EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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Jaqueline Luiza Horbach
Docente
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
UNIDADE 1
Tópico 1
Uma função é uma relação entre dois conjuntos.
 é a variável independente 
 é a variável dependente 
Qual a diferença entre função de uma variável e mais de uma variável?
Função de várias variáveis 
Domínio
Definição: Suponha que seja um conjunto de pares ordenados de números reais Uma função real de duas variáveis em é uma regra que associa um único número real a cada par ordenado em . O conjunto é chamado de domínio da função .
 
Exemplo: Determine a domínio da função 
Solução: Podemos calcular a função para todo par ordenado de 
Exemplo: Determine a domínio da função 
Solução: 
Obs: Se então, necessariamente, 
Exemplo: Determine a domínio da função 
Solução: 
Obs: Se , onde é par então, necessariamente, 
Definição: Se é uma função de duas variáveis com domínio , então o gráfico de é o conjunto de todos os pontos em tal que e 
Exemplo: Represente o graficamente a função 
Solução: WolframAlpha			Geogebra 3D
UNIDADE 1
Tópico 2
Mapa Topográfico
 
Você pode procurar um mapa topográfico da sua região 
Fonte: https://www.coladaweb.com/wp-content/uploads/2014/12/20171002-mapa-topografico.jpg Data: 06/03/2018
Plantação de arroz na China
Fonte: https://i1.wp.com/img.fciencias.com/uploads/2017/06/arroz-china-wallpaper-00003.jpg Data: 06/03/2018
Curvas de Nível 
Definição: Seja um número real. O conjunto de pontos no plano onde uma função tem um valor constante
 
é chamado de curvas de nível de 
Exemplo: Encontre as curvas de nível: 
As curvas de nível são RETAS.
As curvas de nível são CIRCUNFERÊNCIAS.
UNIDADE 1
Tópico 3
Distância entre dois pontos 
Definição: Dados e dois pontos em A distância entre e é dada por: 
Definição: Dados em e um número real. A bola aberta de centro em e raio que indicamos por é definida como sendo o conjunto de todos os pontos 
 
tais que , ou seja,
.
Bola Aberta
Ponto de Acumulação 
Definição: Seja um subconjunto de Um ponto é um ponto de acumulação dese toda bola aberta de centro em possui uma infinidade de pontos de 
Limite
Definição: Dados e Dado se existir um tal que
temos 
então
Propriedades
Considere os limites abaixo 
Então
 
Teorema
Seja uma função, e subconjuntos do conjunto e um ponto de acumulação de e . Se tem limites diferentes quando tende a através dos pontos de e então 
não existe. 
Exemplo: Calcule o limite da função 
quando e quando 
 Solução: 
 não existe.
Continuidade
Dados uma função e um ponto de acumulação de . Dizemos que é contínua em se as seguintes condições forem satisfeitas:
 está definida no ponto 
 existe;
Exemplo: Mostre a continuidade da função
nos pontos e 
Solução:
.
Portanto é contínua no ponto 
Mas é descontinua no ponto .
Teoremas 
Multiplicação de funções contínuas é contínua 
Composição de funções contínuas é contínua 
UNIDADE 1
Tópico 4
Interpretação Geométrica – Derivada Parcial
Derivada Parcial 
Definição: Seja uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de primeira ordem da função são 
Notação: 
Exemplo: Calcular e da função 
Solução: 
Propriedades de derivadas 
Derivadas parciais de segunda ordem
Exemplo: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de 
Solução: 
Teorema de Schwarz 
Dado uma função de duas variáveis reais definida em uma bola aberta com as suas derivada parciais de segunda ordem continuas em Então as derivadas mistas são iguais, ou seja, 
para todo 
UNIDADE 2
Tópico 1
Regra da Cadeia 
A regra da cadeia é usada para derivar funções compostas.
Funções de uma variável 
	 e 
temos 
ou
 
Exemplo: Calcule da função 
	 
Solução: Nesse caso 
e 
Portanto 
Regra da Cadeia 
Seja uma função diferenciável, onde e são funções diferenciáveis de . Então a função 
é uma função diferenciável em relação a e 
Exemplo: Calcule usando regra da cadeia da função
 
onde 
Solução: 
Regra da cadeia para derivadas parciais 
Seja uma função diferenciável, onde e são funções diferenciáveis de e . Então a função
 
é uma função diferenciável em relação a e a 
Derivação Implícita 
Considere a relação 
onde depende de .
Como calcular a derivada de em relação a ?
 
Derivação Implícita 
Suponha que seja diferenciável e que a equação
 
defina como função diferenciável de . Então em qualquer ponto onde temos
Exemplo: Calcule se
Solução: Temos 
 
UNIDADE 2
Tópico 2
Diferenciabilidade
 é diferenciável em se existe 
ou
Diferenciabilidade 
Seja uma função definida no conjunto aberto Dizemos que é diferenciável no ponto se as derivadas parciais e existem e se 
onde 
Se é diferenciável em todos os pontos então é dita diferenciável. 
Teoremas 
Teorema: Se é diferenciável em então é contínua em cada ponto de .
Teorema: Se as derivadas parciais e existem em algum conjunto aberto contendo e são contínuas em então é diferenciável em 
Teoremas 
Teorema: Se é diferenciável em então é contínua em cada ponto de .
Teorema: Se as derivadas parciais e existem em algum conjunto aberto contendo e são contínuas em então é diferenciável em 
Exemplo: Verifique que a função 
é contínua no ponto 
Solução: 
São contínuas logo é diferenciável e portanto é contínua 
Diferencial 
Considere é diferenciável. A diferencial de é dada por
 e são diferenciais das variáveis e .
Exemplo: O raio e a altura de um cilindro são medidos com 3m e 8m respectivamente, com possíveis erros de 0,05m. Use diferenciais para calcular o erro máximo no cálculo do volume. 
Solução : 
Temos um erro de no máximo 8,95 
Gradiente 
Considere uma função que admite derivadas parciais no ponto O gradiente de no ponto é o vetor 
Gradiente genérico 
Teorema 
Seja uma função diferenciável na bola abera centrada em e que . 
i) Então é normal à curva de nível passando por . 
ii) A taxa máxima de crescimento no ponto ocorre na direção e no sentido do gradiente e é a taxa máxima de variação.
iii) A taxa mínima de crescimento no ponto ocorre na direção e no sentido contrário do gradiente.
Vetor gradiente normal à curva de nível 
FONTE: Livro Didático
Exemplo: Encontre a direção e a taxa de variação máxima de
 no ponto 
Solução : 
Direção 
Taxa 
UNIDADE 2
Tópico 3
Ponto Crítico 
Dado uma função o ponto é um ponto crítico se uma das alternativas acontece 
 e 
Pelo menos umas das derivadas parciais não existe no ponto 
Exemplo: Considere a função 
Solução: 
Ponto crítico 
Classificação dos pontos críticos:
Ponto de Mínimo;
Ponto de máximo;
3) Ponto de sela 
FONTE: http://professorglobal.cbpf.br/mediawiki/images/4/49/Sela.jpg
Hessiana 
Dado uma função de classe a Hessiana no ponto é a matriz 
Exemplo: Considere a função 
Solução: 
Teste da segunda derivada
Dado uma função de classe e um ponto crítico, então 
i) Se e , então é um ponto de mínimo local de 
ii) Se e , então é um ponto de máximo local de 
iii) Se , então é um ponto de sela local de 
iv) Se nada se conclui. 
Exemplo: Considere a função 
Solução: 
 é ponto de sela.
Aplicação 
Exemplo: Você vai construir uma piscina retangular com um volume de 108e quer gastar o mínimo de material para a construção. 
Solução: 
 é o ponto de mínimo local
UNIDADE 2
Tópico 2
Integral sob um retângulo 
FONTE: Livro Didático 
Integral sob um retângulo 
O volume sob uma superfície é a integral dupla de sobre o retângulo A integral dupla é definida de seguinte forma 
com 
Exemplo: Calcule o volume sob uma superfície
sobre o retângulo 
Solução: 
Teorema de Fubini
Sefor contínua no retângulo então 
Integral sobre regiões genéricas 
Tipo I
Uma região plana do Tipo I, é uma região que está contida entre o gráfico de duas funções, de contínuas
Então a integral dupla é 
Tipo I
Exemplo: Calcule 
delimitada pelas curvas e 
Solução: 
Tipo II
Uma região plana do Tipo II, é uma região que está contida entre o gráfico de duas funções, de y contínuas
Então a integral dupla é 
Tipo II
Exemplo: Calcule 
delimitada pelas curvas e 
Solução: 
UNIDADE 3
Tópico 1
Só depende de 
Só depende de 
ED ordinária 
Primeira ordem
Solução:
Será que é separável? 
EDO DE PRIMEIRA ORDEM
Primeira ordem
Tanto quanto dependem de .
Linear
ED ordinária 
Solução:
 
Fator Integrante
Solução geral 
Integral por partes 
EDO DE PRIMEIRA ORDEM
Solução:
Solução geral 
EDO DE PRIMEIRA ORDEM
EDO DE SEGUNDA ORDEM
ED ordinária 
Segunda ordem
e são coeficientes da EDO
 EDO homogênea 
0
Caso 1: Se a equação tem duas raízes reais e então a solução da EDO é da forma
 
Caso 2: Se a equação tem apenas uma raiz reais então a solução da EDO é da forma
 
Caso 3: Se a equação tem duas raízes complexas e então a solução da EDO é da forma 
Exemplo: Encontre a solução geral da EDO de segunda ordem
Solução:
Exemplo: Encontre a solução geral da EDO de segunda ordem
Solução:
A solução geral é da forma