-2,0) e B(0,6) localizados no plano cartesiano.
b) gráfico formado por esses pontos.
Fonte: Elaborada pelo autor.
2º Exemplo: Faça o gráfico da função de ℝ em ℝ, definida por f(x) = –2x + 2
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção com:
a) com o eixo das abscissas (x, o)
x b
a
=
−
=
−
= −
6
3
2
Portanto, as coordenadas do ponto de interseção com o eixo das abscissas é (1, 0):
b) com o eixo das ordenadas (0, y).
Conforme vimos no exemplo 1, o valor de y neste ponto é igual ao valor b na função,
lembrando que ela é definida como por f(x) = ax + b.
Portanto, as coordenadas do ponto de interseção com o eixo das ordenadas é (0, 2),
ou seja, o valor do coeficiente linear.
43
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Vamos esboçar o gráfico com os pontos encontrados, ou seja, A(1, 0) e B(0, 2), locali-
zando-os no plano cartesiano:
FIGURA 12 - PONTOS DE COORDENADAS A(1,0) E B(0,2), NO PLANO CARTESIANO
A
10
1
2
3
4
y
-1
-1
2 3 4
B
x A
10
1
2
3
4
y
-1 2 3 4
B
x
Após localizar os
pontos no plano
cartesiano, ligamos
os dois, formando
uma reta.
Fonte: Elaborada pelo autor
3º. Exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 3.
Perceba que nessa função o valor a = 0 e b = 2. Essa função é um tipo especial de
função denominada função constante que é descrita com f(x) = b. Nesse caso, para
qualquer valor de x escolhido, o valor de y sempre será igual a 3.
QUADRO 4 - TABELA REPRESENTATIVA DA FUNÇÃO F(X) = 3
x Y = 3 (x, y)
0 3 A (0, 3)
1 3 B (1, 3)
Fonte: Elaborada pelo autor.
44
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 13 - PONTOS DE COORDENADAS A(0, 3) E B(1, 3), NO PLANO CARTESIANO
y
BA
4
3
2
1
-1
-1
0 1 2 3 4
x
y
BA
4
3
2
1
-1
-1
0 1 2 3 4
x
Após localizar os
pontos no plano
cartesiano, ligamos
os dois, formando
uma reta.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nos exemplos acima, podemos definir o domínio e a imagem das funções. Teremos
para tais D = ℝ e Im = ℝ. Para analisar isso, basta olhar os valores de x que são utiliza-
dos (eixo horizontal) na função e os valores de y que são utilizados (eixo vertical) na
função. Como a reta é uma figura geométrica infinita em ambas as direções, teremos
todos os valores dos eixos horizontal e vertical do plano cartesiano sendo utilizados.
Assim sendo, tanto domínio quanto a imagem da função serão reais.
1.3.4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU CRESCENTE E
DECRESCENTE
Consideremos a função polinomial do 1º grau definida por y = 2x –1. Vamos atribuir
valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
QUADRO 5 - VALORES DE X,Y PARA A FUNÇÃO Y = 2X-1
x y
–3 –7
–2 –5
–1 –3
0 –1
1 1
2 3
3 5
Os valores de y
também crescem
+
Se os valores de x
crescem
+
Fonte: Elaborada pelo autor
45
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 14 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS DA FUNÇÃO F(X) = 2X –1
A
B
C
D
E
0
-2
-4
-6
-8
-2 2 4 6 8
x
-4
2
4
6
8
y
F
G
Observe nessa função o
valor de a = 2. Portanto,
a > 0.
Os valores de y
(imagem) crescem
Os valores de x
(domínio) crescem.
Fonte: Elaborada pelo autor
Perceba que, quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y tam-
bém aumentam. Dizemos, então, que a função é crescente.
FIGURA 15 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO F(X) = 2X –1
y
F
E
D
C
B
A
G
8
6
4
2
0 2 4 6 8
x
-2-4
-2
-4
-6
-8
Fonte: Elaborada pelo autor.
46
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Consideremos agora a função polinomial do 1º grau definida por y = –2 x –1. Vamos
atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
QUADRO 6 - VALORES DE X,Y PARA A FUNÇÃO Y = –2 X –1
x y
–3 5
–2 3
–1 1
0 –1
1 –3
2 –5
3 –7
Os valores de y
decrescem
+
Se os valores de
x crescem
+
Fonte: Elaborada pelo autor.
FIGURA 16 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS DA FUNÇÃO F(X) = –2X –1
y
x
6420
2
4
6
8
-2
D
C
B
A
E
F
G
-4
-6
-8
-2-4
Os valores de y
(imagem) decrescem.
Observe nessa
função o valor
de a=2. Portanto,
a<0.
Os valores de x
(domínio) crescem.
Fonte: Elaborada pelo autor.
47
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Assim, podemos observar que, de maneira geral,
para a função linear f(x) = ax + b, temos que:
se a > 0 a função é dita crescente.
se a < 0 a função é dita decrescente.
Portanto, se o coeficiente angular a é positivo,
a reta do gráfico dessa função será ascendente
(função crescente). E, se o coeficiente angular a
é negativo, a reta do gráfico dessa função será
descendente (função decrescente).
1.3.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
1º GRAU
Fazer o estudo do sinal de uma função f(x) qualquer é determinar os valores de x para
que y, a função, seja positiva, negativa ou nula.
1º Exemplo - Vamos observar o gráfico da função f(x) = x + 1
FIGURA 18 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO F(X) = X + 1
y3
2
1
0-1
-
+
-1
1 2
x
-2-3
Essa é a raiz da função
e, nesse ponto (-1, 0), o
valor de y = 0, ou seja, a
função é nula.
Os valores de x > -1
possuem imagem
positiva, ou seja, f(x) > 0
para x > -1.
Os valores de x < -1
possuem imagem
negativa, ou seja,
f(x) < 0 para x < -1.
Fonte: Elaborada pelo autor.
FIGURA 17 - REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA DA FUNÇÃO F(X) = –2X –1
y
x
642
D
C
0
-2
-4
-6
-8
B
A
2
4
6
8
E
F
G
-2-4
Fonte: Elaborada pelo autor.
48
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Observe que a função é nula no valor de x em que temos y = 0, ou seja, na raiz da fun-
ção. A função muda de sinal nesse ponto, que é o ponto onde o gráfico intercepta o
eixo x. Por isso, dizemos anteriormente que esse ponto é um ponto importante para
ser representado no gráfico da função, pois ele servirá como base para nossa análise.
Então, o estudo do sinal da função será:
f(x) = 0, para x = -1;
f(x) > 0, para x > -1;
f(x) < 0, para x < -1
2º Exemplo - Vamos observar o gráfico da função f(x) = –x + 1
FIGURA 19 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO F(X) = –X + 1
y3
2
1
0
-1
-1-2-3
-2
1 2
x
-
+
Essa é a raiz da
função e, nesse
ponto (-1,0), o valor
de y=0, ou seja, a
função é nula.
Os valores de x > -1
possuem imagem
negativa, ou seja,
f(x) < 0 para x > -1.
Os valores de x < -1
possuem imagem
positiva, ou seja,
f(x) > 0 para x < -1.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que o valor do coeficiente angular da função é menor que zero, a<0, e a fun-
ção é decrescente. Nesse caso, o estudo do sinal da função será:
f(x) = 0, para x = –1;
f(x) > 0, para x < –1;
f(x) < 0, para x > –1
Portanto, para as funções dadas pela fórmula y = f(x) = ax + b, ao estudarmos o seu
sinal, tomaremos como ponto de partida a raiz da função, ou seja, o valor de x que
torna essa função igual a zero (ou nula). Sabendo onde a função é zero, teremos de
um lado números positivos e de outro, números negativos.
49
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Podemos resumir da seguinte maneira:
1º Quando a>0
FIGURA 20 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PARA A FUNÇÃO F(X) = AX + B E O A > 0
a>0
-
+
-b
a
-b
a
;
-b
a
;
-b 1
a
Para a função f(x) = ax + b e
o a > o, estudo do sinal da
função será:
f(x) = 0, para x =
f(x) > 0, para x > -
f(x) < 0, para x <
Fonte: Elaborada pelo autor.
2º Quando a < 0
FIGURA 21 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PARA A FUNÇÃO F(X)=AX+B E O A< 0
a < 0
-b
a
-b ;a
-b ;a
-b
a
Para a função f(x) = ax + b e
o a<o, estudo do sinal da
função será:
f(x) = 0, para x =
f(x) > 0, para x < -
f(x) < 0, para x >
+
-
Fonte: Elaborada pelo autor.
50
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.3.6 LEI DE FORMAÇÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
1º GRAU
A função polinomial do 1º grau (função afim) fica determinada se conhecermos dois
pontos distintos pertencentes a função. Assim, podemos proceder da seguinte ma-
neira para escrever a função:
Vamos determinar a função conhecendo dois pontos
1º exemplo:Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 1 e f(3) = 5.
Para f(1) = 1, temos que x=1 e y=1. Portanto, vamos substituir esses valores na lei de for-
mação da função, ou seja, vamos substituir o s valores de x e y na expressão f(x)=ax+b
e encontrar o valor de a e b:
f(x) = ax + b
1 = a . 1 + b ou
a + b = 1
Para f(3) = 5, temos que x = 3 e y = 5. Portanto, vamos substituir esses valores na lei
de formação da função, ou seja, vamos substituir o s valores de x e y na expressão
f(x) = ax + b e encontrar o valor de a e b:
f(x) = ax + b
5 = a . 3 + b ou
3a + b = 5
Para determinarmos o valor de a e b, resolveremos o sistema formado pelas duas
equações encontradas:
a b
a b
+ =
+ =
1
3 5
Isolando o valor de a na 1ª equação, temos
a + b = 1
a = 1–b
51
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para saber mais como resolver sistemas, consulte na
internet “resolução de sistemas de equações”.
Substituindo o valor de a na 2ª equação:
3 . a + b = 5
3 . (1–b) + b = 5
3 – 3b + b = 5
3 – 2b = 5
–2b = 5 – 3
b =
−
= −
2
2
1
Como b = –1, podemos substituir esse valor em qualquer uma das duas equações.
Utilizando-se a primeira equação, temos:
a + b = 1
a –1 = 1
a = 2
Após determinarmos os valores de a e b, substituiremos na expressão f(x)=ax+b, para
escrever a função:
Logo, a função polinomial f(x) = ax + b em que f(1) = 1 e f(3) = 5 é dada por f(x) = 2x –1.
2º Exemplo: Dado o gráfico da função de R em R, escreva a função f(x) = ax + b cor-
respondente.
52
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 22 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PARA A FUNÇÃO F(X) = AX + B
12
10
8
6
4
2
0 2 4 6 8-2-4
-2
-4
M x
y
L
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para escrever a função, temos que encontrar dois pontos pertencentes ao gráfico, no
caso, L(0,6) e M(2, 0).
Sabemos que, no ponto L, já temos o valor do coeficiente linear, ou seja, b. Assim, a
função é escrita como:
f(x) = ax + b, onde b = 6, portanto
f(x) = ax + 6.
Para encontrar o valor de a, utilizaremos o ponto M(2,0), onde x = 2 e y = 0 e, vamos
substituir na expressão anterior:
f(x) = ax + 6
0 = a . 2 + 6
2a + 6 = 0
2a = –6
a= −6
2
= –3
Logo, a função polinomial f(x) = ax + b dados L(0,6) e M(2, 0) pertencentes ao seu grá-
fico é dada por f(x) = –3x + 6.
53
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
As funções polinomiais do 2º grau são descritas por um polinômio do 2º grau.
Essa classe de funções é muito utilizada para modelar problemas que envolvem cál-
culo de áreas, estudo de movimento de projéteis, entre vários outros. Vejamos uma
situação exemplo de função polinomial do 2º grau:
Um determinado produto tem o preço expresso pela fórmula p = 1000 – x, onde x
representa as unidades vendidas desse produto. A receita total arrecadada, em reais,
por uma empresa, ao vender esse produto, será dada por R(x) = p.x, ou seja, a receita
em função do número x de unidades vendidas será seu valor p multiplicado pela
quantidade de unidades vendidas. Logo:
R(x) = (100 – x) . x = 1000x – x2
Portanto, a receita pode ser expressa por R(x)= –x² + 1000.
Essa expressão nos permite o cálculo da receita em função do número de peça ven-
didas. Assim, se quisermos calcular a receita arrecadada na venda de 60 unidades
desse produto, teremos:
R(x)= –x² + 1000.x
R(60) = – (60)2 +1000.(60)
R(60) = –3600 + 60000
R(60) = R$ 56.400
Assim, chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer fun-
ção f de R em R, dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são
números reais e a ≠ 0. A seguir, exemplos de funções quadráticas:
f(x) = 3x2 – 2x – 4, em que a = 3, b = – 2 e c = –4
f(x) = –x2 –2x + 7, em que a = –1, b = – 2 e c = 7
f(x) = –x2 – 8, em que a = –1, b = 0 e c = – 8
y x x= +2
5
1
3
2 � , em que a = 2/5 , b = 1/3 e c = 0
y = 5x2, em que a = 5 e b = 0 e c = 0
54
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Nos dois primeiros exemplos, a função do 2º grau é dita completa, pois contém os va-
lores de a, b e c. Nos exemplos seguintes, as funções são chamadas de função incom-
pleta do 2º grau, pois possuem o valor de a e de b, ou de a e de c ou ainda, somente
o valor de a.
1.4.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
2º GRAU
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é o conjunto de todos os pontos (x, f(x))
de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f. O gráfico de uma função
polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola
1º Exemplo: Vamos construir o gráfico da função de R em R definida por y = x2 – 2.
QUADRO 7 - TABELA DA FUNÇÃO Y = X2 –2
x Y = x² – 2 (x, y)
–3 (–3)2 –2 = 9 –2 = 7 (–3, 7)
–2 (–2)2 –2 = 4 – 2 =2 (–2, 2)
–1 (–1)2 + 1 = 1 –2 = –1 (–1, –1)
0 (0)2 –2 = –1 (0, –2)
1 (1)2 +1 = 1 –2 = 2 (1, –1)
2 (2)2 – 1 = 4 –2 = 2 (2, 2)
3 (3)² –2 =7 (3,7)
Fonte: Elaborada pelo autor
Após encontrar os valores das coordenadas de cada ponto, vamos localizá-los no pla-
no cartesiano e ligá-los para obtermos o gráfico da função.
55
CÁLCULO I
SUMÁRIO
QUADRO 8 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS DA FUNÇÃO F(X)=X²+1
y
(3, 7)(3, 7)
(2, 2)(-2, 2)
2
4
6
8
10
321(1, -1)
(0, -2)
0
-2
-1-2(-1, -1)-3
y
(3, 7)(3, 7)
(2, 2)(-2, 2)
2
4
6
8
10
321(1, -1)
(0, -2)
0
-2
-1-2(-1, -1)-3
a) b)
Legenda:
Pontos localizados no plano cartesiano.
Gráfico da função y=x²-2 formada pelos pontos.
Fonte: Elaborada pelo autor.
2º Exemplo: Construir o gráfico da função de ℝ em ℝ dada por f(x) = –x2 + 1.
Novamente, atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente
a y para cada valor de x e, em seguida, ligamos os pontos obtidos.
QUADRO 9 - TABELA DA FUNÇÃO F(X) = –X2 + 1
x Y= –x² + 1 (x,y)
–3 – (–3)2 + 1 = –9 + 1 = – 8 (–3, – 8)
–2 – (–2)2 + 1 = –4 + 1 = – 3 (–2, –3)
–1 – (–1)2 + 1 =– 1 + 1 = 0 (–1, 0)
0 –(0)2 +1 = 1 (0, 1)
1 – (1)2 +1 = –1 + 1 =0 (1, 0)
2 – (2)2 – 1 = –4 +1 = –3 (2, –3)
3 –(3)² + 1 = –8 (3, –8)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Após encontrar os valores das coordenadas de cada ponto, vamos localizá-los no pla-
no cartesiano e ligá-los para obtermos o gráfico da função.
56
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 23 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS DA FUNÇÃO F(X) = –X² + 1
a)
(0, 1)
(-1, 0)
(-2, -3) (2, 3)
(3, -8)(-3, -8)
-2
-4
-6
-8
-10
(1, 0)
0
2
4 y
-1-2-3 1 2 3
a)
(0, 1)
(-1, 0)
(-2, -3) (2, 3)
(3, -8)(-3, -8)
-2
-4
-6
-8
-10
(1, 0)
0
2
4 y
-1-2-3 1 2 3
Legenda:
Pontos localizados no plano cartesiano.
Gráfico da função y = x² + 1 formada pelos pontos.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que a < 0, o gráfico da função resultou em uma parábola com a concavidade
voltada para baixo.
Dessa forma, ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notamos
que:
• Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
• Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Perceba que as raízes da função são os pontos em que a parábola corta o eixo x
da função, ou seja, temos y = 0. Quando consideramos x = 0, queremos encontrar
o valor em que a curva cortará o eixo y. Teremos, então, o ponto (0, c), pois como
y = ax2 + bx + c, temos y = a . 02 + b . 0 + c, e assim y = c. Observe esses pontos e outros
no gráfico a seguir:
57
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 24 - PONTOS IMPORTANTES DA PARÁBOLA
x2 xx1
y
Interseção com
o eixo x (zeros
da função).
Interseção da
parábola com o
eixo y. Ponto com
coordenadas (0,c).
Vértice da parábola.
Ponto com coordenadas
. Se a<0, esse
ponto será o ponto
máximo da função, e, se
a>0, ponto mínimo.
Eixo de Simetria
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.4.2 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º
GRAU
Chamamos de raiz ou zero de uma função polinomial do 2º grau, dada por
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0, ou seja, o valor de x que
atribuído à função encontra o valor de y = 0.
Então, as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são soluções da equação do 2º grau ax2 +
bx + c = 0, as quais são dadas pela chamadafórmula de Bháskara:
x b
a
com b ac= − ± ∆ ∆ = −�
2
42
(∆ = lê-se delta)
1º Exemplo:
Dada a função f(x) = x2 – 5x + 6, vamos encontrar suas raízes.
Devemos fazer x2 – 5x + 6 = 0; temos a = 1, b = –5 e c = 6, logo:
58
CÁLCULO I
SUMÁRIO
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-5)2 –4 . 1 . 6
∆ = 25 – 24 = 1
x b
a
=
± ∆
2.
� �
.
� �x = ± = ±5 1
2 1
5 1
2
x1
5 1
2
3= + =
��x2
5 1
2
2= − =
FIGURA 25 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS RAÍZES DA FUNÇÃO F(X) = X2 – 5X + 6
y
6
4
2
0 1 2
x1 x2
3 4 5
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
2º Exemplo:
Dada a função g (x) = 4x2 – 4x + 1, vamos obter seus zeros.
Temos a = 4, b = - 4 e c = 1, faremos 4x2 – 4x + 1 = 0. Logo:
59
CÁLCULO I
SUMÁRIO
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–4)2 – 4 . 4 . 1 = 16 – 16 = 0
x b
a
=
± ∆
2.
x = ± = ±4 0
2 4
4 0
8
�
.
� ��
x x1 2
4
8
1
2
= = =� �
FIGURA 26 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO G (X) = 4X2 – 4X + 1
y
x
0.5-0.5 0
1
2
3
1
x1 = x2
1.5
Fonte: Elaborada pelo autor.
3º Exemplo:
Seja a função h(x) = 2x2 + 3x + 4, temos a = 2, b = 3 e c = 4. Para encontrar suas raízes,
faremos 2x2 + 3x + 4 = 0. Logo:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (3)2 – 4 . 2 . 4 = 9 – 32 = –23
�� �
.
� ��x = − ± − = − ± −3 23
2 2
3 23
4
60
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Como ∆= − ∉� 23 � , temos que x = − ± − ∉3 23
4
�
Portanto, essa função não tem raízes.
FIGURA 27 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO H(X) = 2X2 + 3X + 4
y6
5
4
3
2
1
x
10.50-0.5-1-1.5-2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observação importante: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática de-
pende do valor obtido para o radicando ∆ = b2 – 4ac, chamado discriminante.
• Quando ∆ > 0, ou seja, positivo, há duas raízes reais e distintas.
• Quando ∆ = 0, ou seja, nulo, há só uma raiz real (ou uma raiz dupla).
• Quando ∆ < 0, ou seja, negativo, não há raiz real.
1.4.3 VÉRTICE DA PARÁBOLA, IMAGEM E VALOR
MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO POLINOMIAL
DO 2º GRAU
Nos gráficos anteriores, o ponto mais baixo ou mais alto das parábolas é chamado de
vértice V da parábola. Como vimos quando a > 0, a parábola tem a concavidade para
cima e o vértice será o ponto mínimo dessa parábola. Quando a < 0, a parábola tem a
concavidade para baixo e o vértice será o ponto máximo dessa parábola.
61
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 28 - VÉRTICES DA PARÁBOLA
a > 0
vértice
a < 0
vértice
Legenda:
a > 0, concavidade para baixo, o vértice da parábola é o ponto mínimo.
a < 0, concavidade da cima, o vértice da parábola é o ponto máximo.
Fonte: Elaborada pelo autor.
As coordenadas do vértice são dadas pela fórmula:
V b
a a
= − −
∆
� ,2 4
Determine o vértice da função y = x2 – 10x + 9.
Como a > 0, a função admite um ponto mínimo (ou vérti-
ce) da parábola
x b
av
=−�
2
xv =
− −
= =� ( )
.
10
2 1
10
2
5
Temos ∆ = (–10)2 – 4.1.9 = 100 – 36 = 64.
Então
y
av
= −
∆
4
yv =
−
=−�
.
�64
4 1
16
Logo: V (5, – 16)
62
CÁLCULO I
SUMÁRIO
O vértice de uma parábola está associado à imagem de uma função quadrática.
Perceba que, quando a > 0, o menor valor que a função irá assumir será o valor de
y do vértice da função. Assim, todos os outros valores assumidos pela função serão
maiores do que yv. Quando a < 0, o maior valor que a função irá assumir será o valor de
y do vértice da função. Assim, todos os outros valores que a função irá assumir serão
menores que yv.
O conjunto imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é o conjunto dos valores que
y pode assumir. Assim, temos duas situações possíveis:
FIGURA 29 - SITUAÇÕES POSSÍVEIS PARA A FUNÇÃO Y = AX2 + BX + C, A ≠ 0
a� �< → = ∈ ≤ − ∆
0
4
� /Im y y
a
�
y
a < 0a)
a > 0b)
x
x
y
a>� � � /0
4
→ = ∈ ≥ −
∆
Im y y
a
�
Legenda:
a) a > 0 o conjunto imagem será Im y y
a
= ∈ ≤ −
∆
/
4
b). a < 0.o conjunto imagem será Im y y
a
= ∈ ≥ −
∆
/
4
....
Fonte: Elaborada pelo autor.
63
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.4.4 CONSTRUÇÃO DO ESBOÇO DO GRÁFICO DA
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Conseguimos esboçar o gráfico de uma função polinomial do 2º grau sem montar
a tabela de pares (x, y) como fizemos anteriormente. Para isso, devemos seguir um
roteiro com informações e pontos importantes:
1. O valor de a define a concavidade da parábola.
2. As raízes (ou zeros) definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo Ox.
3. O vértice V b
a a
= − −
∆
� ,2 4
indica o ponto mínimo (se a > 0) ou máximo (se a < 0).
4. A reta que passa pelo ponto V (vértice da parábola), e é paralela ao eixo Oy (eixo
vertical), é o eixo de simetria da parábola.
5. Para x = 0, temos y = c, então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo Oy.
Usando as informações enumeradas de 1 a 5, podemos fazer um esboço do gráfico
de uma função polinomial do 2º grau. Veja os exemplos:
1º Exemplo: Determine o esboço do gráfico da função f(x) = –x2 – 2x + 3
1.Como a = –1, teremos a concavidade voltada para baixo.
2.Para encontrar as raízes, faremos –x2 – 2x + 3 = 0.
∆= − − = → =
±
−
→ = − =� . . � � � � � � �4 4 1 3 16 2 4
2
3 11 2x x e x
3. Vértice: V b
a a
= − −
∆
= −( )� , ,2 4 14
4. Interseção com eixo y: (0, c) = (0, 3).
5. Observe que o domínio dessa função será D = ℝ e a imagem será Im = {y ∈ ℝ/y ≥ 4}
64
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 30 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO F(X) = –X2 – 2X + 3
y4
(-1, 4)
3 Interseção com
o eixo y
Vértice
Concavidade
voltada para baixo
2
1
0 0.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3 1
x
x2
x1
Fonte: Elaborada pelo autor.
2º Exemplo: Construir o gráfico da função y = x2 – 2x + 1.
1. Como a = 1, teremos a concavidade para cima.
2. Para encontrar as raízes, faremos x2 – 2x + 1 = 0
� � � � � �∆= → = ± → = =0 2 0
2
11 2x x x (raiz dupla).
3. Vértice: V
b
a a
= − −
∆
= ( )� , ,� .2 4 10
4. Interseção com eixo y: (0, c) = (0, 1).
5. O domínio da função será D = ℝ e a imagem será Im = {y ∈ ℝ y ≥ 0}.
FIGURA 31 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO Y = X2 – 2X + 1
-1.5 -1
-1
0
1
2
3
4
Concavidade voltada
para cima
5
y
-0.5 0.5 1.5 2.51 2 3
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
65
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.4.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
2º GRAU
Estudar sinal de uma função f(x) qualquer é determinar os valores de x para os quais
y, ou seja, a função, é positivo, negativo ou nulo. Observe que a função é nula (ponto
onde o gráfico intercepta o eixo x) no valor de x em que temos y = 0, ou seja, nas raí-
zes da função. Lembre-se de que, nas funções quadráticas, podemos ter duas raízes
distintas, uma raiz dupla ou nenhuma raiz real.
Para realizar o estudo do sinal da função, é necessário que se faça um esboço do grá-
fico como abordado na seção 1.4.4.
Vamos fazer o estudo do sinal da função polinomial do 2º grau Y = –x2 + 3x + 10.
É necessário fazer o esboço do gráfico para estudar o sinal da função. Para isso, temos
que seguir os passos abordado na seção 1.4.4 e, assim, teremos o seguinte gráfico:
FIGURA 32 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO Y = –X2 + 3X + 10
12
y
Raízes da função
10
8
6
4
2
-3 -2 -1
-2
0 1 2 3 4 5 6
-
+
-
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para realizar o estudo do sinal da função, tome como ponto de partida a raiz da fun-
ção. Sabendo-se onde a função é zero, verifique para quais intervalos de valores de x,
a função, ou seja, os valores de y, serão positivos e negativos.
66
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Dessa forma, ao analisar o sinal da função Y = –x2 + 3x + 10, temos que:
f(x) = 0 para x = –2 ou x = 5;
f(x) > 0 no intervalo –2 < x < 5;
f(x) < 0 no intervalo x < –2 ou x > 5
1.4.6 LEI DE FORMAÇÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
2º GRAU
Para determinarmos a lei de formação da função polinomial do 2º grau, precisamos
conhecer 3 pontos pertencentes a parábola ou um ponto e a coordenada do seu vér-
tice. Veja os exemplos:
1º Exemplo:
Considere a função polinomial do 2º grau, em que f(0) = 5, f(1) = 3 e f(–1) = 1. Escreva a
lei de formação dessa função.
A lei de formação de uma função polinomial do 2º grau é dada por
f(x) = ax² + bx + c
Temos de informação:f(0) = 5 → x = 0 e y = 5, substituindo na expressão f(x) = ax² + bx + c, temos:
f(x) = ax² + bx + c
5 = a(0)² + b.0 + c
5=c (I)
f(1) = 3 → x = 1 e y = 5, substituindo na expressão f(x) = ax² + bx + c, temos:
f(x) = ax² + bx + c
3 = a(1)² + b+c
3 = a + b + c (II)
f(–1) = 1 → x= –1 e y = 5, substituindo na expressão f(x) = ax² + bx + c, temos:
f(x) = ax² + bx + c
1 = a(–1)² + b(-1) + c
1 = a – b + c (III)
67
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Resolvendo o sistema formado por (I), (II) e (III), temos:
c
a b c
a b c
=
+ + =
− + =
5
3
1
Substituído c = 5 nas outras equações:
c
a b
a b
c
a b
a b
=
+ + =
− + =
→
=
+ = −
− = −
5
5 3
5 1
5
2
4
Isolando a na 2ª equação
a = –2 –b
Substituindo o valor de a na 3ª equação
a – b= –4
2 – b – b = –4
–2b = –2
b = 1
Assim, se a=-2-b, substituindo o valor de b=1, teremos a = –3.
Logo, a função é y = –3x² + x + 5.
2º Exemplo:
O gráfico a seguir descreve uma parábola, encontre a função correspondente a ele.
FIGURA 33 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA PARÁBOLA
y
6
4
2
0 1 2 3 4 5
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
68
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Observe que o gráfico nos dá informação das coordenadas dos pontos onde a pará-
bola intercepta o eixo x, ou seja, (2, 0) e (3, 0), e o ponto onde ela corta o eixo y, (0, 6).
Assim, para encontrar a função, podemos utilizar o que chamamos de forma fatorada:
y = a . (x – x1).(x – x2)
Onde x1 e x2 são as raízes e substitui-se na expressão
y = a . (x – 2) . (x – 3)
Resolvendo a multiplicação dos parênteses temos:
y = a . (x2 – 5x + 6)
Temos que encontrar o valor do a. Para isso, utilizaremos o ponto (0, 6) e substituire-
mos na equação acima:
6 = a . (02 – 5 . 0 + 6)
a = 1
Portanto, a função é y = x2 – 5x + 6.
Existem outros processos utilizados para encontrar a lei de
formação da função do 2º grau. Pode ser utilizado o cál-
culo de um sistema, utilizar a forma canônica. Enfim, de
acordo com as informações disponíveis, utilizamos o pro-
cesso mais adequado. Para saber mais sobre esse proces-
so, pesquise na internet sobre Lei de formação da função
quadrática ou função polinomial do 2º grau.
69
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1.5 ESTUDO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º E 2º
GRAU POR MEIO DE SOFTWARES EDUCACIONAIS
Um software pode ser caracterizado como educacional se esse se encontrar inserido
em contexto de ensino-aprendizagem. Dessa maneira, um determinado programa
ou aplicativo pode ser como um material de uso didático se adequadamente utiliza-
do. Portanto, qualquer software ou aplicativo de uso utilizado para diversas finalida-
des pode ser utilizado com objetivos educacionais.
Assim, podemos estudar as funções com dois softwares, um de uso administrativo, as
planilhas eletrônicas, e o outro voltado para o aprendizado da matemática.
Começaremos, nesta unidade, com as planilhas eletrônicas, utilizadas com frequên-
cia na área administrativa.
Os exemplos serão realizados no Excel, mas poderão ser realizados em qualquer ou-
tra planilha eletrônica.
Vamos construir o gráfico da função y = x + 1.
1 - Montar a tabela de valores que serão utilizados como os valores de x (variável de-
pendente). Utilizaremos valores inteiros de –3 a 3.
FIGURA 34 - INSERÇÃO DOS NÚMEROS NA TABELA
Fonte: Elaborada pelo autor.
70
CÁLCULO I
SUMÁRIO
2 - Na célula do lado, entraremos com uma fórmula que permitirá realizar o cálculo
da imagem de cada valor do domínio. Para isso, tomando como base a figura acima,
vamos clicar na célula do lado e ditar “= B3 + 1”. A célula B3 é a utilizada, no exemplo,
mas poderia ser qualquer outra.
FIGURA 35 - INSERÇÃO DA FÓRMULA
Fonte: Elaborada pelo autor.
O mesmo será feito para as outras células e teremos:
FIGURA 36 - RESULTADO DO CÁLCULO APÓS A INSERÇÃO DA FÓRMULA
Fonte: Elaborada pelo autor.
71
CÁLCULO I
SUMÁRIO
3 - Selecione as células com os valores e, na barra de menu, clique em inserir. Depois,
procure nos gráficos “gráfico de dispersão xy” nas opções que irá aparecer. Escolha
dispersão com linhas.
FIGURA 37 - GRÁFICO DE DISPERSÃO XY
Fonte: elaborado pela autora.
Explore as propriedades estudadas no gráfico. Em seguida, faça o gráfico de outras
funções e estude a variação dos coeficientes angulares e lineares, fazendo com que os
seus valores, um por vez, variem. O mesmo pode ser feito com as funções polinomiais
do 2º grau.
Trabalhando o aspecto da modelagem de dados, pode ser realizado uma pesquisa
sobre determinado assunto e haver uma coleta de dados. Os dados podem servir de
estudo das relações entre as grandezas observadas através da análise gráfica. Portan-
to, a utilização da planilha é interessante pelo fato de oportunizar o aluno a trabalhar
com um software muito comum no mercado de trabalho.
Pesquise na internet como fazer gráfico de disper-
são no Excel.
72
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Grandeza: Tudo que possa ser medido, mensurado
com algum instrumento de medida.
FIGURA 38 - MAPA CONCEITUAL REFERENTE AO CONCEITO DE GRANDEZA
Mundo
Grandeza
fração Razão
proporção
Direita
Indireta mantém a razão
inverte a razão
simples
compostaregra de três
pode ser
forma decimal
comparar duas grandezas
pode ser escrito
em quantas partes uma grandeza
pode ser dividida
Tudo que possa ser medido
igualdade entre razões
quando uma das
grandezas é desconhecida
calcula-se utilizando
proporção de uma grande
em relação a outra medida com base 100
pode ser
para o cálculo
para o cálculo
porcentagem
Fonte: Elaborada pelo autor.
Polinômio: Os polinômios encontram-se em um âmbito da matemática denominado
álgebra. Contudo, está correlacionada ao uso de letras, representativas de um núme-
ro qualquer, com operações aritméticas A definição de polinômio abrange diversas
73
CÁLCULO I
SUMÁRIO
áreas, pois podemos ter polinômios com apenas um termo na expressão algébrica,
como, por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc. Quando temos somente um termo na expres-
são algébrica, chamamo-lo de monômio. Entretanto, podemos possuir polinômios
com uma infinidade de termos, ou seja, uma soma ou subtração de vários monômios.
Por exemplo: x7 – 5x3 + 4x – 8; z20 – z5 + 3z2; 2t + 8, entre outros.
Como podemos notar, polinômios são compostos pelas várias expressões algébricas,
desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas letras,
potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios. Os polinômios são
definidos, conforme o seu grau. Para identificá-lo, basta observar o grau do maior
monômio e será o grau do polinômio.
O polinômio – 5x4 + 14x5 – 7x3 é do grau 5, pois o seu termo de maior grau é o segundo
termo, que é do grau 5.
O polinômio 5a4 + 4a2 é do grau 4, pois o seu termo de maior grau é o primeiro termo,
que é do grau 4.
O polinômio 2y – 5 é do grau 1, pois seu termo de maior grau é o primeiro. Perceba
que, quando a variável está elevada a 1, não precisamos escrever esse expoente.
CONCLUSÃO
Nesta unidade, começamos a aprofundar o nosso estudo de função. Iniciamos es-
tudando o conjunto dos números reais e demais conjuntos e, em seguida, a concei-
tuação de função e as funções descritas por polinômio. E, finalmente, a utilização de
planilhas eletrônicas para como softwares educativos.
Vimos que o conceito de função é intuitivo, utilizamo-lo quando verificamos
que, entre duas grandezas, a variação de uma está associada à variação da outra.
Observando assim, o que denominamos de relação de dependência entre grande-
zas. Assim, podemos identificar uma função ao descrever o preço do produto de-
pendendo da quantidade comprada, ao realizar levantamentos de dados e observar
que entre as variáveis envolvidas no estudo há um comportamento que indica uma
proporcionalidade direta. As funções podem ser apresentadas de formas diferentes,
ou seja, através de uma tabela, um gráfico, por uma expressão matemática ou até
mesmo descrita verbalmente.
74
CÁLCULO I
SUMÁRIO
As ciências, ao pesquisarem os diversos fenômenosque envolvem o campo de estu-
do de cada uma, buscam através dos vários tipos diferentes de funções um modelo
que se aproxima da realidade. Esses modelos podem ser expressos por uma fun-
ção descrita por um polinômio. Os polinômios são compostos pelas várias expres-
sões algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números até as que apresen-
tam diversas letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios.
Em nossos estudos nesta unidade, exploramos os conceitos relacionados às funções
que são descritas por polinômios, no quais, as denominamos de funções polinomiais
do 1º e 2º grau.
Por fim, abordamos a utilização de planilhas eletrônicas na construção de gráficos
com dados tabelados. Assim, como as planilhas eletrônicas, qualquer software que
tenha o seu uso com uma finalidade dentro do processo de ensino-aprendizagem, é
considerado um software educacional. A utilização deste e de outros recursos edu-
cacionais não exime dos envolvidos no processo de ensino-aprendizagem a impor-
tância da compreensão dos conceitos que fundamentam a atividade desenvolvida.
Portanto, esses recursos são utilizados como ferramentas e, como tais, terão o uso
apropriado de acordo com a intencionalidade e os princípios que cercam e alicer-
çam a prática educativa do profissional envolvido. Entretanto, o uso e a atratividade
do recurso utilizado irão depender, entre outras coisas, da facilidade de acesso/uso e
aplicabilidade. Portanto, a utilização da planilha é interessante pelo fato de oportu-
nizar o aluno a trabalhar com um software muito comum no mercado de trabalho.
75
CÁLCULO I
SUMÁRIO
OBJETIVO
Ao final desta
unidade,
esperamos
que possa:
> Aplicar as relações
trigonométricas às
situações-problema.
> Identificar a função
seno, cosseno e
tangente e suas
representações
gráficas, bem como
analisar cada função
de acordo com
seus elementos e
parâmetros.
> Expressar a descrição
de fenômenos pela
associação destes
com as funções
trigonométricas.
UNIDADE 2
76
CÁLCULO I
SUMÁRIO
2 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
O objeto de estudo desta unidade será um dos conhecimentos mais antigos da hu-
manidade: a trigonometria e as funções trigonométricas. Foi pela necessidade do
homem de resolver problemas práticos referentes a construções e medições, ou seja,
situações que possuíam natureza geométrica e envolvia ângulos e distância, que foi
impulsionado o desenvolvimento da trigonometria. Já as funções trigonométricas
descrevem modelos de fenômenos de natureza periódica, oscilatória, vibratória, ou
seja, aqueles que se repetem após um determinado intervalo. Deparamo-nos com
esses tipos de fenômenos quando nos referimos aos meses, horas, fases da Lua, o
movimento dos planetas, os meses, altura das marés, a corrente alternada, a rotação
de um motor, os batimentos cardíacos, da radiação eletromagnética, a música, dos
pêndulos, molas, entre tantas outras situações. Assim, encontramos aplicações da
trigonometria e das funções trigonométricas em vários campos da matemática, ele-
tricidade, mecânica, engenharias, topografia, conhecimentos que ajudaram no de-
senvolvimento tecnológico que dispomos hoje.
Para iniciarmos, serão apresentadas as relações trigonométricas no triângulo retân-
gulo. Logo após, veremos a definição de arco e suas medidas, passando pelo círculo
trigonométrico e finalizando com as funções trigonométrica Seno, Cosseno e Tan-
gente.
2.1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
O estudo da trigonometria nos auxilia na resolução de problemas que envolvem la-
dos e ângulo de um triângulo. Vamos começar relembrando algumas notações usuais
dos elementos do triângulo, mais especificamente o triângulo retângulo:
77
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 39 - TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
a
b
β
α
B
C
C
Considerando o triangulo ABC,
vamos nos atentar para o
entendimento das seguintes
notações:
Lados:
a=medida do lado
b=medida do lado
c=medida do lado
ângulos internos:
= medida de
= medida de
= medida
Fonte: Elaborada pelo autor.
A+B+C=180°
Se C=90° , então. e , e são chamados de comple-
mentares entre si, ou seja, ao somá-los, temos um ângulo reto.
Podemos também utilizar letras gregas para identificar os ângulos, com α e β de-
monstrado na figura anterior.
Manipulando os triângulos para resolução de problemas, os matemáticos estabele-
ceram importantes relações entre a medida dos ângulos e a medida dos lados. Ob-
serve os triângulos semelhantes e as razões entre os lados:
78
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 40 - TRIÂNGULO COM MEDIDA DOS ÂNGULOS E DOS LADOS
C
B
A
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
D
F
E G
CB = 3
ED = 9
GF = 12
Fonte: Elaborada pelo autor.
Perceba que o ângulo  é comum aos triângulos ABC, ADE e AFG e esses triângulos
são semelhantes entre si. Como consequência disso, podemos verificar que as razões
entre os lados semelhantes são iguais:
CB
AC
ED
AE
GF
AG
= = , ou seja,
3
4
9
12
12
16
= =
AB
AC
AD
AE
AF
AG
= = , ou seja,
5
4
15
12
20
16
= =
Portanto, todos os triângulos que tiverem esses mesmos ângulos terão as razões en-
tre os lados iguais, ou seja, quando estamos nos referindo a um triângulo retângulo,
independentemente do tamanho dos lados do triângulo, para um mesmo ângulo, as
razões sempre serão as mesmas. Assim, chegamos às relações que denominamos de
trigonométricas (Seno, Cosseno, Tangente):
Para saber mais sobre semelhan-
ças de triângulos, pesquise na
internet sobre critérios de seme-
lhanças de triângulos.
79
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 41 - ELEMENTOS TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC
A
a
b
β
α
B
C
C
Fonte: Elaborada pelo autor.
Seno de um Ângulo =
catetoopostoaesseângulo
Hipotenusa
� �� �
Sen α =
catetoopostoaoângulo
hipotenusa
α
Sen β=
a
c
Sen β=
catetoopostoaoângulo
hipotenusa
� � � ��β
Sen β=
b
c
cosseno de um ângulo =
catetoadjacenteaesseângulo
Hipotenusa
� �� �
cos α =
cos α =
b
c
cos β =
cos β =
a
c
80
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Note que em um mesmo triângulo, onde α e β são complementares, temos:
Sen α =
a
c
é igual ao cos β =
a
c
Sen β =
b
c
é igual a cos α =
b
c
Hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo. Ela está sempre de frente ao
ângulo de 90 (ângulo reto).
Identificada a hipotenusa, os outros lados que restam são denominados de
Catetos. Receberá o nome de cateto oposto aquele que estiver oposto ao
ângulo a que se refere. O lado que estiver junto ao ângulo de referência rece-
berá o nome cateto adjacente recebe.
cos 40º=sen50º sen40º=cos50º
cos 30º=sen60º sen30º=cos60º
Tangente de um ângulo=
cateto oposto a esse ângulo
cateto adjacente a esse ângulo
tg α = cateto adjacente a esse ângulo
cateto adjacente a esse ân
α
ggulo α
tg α =
a
b
81
CÁLCULO I
SUMÁRIO
tg β =
cateto oposto ao ângulo
cateto adjacente ao ângulo
β
β
tg α =
b
a
Note que, em um mesmo triângulo, onde α e β são complementares, temos que:
A tg α =
a
b
é igual ao inverso da tg β =
b
a
ou tg β =
1
tgα
tg 40º =
1
50tg ϒ
A Tangente também pode ser escrita com a seguinte relação:
Tangente de um ângulo=
senodesseângulo
cossenodesseângulo
� �
� �
, ou seja, tg =α
α
α
sen
cos
ou tg
tg =β
β
β
sen
cos
Dessas relações, com o uso do Teorema de Pitágoras, chegamos a uma outra:
sen
2 2
1β β+ =cos
Teorema de Pitágoras
Hipotenusa² = cateto² + cateto²
82
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Os ângulos notáveis 30º, 45º e 60º são utilizados com mais frequência em exercícios
e problemas. Portanto, são valores interessantes de serem memorizados e utilizados
conforme a tabela seguinte:
QUADRO 11 - VALORES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS
30º 45º 60º
Seno
1
2
2
2
3
2
Cosseno
3
2
2
2
1
2
Tangente 3 1 3
3
1º Exemplo: Encontre os valores de c, b no triângulo ABC, abaixo:
FIGURA 42 - TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC COM ÂNGULO DE 30º
A
30°
4
b
β
B
C
C
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para calcular os valores de c e b, vamos utilizaras relações trigonométricas. Primeiro
identifique a hipotenusa e, em relação ao ângulo dado, os catetos. Assim, temos:
83
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Vamos encontrar primeiro a hipotenusa, utilizando os valores da TAB. 1:
sen
hipotenusa
cateto aposto ao ângulo 30°
30° =
sen
c
30
4
° = , o valor do sen 30
1
2
° =
1
2
=
4
c
C=2×4=8
Tendo o valor da hipotenusa, vamos encontrar o valor do cateto adjacente, utilizando
o Cosseno:
cos
cateto adjacente ao ângulo 30°
hipotenusa
30° =
cos 30
8
° = −
b
,o valor do cos cos 30
2
2
° = −
2
2 8
2 8 2
8 2
2
4 2
=
=
= =
b
b
b
Logo o lado c = 8 e b = 4 2
2º Exemplo: Uma pessoa que mede 1,70 de altura se encontra a 50m de distância
de um determinado prédio e avista, a um ângulo de 30º, uma pessoa na janela desse
prédio. Qual a altura do prédio?
Primeiro, é interessante que façamos um desenho que esquematize a situação.
Assim,
84
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 43 - ESQUEMATIZAÇÃO DO EXEMPLO 2
X
60º
30m
1,7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Veja que, em relação ao ângulo dado, temos o valor do cateto adjacente e queremos
saber o valor do cateto oposto. A razão que associa esses dois é a Tangente, portanto:
tg
x
x
x
x
x
x
60
30
3
3 30
3 50 3
30 3
3
10 3
17 32
° =
=
=
=
=
≅ ,
A altura do prédio então será 17,32+1,70 ≅ 19,02
Da mesma forma que associamos um valor de Seno, Cosseno e Tangente a um ân-
gulo, podemos também fazer o contrário e descobrir que ângulo gera determinado
valor de Seno, Cosseno ou Tangente. Para isso, podem ser consultadas as tabelas tri-
gonométricas ou, através da utilização de uma calculadora científica, pode-se usar as
funções sin-1 (arcsen) para o seno, cos-1 (arccos) para o cosseno e tan-1 (arctang) para
a Tangente.
O símbolo ≅ significa aproxi-
madamente.
85
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 44 - TECLAS QUE ACIONAM O CÁLCULO DO VALOR DAS RELAÇÕES TRIGONOMÉ-
TRICAS NA CALCULADORA CIENTÍFICA
Fonte: SHUTTERSCOTCK, 2018.
3º Exemplo: Um canteiro será construído em formato triangular, conforme
as dimensões da figura, qual deve ser o valor de seus ângulos?
FIGURA 45 - ESQUEMATIZAÇÃO DO EXEMPLO 3
A
α
4
3
β
B
5
C
Fonte: Elaborada pelo autor.
86
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para encontrar o valor do ângulo α e β, podemos utilizar qualquer uma das três rela-
ções:
cosα =
3
5
Assim, qual é o ângulo cujo cosseno é
3
5
.
Podemos consultar uma tabela como os valores das razões trigonométricas ou uti-
lizar a calculadora. Para isso, vamos acionar a função cos-1 (arccos). Geralmente, é a
segunda função da tecla que aciona a função cos, temos que:
cos ,
− ≅ °1
3
5
53 13 , portanto α≅ 53,13°
Em relação ao ângulo β, teremos:
tg ² =
3
4
tg
− ≅1
3
4
36 87, , portanto α≅ 36,87
Quando se trabalha com medidas de ângulos em graus, é comum utilizar
subdivisões do grau, que são o minuto e o segundo:
• 1 grau possui 60 minutos, ou 1° = 60’.
• 1 minuto possui 60 segundos, ou 1’ = 60”
Observe que α e β são ângulos complementares, assim α + β=90º.
Temos também como razões trigonométricas os inversos das proporções Seno, Cos-
seno e Tangente, que são denominados Cossecante, Secante e Cotangente, respec-
tivamente:
cossec
sin cos
α
α
α
α
=
1 1
sec = cotg =α
α
1
tg
87
CÁLCULO I
SUMÁRIO
2.2 ARCOS, ÂNGULO E MEDIDA DE ARCO
Arcos de uma circunferência são cada uma das partes em que uma circunferência
fica dividida por dois pontos.
FIGURA 46 - ARCOS
a)
C
D
DC CD
b)
D C
Legenda:
a) Os pontos C e D são chamados de extremidades dos arcos. Assim, temos os arcos
CD
e DC .
b) Arco de meia volta.
Fonte: Elaborada pelo autor.
88
CÁLCULO I
SUMÁRIO
A medida de um arco (medida angular) é igual à medida do ângulo central corres-
pondente:
FIGURA 47 - MEDIDA ANGULAR
D
C
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos definir circunferência como um conjunto de pontos a uma mesma
distância do centro.
Não confunda medida do arco com comprimento do arco. Veja que o arco BF , CG
e
DE
possuem a mesma medida, mas comprimentos diferentes.
FIGURA 48 - ARCOS CONCÊNTRICOS
B
F
G
E
1
2
3
C D
Fonte: Elaborada pelo autor.
89
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para realizar as medidas de arcos e ângulos, utilizamos grau ou radiano. Se dividirmos
a circunferência em 360 pedaços iguais, cada pedaço é um arco de medida 1°(um
grau). Isso significa que uma circunferência tem 360°.
Pode ser que você já tenha ouvido a expressão “vou dar uma virada na minha
vida de 360°”, significando que ocorrerá uma transformação total na vida da
pessoa, mas, matematicamente, se dermos um giro de 360°, vamos voltar para
o mesmo lugar.
Já o radiano (rad), obtemos quando dividimos o comprimento do arco pelo raio. Te-
mos 1 radiano quando o comprimento do arco for igual ao do raio. Assim, 1 rad vale
aproximadamente 57,30°. Veja as divisões da circunferência em arcos de 1 rad na
seguinte figura:
FIGURA 49 - DIVISÕES DA CIRCUNFERÊNCIA EM ARCOS DE 1 RAD
r
a) b) c)
r r r
1 radr
d)
2 rad
e)
3 rad
f)
90
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Legenda:
a) Segmento retificado do tamanho do raio da circunferência.
b) Comprimento do arco do tamanho do raio.
c) 1 radiano – o comprimento do arco igual ao raio da circunferência.
d) 2 radianos
e) 3 radianos
f) π radianos – é igual à metade da circunferência, ou seja, equivale a 180º.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe na última figura que 180º é igual a π rad e, proporcionalmente 360º cor-
responde a 2π rad. Sabendo desses valores, podemos encontrar o valor de qualquer
ângulo em radiano e vice-versa.
Vamos expressar:
Podemos encontrar os valores que se pedem abaixo utilizando regra de três.
1º Exemplo: Vamos expressar:
a) 330ºem radiano
180º π rad
270º x
180°.x=270°π rad
x
x rad
=
°
°
=
270
180
3
2
π
π
91
CÁLCULO I
SUMÁRIO
b)
≠
3
em graus
180º π rad
x
≠
3
x. À rad=180°
À
rad
x=60°
⋅
3
2º Exemplo: Uma pizza tem 32cm de diâmetro. Parte-se um pedaço de 8cm de
comprimento. Qual é o valor da medida angular desse pedaço?
A medida angular que relaciona o comprimento do arco com o diâmetro (2 vezes o
raio) é em radiano. Assim, vamos calcular:
Radiano
comprimento cm
cm
rad
raio
do arco
= =
8
16
0 5,
Para transformar para grau:
180º π rad
x 0,5 rad
π rad.x=180°.0,5 rad
x =
°⋅
≅ °
180 0 5
28 65
,
,
rad
À rad.
Portanto, a medida angular em radianos é 0,5 e em graus 26,65.
2.3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Vamos fixar em um sistema de eixos ortogonais uma circunferência de raio 1. Os ei-
xos a dividiram em 4 partes denominados quadrantes (I, II, III, IV). É convencionado
que a circunferência será orientada de forma que o sentido positivo é o anti-horário,
e o negativo, o sentido horário.
92
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 50 - CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
II
y
x
I
III
-1
180°
180°
π rad
r=1
360°
270°
Sentido negativo
Sentido positivo
2π
0°
90°
1
10
-1
IV
2 3π
2
rad
π
2
rad
Fonte: Elaborada pelo autor.
A circunferência trigonométrica tem dois sentidos o positivo (sentido anti-horário)
e o negativo (sentido horário). Isso significa que podemos ter ângulos negativos. Li-
mitando os ângulos positivos, podemos dar mais de uma volta na circunferência, ou
seja, temos ângulos superiores a 360°, mas que são equivalentes(congruentes) a arcos
menores que uma volta, a esses arcos denominamos de côngruos.
Temos nas figuras abaixo o arco de 60º ( cos
4
3
≠ ) e o de 420º ou cos 3 rad. Perceba
que os dois arcos são congruentes, ou seja, a diferença entre eles é de uma volta. E o
que nos interessa é o que chamamos de 1º determinação, o valor equivalente desse
ângulo na primeira volta. Portanto, para o ângulo de 420º, a primeira determinação
positiva é 60º.
93
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 51 - ARCOS CÔNGRUOS
0,5
-0,5
1 y
f fx
-1 1
1
-0,5
0,5
0,5
-0,5
1 y
x
-1 1
1
-0,5
0,5
Fonte: Elaborada pelo autor.
Pesquise na internet sobre arcos côngruos e a primeira determinaçãopositiva.
Verifique se um ângulo de 1110º é côngruo a um ângulo
6
.
Para fazer essa verificação, é preciso calcular quantas voltas de 360º tem um ângulo
de 1110º. Assim, vamos utilizar a divisão entre eles:
1110º
Número de voltas completas na circunferência-1090
30
3
360º
Número de voltas completas na circunferência
Assim, temos que o 1110º é côngruo ao ângulo de 30º ou
6
.
94
CÁLCULO I
SUMÁRIO
2.4 SENO E COSSENO DE UM ARCO
Agora, vamos representar na circunferência trigonométrica os arcos e o Seno e Cosse-
no a ele correspondente. Ao definirmos um arco no sentido positivo da circunferência
de raio 1, sua extremidade fica delimitada por um ponto que, no caso, chamaremos
de P. Esse ponto representa o arco e terá como coordenadas (x,y),onde x é o valor do
Cosseno do arco, e o y o valor do Seno. Portanto, temos P(cosα,senα).
FIGURA 52 - SENO E COSSENO DE UM ARCO
Eixo dos senos
(Eixo das ordenadas)
Eixo dos cossenos
(Eixo das abscissas)
Cateto adjacente �
2º
3º
4º
1º
1
y
y
x
1
-1
-1
1-0,8 -0,6 -0,4 -0,2
-0,2
0,2
0,2
0,4
0,4
0,6
x
0,6
0,8 1,2
x
0,8
-0,4
-0,6
-0,8
0
Cateto oposto a �.
P (x,y)
Fonte: Elaborada pelo autor
Os arcos que serão representados em radianos são o conjunto dos números reais, e
as coordenadas das extremidades dos arcos, os valores do Cosseno e do Seno corres-
pondente a esse arco.
O Seno tem o valor da altura (y) do triangulo retângulo inscrito na circunferência
trigonométrica e apresentará valores positivos para ângulos pertencentes ao 1º e 2º
quadrantes, e valores negativos ao 3º e 4º quadrantes.
95
CÁLCULO I
SUMÁRIO
De forma semelhante, o Cosseno que representa a base(x) do triângulo retângulo
terá valores positivos para os quadrantes 1º e 4º, e valores negativos para o 2º e 3º
quadrantes.
Assim, vejamos alguns valores para o Seno e Cosseno dos principais arcos (30º, 45º e
60º) e seus correspondentes nos outros nos outros quadrantes, detalhado na seguin-
te figura:
FIGURA 53 - REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
Fonte: SHUTTERSCOTCK, 2018.
Observe que o valor do Cosseno de 30º é equivalente ao Cosseno dos ângulos de 150º
(valor negativo), 210º (valor negativo) e a 330º. Portanto, só precisamos saber o valor
do Cosseno de 30º e o quadrante, onde se encontram os outros ângulos e, assim, des-
cubriremos o valor do Seno deles. Isso se chama redução ao 1º quadrante.
96
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para saber como todos os ângulos na circunferência possuem o módulo do
Seno e Cossenos equivalentes, pesquise na internet sobre redução ao 1º qua-
drante.
Calcule o valor da expressão F=
sen1470
4
3
16
3
° − cos
cos
π
π
Para calcular o valor dessa expressão, vamos usar de base a figura do círculo trigono-
métrico e os valores dos Seno e Cossenos dos arcos.
Vamos encontrar a 1ª determinação positiva dos seguintes arcos:
sen 147° 1470º/360º = 4 e sobra 30º, portanto 30º é a 1ª determinação positiva.
Vamos calcular então, o sen30º=
1
2
.
cos
3 =240º, esse ângulo se encontra no 3º quadrante, onde o Cosseno é
negativo e, reduzindo ao 1º quadrante, ele é equivalente a 60º, assim podemos calcu-
lar dessa forma:
cos cos
4
3 3
1
2
π π
= − = −
cos
16
3
≠
Podemos escrever da seguinte forma:
16
3
6
3
6
3
4
3
2 2
2
3
π π π π
π π
π
= + + = + + ou seja, 2 voltas mais
mas cos cos
4
3 3
1
2
π π
= − = −
Assim,
97
CÁLCULO I
SUMÁRIO
f
sen
f
=
°−
=
− −
−
=
−
= −
1470
4
3
16
3
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
cos
cos
π
π
2.5 FUNÇÕES PERIÓDICAS
Retomando os conceitos de funções, note que estamos trabalhando com elas ao
relacionarmos as medidas dos arcos a razões trigonométricas, identificando uma
coordenada cartesiana. As funções trigonométricas têm como valores do domínio
as medidas dos arcos representados na circunferência e todos os seus côngruos, seja
na determinação positiva ou negativa. Os valores das imagens dependerão de qual
função estamos nos referindo, ou seja, se ela é a função Seno, Cosseno, Tangente, Co-
tangente, etc. Assim, na função Seno, por exemplo, o conjunto domínio são os arcos,
e a imagem o valor do seno referente ao arco.
Ao associarmos as relações trigonométricas a funções, podemos expressar fenôme-
nos periódicos por meio de uma função e representá-lo graficamente. Como as on-
das geradas por um campo elétrico e magnético conforme ilustra a figura abaixo.
98
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 54 - GRÁFICO DAS ONDAS FORMADAS PELO CAMPO ELÉTRICO E MAGNÉTICO
Fonte: SHUTTERSCTOCK, 2018.
2.5.1 FUNÇÃO SENO
Vamos analisar a função Seno no intervalo de [0,2π] e, para isso, vamos construir uma
tabela com os principais valores:
QUADRO 12 - CÁLCULO DOS VALORES DE X E Y DA FUNÇÃO Y=SENX
X Y=SEN(X) (X,Y)
0 Y=sen(0)=0 (0,0)
Π
6
30°( ) Y=sen Π
6
1
2
,
Π
4
45°( ) Y=sen Π
4
2
2
,
Π
3
60°( ) Y=sen
Π
3
3
2
,
Π
6
1
2
=
Π
4
2
2
=
Π
3
3
2
=
99
CÁLCULO I
SUMÁRIO
X Y=SEN(X) (X,Y)
Π
2
90°( ) Y=sen
Π
2
1,
2
3
120
Π
, °
Y=sen
2
3
3
2
Π
,
3
4
135
Π
°( ) Y=sen 3
4
2
2
Π
,
5
6
150
Π
°( ) Y=sen 5
6
1
2
Π
,
Π( ) =0 Y=sen π ,0( )
7
6
210
Π
°( ) Y=sen 7
6
1
2
Π
,−
5
4
225
Π
°( ) Y=sen 5
4
2
2
Π
,−
4
3
240
Π
°( ) Y=sen 4
3
3
2
Π
,−
3
2
270
Π
°( ) Y=sen
3
2
1
Π
,−
5
3
300
Π
°( ) Y=sen 5
3
3
2
Π
,−
7
4
315
Π
°( ) Y=sen 7
4
2
2
Π
,−
11
6
330
Π
°( ) Y=sen 11
6
1
2
Π
,−
2π Y=sen 2 0π ,( )
Fonte: Elaborada pelo autor.
Π
2
1
=
2
3
3
2
Π
=
3
4
2
2
Π
=
5
6
1
2
Π
=
π ,0( )
7
6
1
2
Π
=
Π
4
2
2
= −
Π
3
3
2
=
Π
2
1
= −
2
3
3
2
Π
=
7
4
2
2
Π
=
11
6
1
2
Π
= −
2 0π( ) =
100
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Ao localizar os pontos no plano cartesiano, temos o gráfico da função y=sen(x)
FIGURA 55 - FUNÇÃO Y=SEN(X)
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
FIGURA 56 - ELEMENTOS DO GRÁFICO DA FUNÇÃO Y=SEM(X)
y
1
-1
2ππ0
imagem
Período 2π, P=2π
imagem
Fonte: Elaborada pelo autor.
Analisando o gráfico da função y=sen(x), podemos perceber que:
101
CÁLCULO I
SUMÁRIO
• O domínio da função é o conjunto dos números reais.
• A imagem da função é o intervalo [-1,1].
• A função tem período igual a 2π. Pode-se perceber isso devido à curva da fun-
ção que irá se repetir de 2π em 2π
• A amplitude é a metade da diferença entre o maior valor e o menor valor da
função e, neste caso, é 1.
A curva formada no gráfico da função Seno é chamado de senoide.
2.5.2 FUNÇÃO COSSENO
Agora vamos observar o gráfico da função Cosseno no intervalo de [0,2] e, para isso,
vamos construir uma tabela com os principais valores:
QUADRO 13 - CÁLCULO DOS VALORES DE X E Y DA FUNÇÃO Y=COSX
X Y=COS(X) (X,Y)
0 Y=cos (0)=0 (0,1)
Π
6
30°( ) Y=cos Π
6
3
2
,
Π
4
45°( ) Y=cos Π
4
2
2
,
Π
3
60°( ) Y=cos Π
3
1
2
,
Π
2
90°( ) Y=cos
Π
2
0,
2
3
120
Π
°( ) Y=cos 2
3
1
2
Π
,−
Π
6
3
2
=
Π
4
2
2
=
Π
3
1
2
=
Π
2
0
=
2
3
1
2
Π
= −
102
CÁLCULO I
SUMÁRIO
X Y=COS(X) (X,Y)
3
4
135
Π
°( ) Y=cos 2
3
2
2
Π
,−
3
4
150
Π
°( ) Y=cos 3
4
3
2
Π
,−
Π 180°( ) Y=cos π ,−( )1
7
6
0
Π
21 °( ) Y=cos 7
6
3
2
Π
,−
5
4
225
Π
°( ) Y=cos 5
4
2
2
Π
,−
4
3
240
Π
°( ) Y=cos
5
4
2
2
Π
,−
3
2
270
Π
°( ) Y=cos
3
2
0
Π
,
5
3
300
Π
°( ) Y=cos
5
3
1
2
Π
,
7
4
315
Π
°( ) Y=cos 7
4
2
2
Π
,−
11
6
330
Π
°( ) Y=cos 11
6
3
2
Π
,
2π Y= cos (2π)=1 (2π,1)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Ao localizar os pontos no plano cartesiano, temos o gráfico da função y=sen(x).
3
4
2
2
Π
= −
3
4
3
2
Π
=
Π( ) = −1
7
6
3
2
Π
= −
Π
4
2
2
=
Π
3
1
2
= −
cos
Π
2
0
= −
cos
2
3
1
2
Π
=
7
4
2
2
Π
=
11
6
3
2
Π
=
103
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 57 - FUNÇÃO Y=COS(X)
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
FIGURA 58 - ELEMENTOS DA FUNÇÃO Y=COS(X)
y
1
-1
2π0
imagem
Período 2π, P=2π
Amplitude
π
Fonte: Elaborada pelo autor.
A curva formada no gráfico da função Seno é chamado de Cossenoide.
104
CÁLCULO I
SUMÁRIO
2.5.3 FUNÇÃO TANGENTE
O eixo das Tangentes é paralelo ao eixo das ordenadas, orientado em sentido positivo
para cima e negativo para baixo. Os valores da função Tangente são definidos pela
altura onde ocorre o cruzamento entre o prolongamento do raio do arco com a reta
que tangencia a circunferência. Veja a figura abaixo:
FIGURA 59 - O VALOR DAS TANGENTES NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Eixo das tangentes
Fonte: SHUTTERSTOCK, 2018.
A função Tangente terá valores positivos para os quadrantes 1º e 3º quadrantes, e ne-
gativos para 2º e 4º quadrantes.
105
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 60 - FUNÇÃO Y=TG(X)
0
-1
1
2
3
-2
Período π, P = π
π 2π
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico da função y=tg(x) é chamado de Tangenoide e apresenta como caracterís-
ticas:
• O domínio da função é D= .
• A imagem da função é o intervalo .
• O período da função é π.
Observe que não existe valor para Tangente quando o arco vale e seus arcos côn-
gruos.
As funções trigonométricas são descritas, na sua forma completa, apresentando pa-
râmetros como f(x)=a+b.sen(cx+d), g(x)=a+b.cos(cx+d) e h(x)= a+b.tg(cx+d), onde a,b,c, e
d são números reais e b≠0 e c≠. Esses parâmetros são responsáveis por movimentar as
curvas verticalmente e horizontalmente. Veremos um pouco sobre essas alterações
na próxima seção.
106
CÁLCULO I
SUMÁRIO
2.6 ESTUDO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
POR MEIO DE SOFTWARES EDUCACIONAIS
Agora, vamos falar um pouco sobre um software denominado Geogebra. Esse softwa-
re é livre, ou seja, para que possa ser utilizado, é preciso, somente, fazer o download
do arquivo de instalação através do site do <www,geogebra.org.br> e ter equipamen-
to e sistema compatíveis com as versões disponibilizadas. Há também a possibilida-
de de trabalhar on-line diretamente na internet ou em aplicativo no celular.
O interessante desse software, além de ser livre, é a sua facilidade de uso e também
as possibilidades de recursos que permitem a dinamização gráfica.
Na internet, você pode encontrar vários arquivos desses já prontos que podem ser
utilizados na sala de aula ou, dependendo das suas necessidades, criar o seu arquivo.
Vamos explorar os parâmetros da função f(x)=a+b.sen(cx+d), sendo b≠0 e c≠0, utilizan-
do o software Geogebra:
1º- O parâmetro a traslada o gráfico da função em |a| unidades para cima, quando
a>0 ou para baixo a<o, modificando sua imagem e o valor onde a função x=0, ou seja,
onde o gráfico irá cortar o eixo y.
FIGURA 61 - TRANSLAÇÃO VERTICAL – INFLUÊNCIA DO PARÂMETRO A NA
FUNÇÃO Y=A+SENX
Fonte: Elaborada pelo autor.
107
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Observe que a tela do programa apresenta, na parte inferior da janela, um campo
denominado entrada. Nesse campo, você digita as funções que deseja.
2º- O parâmetro b amplia verticalmente o gráfico se |b|>1, e comprime se |b| for me-
nor que 1 e maior que 0. Caso b<0, além de provocar ampliar ou comprimir, ocorre
uma inversão no gráfico.
FIGURA 62 - ALTERAÇÃO NA AMPLITUDE – INFLUÊNCIA DO PARÂMETRO B NA
FUNÇÃO Y=B.SENX
Fonte: Elaborada pelo autor.
3º- O parâmetro c amplia o período se |c|<1, e comprime se |c|>1. O valor do novo pe-
ríodo pode ser encontrado com p= , sendo pa o período da função trigonométrica
correspondente, ou seja, y=senx.
108
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 63 - ALTERAÇÃO NO PERÍODO - INFLUÊNCIA DO PARÂMETRO
A NA FUNÇÃO Y=SEN(CX)
Fonte: Elaborada pelo autor.
O período da função y=senx é 2π.
O período da função y=sen(2x) é π.
O período da função y=sen é 4π.
4º- O parâmetro d translada o gráfico da função em
d
c
unidades para a esquerda se
d
c
>0, ou para a direita se
d
c
<0
FIGURA 64 - TRANSLAÇÃO HORIZONTAL – INFLUÊNCIA DO PARÂMETRO D NA
FUNÇÃO Y=SEN(X+D)
Fonte: Elaborada pelo autor.
109
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Enfim, o estudo das funções fica mais atrativo com a exploração delas através do
geogebra, que possui muitos outros recursos a serem explorados. Ele pode ser usado
também no estudo da geometria, estatística entre outros.
CONCLUSÃO
Nesta unidade, foi abordado sobre as funções trigonométricas, especificamente as
funções Seno, Cosseno e Tangente. Para isso, começamos nossos estudos retomando
os conceitos básicos e necessários de trigonometria no triângulo retângulo, medidas
de arcos e, em seguida, a respeito da circunferência trigonométrica e das funções
trigonométricas Seno, Cosseno e Tangente. Por fim, exploramos um pouco das mo-
dificações que alguns parâmetros provocam na função Seno, utilizando o software
geogebra.
Vale mais uma vez ressaltar que as funções trigonométricas são exploradas na mode-
lagem de fenômenos periódicos, cíclicos, como as ondas, rotações de motores, etc.
A utilização de modelos matemáticos permite análises que levam a otimizações de
processos, melhorias na qualidade e previsão de possíveis cenários que possibilitam
uma melhor tomada de decisões que reduzem custo. Por exemplo, na manutenção
de alguns equipamentos, por ser realizada uma análise vibracional, pode-se detectar,
por comparação de medidas previamente parametrizadas, se existe algum problema
que precisa ser corrigido. Assim, permitindo um aumento na vida útil do equipamen-
to, redução de custo com manutenções sem necessidade, entre outros. A vibração é
uma onda mecânica e, portanto, pode ser modelada por uma função trigonométrica
e, em muitas situações, por uma composição de funções.
Assim, vimos algumas das funções trigonométricas, mas existem as funções Cosse-
cante, Secante e Cotangente, ou seja, a família é extensa. Essas funções são as inversas
das funções Seno, Cosseno e Tangente; portanto, o estudo delas e seus parâmetros já
nos permite compreender as outras de uma forma mais tranquila.
Para tanto, referenciamos os parâmetros que modificam a função e suas influências
na sua amplitude, imagem e período. Nessa parte, tornou-se interessante o uso de
um software que possibilita essas análises sem tornar o processo cansativo. Nesse
sentido, qualquer software que tenha o seu uso com uma finalidade dentro do pro-
110
CÁLCULO I
SUMÁRIO
cesso de ensino-aprendizagem é considerado um software educacional. Assim sen-
do, o software utilizado, o Geogebra, já tem uma finalidade para uso voltado à mani-
pulação de entes matemáticos, mas a forma como será utilizado que o tornará um
software educacional. Novamente, vale a reflexão que esse software é mais uma fer-
ramenta no auxílio do processo de ensino-aprendizagem. A utilização dele necessita
ser fundamentada nos objetivos educacionais e como mediação pedagógica.
111
CÁLCULO I
SUMÁRIO
OBJETIVO
Ao final desta
unidade,
esperamos
que possa:
> Definir função
exponencial e
função logarítmica,
construir seu gráfico
e classificá-lo
como crescente ou
decrescente.
> Aplicar o conceito
da função
exponencial e da
função logarítmica
na resolução de
problemas.
> Resolver problemas
utilizando equações
exponenciais e
logaritmos.
UNIDADE 3
112
CÁLCULO I
SUMÁRIO
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL E
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para iniciarmos nossos estudos sobre as funções exponenciais e logarítmicas, vamos
contextualizá-las com a seguinte situação: suponha que, em certa região litorânea,a
população de determinada alga cresce de modo que a área coberta pelas algas au-
menta 45%, a cada ano, em relação à área da superfície coberta no ano anterior. Os
biólogos estimam que, atualmente, a área coberta é de 5 mil m2. Se o crescimento
manter esse ritmo, qual será a área da superfície coberta pelas algas daqui a 3 anos?
Analisando essa situação temos que, daqui a um ano, a área coberta será:
área atual + aumento de área anual = 5.000 + 0,45 x 5.000 = 1,45 x 5.000 = 7.250 m2
Daqui a dois anos, teremos o aumento de 45% em relação ao valor de 7.250 m2 do
ano anterior:
1,45 x 7.250 = 10.512,5 m2
Daqui a três anos: 10.512,5 x 1,45 = 15243,125 m2
Assim, teremos em três anos uma área coberta 15243,125 m2.
Podemos generalizar esses cálculos observando que o valor da área coberta será
sempre o valor anterior multiplicado pelo percentual de aumento anual de 45%.
No exemplo dado, usamos o percentual quatro vezes, um referente a cada ano dado.
Temos então: 5.000 x 1,45 x 1,45 x 1,45 x 1,45 = 6.000 x (1,45)4 = 15243,125 m2
Sendo assim, considerando como t o número de anos, teremos:
A(t) → área da região coberta
A(t) = 6.000 x (1,55)t → fórmula que representa uma função exponencial.
Se quisermos saber daqui a quanto tempo essas algas ocuparão uma área de 32000
m2, vamos precisar dos conceitos sobre logaritmos. Esses conceitos serão tratados
nesta unidade.
113
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Assim, para começar, vamos rever algumas propriedades importantes sobre a poten-
ciação e radiciação no conjunto dos números reais.
3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
A potenciação é uma escrita resumida de várias multiplicações por um mesmo nú-
mero (base). Assim, temos que
2.2.2.2=24
Quantidade de vezes que o número
2 multiplicará ele por ele mesmo.
O número 2 é multiplicado ele
por ele mesmo 4 vezes.
Na potência 24, o 2 é denominado de base da potência, e o 4, o expoente.
Nas calculadoras, podemos realizar o cálculo de uma potência utilizando a
tecla , onde x é a base, e y o expoente.
Em alguns modelos, a pode ser substituída pela tecla ^.
Dados dois números reais a e b, e os números inteiros x e y, temos as seguintes pro-
priedades das potências:
FIGURA 65 - PROPRIEDADE DAS POTÊNCIAS
PROPRIEDADE PROCEDIMENTO
a a a a a a
x y x y x y x y= =+ + ou Conserva-se a base e soma-se os expoentes.
a
a
a a
a
a
x
y
x y x y
x
y
= =− − ou Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.
114
CÁLCULO I
SUMÁRIO
PROPRIEDADE PROCEDIMENTO
a b ab ab a b
x x
x x
x x= ( ) ( ) = ou Aplica-se a propriedade distributiva da potenciação em relação à multiplicação.
a
b
a
b
a
b
a
b
x
x
x x
x
x
=
=ou
Aplica-se a propriedade distributiva da potenciação
em relação à divisão.
a a a a
xy x
y
x
y
xy= ( ) ( ) = ou Conserva-se as bases e multiplica-se os expoentes.
a
a a
a onde
x
x x
x− −= = ≠
1 1
ou a 0, Inverte-se a base e eleva-se ao oposto do expoente.
a
0
1= ≠, onde a 0 Iguala-se a 1.
a a
1 = ≠, onde a 0 Iguala-se a ele mesmo.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 1: vamos aplicar as propriedades:
a) 6 6 6 63 4 3 4 7⋅ = =+
b)
5
5
5 5
6
2
6 2 4= =−
c) 3 2 3 25 5
5
= ( ).
d)
3
2
3
2
5
5
5
=
e) 3 315 3
5
= ( )
f) 7
1
7
2
2
− =
g)
3
2
2
3
5 5
=
−
115
CÁLCULO I
SUMÁRIO
h) 2 1
0( ) =
i)
3
8
3
8
1
=
Exemplo 2: Veja como simplificar as expressões abaixo aplicando as propriedades
das potências:
P =
( )
= = =− −
( )6 4
6 4
6 4
6 4
6 4 6 4
2 3 5
2
3
7
10 15
6 7
10 6 15 7 4 8
Exemplo 3: Determine o valor de 2
3
4
2
1
2
+
−
−
3
2
1
4
9
4
1
4
10
4
5
2
25
2
2
2 2 2
+
= +
=
=
=
44
No universo científico, há necessidade de representar grandezas com valores imensos
e, em contrapartida, grandezas com valores microscópicos. Para simplificar a escri-
ta desses valores e facilitar cálculos, podemos representá-los em forma de notação
científica. Veja os exemplos:
Velocidade aproximada da luz:
300000000 m/s
Para escrevê-lo em notação científica, devemos perceber que o número pode ser es-
crito como múltiplo de 10, realizando o produto de n fatores:
300000000 =3.10.10.10.10.10.10.10.10=3 x 108
8 fatores
Raio médio do átomo de hidrogênio:
0,00000005 mm
116
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para escrevê-lo em notação científica, devemos perceber que o número pode ser es-
crito como uma divisão por n fatores de 10:
8 fatores
0,00000005
5
00000000
5
10.10.10.10.10.10.10.10
5
108
=
que pode ser escrito como 5 10
8
x
−
Assim, como temos as operações de potenciação, há as operações inversas que são
as radiciações.
a b
n = , onde bn = a, onde a e b ∊ R, n ∊ N.
No radical a
n
, o número a é o radicando, e o número n é o índice da raiz.
Portanto, sejam dois números reais a e b, e os números inteiros x, n e k, temos as se-
guintes propriedades:
FIGURA 66 - PROPRIEDADE DOS RADICAIS COM RADICANDOS NÃO NEGATIVOS
PROPRIEDADE PROCEDIMENTO
1)
Aplica-se a propriedade distributiva da radiciação em relação à
multiplicação.
2)
Aplica-se a propriedade distributiva da radiciação em relação à
divisão.
3) A potência da raiz é a raiz da potência.
4) Multiplica-se os índices.
Fonte: Elaborada pelo autor.
a b a b
n n n= ⋅
a
b
a
b
n
n
n= ≠ com b 0
a a
n
x
xn( ) =
a a
kn nk=
117
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Exemplo: vamos aplicar as propriedades:
a) 4 5 4 5 203 3 3 3= =.
b)
4
5
4
5
3
3
3=
c) 4 43
5
53( ) =
d) 5 5 532 2 3 6= =.
É necessário, para se trabalhar com os radicais, saber transformá-los por meio
de propriedades, conforme exposto neste material, mas, para isso, torna-se
importante o estudo de como simplificar radicais. Assim, pesquise na inter-
net, sobre “simplificação de radicais”.
Há também as potencias de expoente racionais, sendo a um número real positivo, e
os números inteiros n e m, com m ≥ 1, temos que:
a a a
m
n mn n
m
= = ( ) , se existe an
Exemplo 1:
a)
4 4 16
2
3 23 3= =
118
CÁLCULO I
SUMÁRIO
b) 16 16 16 40 5
1
2 2, = = =
Exemplo2: Calcule o valor de v =
27 16
2
3
3
4−
27 16 729 4096 9 8 1
23 34 3 4− = − = − =
Prosseguindo-se em nossos estudos, chegamos às equações exponenciais. Para re-
solver equações definidas como exponenciais, ou seja, com a variável da equação
no expoente, devemos garantir que suas bases sejam iguais para depois igualar seus
expoentes.
Observe os exemplos para resolução da equação exponencial:
a)
Decomponha em fatores primos o número 49.
7 7
2
1
1
3( ) =+x
7 7
2 2
1
3x+ =
Iguale as bases. Para isso, utilize as propriedades de po-
tenciação
Depois de igualar as bases, igualamos seus expoentes:
2 2
1
3
2
1
3
2
2
5
3
5
6
x
x
x
x
+ =
= −
= −
= −
Logo, para que a equação 7 72
1
1
3( ) =+x seja verdadeira,
o valor de x tem que −
5
6
.
49 7
1 3x+ =
119
CÁLCULO I
SUMÁRIO
b)
81 84
3 0x+ =
É necessário igualar as bases. Para isso, é necessário
lembrar que todo número elevado a zero é igual a 1.
Portanto, podemos escrever 1=81º.
c) É necessário igualar as bases. Observe que temos duas
bases diferentes, mas a operação entre elas é a multi-
plicação e podemos dividir o 7 por 7.
Depois de igualar as bases, igualamos seus expoentes:
x-2=0
x=2
d) Logo, para que a equação 7 5 72⋅ =−x , seja verdadeira, o
valor de x tem que ser 2.
Depois de igualar as bases, igualamos seus expoentes:
x
2
7=
x=14
Existem algumas equações exponenciais que, para serem resolvidas, precisam de
algumas “manipulações” matemáticas. Observe o exemplo a seguir.
e) Determine o conjunto solução da equação 3x+1 – 3x – 3x-1 = 45
81 1
3x+ =
7 5 7
5
7
7
5 1
5 5
2
2
2
2 0
⋅ =
=
=
=
−
−
−
−
x
x
x
x
2 128
2 2
1
2 7
( ) =
=
x
x
120
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Não é possível escrever a primeira parte da equação como uma única potênciade 3.
Podemos fazer:
3 3 3
3
3
45
1x x
x
⋅ − − =
Colocando 3x em evidência, temos:
3 3 1
1
3
45
x ⋅ − −
=
3
5
3
45
x ⋅ =
3 45
3
5
x = ⋅
3x = 27
Depois de igualar as bases, igualamos seus expoentes:
3x = 33
x = 3
Logo, para que a equação 3 3 3
3
3
45
1x x
x
⋅ − − = seja verdadeira, o
valor de x tem que ser 3.
Pesquise sobre métodos de resolução de equações exponenciais na internet.
Quando não conseguimos encontrar nenhum método que torne as bases iguais, dos
dois lados da equação, precisamos utilizar o conceito de logaritmo.
Finalizada essa revisão, vamos iniciar nossos estudos sobre as funções exponenciais.
121
CÁLCULO I
SUMÁRIO
3.2 FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos da natureza
e da sociedade. Podemos utilizá-la na descrição do crescimento populacional, con-
forme abordado na introdução dessa unidade.
Assim, seja a ∊ ℝ, tal que a > 0 e a ≠ 1. A função f(x) = ax é chamada de função expo-
nencial de base a.
Observe que, na definição acima, temos restrições em relação à base a e como con-
sequência:
• o par ordenado (0,1) pertence a toda a função exponencial, pois, se temos a
função f(x) = ax, portanto para f(0) = a0 = 1.
• Como a > 0 e a ≠ 1, então ax > 0, ∀ x ∊ ℝ. Sendo assim, a função exponencial f(x)
= ax é estritamente positiva, ou seja, Im = +
* .
São exemplos de funções exponenciais:
1.f(x)=6x
2. y
x
=
1
3
3.f(x) = (0,4)x
Vamos construir os gráficos de algumas funções exponenciais e identificar algumas
de suas propriedades.
Para construir o gráfico da função exponencial, utilizaremos alguns valores do con-
junto dos números reais e calcularemos as coordenadas dos pontos que formarão o
gráfico. Para isso, utilizaremos uma tabela, como segue:
1- Construir o gráfico da função y = 2x, com x ∊ ℝ.
QUADRO 14 - TABELA COM OS VALORES X E Y DO GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = 2X
X Y (X,Y)
- 3 y = =−2
1
8
3 A −
3
1
8
,
122
CÁLCULO I
SUMÁRIO
X Y (X,Y)
- 2 y = =−2
1
4
2 B −
2
1
4
,
- 1 y = =−2
1
2
1 C −
1
1
2
,
0 y=20 = 1 D(0,1)
1 y=21 = 2 E(1,2)
2 y=22 = 4 F(2,4)
3 y=23 = 8 G(3,8)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Após encontrar os valores das coordenadas de cada ponto, vamos localizá-los no pla-
no cartesiano e ligá-los para obtermos o gráfico da função.
QUADRO 15 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS E GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = 2X
-2 -1 0 1 2 3
x
y
-3
5
4
3
2
E
1
C
BA
F
-2
D
F
E
5
4
3
2
1
D
C
BA
a) b)
-1 0 1 2 3
x
y
-3
Legenda:
a) Localização dos pontos pertencentes à função y=2x.
b) Gráfico da função é obtido ligando-se os pontos encontrados.
Fonte: Elaborada pelo autor.
123
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Observe que, como a base da função exponencial y = 2x vale 2, temos 2 > 1. Então,
essa função é crescente. À medida que escolhemos valores de x cada vez maiores, a
função y também admite valores cada vez maiores.
2- Construir o gráfico da função y =
1
2
x
com x ∊ ℝ.
QUADRO 16 - TABELA COM OS VALORES X E Y DO GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = (1/2)X
X Y (X,Y)
- 3 y =
=
−
1
2
8
3
A(-3,8)
- 2 y =
=
−
1
2
4
2
B(-2,4)
- 1 y =
=
−
1
2
2
1
C(-1,2)
0 y =
=
1
2
1
0
D(0,1)
1 y =
=
1
2
1
2
1
E =
1
1
2
,
2 y =
=
1
2
1
4
2
F =
2
1
4
,
3 y =
=
1
2
1
8
3
G =
3
1
8
,
Fonte: Elaborada pelo autor.
124
CÁLCULO I
SUMÁRIO
QUADRO 17 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS E GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = (1/2)X
a) b)
9
A
B
C
D
E
F G
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 4
x
0
9
A
B
C
D
E
F G
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 4
x
0
Legenda:
a)Localização dos pontos pertencentes a função y
x
=
1
2
b) gráfico da função obtido ligando-se os pontos encontrados.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que, como a base da função exponencial y
x
=
1
2
vale
1
2
, temos a base
0
1
2
< < 1. Então essa função é decrescente.
À medida que escolhemos valores de x cada vez maiores, a função y admite valores
cada vez menores.
Analisando-se os gráficos construídos, nos dois exemplos anteriores, temos D=ℝ. En-
quanto a imagem das duas funções exponenciais for sempre positiva e diferente de
0, Im = {y ∊ ℝ/y > 0}, ou seja, para todo valor de x real, temos a função y > 0, a função
estará sempre acima do eixo Ox.
Perceba também que o par ordenado (0,1) pertence às duas funções dadas.
125
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Podemos, resumidamente, esboçar o gráfico das funções exponenciais, conforme
apresentado abaixo.
QUADRO 18 - RESUMO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL F(X)=AX
9 y
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 40
Fonte: Elaborada pelo autor.
De acordo com os gráficos analisados anteriormente e com o domínio e a imagem
definidos, podemos concluir que, para as funções exponenciais para todo x real, a
função será sempre positiva.
Nesse caso, o estudo do sinal será ∀ x ∊ ℝ ⟹ y > 0.
Para qualquer valor de x, a função sempre será positiva.
126
CÁLCULO I
SUMÁRIO
O número e é um número irracional, com valor aproximado de 2,7183. Esse
valor pode ser obtido ao considerarmos a expressão 1
1
+( )x x , definida em
ℝ*, e calculamos o valor que ela assume à medida que x se aproxima de zero.
À medida que x se torna menor, a expressão 1
1
+( )x x fica, cada vez mais,
próxima do número 2,7183. Essa é uma aproximação racional usual para e.
Dizemos então que o limite de 1
1
+( )x x , quando x tende a zero, é igual ao
número e. Representamos esse fato por lim 1
0
1
+( ) =
→
x e
x
x .
A função f: ℝ⟶
+
* , definida por f(x) = ex, é a função exponencial de base e,
chamada de função exponencial natural.
O gráfico da função y = ex está entre os gráficos das funções y = 2x e y = 3x, e essa
função exponencial de base e cruza o eixo y com uma inclinação igual a 1.
A função exponencial y = ex tem a propriedade de ser sua própria derivada.
Isso significa que a taxa de variação ex, no ponto x = t, vale et. Daí sua impor-
tância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do lo-
garitmo natural.
3.3 DEFINIÇÃO DE LOGARITMOS
Qual número devemos elevar o 2 para que o resultado seja 3? Para responder a essa
pergunta, vamos estudar os conceitos sobre logaritmos:
Assim, sendo a e b números reais e positivos com a ≠ 1, chama-se logaritmo de b na
base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a, de modo que a potência ax seja
igual a b:
127
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Equação exponencial
[Equação 01]
Na expressão logab=x, temos:
a é a base do logaritmo.
b é o logaritmando.
x é o logaritmo.
Observe que, para resolver os logaritmos, trabalhamos com equações exponenciais.
O valor do logaritmo é o número que, elevando a base, obtemos de resultado o loga-
ritmando.
1.
equação exponencial
4.
equação exponencial
5.
equação exponencial
log
2
4
16
2 16
2 2
4
=
=
=
=
x
x
x
x
log
5
2
25
5 25
5 5
2
=
=
=
=
x
x
x
x
log
2
2
1
4
2
1
4
2 5
2
=
=
=
= −
−
x
x
x
x
128
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Aplicando as propriedades estudadas na função exponencial, obtemos as seguintes
propriedades
6. Se a base do logaritmo for igual ao logaritmando, o valor do lo-
garitmo é 1.
log
a
a a a= ⇔ =1 1
7. Se o logaritmando for igual a 1, o valor do logaritmo será 0.
log
a
a1 0 1
0= ⇔ =
8. 3 3 9log
Resolvemos primeiro log39
log
3
2
9
9 3
3 3 2
=
=
= ⇒ =
x
x
x
x
Substituindo log39 pelo seu valor, calculado acima, temos,
Se o expoente de uma base é um logaritmo e se essa base for igual à base do loga-
ritmo, temos que o resultado será o logaritmando.
a ba
b
log =
9.
log
7
7
7 7
1
=
=
=
x
x
x
log
4
0
1
4 1
4 4
0
=
=
=
=
x
x
x
x
log
1
2
1 3
8
1
2
8
2 2
3
=
=
( ) =
= −
−
x
x
x
x129
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Quando a base do logaritmo é 10, não a escrevemos. Exemplo: em log100,
lemos logaritmo de 100 na base 10.
3.4 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE
LOGARITMO
Veremos três propriedades operatórias envolvendo logaritmos.
Sejam x e y números reais positivos.
1) Logaritmo do produto
log ( ) log log
a a a
xy x y= +
2) Logaritmo do quociente
log log log
a a a
x
y
x y
= −
3) Logaritmo da potência
log ( ) log
a
r
a
x r x=
Vejamos os exemplos de aplicação das propriedades:
1. log log . log log3 3 3 3243 27 9 27 9 3 2 5= ( ) = + = + =
2. log log log
3 3 3
7
2
7 2
= −
3. log log .log
5 5
3
5
27 3 3 3= =
130
CÁLCULO I
SUMÁRIO
3.5 MUDANÇA DE BASE
Existem situações nas quais temos o logaritmo em determinada base e precisamos
convertê-la para outra. Em muitos momentos, para aplicarmos as propriedades ope-
ratórias, os logaritmos devem estar todos na mesma base.
Suponha a, b e c, números reais positivos, com a e b diferentes de 1. Temos:
log
log
log
a
b
b
c
c
a
=
O processo de mudança de base também é importante, pois a calculadora científica
trabalha com o logaritmo na base 10 ou na base natural, mas, quando temos uma
base diferente, podemos utilizar a mudança de base e, assim, conseguimos calcular
qualquer base com o auxílio da calculadora.
Nas calculadoras, podemos realizar o cálculo logaritmo acionamos a tecla
ou . Essas teclas, respectivamente, calculam o logaritmo na base 10 e na
base e., também chamado de logaritmo natural. Observe que essas teclas tam-
bém acionam suas operações inversas.
Calcule o valor de log10072, sabendo que log2=x e log3=y
Teremos
log
log
log
log( ) log log .log .log
100
3 2 3 2
72
72
100
2 3
2
2 3
2
3 2 2
= =
⋅
=
+
=
+ 33
2
3 2
2
=
+x y
131
CÁLCULO I
SUMÁRIO
3.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Considere um número real a (com a >0 e a ≠1). A função dada pela lei f(x) = logax é
chamada função logarítmica de base a.
Temos como domínio dessa função os números reais e positivos e a imagem real.
Essa função associa cada número real positivo ao seu logaritmo em base a.
São funções logarítmicas as funções dadas pelas leis:
f(x)=log5x
g(x)= log1
3
x
y=logx
Em particular, a função y=log x é chamada de logaritmo decimal, e a base é 10.
Se a = e, escrevemos y=ln x para indicar a função logarítmica de base e, ou seja, para
indicar a função logaritmo natural.
O gráfico de uma função logarítmica é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um
plano coordenado, no qual x pertence ao domínio de f. Para determinar o gráfico des-
sa função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coor-
denadas, calculados por meio da lei y = f(x). Representamos cada par ordenado (x,y)
da tabela por um ponto no plano cartesiano. O conjunto dos pontos obtidos constitui
o gráfico da função logarítmica. O domínio dessa função, como dito, será
+
* .
132
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Vamos construir o gráfico da função y = log2x (base 2).
QUADRO 19 - TABELA 14 - VALORES PARA CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = LOG2X.
x y x= log2 (x,y)
1
8
y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −−log
2
31
8
2
1
8
2 2 3 A
1
8
3,−
1
4
y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −−log
2
21
4
2
1
4
2 2 2 B
1
4
3,−
1
2
y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −−log
2
11
2
2
1
2
2 2 1 c
1
2
1,−
1 y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
2
0
1 2 1 2 2 0 D(1,0)
2 y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
2
1
2 2 2 2 2 1 E(2,1)
4 y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
2
2
4 2 2 2 2 2 F(4,2)
8 y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
2
3
8 2 8 2 2 3 G(8,3)
Fonte: Elaborada pelo autor.
Após encontrar os valores das coordenadas de cada ponto, vamos localizá-los no pla-
no cartesiano e ligá-los para obtermos o gráfico da função y = log2x.
133
CÁLCULO I
SUMÁRIO
QUADRO 20 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS E GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Y =
LOG2X
4
3
2
F
a) b)
E
D
C
B
A
1
1 2 3 4 5
x
y
0
-1
-2
-3
4
3
2
F
E
D
C
B
A
1
1 2 3 4 5
x
y
0
-1
-2
-3
Legenda:
a) Localização dos pontos pertencentes à função y = log2x.
b) Gráfico da função obtido, ligando-se os pontos encontrados.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Vamos construir o gráfico da função y = log1
2
x (base
1
2
).
QUADRO 21 - CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = LOG(1/2)X
x
y x= log
1
2
(x,y)
1
8
y x
x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
1
2
3
1
8
1
2
1
8
1
2
1
3
3
1
8
3,
1
4
y x
x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
1
2
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
2
2
1
4
2,
1
2
y x
x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1,
134
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1 y x
x x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =log
1
2
0
1
1
2
1
1
2
1
2
0 (1,0)
2 y x
x
x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −−log
1
2
2
1
2
2 2 2 1 (2,-1)
4 y x
x
x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −−log
1
2
2 2
4
1
2
2 2 2 2 (4,-2)
8 y x
x
x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − −−log
1
2
3 3
8
1
2
2 2 2 3 3 (8,-3)
Fonte: Elaborada pelo autor.
QUADRO 22 - GRÁFICO 39 - LOCALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS PONTOS E GRÁFICO DA
FUNÇÃO LOGARÍTMICA Y = LOG(1/2)X
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
D
C
B
4
2
4
2
0 2 4 6 8 10 12
-2
y
0
-2
2 4 6 8 10
x x
y
A
Legenda:
a) Localização dos pontos pertencentes à função log1
2
x .
b) Gráfico da função obtido, ligando-se os pontos encontrados.
Fonte: Elaborada pelo autor.
De modo geral, o gráfico da função y=logax tem as características apresentadas abai-
xo.
135
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Está todo à direita do eixo dos y, pois a função só é definida para x >0.
Corta o eixo dos x no ponto de abscissa 1, pois y = loga1 = 0 para todo a.
Quando a > 1, a função logarítmica dada por f(x) = logax é crescente:
x x x x
a a1 2 1
< ⇔ <log log
Quando 0 <a <1, a função logarítmica dada por f(x) = logax é decrescente.
3.7 ESTUDO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS
E LOGARÍTMICAS POR MEIO DE SOFTWARE
EDUCACIONAL
O estudo das funções por meio de um software educacional contribui para que haja
uma capacidade maior de observação, possibilitando associação de ideias. Através
das manipulações e diversas formas de visualização, a utilização de softwares possi-
bilita diminuir o grau de abstração do conceito de função e o estudo da sua forma
gráfica e comportamento. Dessa forma, torna-se mais um facilitador no processo de
ensino-aprendizagem mais interessante e significativo. Assim sendo, agora veremos
outro software matemático denominado Winplot. Esse software é livre e gratuito. Ele
permite que se traça gráficos em 2D e 3D (duas e três dimensões) a partir de funções
ou equações matemáticas.
Vamos nos familiarizarmos um pouco com a janela do Winplot. Ao abrir o programa,
irá aparecer uma janela como mostra a figura abaixo:
136
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 67 - JANELA INICIAL DO WINPLOT
Fonte: Elaborada pelo autor.
No menu janela, ao escolher 2-Dim, que significa 2 dimensões, e abrirá uma janela
como na figura abaixo:
FIGURA 68 - JANELA 2 DIMENSÕES
Fonte: Elaborada pelo autor.
137
CÁLCULO I
SUMÁRIO
No menu da janela 2-Dim aberta, temos que clicar em Equação e, depois de explíci-
tas, aparecerá a seguinte janela:
FIGURA 69 - JANELA DE ENTRADA DAS EQUAÇÕES QUE DESCREVEM AS FUNÇÕES
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nessa janela no campo f(x), vamos digitar a função desejada. Será y=2x, que no caso
iremos digitar 2^x.
FIGURA 70 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y=2X
Fonte: Elaborada pelo autor.
138
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para entrar com outras funções, o procedimento é o mesmo para cada uma. Assim,
vamos digitar 3^x para a função y=3x e 4^x para y=4x.
FIGURA 71 - GRÁFICOS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL COM BASES DIFERENTES
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que, independentemente, do valor da base, a função exponencial y=ax sem-
pre intercepta o eixo y no ponto (0,1). Podemos perceber também que, quanto maior
o valor da base, mais rápido será o crescimento da função, ou seja, mais próxima ela
estará do eixo y.
Ao ampliar e diminuir a visualização do gráfico, é possível perceber que o gráfico da
função y=ax se aproxima indefinidamentedo eixo x, mas sem tocá-lo. Por isso, a reta
que passa pelo eixo x é chamada de assíntota (horizontal) do gráfico da função y=ax.
Vamos observar o gráfico da função exponencial y=2x e a sua inversa.
139
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 72 - GRÁFICO DA FUNÇÃO Y=2 E A SUA INVERSA Y = LOG2X
Fonte: Elaborada pela autora.
Note que, se traçarmos uma reta bissetriz ao 1º e 3º quadrantes do plano cartesiano,
o gráfico das funções apresentam uma simetria em relação a essa reta.
Assim, há outras análises que podem ser realizadas com a utilização de softwares da
natureza do Winplot, como a influência de outros parâmetros na função e como foi
feito com as funções trigonométricas.
CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou conceitos sobre o estudo de funções exponenciais e a fun-
ções logarítmicas. Começamos nossos estudos revisando conceitos básicos e funda-
mentais de sobre potenciação e radiciação que, ao trabalharmos com as potências
de base dez, podemos escrever números em notação científica. Uma forma muito
utilizada para escrever números muito grandes ou muito pequenos, de maneira a fa-
cilitar sua compreensão, comparação e cálculos com outros números de magnitudes
140
CÁLCULO I
SUMÁRIO
semelhantes. Além disso, estudamos a definição de função exponencial e de função
logarítmica, a representação do seu domínio, imagem, construção de gráficos, resolu-
ção de equações exponenciais, as propriedades operatórias dos logaritmos, mudança
de base. Também, vimos a construção de gráficos dessas funções em um software, o
Winplot, específico para a área da matemática.
De maneira geral, as funções exponenciais e logarítmicas são bastante utilizadas nas
ciências na descrição de diversos fenômenos. Elas permitem analisar e realizar es-
timativa com investimentos e populações, ao descrever fenômenos naturais como
terremotos, ao conceito de meia-vida aplicada, a medicamentos e a elementos ra-
dioativos e muitos outros. Vimos que as funções exponencial e logarítmica se referem
a movimentos inversos da potenciação. Em matemática, um movimento numérico
que desfaz o outro é chamado de inverso. Com a função logarítmica, acontece um
determinado movimento numérico; com a função exponencial, acontece um regres-
so desse movimento. Assim, o domínio de uma função é imagem da outra e vice-ver-
sa. São, portanto, funções inversas. Isso explica porque, para resolver alguns tipos de
equação exponencial, necessitamos recorrer frequentemente aos logaritmos.
Enfim, como software educacional foi apresentado o Winplot que pode ser utilizado
como mais uma ferramenta pedagógica no processo de ensino-aprendizagem das
funções. Dessa forma, por permitirem manipulações e diversas formas de visualiza-
ção, a utilização de softwares dessa natureza diminui o grau de abstração do conceito
de função e o estudo da sua forma gráfica. Há outros softwares específicos para tra-
balhar com construções de funções, assim como softwares e aplicativos que também
podem ser utilizados com a finalidade educacional.
141
CÁLCULO I
SUMÁRIO
OBJETIVO
Ao final desta
unidade,
esperamos
que possa:
> Interpretar os
conceitos de limite e
derivadas.
> Calcular
limites laterais,
indeterminados,
infinitos e no infinito.
UNIDADE 4
142
CÁLCULO I
SUMÁRIO
4 LIMITES E DERIVADA
As funções descrevem fenômenos que podem ser mensuráveis através de relações
que expressam dependência entre as grandezas envolvidas. Essas expressões mate-
máticas permitem que possamos analisar tendências e, com isso, possibilitam toma-
das de decisões. Para tanto, o desenvolvimento de conceitos como limite e derivadas
surgiram como ferramentas sofisticadas que nos permitem realizar um estudo deta-
lhado das funções. Vejamos um exemplo:
Uma empreiteira que trabalha com asfaltamento de vias, após realizar análises sobre
os custos de uma obra para uma determinada região, verificou que, dada uma por-
centagem de execução da obra, o custo poderia ser expresso em milhares de reais
pela expressão:
C x
x x x
x x
( )
³
²
=
− −
− −
3 249 510
83 170
Ao participar de uma licitação nessa região, a empreiteira deseja saber qual é o custo
para a execução de 85% dessa obra. Portanto, qual custo a empreiteira deve esperar
quando concluir essa porcentagem do serviço?
Pelo que vimos de função até aqui, esta pergunta parece fácil, pois iríamos simples-
mente substituir x=85 na expressão que representa o custo. Se fizermos isso, veja o
que acontece:
C x
x x x
x x
( )
³
²
=
− −
− −
3 249 510
83 170
C( )
( )³ ( ) .
( )² ( )
85
3 85 249 85 510 85
85 83 85 170
1842375 21165
=
− −
− −
=
− −443350
7225 7055 170
1777860
0− −
= = impossível?
Obtemos uma divisão por zero, ou seja, não conseguimos definir este valor por não
pertencer ao domínio da função C(x). Neste caso, temos algo que não conseguimos
determinar e utilizamos o conceito de limites para entender o comportamento da
função e de derivada para descrever suas variações.
143
CÁLCULO I
SUMÁRIO
4.1 LIMITES E DERIVADA
4.1.1 LIMITES
De maneira mais simples, calcular um limite é investigar de que forma uma função
f(x) se comporta quando a variável independente x se aproxima de certo valor, que
não pertence necessariamente ao domínio da função f.
Vamos ilustrar esse conceito utilizando a faixa de Moebius. Essa faixa consiste em um
tira torcida, ou seja, ao pegarmos uma tira de papel e em uma de suas pontas darmos
uma torcida de 180º e unirmos com a outra ponta, teremos a faixa de Moebius.
FIGURA 73 - FAIXA DE MOEBIUS
Fonte: Shutterstock, 2019.
Se cortarmos essa faixa da figura acima ao meio, teremos como resultado outra fai-
xa mais estreita e com o dobro do comprimento. Se repetirmos esse procedimento
várias vezes, a faixa irá se estreitando, mas o resultado continuará se repetindo inde-
finidamente. Podemos perceber que, se dispormos de ferramentas precisas, nunca
conseguiremos chegar a um fim, e o que acontecerá é um estreitamento cada vez
menor na largura da faixa. Esse procedimento nos remete a uma ideia de algo infi-
nitamente pequeno, ou seja, o infinito dentro do finito. Já nos deparamos com esse
conceito quando abordamos a representação do conjunto dos números reais na reta
numérica, sendo que entre quaisquer dois valores há uma infinidade de submúlti-
plos. Essa divisibilidade infinita nos aproxima do zero, mas não o alcança, e é nessa
ideia de aproximação infinita que se baseia o conceito de limite.
144
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para saber mais, pesquise na internet sobre a faixa de Moebius e o paradoxo
de Zenão.
Assim, vamos voltar ao exemplo dado na introdução. Não podemos calcular direta-
mente substituindo x=85 na função C x
x x x
x x
( )
³
²
=
− −
− −
3 249 510
83 170
. Então, investigaremos o
que acontece com a função com os valores próximos a x=85 e, assim, analisar o pode
ocorrer neste ponto. Utilizaremos os valores próximos pela esquerda e pela direita do
ponto, em que x=85, e observaremos o que acontece com f(x), ou seja, os valores de y.
FIGURA 74 - APROXIMAÇÃO PELA DIREITA E PELA ESQUERDA
Aproximação pela
direita
85
Aproximação pela
esquerda
8684
Fonte: Elaborada pelo autor.
Substituindo os valores de x aproximando pela esquerda e pela direita de x = 85 na
função C(x), temos o resultado na tabela abaixo:
FIGURA 75 - COMPORTAMENTO DA NAS PROXIMIDADES DE X=85
VALORES
DE X<85
84,8 254,4
84,9 254,7
84,99 255,0
84,999 255,0
84,9999 255,0
84,99999 255,0
84,999999 255,0
VALORES
DE X<85
85,1 255,3
85,01 255,0
85,001 255,0
85,0001 255,0
85,00001 255,0
85,000001 255,0
85,000001 255,0
Fonte: Elaborada pelo autor.
145
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Podemos observar que, se aproximamos de x=85 pela esquerda, os valores encon-
trados tendem para 255 e, se aproximamos de x=85 pela direita, os valores encontra-
dos tendem para 255. Então, dizemos que o limite da função C x
x x x
x x
( )
³
²
=
− −
− −
3 249 510
83 170
,
quando x tende a 85, é igual a 255. Vejamos aanálise gráfica da situação:
FIGURA 76 - ANÁLISE DOS VALORES DE Y QUANDO SE APROXIMA DE X = 85.
50
100
100
200
250
255
85
300 y
0
0
f
50 100 150 200
x
Milhares
de reais
Porcentagem da obra concluída
Neste ponto em que x = 85,
a função c(x) não é definida,
portanto não encontramos o
valor de y substituindo x = 85
na função.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assim, escrevemos a situação em linguagem matemática como:
O limite de C(x) quando x tende a 85 pela esquerda é igual a 255:
lim ( )
x
c x
→ −
=
85
255 o sinal – significa aproximação pela esquerda
O limite de C(x) quando x tende a 85 pela direita é igual a 255:
lim ( )
x
c x
→ +
=
85
255 o sinal + significa aproximação pela direita
Os limites à esquerda e à direita são chamados limites laterais.
146
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Quando os limites laterais são iguais, confirma-se a existência do limite. E, em vez de
escrevermos as duas indicações anteriores, podemos utilizar uma indicação única:
lim ( )
x
c x
→
=
85
255
É importante enfatizar que, para investigar o valor do limite no ponto em que x = 85,
nossas análises foram direcionadas para as proximidades deste ponto. No caso, não
sabíamos o que iria acontecer especificamente neste ponto, mas, por aproximação,
observamos que o limite da função c(x) quando x tende para 85 é 255. Portanto, para
a execução de 85% da obra, o custo será de R$ 255.000,00.
Mas será que sempre que tivermos uma situação parecida encontraremos o valor
para onde a função tende dessa forma?
Vamos analisar outra situação: considere dois automóveis que percorrem uma mes-
ma estrada, com velocidades diferentes e em sentidos opostos. Existe um posto de
gasolina C onde ambos se ultrapassarão. Entretanto, bem próximo ao local o pneu
do carro de um furou e não havia estepe, impossibilitando a chegada até o posto de
gasolina. Podemos ilustrar graficamente esta situação dessa forma:
FIGURA 77 - APROXIMAÇÃO DO PONTO DE ULTRAPASSAGEM C
C
Local da ultrapassagem
distância0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos descrever esta situação com limites, desta forma:
lim ( ) a
x c
f x
→ −
= O limite de f tendendo a c pela esquerda
e
lim ( )
x c
f x
→ +
=0 O limite de f tendendo a c pela direita
147
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Assim observa-se que lim ( ) lim ( )
x c x c
f x f x
→ →− +
≠ , ou seja, os limites laterais são diferentes,
logo não existe o limite de f(x) quando x tende a c.
Portanto temos como condição de existência do limite que:
O limite lim
x c
f x
→
( ) só existirá se os limites laterais forem iguais, ou seja,
lim ( ) lim ( )
x c x c
f x f x
→ →− +
=
.
Assim, temos que seja f uma função definida em R, se f(x) tende a L quando x tende
a b pela direita e pela esquerda, L é o limite de f(x) quando x tende a b. Em notação
matemática, expressamos da seguinte forma:
lim ( ) lim ( )
x b x b
f x f x L
→ → +−
= = isto é, os limites laterais são iguais.
Limites laterais sendo iguais significa que existe o limite no ponto b e este limite é L.
Nesse caso, dizemos que a função f tem limite L no ponto b e escrevemos:
lim
x b
f x L
→
( ) =
Assim, vejamos alguns exemplos do cálculo do limite.
Exemplo 1: Dada a função f: IR → IR, definida por f(x) = x + 8, estude o comportamento
dessa função quando x se aproxima de 2.
Analisando o comportamento da função pela direita e esquerda, teremos:
148
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 78 - COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO PARA VALORES DE X SE APROXIMANDO DE 2
x
64
Aproximação pela direita valores de x>2Aproximação pela esquerda valores de x<2
20-2
2
4
6
8
10
12
y
Valores de x 1 1,1 1,4 1,6 1,8 1,9 1,99 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,2 2,4
F(x) 9 9,1 9,4 9,6 9,8 9,9 9,99 10 10,0001 10,001 10,01 10,1 10,1 10,4
Leia-se: o limite da função de
x+8 com x se aproximando de
2 pela esquerda é 10.
Leia-se: o limite da função de
x+8 com x se aproximando de
2 pela direita é 10.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Logo lim x lim x lim x
x x x→ → →− +
+ = + = + =
2 2 2
8 8 8 10 .
Observe que, à medida que os valores de x se aproximam de 2, por valores menores
que 1 (pela esquerda) ou por valores maiores que 1 (pela direita), f(x) se aproxima de 10.
Podemos perceber que, como x=2 pertence ao domínio da função f(x)= x+8, o limite
dessa função quando x tende a 2 pode ser encontrado substituindo o valor de x dire-
to na função, ou seja,
lim x
x→
+ = + =
2
8 2 8 10 . Portanto, o limite da função x+8 para x tendendo a 2 é 10.
149
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Exemplo 2: Dada a função f: IR → IR, definida por f x x x
x
( )
²
=
+ +
+
5 6
2
, estude o comporta-
mento nos seguintes casos:
a) x se aproxima de -2.
b) x se aproxima de 3.
Resolução
a) Estudar o comportamento da função é calcular o limite tendendo a –2:
lim
²
x
x x
x→−
+ +
+2
5 6
2
Antes de realizarmos qualquer operação, devemos observar que essa função apre-
senta uma divisão de polinômios e, nesta situação, temos que ter atenção aos valores
que tornam o denominador igual a zero. Assim, na função f x
x x
x
( )
²
=
+ +
+
5 6
2
, x = –2 não
pertence ao domínio dessa função. Como sabemos disso? Se substituirmos x = –2 na
função teremos:
f( )
( )² ( )
( )
− =
− + − +
− +
=2
2 5 2 6
2 2
20
0
, ou seja, x = –2, torna o denominador igual a zero, e não existe
divisão por zero.
Neste caso, não podemos calcular o limite x tendendo a –2, simplesmente substi-
tuindo seu valor na função f(x). Temos que utilizar métodos de fatoração ou utilizar a
tabela com os valores próximos à esquerda e à direita. Vamos calcular utilizando as
duas formas:
1ª) Cálculo do limite por análise da tabela com os valores aproximados de x desejado.
150
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 79 - COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO y =
+ +
+
x x
x
² 5 6
2
PARA VALORES DE X
SE APROXIMANDO DE –2
1
x
0
2
1
3
y
-1-2-3
Aproximação pela direita de x>-2Aproximação pela esquerda de x<-2
Valores de x -2,1 -2,01 -2,001 -2,0001 - -1,999 -1,99 -1,9 -1,8 -1,7
F(x) 0,9 0,99 0,999 0,9999 1,001 1,01 1,1 1,2 1,3
2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os limites laterais são iguais, portanto, lim
²
x
x x
x→−
+ +
+
=
2
5 6
2
1
A utilização da tabela pode incorrer em uma conclusão equivocada do valor do limi-
te, seja por causa de erros de arredondamento, seja porque os valores escolhidos para
o estudo não revelam o verdadeiro comportamento do limite. Assim, nesta situação
que não conseguimos calcular o limite por substituição direta, devemos utilizar al-
gum método algébrico.
2º) Cálculo do limite fatorando o polinômio.
Verifique a função pela qual queremos calcular o limite quando x tende a 2 é descrito
por um polinômio, assim podemos fatorá-lo:
lim
x x
xx→−
+ +
+2
5 6
2
²
151
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Igualando a equação x²+5x+6 a zero, temos uma equação do 2º grau com as raízes -2
e -3, e pode ser escrita como (x+2).(x+3). Assim:
lim
x x
x
lim
x x
xx x→− →−
+ +
+
=
+( ) +( )
+
+(
2 2
5 6
2
2 3
2
²
, simplificando x 2)) +( )
→−
temos, lim x
x 2
3
Fazendo a substituição direta x = –2,
lim x
x→−
+( ) =
2
3 1
b) Estudar o comportamento da função é calcular o limite tendendo a 3:
lim
²
x
x x
x→
+ +
+3
5 6
2
Como x = 3 pertence ao domínio da função f x
x x
x
( )
²
=
+ +
+
5 6
2
, então, para calcular o limi-
te dessa função quando x tende a 3, basta substituir x=3 na função e o valor do limite
será o valor de f(x) encontrado:
lim
² ( )² .
lim
²
x x
x x
x
x x
x→ →
+ +
+
=
+ +
+
= =
+ +
+
=
3 3
5 6
2
3 5 3 6
3 2
30
5
6
5 6
2
6ou
Ao calcular um limite, estamos analisando o comportamento da função nas proximi-
dades de um determinado valor de x, seja este valor pertencente ao domínio da fun-
ção ou não. Para situações em que o ponto observado pertence ao domínio da fun-
ção, existe o limite e, já que ele é finito, podemos utilizar as propriedades de limites.
4.1.2 LIMITES E PROPRIEDADES
As propriedades de limites ampliam nossos recursos para obtermos o valor de limi-
tes algebricamente,o que será útil para o cálculo de limites mais complexos. Assim,
consideremos as funções f(x) e g(x), e suponha que existam e sejam finitos os limites
lim ( ) lim ( )
x a x a
e
→ →
= =f x L g x L
1 2 = em que L1 e L2 são números, então:
152
CÁLCULO I
SUMÁRIO
PROPRIEDADE EXEMPLO
1) Limite de uma constante
lim
x a
→
=K K , em que K ∈ ℝ
lim
x 1
→
=3 3
2) Limite da soma
lim ( ) ( ) lim lim
x a x a x a
1
f(x) g(x) L
→ → →
+[ ]= + = +f x g x L2
lim x lim x lim x
x x x→ → →
+ = +
2
3
2
3
2
5 4 5 4x
lim x
x→
+ == ( ) + ( ) =
2
3
5 4 5 2x ³ 4 2 48
3) Limite da diferença
lim f x g x lim x lim x
x a x a x a→ → →
( )− ( ) = ( ) − ( )f g
lim f x g x L L
x a→
( )− ( ) = −1 2
lim x lim x lim
x x x→ → →
− = − = ( ) − =
1 1 1
3 2 3 2 3 1 2 1² ² ²
4) Limite do produto
lim ( ). ( ) lim . lim .
x a x a x a
1
f(x) g(x) L
→ → →
[ ]= =f x g x L2
lim x lim lim x
x x x→ → →
= = ( ) = =
4 4 4
3 3 3 4 3 16 48² . ² . ² .
5) Limite do quociente
lim
( )
lim
lim
.
; lim
x a
x a
x a
1
x a
g(x)
f(x)
g(x)
L
g(x)
→
→
→
→
= = ( )f x
L
2
≠≠ ≠0 0
2
;L
(exceto quando o limite do divisor for igual a zero).
lim
x x
x
lim x x
limx
x
x
→
→
→
− +
−
=
− +
−
=
( ) − +
−
=
−
8
8
8
5 3
7
5 3
7
8 5 8 3
8 7
64 4
²
²
² .
x
00 3
5
27
5
+
=
6) Limite de uma potência
lim ( ) lim
x a x a
n
f(x)
→ →
[ ] =
= [ ]f x Ln n1
lim x lim x
x x→− →−
+
= +
=
−( ) +
= [ ] =
1
3
2
1
3
2
3
2
2
4 4
1 4 3 9
7) Limite de uma raiz
lim f x lim f X L
x a
n
x a
n
n
→ →
= = ≥( ) ( ) �
1 1
0, se L
∈ N* ou seL1 ≤ 0 e n é ímpar
lim x lim x
x x→ →
+ = + =
( ) + = =
5
3
5
3
23 3
2 2
5 2 27 3
² ²
8) Limite do Logaritmo
lim l x l lim f x
lim f x
x a
b b
x a
x a
→ →
→
=
< ≠ >
og f og
com b e
( ) ( ),
( )0 1 0
lim l l lim x x
l lim l
x x
x
→ →
→
+( ) = +( ) =
+( ) =
2
4 4
2
4
2
4 4
2 4 2
og x x og
og og
³ ³
³ .
44
2
4
2
8 8
8 8
lim
l lim
x
x
→
→
+( ) =
+( )og
Fonte: Elaborado pela autora.
Em geral, as regras para os cálculos são simples, e a maioria dos limites dos quais
precisamos podem ser obtidos por análise gráfica, aproximação numérica, utilizando
algum método algébrico (substituição, fatoração, multiplicação pelo conjugado) ou
pela combinação desses.
153
CÁLCULO I
SUMÁRIO
4.1.3 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
O termo contínuo, em matemática, tem praticamente o mesmo significado que uti-
lizamos no dia a dia. Assim, dizer que uma função f é contínua para x=a significa que
não há interrupção do gráfico em x=a. Isto é, o gráfico não é quebrado em a, não há
buracos, saltos ou intervalos como no gráfico abaixo:
FIGURA 80 - FUNÇÃO DESCONTÍNUA PARA ALGUNS VALORES DO DOMÍNIO
f(x)
5
3.5
3
3-2-3 x
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assim, podemos identificar que:
• Um polinômio é contínuo em toda parte.
• Uma função racional f x
P x
Q x
( )
( )
( )
= em que P(x) e Q(x) são polinômios é contínua
em cada ponto em que o denominador não se anula, isto é, Q(x) =0 e tem des-
continuidades nos pontos em que o denominador é zero.
154
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 81 - GRÁFICO DA FUNÇÃO f x
x x
x
( )
²
=
+
+
2
2
2
2²)(
+
+
=
x
xxxf
y
0
-1
-2
-4
-3
x
654321-1-2-3-4 0
1
2
3
4
5
6
7
8
A função é do tipo racional.
Observe que há uma restrição no domínio
dessa função quando x=-2. Este valor
torna o denominador do polinômio que
representa a função igual a zero.
Note que, para um valor diferente de x = 2,
a função apresenta continuidade, isto é,
x = 3 pertence ao domínio da função e, se
substituirmos esse valor na função,
encontramos f(3) = 3.
2
2²)(
+
+
=
x
xxxf
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que as funções definidas acima são caracterizadas como funções definidas
por partes, ou seja, a função é composta por diversas funções definidas por intervalos
do domínio. A primeira, f(x), apresenta descontinuidade quando x = 2, mesmo que
ele esteja definido no domínio. A segunda, g(x), mesmo sendo definida por duas leis
diferentes, não apresenta descontinuidade.
Assim define-se uma função f como contínua em x=b se as seguintes condições esti-
verem satisfeitas:
1. f(b) está definida (ou seja, b pertence ao domínio da função)
2. lim
x
f(x)
→b
(os limites laterais são iguais)
3. lim
x
f(x) f(a)
→
=
a
A função f x x( )= +1 não está definida para valores que tornam x + 1< 0 , pois no con-
junto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo.
155
CÁLCULO I
SUMÁRIO
A terceira condição resulta das outras duas e esclarece que o cálculo do limite de
uma função em um determinado pode ser realizado por substituição direta na fun-
ção se neste ponto a função for contínua.
As descontinuidades aparecem em grande parte dos fenômenos que ocorrem em
nosso dia a dia e podem ser modeladas através de funções, muitas delas definidas
por partes.
4.1.4 LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
Vimos até agora exemplos de situações que o limite da função tendendo a um x
qualquer será um valor determinado, mas ocorrem situações em que se observa que
o valor da imagem ao se aproximar de um determinado domínio será ilimitado, ou
seja, assumirá valores que crescem arbitrariamente (tenderá ao mais infinito) ou valo-
res que decrescem ilimitadamente (tenderá a menos infinito). Veja o exemplo:
Vamos calcular lim
xx→ −3
1
3
Se realizarmos a substituição direta, teremos que:
lim
xx→ −
=
3
1
3
1
0
Como não podemos realizar uma divisão por zero, o limite incorre em uma indeter-
minação, logo não conseguiremos calculá-lo dessa maneira. Vamos, portanto, utilizar
a tabela com os valores x se aproximando de 3.
156
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 82 - COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO f x
x
( ) =
−
1
3
PARA VALORES DE X
SE APROXIMANDO DE 3
x
7654321
1
2
3
4
y
-1
-2
-3
12 0
Assíntota vertical
Valores de x 2,7 2,8 2,9 2,99 3 3,0001 3,001 3,01 3,1
F(x) -3,33 -5 -10 -100 10000 1000 100 10
Fonte: Elaborada pelo autor.
O Símbolo � não e um valor numérico. Ele representa o conceito que os
valores crescem indefinidamente (+�) ou decrescem ilimitadamente (-�).
157
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Perceba que o limite da função ao se aproximar de 3 está crescendo ilimitadamente
à direita e decrescendo ilimitadamente à direita, ou seja, os limites laterais tendem
para o infinito. Vale ressaltar que, neste caso, não existe o limite da função quando x
se aproxima de 3, pois os limites laterais são diferentes.
Existem casos em que, ao fazermos os valores de x crescerem ou decrescerem de
forma ilimitada, vamos verificar que o limite da função tenderá a um valor. Veja os
exemplos:
1º - Vamos calcular lim
xx→+∞ −
1
3
Vamos verificar o que acontece com os valores da função quando os valores de x
crescem:
FIGURA 83 - COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO f x
x
( ) =
−
1
3
PARA VALORES DE X
CRESCENDO ILIMITADAMENTE
x
7654321
1
2
3
4
y
-1
-2
-3
12 0
Assíntota Horizontal
Valores de x 5 10 100 1000 10000
F(x) 0.5 0,143 0,0103 0,0001 0,00001
Fonte: Elaborada pelo autor.
158
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1º - Vamos calcular lim
xx→−∞ −
1
3
Vamos verificar o que acontece com os valores da função quando os valores de x de-
crescem:
FIGURA 84 - COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO f x
x
( ) =
−
1
3
PARA VALORES DE X
DECRESCENDO ILIMITADAMENTE
x
7654321
1
2
3
4
y
-1
-2
-3
12 0
Assíntota Horizontal
Valores de x 2 -10 -100 -1000 -10000
F(x) -1 -0,143 -0,0103 -0,0001 -0,00001
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assim, perceba que, quando os valores de x crescem ou decrescem ilimitadamente,
o valor da função tende a zero.
Em muitas situações queremos saber como a função se comporta quando os valo-
res do domínio crescem ou decrescem ilimitadamente. Por exemplo, em estudo de
processos em que se necessita saber o desempenho ou desenvolvimento de algo em
um período muito longo.
159
CÁLCULO I
SUMÁRIO
4.2 DERIVADA - INTRODUÇÃO
O comportamentode uma função pode ser variável em todo o seu domínio. Neste
sentido, ao realizar o estudo de uma situação representada por uma função em um
determinado intervalo, estamos analisando o valor da variação (taxa de variação) das
grandezas. Mas, afinal, o que queremos dizer quando nos referimos a uma taxa de
variação? A taxa de variação é a razão que uma grandeza varia em relação a outra.
Assim vamos observar o exemplo:
A produção de um determinado tipo de sapato tem um custo fixo de R$ 20,00 mais
R$ 4,00 por peça produzida, assim, a função Custo desta situação pode ser descrita
pela expressão C(x) = 20 +4x e representada no gráfico abaixo. Para esta situação,
pode ser feito o seguinte questionamento: para uma produção entre 10 e 15 sapatos,
qual é o valor médio (taxa média de variação) do custo?
FIGURA 85 - TAXAS DE VARIAÇÕES DA FUNÇÃO C(X)=20 +4X
C(x)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0-5 5 10 15 20 25
x
ΔC (Variação em C) = 20
ΔC=80-60
Δx (Variação em x) = 5
Δx=15-10=5
Fonte: Elaborada pelo autor.
160
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Neste intervalo, o custo para 10 sapatos tem um valor de R$ 60,00, e o custo para 15
sapatos tem um valor de R$ 80, portanto houve variação R$ 20,00 (utilizamos o sím-
bolo ∆ para indicar variação) quando variou a produção em 5 sapatos.
A taxa de variação média, então, será a razão entre as variações, ou seja, ∆
∆
= =
C
x
20
5
4 .
Assim, temos um custo médio de R$ 4,00 por sapato fabricado no referido intervalo.
Podemos observar que a função c(x) é uma função polinomial do 1º grau e apresen-
tará em qualquer intervalo considerado a mesma taxa de variação média. Mas, com
outros tipos de funções nem sempre se observará uma situação parecida. Vamos
analisar uma função polinomial do 2º grau:
Suponha que a posição de um móvel em relação ao tempo pode ser descrita, em um
intervalo, pela função P=t²:
FIGURA 86 - TAXAS DE VARIAÇÕES DA FUNÇÃO P=T²
38 P(m)
t(s)
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-2
Δ(Variação em P) = 20
ΔC=36-16=20
ΔP (Variação em P) = 12
ΔC=16-4=12
Δt = 2 Δt = 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
161
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Observe que no intervalo entre 2 e 4 segundos a variação da posição foi de 12 m e,
no intervalo entre 4 e 6 segundos, a variação da posição foi de 20 m. Se calcularmos
a taxa de variação média para esses intervalos, o primeiro terá uma taxa de 6 metros
por segundo e o outro, 10 metros por segundo. Portanto, temos que, para uma mes-
ma variação de tempo, encontra-se taxas médias diferentes.
Perceba que estamos calculando a variação em dois pontos, mas e se precisássemos
saber a variação em um dado instante de tempo, ou a variação instantânea, como
poderíamos fazer esse cálculo?
Quando calculamos a taxa de variação média, utilizamos dois pontos do gráfico, por
onde passa uma reta secante a curva, conforme a figura abaixo:
FIGURA 87 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
Reta tangente a curva
x
xx0
A
Bf (x)
f (x0)
y
α
Reta secante a curva
β
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mas, se calcularmos a taxa de variação com um ponto B cada vez mais próximo de
A, de forma que a distância entre x0 e x se aproxime de zero, teremos a variação no
ponto A. Perceba que estamos falando do conceito de limite, ou seja:
lim
f x f x
x xx x→
( )−
−0
0
0
( )
162
CÁLCULO I
SUMÁRIO
O valor do limite encontrado é a derivada da função no ponto A, ou em x0. Observan-
do as retas, temos que, ao aproximarmos o ponto B de A, a reta tocará a curva em um
único ponto, tangenciando-a. O valor da derivada encontrada também será o valor
do coeficiente angular da reta tangente.
CONCLUSÃO
Uma função pode ser variável em todo o seu domínio e apresentar pontos em que
não pode ser definida. Assim, para o estudo do comportamento de funções, vimos
nesta unidade dois conceitos que nos servem como ferramentas sofisticadas que nos
permitem realizar um estudo detalhado das funções, limite e derivada.
O conceito de limite trabalha com a verificação do comportamento de uma função
ao se aproximar de um determinado valor, mas sem incluí-lo. Dessa forma, a função
pode não ser definida para um determinado valor do domínio, e podemos calcular
o seu limite. Também pode-se observar o que acontece com a função quando os
valores do domínio crescem ou decrescem ilimitadamente, situação que pode ser
aplicada em casos de estudo de processos em que se necessita saber o desempenho
ou desenvolvimento de algo em um período muito longo.
Vimos que nem sempre conseguimos definir o valor do limite em casos de descon-
tinuidades da função. Assim, para situações em que o ponto observado pertence ao
domínio da função, existe o limite, que é finito e para o qual podemos utilizar as pro-
priedades de limites. Conhecer as propriedades e realizar o cálculo do limite algebri-
camente se faz necessário, pois nem sempre é possível definir o limite de uma função
utilizando as informações por amostragem como foi feito com os exemplos que usa-
ram as tabelas e por análise gráfica. Esse fato pode ocorrer já que a escolha das amos-
tras pode não ser representativa e visualmente, dependendo da capacidade gráfica
do software, não conseguimos realmente perceber qual será o verdadeiro comporta-
mento da função, e assim realizamos uma interpretação errônea. Para realizar o cálcu-
lo do limite, podemos precisar utilizar algum método algébrico como a substituição,
fatoração, multiplicação pelo conjugado ou fazer uso de combinações desses.
163
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Por fim, foi apresentada a interpretação geométrica do conceito de derivada como a
taxa de variação instantânea da função ou o coeficiente angular da reta tangente à
curva em um ponto do domínio. A interpretação dos valores dessa variação instantâ-
nea apresenta várias aplicações em diversas áreas.
164
CÁLCULO I
SUMÁRIO
OBJETIVO
Ao final desta
unidade,
esperamos
que possa:
> Calcular derivadas a
partir da definição.
> Aplicar as regras de
derivação para o
cálculo da derivada.
UNIDADE 5
165
CÁLCULO I
SUMÁRIO
5 DERIVADA E REGRAS DE
DERIVAÇÃO
Vivemos em um mundo complexo e cheio de mudanças. Essa complexidade pode
ser percebida pela quantidade de variáveis que envolvem a descrição de um proble-
ma, e muitas vezes não conseguimos mensurar nem explicitar todas as dimensões
que o envolvem. A representação desses fenômenos em matemática é feita pelas
funções, que são modelos aproximados do real, mas não o real. As funções, por sua
vez, são descritas por gráficos, tabelas e expressões que nos dão a impressão de se-
rem estanques, ou seja, nos dão uma ideia de previsibilidade, mas podem descrever
o mundo real e tão dinâmico. Contrapondo essa forma estática, surgem os conceitos
de taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Mas, o que queremos dizer
quando nos referimos a uma taxa de variação? A taxa de variação é a razão que uma
grandeza varia em relação à outra.
De certa forma, podemos dizer que as taxas de variação são as mudanças ocorridas
em frações diminutas de uma grandeza em relação a outra. Por exemplo, o processo
de colocar uma panela com água no fogão para aquecer envolve algumas grandezas,
como a massa da quantidade de água e a quantidade de energia transferida pela
chama do fogão em forma de calor. Cada pequena quantidade de energia transferi-
da provoca uma variação na quantidade de energia da massa de água, provocando
um aumento em sua temperatura. Portanto, ao interpretar e realizar os cálculos des-
sas pequenas mudanças, estamos trabalhando com o conceito de derivada. Vamos,
então, compreendê-la e defini-la, além de estudar as regras de derivação que nos
auxiliam no cálculo do seu valor.
166
CÁLCULO I
SUMÁRIO
5.1 DERIVADA – DEFINIÇÃO
A derivada nos permite verificar um comportamento pontual da função em um de-
terminado local. Assim, temos como definição:
A derivada da função f(x), definida em um intervalo real aberto,é a função indicada
por f´, sendo que seu valor em qualquer ponto x0 do domínio é dado pelo limite,
se existir e for finito:
f x lim
f x f x
x xx x
´
( )
0
0
0
0
( ) = ( ) −
−→
A interpretação geométrica da derivada de uma função f(x) é a de que, quando existe,
f´(x0) fornece o valor do coeficiente angular da reta tangente ao ponto xo no gráfico
de f(x).
f x tg´
0( ) =
Há algumas notações utilizadas para representar a derivada de uma função y = f(x).
Além de f´(x), a derivada de f poderá ser indicada (as mais comuns), como:
f x ou y Df x D f x
x
' ', , , ,,
( )( ) ( ) ( )df
dx
dy
dx
df x
dx
Um objeto cai de um prédio de 15 metros de altura. Desprezando a resistência do ar,
temos a equação da altura em relação ao tempo dada por y = –8t² + 30, com valores
t > 0 e t em segundos. Quando calculamos a variação da altura em um intervalo de
tempo, estamos calculando a velocidade média. Assim, vamos determinar as veloci-
dades médias nos intervalos de tempo [0;0,5],[0,5;1] e [1;1,5],[1,5,2] na figura a seguir:
167
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 88 -
∆h1 = -2 m
∆h2=-6 m
∆h3=-10 m
t
2.521.510.50
5
10
15
20
25
30
h
∆t1
∆t2 ∆t3
∆h4=-12 m
∆t4
Intervalos Velocidade média (vm)
[0;0,5]
[0,5;1]
[1;1,5]
[1,5,2]
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os cálculos feitos mostram a velocidade média em intervalos do movimento, mas para
sabermos o valor da velocidade especificamente em um instante de tempo, temos
que utilizar o conceito de derivada. Assim, vamos calcular a derivada utilizando o limite
no ponto de abscissa igual a 1, ou seja, quando o t = 1, qual é o valor da velocidade?
Assim, utilizando o conceito de derivada, temos:
f x lim
f x f x
x xx x
´
( )
,
0
0
0
0
( ) = ( ) −
−→
No caso, x é simbolizado por t, temos que:
f(t) é a função, ou seja, f(t)= –8t2 + 30
e f(t0) é a função no ponto to, como t0 =1, f(1) = –8*(1)
2 + 30 = 22
Substituindo os valores:
f t lim
f t f t
t tt t
´
( )
0
0
0
0
( ) = ( ) −
−→
f lim
t
tt
´ 1
8 30 22
11
2
( ) = − + −
−→
168
CÁLCULO I
SUMÁRIO
f lim
t
tx
´ 1
8 8
11 1
2
( ) = − +
−→
, se fizermos substituição direta, teremos uma indeterminação 0/0.
Portanto, se dividirmos os polinômios –8t² + 8 por t–1, teremos (–8t –8) . (t–1) no nume-
rador:
f lim
t
t
lim
t t
tx x
´
( )( )
( )
1
8 8
1
8 8 1
11 1
2
1 1
( ) = − +
−
=
− − −
−→ →
simplificando o fator (t-1), temos
f lim t
x
´ 1 8
1 1
( ) = −
→
substituindo t=-1
´ /1 8 1 8 16
1 1
( ) = − ( ) − = −
→
lim
x
m s
Logo, no instante em t = 1s, a velocidade do objeto em queda será de -16 m/s.
Esse valor –16 é chamado de taxa instantânea de variação da função f(t)= –8t2 + 30, no
ponto onde t = 1.
FIGURA 89 - RETA TANGENTE À CURVA NO PONTO ONDE T = 1
t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
30
h
25
20
15
10
5
Fonte: Elaborada pelo autor.
169
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Há várias situações em que necessitamos saber a taxa de variação instantânea, por
exemplo, em uma colisão entre dois carros, o estrago depende da velocidade ins-
tantânea no momento do impacto, e não da velocidade média do trajeto por eles
percorrido.
Mas nem sempre podemos encontrar a taxa de variação instantânea, ou seja, a de-
rivada. Temos que uma função tem derivada para os valores de x0 em que se pode
traçar uma reta tangente. Entretanto, nem toda curva admite retas tangentes em
todos os pontos. Não existe derivada nos pontos de descontinuidades (“saltos”), nem
mudança brusca de direção quando o gráfico apresenta um “bico”.
FIGURA 90 - PONTOS ONDE A FUNÇÃO NÃO É DERIVÁVEL
y
8
6
4
2
0-2 2 4 6 8
x
onte: Elaborada pelo autor.
Assim, podemos observar na figura acima que f não e derivável para x=0, pois há um
bico, nem em x = 3, pois há uma descontinuidade neste ponto. Além dessas situa-
ções, pode ocorrer que, ao aproximar de um ponto x0, o limite tenda a +∞ ou a -∞,
ou não haja limite algum, então dizemos que a função não é derivável neste ponto.
A função derivada
O que buscamos quando calculamos a derivada é a taxa de variação instantânea que
encontramos calculando o limite da razão entre as variações de x e y, tendendo a
zero. O que ocorre é uma aproximação ao ponto desejado de x até que essa distância
seja bem pequena, ou seja, ∆x → 0.
170
CÁLCULO I
SUMÁRIO
f x lim
y
x
lim
f x x f x
xx x
´
( )( ) = ∆
∆
=
+( )−
→ →0 0
0 0
Em que:
∆y = f(x + ∆x)-f(x)
∆x é um incremento, uma pequena variação próxima ao ponto em que se deseja
calcular a derivada.
f x lim
f x h f x
hh
´
( )( ) = +( )−
→0
Podemos determinar a derivada sem especificar o ponto x0, ou seja, determinar a
função f´(x), com seu valor em qualquer ponto x0 do domínio de f(x). Para isso, va-
mos simplificar a notação da fórmula do cálculo da derivada substituindo ∆x por h e,
assim, teremos:
f x lim
f x h f x
hh
´
( )( ) = +( )−
→0
Exemplo 1: vamos utilizar a função do exemplo anterior f(x) = –8x = + 30 para calcular
a sua função derivada.
f(x) = –8x = + 30
f(x + h) = –8(x + h)2 + 30, substituímos x+h no lugar de x na função f(x) e vamos desen-
volver (x + h)2 = x2 + 2xh + h2
f(x + h) = –8.( x2 + 2xh + h2) + 30
f(x+h)=-8x²-16xh-8h²+30, vamos substituir essa expressão na definição de derivada
f x lim
f x h f x
hh
´
( )( ) = +( )−
→0
171
CÁLCULO I
SUMÁRIO
f x lim
x xh h f x
hh
´
( )( ) = − − + + −
→0
2 2
8 16 30 , lembrando que f(x) = –8x2 + 30, temos:
f x lim
x xh h x
hh
´( ) = − − + + + −
→0
2 2 2
8 16 30 8 30 , somando os termos
f x lim
xh h
hh
´( ) = − +
→0
2
16 , ainda não podemos calcular o limite por que há uma indeter-
minação e temos que eliminá-la antes. Para isso, vamos colocar h em evidência no
numerador.
f x lim
h x h
hh
´
.( )( ) = − +
→0
16 , simplificando h por h
f x lim x h
h
´( ) = − +
→0
16 , calculando o limite, temos:
f´(x) = –16x
Essa é a função que nos dará a derivada de qualquer ponto da função f(x) = –8x2 + 30.
Portanto, se quisermos saber o valor da derivada da função quando x = 1,5, é só subs-
tituir esse valor na função derivada encontrada:
f´(x) = –16x
f´(1,5) = –16 . (1,5) = –24
Exemplo 2: determine a reta tangente à parábola y = 3x2 + x no ponto de abscissa
x0 = 2.
Para determinar a reta tangente, temos que encontrar o coeficiente angular desta
reta, ou seja, f´(x) em x = 2. Assim, vamos encontrar primeiro a função derivada:
f(x)= 3x2 +x
f(x+h) = 3x2 + 6xh + 3h2 + x + h, substituindo na definição de derivada
f x lim
x x
hh
´( ) = + + + + − −
→0
2 2 2
3 6 3 3x xh h x h
172
CÁLCULO I
SUMÁRIO
f x lim
hh
´( ) = + +
→0
2
6 3xh h h
f x lim
hh
´
.( )( ) = + +
→0
6 3 1h x h
resolvendo o limite teremos:
f´(x) = 6x + 1
Tendo a função derivada, vamos encontrar o valor da derivada no ponto x = 2:
f´(x) = 6x + 1
f´(2) = 6 . 2 + 1
f´(2) = 13
Agora já temos o coeficiente angular da reta tangente e vamos encontrar a sua equa-
ção, mas antes temos que encontrar a imagem no ponto onde x0 = 2, ou seja,
f(x) = 3x2 + x:
f(2) = 3 . (4) + 2 = 14
Agora, vamos substituir na equação
y – f(x0) = f´(x0)(x – x0)
y – 14 = 13. (x –2)
y – 14 = 13x –26
y = 13x – 12
173
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 91 - F(X) = 3X2 + X E A RETA TANGENTE NO PONTO DE ABSCISSA 2
y
60
50
40
30
20
10
0 1 2 3 4 5 6
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
5.2 DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Algumas regras nos permitem facilitar o cálculo da derivada de uma função f(x).
Vejamos algumas derivadas fundamentais:
Derivada da função Constante
Se k é uma constante e f(x) = k para todo x real, temos f´(x) = 0.
1 – f(x) = 6 → f´(x) = 0
2 – f(x) = –3 → f´(x) = 0
3 f x f x− ( ) = ( ) =→2 0´
174
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Derivada da função Identidade
Se na função afim f(x) = ax + b fizermos a = 1 e b = 0, teremos uma função identidade
f(x)=x e sua derivada será dada por:
f(x) = x, temos f´(x) = 1
Derivada da função Potência
Se f(x) = xn, com n � R, então f´(x)= n. xn–1.
1 – f(x) = x6 → f´(x) = 6.x6–1 = 5.x5
2
2
3
2
3
2
3
2
3
1
5
3− = → = − = −
− − − −
f x f x( ) '( ) . .x x x
3 fx f x− ( ) = ( ) = =→
−
x x
x
3
1
3
1
23
1
3
1
3
´ .
Derivada do produto de uma constante por uma função
Se h(x) = k.f(x), sendo k uma constante e f(x) é derivável, então h´(x) = k.f´(x).
1– h(x)=3x2 → f´(x) = 3 . 2x2-1 = 6x
2 g x f x− ( ) = ( ) =→5
3
5
3
x ´
175
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para saber mais sobre as derivadas da função y=senx e y=cosx, pesquise na
internet sobre a demonstração da derivada da função seno e da função cos-
seno.
Derivada da função f(x)=senx
Se f(x)=senx, então f`(x)=cosx.
1– f(x) = –3 . senx → f´(x) = –3 . cosx
2
3
2
3
2
− ( ) = ( ) = −→f x senx f x cosx´ .
Derivada da função f(x)=cos(x)
Se f(x)=cosx, então f`(x)=-senx.
1 – f(x)= 5cosx → f´(x) = –5senx
2 f x cosx f x senx− ( ) = ( ) = =− →4
3
4
3
´ ) �
Derivada da soma ou diferença de funções diferenciáveis
A derivada da soma é igual à soma das derivadas.
Se h(x) = f(x) +g(x), então h´(x) = f`(x) +g`(x).
176
CÁLCULO I
SUMÁRIO
A derivada da diferença é igual a diferença das derivadas.
Se h(x) = f(x) –g(x), então h´(x) = f`(x) –g`(x).
1 - Dada a função f(x)=3x²+2x+4, calcule f´(-1)
f´(x) = (3x²)´+ (2x)´ + (4)´
f`(x) = 6x + 2 + 0
f`(x) = 6x + 2
Encontrada a função derivada, vamos calcular f´(–1).
f´(–1) = 6 . –1 + 2 = –4
2 f x 2 senx cosx− ( ) = − +. 2
3
f x 2 senx cosx´ . ´ ( )`( ) = −( ) + 2
3
f x 2 cosx senx` .( ) = − − 2
3
5.3 REGRAS DE DERIVAÇÃO
As regras de derivação abaixo nos permitem calcular com relativa facilidade as deri-
vadas de polinômios, funções racionais, funções exponenciais e funções logarítmicas.
Usamos essas regras para resolver problemas envolvendo taxas de variação e aproxi-
mação de funções:
177
CÁLCULO I
SUMÁRIO
5.3.1 DERIVADA DO PRODUTO E QUOCIENTE
Derivada do produto
Seja f(x) = g(x) . h(x).
“A derivada da primeira vezes a segunda mais a derivada da segunda vezes a primeira”.
Se existem as derivadas: g’(x) e h’(x), então:
f’(x) = g’(x).h(x) + g(x).h`(x)
Derive:
a) f(x) = (2x3 – 7x).(7 – x)
f ’(x) = (6x2 –7)(7 – x) + (2x3 –7x).(–1) = 42x2 – 6x3 – 49 +7x
b) f(x) = 4x.(3x–1)(2x+3)
Vamos multiplicar as duas primeiras para facilitar a operação:
f(x) = (12x2 –4x).(2x+3)
Agora aplicar a regra
f´(x)=(24x-4).(2x+3) +(12x²-4x).(2)
f´(x)=48x2 + 72x – 8x – 12 + 24x2 – 8x
f´(x) = 72x2 + 56x – 12
Derivada do quociente de duas funções
f x
g x
h x
( ) = ( )
( )
; se existirem as derivadas de g`(x) e h`(x), então:
f x
g x h x g x h x
h x
´
´ . . ´( )
( )²
,( ) = ( ) ( ) − ( )( ) ( )
≠ para h x 0
178
CÁLCULO I
SUMÁRIO
1 - Dada a função f x
x
x
( ) = −
−
2 6
1
2
, determinar f´(2):
Pelos dados, temos que: g(x) = 2x –6 → g`(x) = 2
h(x) = x2 –1 → h`(x) = 2x
Logo:
f x
g x h x g x h x
h x
´
´ . . ´( )
( )²
( ) = ( ) ( ) − ( )( )
, temos:
f x
x x x
x
´
. .( )
( )²
( ) =
−( ) − −( )
−
2 1 2 6 2
1
2
2
f x
x x
x x
´
²
( ) = − −
− +
2 26
2 1
2
4
2 - Determinar a derivada f(x)=tgx
Relembrando que f x tgx
senx
cosx
( ) = =
Assim, temos um quociente, aplicando a regra:
f x
g x h x g x h x
h x
´
´ . . ´( )
( )²
( ) = ( ) ( ) − ( )( )
Temos:
f x
cosx cosx senx senx
cosx
´
. .
( )²
( ) = − −
f x
cos x sen x
cosx
´
² ²
( )²
( ) = +
179
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Sabendo que cos2 x + sen2 x = 1
f x
cosx
sec x´
( )²
²( ) = =1
Assim, f(x) = tgx → f´(x) = sec²x
Muitas vezes, conhecer os produtos notáveis pode facilitar o cálculo de deri-
vadas e simplificação de funções. Portanto, pesquise na internet sobre pro-
dutos notáveis e fatoração.
5.3.2 REGRA DA CADEIA OU DERIVADA DA FUNÇÃO
COMPOSTA
As regras de derivação discutidas até agora não são suficientes para calcular todas as
derivadas que surgem na prática. A regra da cadeia é aplicada em funções que são
escritas por uma composição de mais funções.
Você pode encontrar no YouTube uma boa explicação sobre:
Funções – Funções compostas (composição de função) – Mais Matemática,
do professor Ferreto.
Regra da cadeia na série de vídeos sobre Cálculo 1 – LCMAquino – regra da
cadeia.
180
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Por exemplo, dada a função f(x) = 3x +1 e g(x) = x², podemos ter uma função composta
destas duas funções descrita da seguinte forma:
h(x) = g(f(x)), veja que x na função g(x) é substituído pela função f(x) então h(x) será:
h(x) = (3x+1)² e h(x) é uma função composta da função g(x) e f(x).
Vejamos mais um exemplo: seja a função h x x( ) ( )= − −x 3 31 1 , temos uma h(x) = g(f(x))
é uma função composta da função g x e f x x 1( ) = ( ) = −x , ³ .
Para derivar essas funções, utilizamos a regra da cadeia. Sendo h(x) = f(g(x)), sendo f(x)
e g(x) funções deriváveis, calculamos a derivada de h(x) da seguinte maneira:
h'(x) = f'(g(x))g'(x)
Função de dentro
Função de fora
A derivada da função composta é o produto das derivadas das funções de dentro e
de fora, com a função de fora calculada com a função de dentro.
Também temos a seguinte notação para a regra da cadeia:
dy
dx
dy
dz
dz
dx
= .
f '(x) = (derivada de y em relação a z) . (derivada de z em relação a x)
1 – Calcular a derivada da função f(x) = (x² + 4)10
Temos que f(x)=g(h(x)), onde h(x) = x² + 4 e g(x) = x10 , utilizando a regra da cadeia para
calcular a derivada de f(x), temos:
f'(x) = g'(h(x))h'(x) ,
181
CÁLCULO I
SUMÁRIO
onde g`(x)=10.x9 , como o valor de x na função g(x) é h(x) temos g`(x) = 10 . (x² + 4) 9
h´(x)=2x
Assim,
f´(x)= 10 . (x² + 4) 9 . 2x
f´(x) = 20x ( x² + 4) 9
2 – Calcular a derivada y = sen(x²)
Temos que f(x) = g(h(x)), onde h(x) = x² e g(x) = senx, utilizando a regra da cadeia para
calcular a derivada de f(x), temos:
f´(x) = g´(h(x))h´(x) ,
onde g`(x)=cosx ,
h`(x)=2x
Assim,
f´(x)= cos( x²).2x
5.3.3 DERIVADA EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Derivada da função exponencial:
Se f(x)=ax então f´(x) = ax lna, para a ϵ R, a > 0 e a ≠ 1
f(x) = 2x → f´(x)= 2x . ln2, onde ln é o logaritmo natural, ou seja, ln 2 = loge 2
182
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Na função f(x) = ex a base é e ln e =1. Assim, temos sua derivada:
f’(x) = ex . lne = ex.1 , portanto f’(x) = ex
1 - f(x) = ex → f´(x) = ex
2 - f x e f x e xx x( ) ( ) .´( ) ( )= =+ +
2 2
1 1
2 (foi utilizada a regra da cadeia)
Derivada da função logarítmica:
A derivada do logaritmo natural é dada por:
f x f x( ) = ( ) =→lnx
x
´
1
Desse resultado obtemos a derivada de uma função logarítmica em qualquer base,
como:
Se f(x) = logb x , então f x´( ) =
1
x ln b
para x ϵ R*,e a ϵ R, b>0 e b ≠ 1
1 f x log3 f x− ( ) = → ( ) =´ 1
3 10ln
2 f x ln4 f x− ( ) = → ( ) =´ 1
4
183
CÁLCULO I
SUMÁRIO
5.3.4 DERIVADA TRIGONOMÉTRICA E DERIVADAS
SUCESSIVAS
Derivada trigonométrica
Usando a definição de função derivada, vamos encontrar a derivada das funções:
f(x) = senx → f´(x) = cosx
f(x) = cos(x) → f´(x) = –senx
E, em como já demonstrado em um exercício nesta unidade:
f(x) = tg(x) → f´(x) = sec²x
As demais funções trigonométricas podem ser escritas em relação ao seno e cosseno,
como segue:
cotgx
cosx
senx
; secx
cosx
cossecx
senx
= = =
1 1
;
Através dessas relações e utilizando as regras de derivação, podemos encontrar suas
derivadas. E assim, teremos:
f(x) = cotgx → f´(x)=-cossecx
f(x) = sec(x) → f´(x) = –secx . tgx
f(x) = cossec(x) → f´(x) = –cossecx . cotgx
1 - f(x) = 4cosx + senx → f´(x) = –4senx + cosx
2 - f(x) = –4x²cosx → f´(x) = –8xcosx + 4x²senx (resolvendo pela regra do produto)
184
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Derivadas sucessivas
Ao derivarmos uma função f(x), encontramos outra função f`(x). Se essa função for
derivável, podemos encontrar a derivada dela f´´(x), que chamaremos de derivada
segunda de f(x). Podemos continuar o processo de derivação sucessiva enquanto as
funções forem diferenciáveis. Assim, temos como exemplo:
Se f(x) = 5x4 + 2x3, então:
f x x x ou'
2
( )= +20 63
dy
dx
(derivada primeira)
f x x x ou´`( )= +60 122
dy
dx
(derivada segunda)
f x x ou´``( )
²
²
= +120 12
d y
dx
(derivada terceira)
f x 12
4( ) ( ) = 0
4
4
d y
dx
(derivada quarta)
f x
( )
( )
5
5
5
0=
d y
dx
(derivada quinta)f x ou
n
( )
d y
dx
n
n
(derivada enésima)
Temos como exemplo de derivação sucessivas o cálculo da velocidade, que é a deri-
vada primeira do deslocamento. Já a aceleração é a derivada da velocidade. Logo, a
aceleração é a derivada segunda do deslocamento. Veremos mais aplicações da deri-
vada segunda e das derivadas de ordens superiores na próxima unidade.
185
CÁLCULO I
SUMÁRIO
CONCLUSÃO
Nesta unidade desenvolvemos o estudo sobre derivada e suas regras operacionais.
Vimos que a derivada é considerada a taxa de variação instantânea das grandezas
relacionadas por uma função para um dado valor do seu domínio, ou seja, para uma
dada variação no domínio da função, esta provoca uma variação na sua imagem. Ao
trabalharmos com dois pontos do domínio e calcularmos essa variação entre eles,
teremos a taxa de média de variação e, ao aproximarmos esses dois pontos do domí-
nio de forma que a distância entre eles tenderem a zero, temos a variação instantâ-
nea. Dessa forma, o cálculo da derivada envolve uma aproximação infinitesimal, um
limite. Geometricamente, temos as taxas de variação média representadas por retas
secantes ao gráfico analisado. Ao calcularmos as inclinações das retas secantes em
intervalos cada vez menores, de forma a se aproximarem da reta tangente ao ponto
de referência, teremos a derivada. Esse, portanto, é um refinamento do conceito de
coeficiente angular da reta, mas que também é aplicado às curvas.
E assim, no desenrolar do conteúdo, foi apresentado que, pela definição de derivada,
podemos encontrar uma função que nos permite o cálculo da derivada em qualquer
ponto em que a função for derivável. No processo de derivação, vimos as derivadas de
algumas funções elementares e aprendemos que podemos utilizar regras, ou a com-
binação delas, o que nos permite simplificar o cálculo da derivada. Essas regras de
derivação visam entender uma função composta de outras funções como resultado
de operações entre funções elementares e determinar a derivada dessa função pelas
derivadas das funções mais simples, e a assimilação dessas regras nos permite uma
desenvoltura no cálculo de derivas.
Mas, afinal, para que serve a derivada?
Para medir mudanças, variações. Assim, a derivada nos permite responder questio-
namentos como:
Qual será a mudança provocada na corrente elétrica se for provocada uma pequena
variação na tensão elétrica? Qual era a velocidade de um automóvel antes do mo-
mento de colisão? Observamos, nesta situação, que a velocidade é uma grandeza
que encontramos a partir da variação do deslocamento em um intervalo de tempo
considerado e, neste caso, esse intervalo tem que tender a zero. Podemos, ainda, cal-
cular a aceleração, ou seja, a variação da velocidade – perceba que estamos falando
da variação da variação da função posição, ou seja, a derivada segunda.
186
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Há variações em toda parte: variação de bactérias que se proliferam a cada instante,
variação da temperatura, variação da receita, lucro e custo por unidades de produto,
etc. Dessa forma, pode-se perceber que os conceitos de derivadas podem ser aplica-
dos no estudo de várias áreas do conhecimento.
187
CÁLCULO I
SUMÁRIO
OBJETIVO
Ao final desta
unidade,
esperamos
que possa:
> Analisar o
comportamento de uma
função descrevendo
o seu crescimento
e decrescimento, os
valores máximos e
mínimos e esboço do
gráfico.
> Empregar os conceitos
de maximização
e minimização na
resolução de problemas.
> Apresentar o conceito
de integral como cálculo
de áreas.
UNIDADE 6
188
CÁLCULO I
SUMÁRIO
6 APLICAÇÕES DA DERIVADA
As pessoas e o mercado, de maneira geral, sempre buscam modos de otimizar as
coisas, ou seja, como encontrar a melhor maneira de realizar algo, a melhor rota com
menor custo, obter a máxima qualidade com a menor quantidade. Esses problemas
podem ser solucionados utilizando uma das aplicações do conceito de derivada. Para
exemplificar, vejamos uma situação:
Suponha que um fazendeiro possui 6.000 m de arrame e precisa cercar uma parte de
seu terreno em um formato retangular. Quais são as dimensões do terreno que tem
maior área possível?
Para resolver esse problema, devemos interpretar os dados e expressar as funções
que o determinam, no caso, temos a área a ser cercada e o perímetro. Perceba que
é desejado o máximo da área, portanto a função que desejamos maximizar será a
função área, sendo assim, essa deve se expressar em função somente de uma variável
ao ser relacionada como a função que descreve o perímetro.
Depois de definidas, utilizaremos os conceitos de derivadas e analisaremos seus pon-
tos críticos, que recebem essa denominação por representarem um ponto onde se
observa uma alteração no comportamento da função.
Assim, vamos estudar os conceitos que nos permitem a compreensão desse compor-
tamento, utilizando as informações que podemos obter pelo estudo das derivadas.
Aplicações de Derivadas
6.1 ANÁLISE DE FUNÇÕES – CRESCIMENTO E
DECRESCIMENTO
Ao descrever o comportamento de uma função, em um determinado intervalo, uti-
lizamos termos como crescente, decrescente e constante, e, ao analisar seu gráfico,
fazemos a leitura da esquerda para a direita.
189
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Dada a função f definida e contínua em um intervalo [0, b] e sejam x1, x2, x3
e x4 ponto
do intervalo e as retas r, s e t retas tangentes à curva do gráfico de f, podemos observar:
FIGURA 92 - COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO F E AS RETAS TANGENTES AO GRÁFICO F
f(x2)
f(x1)
0
f(x3) = f(x4)
x1 x2 x3
s
r
decrescente
constante
crescente
x4
x
t
b
Fonte: Elaborada pelo autor.
• A função é crescente no intervalo entre 0 < x < x2, e perceba que x1 e x2 perten-
centes a esse intervalo temos que f(x1) < f(x2) se x1 < x2. A reta r tangente a um
ponto desse intervalo tem inclinação positiva.
• A função é decrescente no intervalo entre x2 < x < x3, e perceba que f(x2) < f(x3) se
x2 < x3. A reta s tangente a um ponto desse intervalo tem inclinação negativa.
• A função é constante no intervalo entre x3 < x < x4, e perceba que f(x3) = f(x4) se
x3 ≠ x4. A reta t é paralela ao eixo 0x e a inclinação da reta é nula.
Teorema: seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável
no intervalo aberto (a,b):
(I) Se f’(x) > 0 para todo valor de x em (a,b), então f é crescente em [a,b].
(II) Se f’(x) < 0 para todo valor de x em (a,b), então f é decrescente em [a,b].
(III) Se f’(x) = 0 para todo valor de x em (a,b), então f é constante em [a,b].
190
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Exemplo 1: Encontre os intervalos nos quais f(x) = x² –6x + 7 onde a função é crescente
e os intervalos nos quais onde ela é decrescente.
Para encontrar esses intervalos, vamos analisar o sinal da função derivada de f(x), ou
seja, f´(x).
f´(x) = 2x –6
A função derivada é uma função polinomial do 1º grau. Vamos estudar o seu sinal:
FIGURA 93 - FUNÇÃO F(X)=2X-6
3
2
1
0
-1
1 2
+
-
3
fy
4 5 6 7
x
Para encontrar a raiz da
função, igualamos a zero:
2x-6=0
2x=6
X=
6
2
= 3
Fonte: Elaborada pelo autor.
FIGURA 94 - FUNÇÃO F(X) = X² – 6X + 7
y
7
6
5
4
3
2
x
9
1
-1 0
-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8
f´(x) > 0
f´(x) = 0
f´(x) < 0
Assim temos que, para todo valor x > 3, a função
f´(x) é positiva, ou seja, a função f(x) será crescente
neste intervalo. Para todo valor de x < 3, a função
f´(x) é negativa, ou seja, a função f(x) será negativa
neste intervalo. E, para x = 3 f´(x) = 0, neste ponto a
reta tangente será paralela ao eixo x.
Fonte: Elaborada pelo autor.
191
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Exemplo 2: Dada a função f(x) = –x³ + 3x², determine os intervalos onde a função é
crescente ou decrescente.
f(x) será crescente nos intervalos onde f´(x) > 0 e f(x) será decrescente nos intervalos
onde f`(x) < 0. Assim, vamos fazer o estudo do sinal da função f`(x).
f(x) = –x³ + 3x²
f´(x) = –3x² + 6x
A função f´(x) é uma função polinomial do 2º grau.
FIGURA 95 - FUNÇÃO F`(X) = –3X²+ 6X
3
y
2
1
0 1
+ --
2
x
-1
-2
Para encontrar a raiz da
função, igualamos a zero:
-3x² + 6x = 0
x (-3x + 6) = 0
x = 0 → x=0
-3X + 6 = 0 → x = 2
X =
6
2
= 3
Fonte: Elaborada pelo autor.
FIGURA 96 - FUNÇÃO F(X) = –X³ + 3X²
yf
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
x
Assim, temos que, para todo valor 0 < x < 2,
a função f´(x) é positiva, ou seja, a função
f(x) será crescente neste intervalo. Para
todo valor de x < 0 e x > 2, a função f´(x) é
negativa, ou seja, a função f(x) será
negativa neste intervalo. E, para x = 0 e x =
2, f´(x) = 0, neste ponto a reta tangente
será paralela ao eixo x.
Fonte: Elaborada pelo autor.
192
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Observe que a função muda de sinal somente nos pontos onde f´(x) = 0 ou em valores
de x nos quais f´(x) não é definido, e esses pontos são chamados de pontos críticos.
Lembrando da continuidade de uma função, não existe a derivada de uma função
nos pontos onde não existe uma tangente.
FIGURA 97 - PONTOS CRÍTICOS
y
y
x
a) f´(x) não é definido b) f´(x)=0, reta tangente ao eixo x.
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos identificar os intervalos onde a função será crescente ou decrescente reali-
zando um teste dos intervalos.
Exemplo 3: Determine os intervalos nos quais a função g(x) = x4 – x³ é crescente ou
decrescente.
Vamos derivar a função g(x) e encontrar os pontos críticos.
g`(x) = 4x3–3x²
Igualando a função derivada a zero para encontrar suas raízes, temos:
4x3 – 3x² = 0
193
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Fatore o fator comum x²:
X² (4x – 3) = 0
Assim, temos como raízes:
X = 0 e x =
3
4
Muitas funções são descritas por polinômios. Portanto, para sua resolução,
é necessário o domínio desse conteúdo. Assim, pesquise na internet sobre
fatoração de polinômios.
Os pontos críticos são quando x = 0 e x=
3
4
. Esses valores servem de base para definir-
mos os intervalos que servirão de teste. Os intervalos tentam cobrir todo o domínio,
ou seja, antes (-∞,0), entre (0, 3
4
) e após esses valores (
3
4
,+∞) e, escolheremos um valor
dentro desse intervalo para substituir na função derivada e verificarmos o sinal de
g`(x), para dessa forma identificar se a função é crescente ou decrescente neste inter-
valo. Assim, lembrando que g`(x) = 4x3 – 3x², temos:
Intervalos -∞ < x < 0 0 < x <
3
4
x >
3
4
Sinal de g´(x)
g`(-1)=4.(-1)³-3.(-1)²=–
1<0 g`(
1
2
) = 4.(
1
2
)³-3.(
1
2
)² = –
3
4
< 0
g`(2)= 4.(2)³-3.(2)² =
32 – 12 = 20 > 0
Conclusão Decrescente Decrescente Crescente
Os pontos onde o valor da tangente é zero, ou seja, a reta é paralela ao eixo x, de-
nominamos de máximo ou mínimo local. Mas nem sempre que f´(x)=0 é um ponto
máximo ou mínimo. Veja o gráfico da função g(x) = x4 – x³.
194
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 98 - FUNÇÃO G(X) = X4 – X³
yf
x
f´(x) > 0f´(x) < 0
f´(x) = 0
f´(x) < 0
f´(x) = 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Mas, afinal o que é ponto de máximo e mínimo?
6.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS
Os termos relativos e mínimo relativo descrevem o comportamento local de uma
função. No gráfico abaixo, os pontos x2, x4, x6 são pontos de máximo, enquanto que x1,
x3 e x5 são pontos de mínimo. Além disso, x3 é um ponto de máximo absoluto e x6 é
um ponto de mínimo absoluto. Observe também que f(x6) é o valor máximo absoluto
e f(x1) é o valor mínimo absoluto de f.
FIGURA 99 - MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS E ABSOLUTOS
y
f(x6)
f(x2)
f(x4)
x6x5x4x3
f(x1)
x2x1
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
195
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Se f(x0) é o valor máximo que a função f(x) alcança em todo o seu domínio, então f(x0)
será o máximo absoluto da função. Da mesma forma, se f(x0) for o valor mínimo que
a função f(x) alcança em todo o seu domínio, f(x0) será o mínimo absoluto da função.
Os máximos e mínimos relativos de uma função são denominados extremos. Res-
salta-se que um extremo máximo relativo pode ser menor que um mínimo relativo.
Quando uma função f tiver um máximo ou um mínimo relativo em x0, diz-se que
f tem um extremo relativo em x0. Esses extremos relativos, se houver, ocorrem em
pontos críticos. Relembrando que os pontos críticos são aqueles em que f’(x) = 0 ou f
é não diferenciável.
Um ponto crítico não necessariamente representa um ponto de máximo ou mínimo.
No gráfico da função g(x) = x4 – x3 há um ponto crítico em x = 0, mas ele não representa
um extremo relativo, e sim de um ponto de inflexão. Observe que neste ponto ocorre
um achatamento entre dois intervalos, mas a função continua negativa.
Assim, ao analisar os pontos máximos e mínimos de uma função, é necessário que se
faça uma comparação com os valores que se aproximam desse ponto para identificar
se esse trata-se de um ponto de máximo ou um ponto de mínimo.
FIGURA 100 - PONTOS MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS
y
f(x0)
Ponto de máximo
f´(x) = 0
Concavidade
para cima
Concavidade
para baixo
f´(x) < 0
f(x0)
f´(x) < 0 f´(x) > 0
f´(x) > 0
x0 x0
x
y
x
a. x0 é abscissa de ponto de máximo local pois, f´(x) = 0 e para um x > x0 f´(x) > 0,
para um x < x0 f´(x) > 0, ou seja f`(x) troca de sinal positivo para negativo.
b. x0 é abscissa de ponto de mínimo local pois, f´(x) = 0 e para um x > x0 f´(x) < 0, para
um x < x0 f´(x) > 0, ou seja f`(x) troca de sinal negativo para positivo.
Fonte: Elaborada pelo autor.
196
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Assim, seja f uma função contínua em um intervalo [a,b], no qual x0 é o único núme-
ro crítico, temos:
Critério da derivada primeira
(I) No intervalo [a,b], se f’(x) > 0 à esquerda de x0 e f’(x) < 0 à direita de x0, então f (x)
tem um máximo relativo em x0.
(II) No intervalo [a,b], se f’(x) < 0 à esquerda de x0 e f’(x) >0 à direita de x0, então f (x)
tem um mínimo relativo em x0.
(III) Se f’(x) tiver o mesmo sinal, positivo ou negativo, antes e depois de x0, então f não
tem extremo relativo em x0.
6.3 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO
Os pontos de inflexão são aqueles em que o gráfico muda de côncavo para cima para
côncavo para baixo, ou vice-versa.
FIGURA 101 - PONTO DE INFLEXÃO
Concavidade
para cima
Ponto de inflexão
Concavidade
para baixo
f´(x)=0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Através da análise da derivada segunda, percebemos que os pontos de inflexão acon-
tecem quando o sinal dessa função muda de positivo para negativo, ou de negativo
para positivo. Por isso, para determinar os pontos de inflexão, é importante que se
faça o estudo do sinal da função derivada segunda.
197
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Teorema: Seja f duas vezes diferençável em um intervalo aberto I.
(i) Se f’’(x) > 0 em I, então f tem a concavidade voltada para cima em I.
(ii) Se f’’(x) < 0 em I, então f tem a concavidade voltada para baixo em I.
Critério da derivada segunda
Suponha que f seja duas vezes diferençável em um ponto x0.
(i) Se f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0, então f tem em x0 um mínimo relativo.
(ii) Se f’(x0) = 0 e f”(x0) < 0, então f tem em x0 um máximo relativo.
(iii) Se f’(x0) = 0 e f”(x0) = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo
ou mínimo relativo ou nenhum dos dois em x0.
Os pontos de inflexão acontecem onde a f”(x) = 0, mas é importante verificar se real-
mente nesse ponto houve uma mudança de sinal dessa função. Os pontos de infle-
xão marcam os lugares sobre a curva y = f(x), nos quais a taxa de variação de y em
relação a x muda de crescente para decrescente, ou vice-versa.
Exemplo: Seja a função dada por f(x) = x3 – 3x2. Vamos analisar essa função e construir
o seu gráfico a partir da análise das derivadas primeira e segunda.
Calculando sua derivada primeira e sua derivada segunda, temos que:
f'(x) = 3x2 – 6x
f''(x) = 6x – 6
198
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Fazendo o estudo do sinal da função f’(x), percebemos que f’(x) = 0 se x = 0 ou x = 2.
Logo, esses pontos representam pontos críticos (ou pontos de máximo local, ou pon-
tos de mínimo local, ou pontos de inflexão).
y
-1 0 1 2 3
x
f’(x) é positiva se x < 0 ou x > 2. Logo, nesses intervalos essa função é crescente.
f’(x) é negativa se 0 < x < 2, oque mostra que nesse intervalo essa função é decrescente.
Analisando o sinal de f’’(x) nesses pontos, x = 0 e x = 2, tem-se que:
f”(0) = - 6 , em x = 0, f’’ é negativa, a concavidade é voltada para baixo e há, portanto,
um máximo local.
f’’(2) = 6. ,em x = 2, f’’ é positiva, a concavidade é voltada para cima e há um mínimo local.
Analisando o sinal da função
f''(x) = 6x – 6 em relação a x = 1, em que f”(x) = 0, temos que:
f’’(x) < 0 se x < 1
f’’(x) > 0 se x > 1
f”(x) = 0 se x = 1
Logo, no ponto x = 1, a função f’’(x) muda de sinal, e a função f(x) sofre uma mudança
de concavidade voltada para baixo para concavidade voltada para cima. Esse ponto,
x = 1 é um ponto de inflexão.
199
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Colocando todas essas informações em um gráfico, obtemos:
FIGURA 102 - GRÁFICO DA FUNÇÃO F(X) = X3 – 3X2
y
4
2
0
-2
-4
-6
-8
1-1 2 3 4
f`(x) > 0 crescente
f`(x) < 0
decrescente
f`(x) > 0 crescente
Ponto de Mínimo relativo
f`(x) = 0 e f``(x) > 0
Ponto de Máximo relativo
f`(x) = 0 e f``(x) < 0
x
Ponto de inflexão
f``(x)=0 e o sinal
de f``(x) passa de
negativo para
positivo.
Fonte: Elaborada pelo autor.
6.4 OTIMIZAÇÃO
Uma das mais importantes aplicações do conceito de derivada está nos problemas
que envolvem máximos (Maximização) e Mínimos (Minimização).
Nos problemas que envolvem máximos e mínimos devemos equacionar o problema
envolvendo o que se deseja maximizar ou minimizar. Devemos proceder da seguinte
maneira:
1. Escrever precisamente qual função deverá ser analisada. Essa função pode ser
escrita em função de uma ou mais variáveis.
2. Quando a função é de mais de uma variável, devemos procurar exprimir a fun-
ção obtida em uma só variável.
3. Com a função bem definida, identificar seus extremos relativos, ou seja, seu pon-
to crítico (possível ponto de máximo ou mínimo), e definir o resultado.
200
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Exemplo 1: Deseja-se construir um galpão, mas para isso é necessário cercar uma
área de 196 m² em formato retangular. Quais devem ser suas dimensões para que o
perímetro seja mínimo?
Seja a área representada pelo retângulo ABCD de dimensões x e y e perímetro P:
x
y
A B
C D
O Perímetro é dado por
P = 2x + 2y (I)
A área
x.y=196 (II)
Isolando y na II equação:
y =
196
x
Substituindo o valor de y na I equação:
P 2x 2= + .
392
x
P 2x= +
392
x
função que exprime o perímetro em relação a x.
Para determinar o valor mínimo, devemos derivar a função P e igualar a zero (definin-
do o ponto crítico da função)
P = 2x + 392.x–1
P x' .
²
( )= − = −−2 392 2
3922
x
201
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Encontrando as raízes de P` temos:
2− =
392
0
x ²
X2 = 196
X 14= ± ±196 portanto, x = 14 ou x = –14 (não serve pois x > 0)
Assim, x=14 é um ponto crítico.
Para saber se ele é um ponto de máximo ou mínimo, vamos utilizar o teste da segun-
da derivada, ou seja, se f”(x0) > 0, então f tem em x0 um mínimo relativo. Assim, vamos
calcular a segunda derivada e substituir o ponto crítico encontrado x = 14 e fazer a
verificação.
P´ = 2 – 392. x–2
P`` = 784. x–3
P 14 2857 ´´ ,( ) = = >784
2744
0 0
Como P´´>o esse ponto é mínimo. Assim, o valor de x=14 e y=196/x=14, encontrare-
mos o perímetro:
P = 2x + 2y
P = 56 e as dimensões da área retangular são 14 m e 14 m.
Exemplo 2: Em uma fazenda será construído um galinheiro com um formato de um
paralelepípedo que possui faces quadradas. Sabendo que a capacidade do viveiro é
de 48 m³, qual será a quantidade mínima de tela para construí-lo?
x
x
y
202
CÁLCULO I
SUMÁRIO
O volume do viveiro será dado pelo produto das três dimensões, ou pela área da base
multiplicada pela altura. Seja x o lado do quadrado e y a distância entre os quadra-
dos, sendo assim, V = x.x.y = x2.y, ou seja, x2.y = 48.
Queremos saber a quantidade mínima de tela para construir esse viveiro. A função
que expressa a área será: A = 2x2 + 3xy (duas áreas quadradas, três retângulos de di-
mensões x, y, sendo que a área do chão é excluída).
Queremos saber a quantidade mínima de tela. Logo, vamos minimizar a função área.
Para isso, precisamos expressar a área em função de uma só variável.
Então, isolamos y⇒ =y
x
48
2
. Substituindo em A:
A 2x 3 x
2= + ⇒ = + ⇒ = + −. .
48
2
144
2 144
2
2 2 1
x
A x
x
A x x
Para determinar o valor mínimo, devemos derivar a função A e igualar a zero (definin-
do o ponto crítico da função):
A
' '
A x x x
x
x x x x= ⇒ = − ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =−0 4 144 4
144
0 4 144 0 4 144 36 3
2
2
3 3 3
,3302
Substituindo y
x
= ⇒ =
48 48
10 9
4 404
2 ,
,
A quantidade mínima de tela será A = 2.(3,302)² + 3.3.(4,404) = 21,81 + 369,636 = 61,446 m
Exemplo 3: Em uma indústria, o lucro pela produção de x de produtos é dado por
L x
x
x( ) = − + −3
4
300 15
2
. Qual deve ser a produção diária para que se obtenha lucro
máximo na venda de x produtos?
Para determinar o lucro máximo, devemos derivar a função L e igualar a zero (definin-
do o ponto crítico da função):
L x
x
x( ) = − + −3
4
300 15
2
L x
x
`( ) = − +6
4
300
203
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Igualando L`(x) = 0, temos:
− + =
6
4
300 0
x
− = −
6
4
30
x
− = −
6
4
300
x
x = 200
Para verificar se esse ponto é máximo ou mínimo, utilizaremos o teste da derivada
segunda:
L x``( ) = − 6
4
como a segunda derivada é menor do que zero, o ponto é de máximo,
logo o lucro será máximo para x = 200.
Portanto, a produção diária dever ser de 200 produtos para que o lucro seja máximo.
6.5 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE INTEGRAL
A integração é processo para o cálculo da integral que tem com ideia central o cálcu-
lo de áreas. Esse conceito foi desenvolvido antes de limite e derivadas.
Neste sentido, vamos calcular a área sob a curva das funções abaixo delimitadas pe-
los intervalos destacados:
204
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 103 - ÁREAS SOB A CURVAS DAS FUNÇÕES Y = 3 E Y = X.
A2A1
a)
y4
n3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
y
xx
b)
Fonte: Elaborada pelo autor.
a- área abaixo do gráfico da função constante y = 3
b- área abaixo do gráfico da função y = x
Observe que a área sob o gráfico da função y=3 tem o formato de um retângulo.
Para calcular a sua área, temos:
A1=bxh, onde b é a base e h a altura
A1 = 4 x 3 = 12 , em que a base será dada por 6-2 = 4
Fazendo o mesmo para o cálculo da área A2, temos um triângulo:
A
bxh
1
2
=
A
x
1
4 4
2
=
As figuras que apareceram abaixo dos gráficos das funções acima são conhecidas e
fáceis de calcular. Entretanto, na natureza encontramos poucas ocorrências de situa-
ções em que as figuras encontradas são regulares (retângulos, triângulos, círculos,
etc.). E, assim, surgiu a necessidade de se criar um método que permitisse o cálculo
de áreas das mais diversas figuras.
Pensando nisso, como podemos calcular uma área abaixo da curva da função y = x²?
Para saber mais sobre o método de dividir áreas de figuras irregulares em
várias figuras conhecidas (geralmente, retângulos e triângulos) para depois
somá-las, pesquise na internet sobre o Método da Exaustão.
205
CÁLCULO I
SUMÁRIO
FIGURA 104 - ÁREA SOB O GRÁFICO DA FUNÇÃO Y=X
4
y
3
2
1
0 1 2 3
x
Fonte: Elaborada pelo autor.
Podemos calcular a área utilizando a soma da área de figuras conhecidas, por exem-
plo, vários retângulos de largura(n) iguais, e assim teremos uma aproximação da área
abaixo da curva, conforme demonstrado nas figuras abaixo:
FIGURA 105 - APROXIMAÇÃO DA ÁREA SOB A CURVA COM A UTILIZAÇÃO
DE RETÂNGULOS COM LARGURAS IGUAIS
y
Y = x² Y = x²
Ponto
Superior (b)
Ponto
inferior (a)
Base (b-a)
Altura
f(xi)
Y = x²
0.50
2f(1,5)
4
6
8
1 1.5 2 2.5 3
x
y
0.50
2
4
6
8
1 1.5 2 2.5 3
x
y
0.50
2
4
6
8
1 1.5 2 2.5 3
x
a – área da curva dividida em 10 retângulos, n = 4
b – área da curva dividida em 10 retângulos, n = 10
c – área da curva dividida em 50 retângulos, n = 50
Fonte: Elaborada pelo autor.
206
CÁLCULO I
SUMÁRIO
Para saber mais sobre Soma de Riemann e integral definida.
A altura do retânguloé dada por f(xi), ou seja, pela função, que neste caso é dada
pelo valor do ponto inferior (a) que define o retângulo f(a), que também pode ser
definida pelo valor do ponto superior (b). A base do retângulo é dada por b-a, mas se
considerarmos a extremidade superior da base (b) sendo 2 e a inferior(a) 0, podemos
encontrar a base calculando b a
n
− , onde n é a quantidade de retângulos.
A ideia consiste em dividir e depois somar tudo, ou seja, dividimos a área abaixo da
curva por retângulos com larguras iguais. No caso da figura a, perceba que a base de
cada retângulo é 2/n, onde n é a quantidade de retângulos em que a curva foi divi-
dida, e em seguida soma-se a área de todos os retângulos. Com isso, teremos uma
aproximação da área, que se torna mais precisa a medida em que a dividimos em
mais retângulos, caso a ser observado nas figuras b e c .
Assim, perceba que, se aumentarmos a quantidade de retângulos de forma infinite-
simal, a largura de cada retângulo se aproximará de zero. Assim, podemos descrever
essa situação utilizando o conceito de limites:
altura
Área
do retângulo
Soma das
áreas do retângulo
de 1 até n retângulos
Limite de n
tendendo
ao infinito
base do
retângulo
Assim, podemos utilizar a simbologia de integral
207
CÁLCULO I
SUMÁRIO
O símbolo da integral representa a soma dos retângulos que começa em a e termina
em b, a função f(x) determina as alturas dos retângulos e dx representa a largura des-
ses retângulos. Dependendo do ponto que é tomado como altura do retângulo, esse
processo apresenta pequenas variações. Os retângulos podem ficar acima (fornecen-
do uma estimativa superior) ou abaixo (fornecendo uma estimativa inferior), ou pode
ser utilizado o ponto médio da largura do retângulo. Ao comparar dois desses méto-
dos sendo empregados na mesma situação, perceberemos que as aproximações do
cálculo da área convergem para um mesmo valor.
O processo de integração também pode ser resolvido de maneira analítica. Para isso,
utiliza-se a antiderivação, ou seja, a operação inversa da derivada. Portanto, para se
encontrar a antiderivada de uma função, é necessário pensar qual é a função que,
derivada, resultará em f(x).
Assim, por definição, sempre que f(x) for integrável em um intervalo [a,b] e existir uma
antiderivada, temos:
Área f x dx F b F a
a
b
= ( ) = ( ) −∫ . ( )
Assim, temos que a integral de f(x) em relação a x de a até b é igual à antiderivada de
f(x) calculada no ponto b menos a. Portanto, voltando ao exemplo da função f(x) = x²,
teremos:
Área x dx F F= = ( )−∫
0
2
2 0². ( )
Saiba mais sobre o processo de encontrar a antiderivada F pesquisando na
internet sobre funções primitivas.
208
CÁLCULO I
SUMÁRIO
F é a antiderivada da função f(x) = x², ou seja, F x( ) =
x
3
3
a função que, ao derivarmos,
encontramos f(x) = x². Assim, resolvendo temos:
Área x dx= = − =∫
0
2 3 3
2
3
0
3
8
3
².
Portanto, a área sob a curva do gráfico da função f(x) = x² no intervalo de a 0 até 2 é
8
3
u.a (unidade de área).
Por fim, integrar é realizar uma operação matemática que nos fornece como resul-
tado a área entre o gráfico da função f(x) e o eixo 0x. Esse conceito foi formalizado a
partir do método das somas de Riemann.
CONCLUSÃO
O universo é formado de energia que está presente desde a sua criação. O interes-
sante é que não se perde energia nem se cria, o que ocorre é uma transformação.
A energia é vibração, e as diferenças entre elas fazem mudar a propriedades das coi-
sas. Em busca de um equilíbrio, um corpo nunca acumula, mas sempre aquele que
tem muita energia perde para aquele que tem menos. Aparentemente, parece que
estamos nos referindo a algo totalmente desconexo com o que foi estudado nesta
unidade, mas, na verdade, estamos nos referindo a pontos críticos, otimizações.
Os movimentos ao nosso redor estão cheios de variações, cresce e decresce, máximos
e mínimos, pontos estacionários. Se percebermos todo o movimento que conduz
nossas vidas, encontraremos muito desses conceitos. Muitos não podemos dominar,
mas o cálculo nos proporciona ferramentas para que possamos interpretá-los e en-
tendê-los de forma a facilitar tomadas de decisões.
Assim, vimos nesta unidade que a derivada nos diz onde uma função é crescente ou
decrescente, provocando os pontos de máximos e mínimos que nem sempre ocor-
rem em pontos estacionários (pontos críticos). A denominação de estacionários faz
sentido ao pensarmos no movimento de algum objeto que, ao ser arremessado, fará
209
CÁLCULO I
SUMÁRIO
uma trajetória de uma parábola; e, em algum momento, ele terá de mudar de senti-
do, de ascendente para descendente. Portanto, ele permanecerá em repouso (nem
subindo, nem descendo) em algum momento, ou seja, estacionado. Além disso, o
intervalo em que estamos trabalhando apresenta relevância aos candidatos a pontos
estacionários, consequentemente, ao máximos e mínimos relativos e globais.
Com as informações adquiridas, analisando os valores obtidos da primeira e a se-
gunda derivada, podemos esboçar de forma mais precisa o gráfico de uma função,
e elas também nos proporcionam informações para que possamos trabalhar com
otimizações. Um problema de otimização acontece quando se procura determinar
os valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma fun-
ção pode assumir em um dado intervalo. Problemas de otimização são comuns em
nossa vida diária e aparecem quando procuramos determinar o nível de produção
mais econômico de uma fábrica, minimizar a energia dispendida para executar algo,
calcular o ponto da órbita de um cometa mais próximo da Terra, definir o melhor
momento para parar um equipamento para realizar manutenções, estabelecer como
uma empresa deve fixar o preço de seus produtos para maximizar sua receita, seu
lucro e minimize seus custos, descobrir a velocidade mínima necessária para que um
foguete escape da atração gravitacional da Terra, de acordo com condições diversas,
e calcular a melhor rota. Note que esses conhecimentos auxiliam em problemas vol-
tados para as mais diversas áreas, tais como economia, administração, engenharia e
ciências, e problemas de logística e transporte.
Vimos, também, que o problema do cálculo de área para figuras irregulares motivou
o desenvolvimento do conceito de integral, isto é, aproximação do cálculo de uma
área real pela soma de outras infinitas áreas. Assim, sempre que precisarmos fazer
somas de quantidades, o conceito de integral está envolvido. O processo de calcular
a integral é a integração que consiste na operação inversa da derivação, ou seja, a
antiderivação, também conhecida como integrais primitivas. Enfim, esses conceitos
constituem os dois pilares que alicerçam o cálculo.
210
CÁLCULO I
SUMÁRIO
REFERÊNCIAS
AZEVEDO, Gustavo Henrique W. de. Seguros, matemática atuarial e financeira. 1 ed. São
Paulo: Editora Saraiva, 2009.
BARBONI, Ayrton; PAULETTE, Walter. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas. Cole-
ção Schaum. 3. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2011.
, Amauri; SPIM, Jaime Alvares; SANTOS, Carlos Alexandre dos. Ensaios dos materiais. 2. ed.
Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2012.
, John. A culpa é das estrelas. Rio de Janeiro: Intrínseca, 2014. 288 p.
, Nilton. Matemática aplicada. 1. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2012.
, Paulo Blauth; TOSCANI, Laira Vieira: LÓPEZ, Javier Garcia. Aprendendo matemática
discreta com exercícios. v. 19. Porto Alegre: Grupo A, 2011.
, Kenneth H. Matemática discreta e suas aplicações. 6. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2011.
, Murray R.; LIPSCHUTZ, Seymour; LIU, John. Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas.
3. Ed. Coleção Schaum. Porto Alegre: Grupo A, 2011.
SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 3. ed. Edição Compacta. São Paulo: Grupo
GEN, 2004.
EAD.MULTIVIX.EDU.BR
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SAÚDE • EDUCAÇÃO • DIREITO • GESTÃO E NEGÓCIOS
211
CÁLCULO I
SUMÁRIOEAD.MULTIVIX.EDU.BR
CONHEÇA TAMBÉM NOSSOS CURSOS DE PÓS-GRADUAÇÃO A DISTÂNCIA NAS ÁREAS DE:
SAÚDE • EDUCAÇÃO • DIREITO • GESTÃO E NEGÓCIOS
FIGURA 1 - Comprimento da circunferência
FIGURA 2 - Conjuntos numéricos
FIGURA 3 - Conjuntos que representam os dias trabalhados e valor do pagamento
FIGURA 4 - Diagrama da função g: A → B
FIGURA 5 - Plano cartesiano
FIGURA 6 - Plano cartesiano (quadrantes)
FIGURA 7 - Plano Cartesiano- representação de um ponto
FIGURA 8 - Plano cartesiano – representação dos pontos (3,5) e (5,3)
FIGURA 9 - Representação gráfica da função y = 3x
FIGURA 10 - Representação gráfica da função f(x) = –2x + 6
FIGURA 11 - Pontos de coordenadas A(–2, 0) e B(0, 6) no plano cartesiano
FIGURA 12 - Pontos de coordenadas A(1,0) e B(0,2), no plano cartesiano
FIGURA 13 - Pontos de coordenadas A(0, 3) e B(1, 3), no plano cartesiano
FIGURA 14 - Localização das coordenadas dos pontos da função f(x) = 2x –1
FIGURA 15 - Representação gráfica da função f(x) = 2x –1
FIGURA 16 - Localização das coordenadas dos pontos da função f(x) = –2x –1
FIGURA 18 - Representação gráfica da função f(x) = x + 1
FIGURA 17 - Representação gráfica da função f(x) = –2x –1
FIGURA 19 - Representação gráfica da função f(x) = –x + 1
FIGURA 20 - Representação gráfica para a função f(x) = ax + b e o a > 0
FIGURA 21 - Representação gráfica para a função f(x)=ax+b e o a< 0
FIGURA 22 - Representação gráfica para a função f(x) = ax + b
FIGURA 23 - Localização das coordenadas dos pontos da função f(x) = –x² + 1
FIGURA 24 - Pontos importantes da parábola
FIGURA 25 - Representação gráfica das raízes da função f(x) = x2 – 5x + 6
FIGURA 26 - Representação gráfica da função g (x) = 4x2 – 4x + 1
FIGURA 27 - Representação gráfica da função h(x) = 2x2 + 3x + 4
FIGURA 28 - Vértices da parábola
FIGURA 29 - Situações possíveis para a função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0
FIGURA 30 - Representação gráfica da função f(x) = –x2 – 2x + 3
FIGURA 31 - Representação gráfica da função y = x2 – 2x + 1
FIGURA 32 - Representação gráfica da função Y = –x2 + 3x + 10
FIGURA 33 - Representação gráfica de uma parábola
FIGURA 34 - Inserção dos números na tabela
FIGURA 35 - Inserção da fórmula
FIGURA 36 - Resultado do cálculo após a inserção da fórmula
FIGURA 37 - Gráfico de dispersão xy
FIGURA 38 - Mapa conceitual referente ao conceito de grandeza
FIGURA 39 - Triângulo retângulo
FIGURA 40 - Triângulo com medida dos ângulos e dos lados
FIGURA 41 - Elementos triângulo retângulo ABC
FIGURA 42 - Triângulo retângulo ABC com ângulo de 30º
FIGURA 43 - Esquematização do exemplo 2
FIGURA 44 - Teclas que acionam o cálculo do valor das relações trigonométricas na calculadora científica
FIGURA 45 - Esquematização do exemplo 3
FIGURA 46 - Arcos
FIGURA 47 - Medida angular
FIGURA 48 - Arcos concêntricos
FIGURA 49 - Divisões da circunferência em arcos de 1 rad
FIGURA 50 - Circunferência trigonométrica
FIGURA 51 - Arcos côngruos
FIGURA 52 - Seno e Cosseno de um arco
FIGURA 53 - Representação do círculo trigonométrico
FIGURA 54 - Gráfico das ondas formadas pelo campo elétrico e magnético
FIGURA 55 - Função Y=sen(x)
FIGURA 56 - Elementos do gráfico da função y=sem(x)
FIGURA 57 - Função y=cos(x)
FIGURA 58 - Elementos da função y=cos(x)
FIGURA 59 - O valor das tangentes na circunferência trigonométrica
FIGURA 60 - Função y=tg(x)
FIGURA 61 - Translação vertical – influência do parâmetro a na função y=a+senx
FIGURA 62 - Alteração na amplitude – influência do parâmetro b na função y=b.senx
FIGURA 63 - Alteração no período - influência do parâmetro a na função y=sen(cx)
FIGURA 64 - Translação horizontal – influência do parâmetro d na função y=sen(x+d)
FIGURA 65 - Propriedade das potências
FIGURA 66 - Propriedade dos radicais com radicandos não negativos
FIGURA 67 - Janela inicial do Winplot
FIGURA 68 - Janela 2 dimensões
FIGURA 69 - Janela de entrada das equações que descrevem as funções
FIGURA 70 - Gráfico da função y=2x
FIGURA 71 - Gráficos da função exponencial com bases diferentes
FIGURA 72 - Gráfico da função y=2 e a sua inversa y = log2x
FIGURA 73 - Faixa de Moebius
FIGURA 74 - Aproximação pela direita e pela esquerda
FIGURA 75 - Análise dos valores de y quando se aproxima de x = 85.
FIGURA 76 - Aproximação do ponto de ultrapassagem C
FIGURA 77 - Comportamento da função para valores de x se aproximando de 2
FIGURA 78 - Comportamento da função  para valores de x se aproximando de –2
FIGURA 79 - Função descontínua para alguns valores do domínio
FIGURA 80 - Gráfico da função 
FIGURA 81 - Comportamento da função  para valores de x se aproximando de 3
FIGURA 82 - Comportamento da função  para valores de x crescendo ilimitadamente
FIGURA 83 - Comportamento da função  para valores de x decrescendo ilimitadamente
FIGURA 84 - Taxas de variações da função C(x)=20 +4x
FIGURA 85 - Taxas de variações da função P=t²
FIGURA 86 - Interpretação geométrica da derivada
FIGURA 88 - Reta tangente à curva no ponto onde t = 1
FIGURA 89 - Pontos onde a função não é derivável
FIGURA 90 - f(x) = 3x2 + x e a reta tangente no ponto de abscissa 2
FIGURA 91 - Comportamento da função f e as retas tangentes ao gráfico f
FIGURA 92 - Função f(x)=2x-6
FIGURA 93 - Função f(x) = x² – 6x + 7
FIGURA 94 - Função f`(x) = –3x² + 6x
FIGURA 95 - função f(x) = –x³ + 3x²
FIGURA 96 - Pontos críticos
FIGURA 97 - função g(x) = x4 – x³
FIGURA 98 - Máximos e Mínimos relativos e absolutos
FIGURA 99 - Pontos Máximos e Mínimos locais
FIGURA 100 - Ponto de inflexão
FIGURA 101 - Gráfico da função f(x) = x3 – 3x2
FIGURA 102 - Áreas sob a curvas das funções y = 3 e y = x.
FIGURA 103 - Área sob o gráfico da função y=x
FIGURA 104 - Aproximação da área sob a curva com a utilização de retângulos com
QUADRO 1 - Símbolos matemáticos e seu significado
QUADRO 2 - Cálculo dos valores do pagamento da diarista
QUADRO 3 - Tabela representativa da função y = 3x (f(x)=3x)
QUADRO 4 - Tabela representativa da função f(x) = 3
QUADRO 5 - Valores de X,Y para a função y = 2x-1
QUADRO 6 - Valores de X,Y para a função y = –2 x –1
QUADRO 7 - Tabela da função y = x2 –2
QUADRO 8 - Localização das coordenadas dos pontos da função f(x)=x²+1
QUADRO 9 - Tabela da função f(x) = –x2 + 1
QUADRO 11 - valores das razões trigonométricas dos ângulos notáveis
QUADRO 12 - Cálculo dos valores de x e y da função y=senx
QUADRO 13 - Cálculo dos valores de x e y da função y=cosx
QUADRO 14 - Tabela com os valores X e Y do gráfico da função y = 2x
QUADRO 15 - Localização das coordenadas dos pontos e gráfico da função f(x) = 2x
QUADRO 16 - Tabela com os valores X e Y do gráfico da função y = (1/2)x
QUADRO 17 - Localização das coordenadas dos pontos e gráfico da função y = (1/2)x
QUADRO 18 - Resumo da função exponencial f(x)=ax
QUADRO 19 - Tabela 14 - Valores para construção do gráfico da função y = log2x.
QUADRO 21 - Construção do gráfico da função y = log(1/2)x
1 NÚMEROS REAIS E FUNÇÕES POLINOMIAIS
1.1 Números Reais e Funções Polinomiais
1.1.1 Números Reais
1.1.1.1 Representação do conjunto dos números reais R na reta numérica
1.1.1.2 Intervalos Reais
1.2 Funções
1.2.1 Conceito de funções
1.2.2 Determinação do domínio
1.2.3 Noções básicas de plano cartesiano
1.2.4 Construção de gráficos
1.3 Função Afim
1.3.1 Valor de uma função polinomial do 1º grau
1.3.2 Raiz de uma função polinomial do 1º grau e equação do 1º grau
1.3.3 Gráfico da função polinomial do 1º grau
1.3.4 Função polinomial do 1º grau crescente e decrescente
1.3.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1º grau
1.3.6 Lei de formação da função polinomial do 1º grau
1.4 Função polinomial do 2º grau
1.4.1 Gráfico de uma função polinomial do 2º grau
1.4.2 Raízes de uma função polinomial do 2º grau
1.4.3 Vértice da parábola, imagem e valor máximo e mínimo da função polinomial do 2º grau
1.4.4 Construção do esboço do gráfico da função polinomial do 2º grau
1.4.5 Estudo do sinal da função polinomial do 2º grau
1.4.6 Lei de formação da função polinomialdo 2º grau
1.5 Estudo da função polinomial do 1º e 2º grau por meio de softwares educacionais
Conclusão
2 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA
2.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
2.2 Arcos, ângulo e medida de arco
2.3 Circunferência trigonométrica
2.4 Seno e Cosseno de um arco
2.5 Funções periódicas
2.5.1 Função Seno
2.5.2 Função Cosseno
2.5.3 Função Tangente
2.6 Estudo das funções trigonométricas por meio de softwares educacionais
CONCLUSÃO
3 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
3.1 Revisão de Potenciação e Radiciação
3.2 Função Exponencial
3.3 Definição de Logaritmos
3.4 Propriedades Operatórias de Logaritmo
3.5 Mudança de Base
3.6 Função Logarítmica
3.7 Estudo das FunçõesExponenciais e Logarítmicas por Meio de Software Educacional
CONCLUSÃO
4 Limites e Derivada
4.1 Limites e derivada
4.1.1 Limites
4.1.2 Limites e propriedades
4.1.3 Continuidade de uma função
4.1.4 Limites infinitos e Limites no infinito
4.2 Derivada - introdução
CONCLUSÃO
5 Derivada e Regras de Derivação
5.1 Derivada – Definição
5.2 Derivadas fundamentais
5.3 Regras de derivação
5.3.1 Derivada do produto e quociente
5.3.2 Regra da cadeia ou derivada da função composta
5.3.3 Derivada exponencial e logarítmica
5.3.4 Derivada trigonométrica e derivadas sucessivas
Conclusão
6 Aplicações da Derivada
6.1 Análise de funções – crescimento e decrescimento
6.2 Máximos e Mínimos Relativos
6.3 Concavidade e pontos de inflexão
6.4 Otimização
6.5 Introdução ao estudo de integral
Conclusão
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- Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função definida por y = x3 - 3x + 4 no ponto (x1 y1,). Clique na sua resposta abaixo y'(x1) =3 (x1)2-
- Marque a alternativa correta em relação às séries e . sn = Σ∞1n3+2n √n7+1 tn = Σ∞1 4 5n−1 Ambas são divergentes. Ambas são convergentes. A série é ...
- A manipulação de logaritmos pode levar a resultados surpreendentes. Se temos a equação t × log(1,28/1,25) = log(5), qual é a expressão correta para...
- A compreensão das propriedades dos logaritmos é essencial para resolver equações complexas. Se t = log(5) / (log(128) - log(125)), qual é a interpr...
- determine o valor do limite lim 4x2-9/2x+3, x=-3/2
- Construa o caminho Critico do nó A para o nó E no seguinte grafo: A -1 B 1 3 E 2 F 3 2 2 C 2 D A A-B-D-E-F B A-C-D-F CA-C-E-F DA-B-E-F E A-B-D-F
- Qual dos conjuntos abaixo é constituído por meios de produção? a) Alimentação, transporte e moradia b) Fábricas, terras e máquinas c) Livros, cadernos
- Determine a derivada da função f(x)=6x2-10x-5x-2. Clique na sua resposta abaixo f'=-6x+10+10x-3 f'=-6x-10+10x-1 f'=-12x-10+10x-1 f'=+12x-10+10x-3 f'=-
- Determine a equação da reta tangente à função f(x)=x4, no ponto (1,1). Clique na sua resposta abaixo f(x)=x+4 f(x)=4x f(x)=4x-3 f(x)=-4x-3 f(x)=-4x+3
- Determine a derivada da função g(x)=(x2- 5x)4. Clique na sua resposta abaixo g' (x)=4(x2-5x) 3 . (2x-5) g' (x)=8(x2-5x)2 . (2x-5) g' (x)= 4 (2x-5)2 .
- Dada a representação gráfica de uma função f(x), determine a sua lei de formação: Clique na sua resposta abaixo f(x)=2/(x-2) f(x)=2/(x+2) f(x)=2/x f(x
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