Teoria das Filas: Processos Estocásticos

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Processos 
Estocásticos
Processos estocásticos: teoria
das filas
Mariana S. Ribeiro de Oliveira
• Unidade de Ensino: 4
• Competência da Unidade: Conhecer os elementos básicos da teoria das
distribuições associadas às sequências de variáveis aleatórias.
• Resumo: Nesta unidade serão apresentados os conceitos fundamentais da
teoria das filas, englobando as características, notações e terminologia.
• Palavras-chave: Teoria das filas; Característica de filas; Notações e
terminologia em filas.
• Título da Teleaula: Processos estocásticos: teoria das filas
• Teleaula nº: 4
Contextualização
• Por que as filas existem?
• Qual o melhor tipo de fila a ser adotada?
• Quais as características principais de uma fila?
Fonte: Google Imagens. Disponível encurtador.com.br/oGQSZ
Acesso em: 05 fev. 2021.
Elementos de uma fila
Elementos de uma fila
 O processo de chegada;
 O tipo de atendimento;
 A disciplina da fila;
 A capacidade do sistema. 
Fonte: Google Imagens. Disponível encurtador.com.br/gFVZ6 Acesso 
em: 05 fev. 2021.
O cliente é um dos principais agentes da teoria 
das filas
Um cliente pode ser uma pessoa que chega à estação
de serviço de uma loja, mas também pode ser um
pedido de arquivamento etc.; de forma genérica
os clientes são os que chegam a uma estação de
serviço.
A chegada de Clientes é representada pelo 
intervalo de tempo entre clientes 
sucessivos.
Tipo de atendimento
O tipo de atendimento (λ):
 Quando a população é finita, a taxa de chegada
dependerá da população;
 População Finita – taxa de chegada variável;
 População Infinita – taxa de chegada constante;
 Taxas das chegadas (λ): número médio de clientes
que chegam procurando serviço por unidade de tempo.
Disciplina da fila
 Primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido (FCFS);
 Último a chegar primeiro a ser atendido (LCFS);
 Atendimentos aleatórios (Siro):
Prioritário 
Preemptivo
Não preemptivo
Tipos de fila
Infinita
Finita
Além do processo de chegada e 
do tempo de serviço, o modo de 
atendimento influenciará na fila 
formada. Mas o que é o modo de
atendimento? 
Capacidade do sistema
Capacidade do sistema
É a quantidade de servidores (Unidade de atendimento +
capacidade da fila de espera).
• Taxa de serviço (µ): Número médio de clientes que
podem ser atendidos por cada servidor por unidade de
tempo.
• 1/µ é a duração média do serviço
Capacidade máxima do sistema
A capacidade máxima pode ser limitada. Sistemas com
filas de capacidade infinita, todos os clientes serão
atendidos.
Fonte: Google Imagens. encurtador.com.br/szBM4 
Acesso em: 05 fev. 2021.
Processos de chegadas
Quantos “clientes” chegam por tempo ao meu sistema no tempo [0,T)?
• A chegada é dada por uma média, representada por (λ);
• Essas chegadas poder ser em grupos ou individuais.
Fonte: Akkari (2017).
Processos de chegadas
No processo de Poisson, as médias de chegadas são dadas
por (λ)
• A distribuição de Poisson nos permite calcular a
probabilidade de ocorrerem as chegadas P(x);
• x = número de chegadas por unidade de tempo para:
(x = 0,1,2,3,4,5,...)
Desempenho do 
Sistema
Capacidade do sistema
• Se λ > μ, ou seja, se a taxa de chegada for maior que a
taxa de atendimento, nossa fila tenderá ao ∞ (infinito);
• Se μ > λ: quanto menor esta relação, menor será o
tamanho da fila.
Existe alguma forma de avaliar o 
desempenho do nosso sistema?
Fonte: Google Imagens. Disponível encurtador.com.br/oGQSZ
Acesso em: 05 fev. 2021.
Tempo médio de espera no sistema
Percentual de tempo que o sistema está ocupado:
Situação-Problema 1
O número médio de carros que chegam a um posto de
combustíveis é igual a 10 carros/hora.
Assume-se que o tempo médio de atendimento por carro
seja de 4 minutos, e ambas as distribuições de intervalos
entre chegadas e tempo de serviço sejam exponenciais.
• Qual o tempo médio que um carro gasta no sistema
(tempo na fila mais o tempo de atendimento)?
• Quantos carros serão atendidos, em média, por hora?
Fonte: Google Imagens. Disponível encurtador.com.br/mGOTX
Acesso em: 05 fev. 2021.
Resolvendo
Qual o tempo médio que um carro gasta no sistema
(tempo na fila mais o tempo de atendimento)?
• Chegada: λ = 10 carros/hora;
• Atendimento: µ = em média, 1 carro a cada 
4 minutos, ou seja 15 carros/hora (60/4). 
Sendo assim, µ = 15 carros/hora. 
 
Resolvendo
Quantos carros serão atendidos, em média, por hora?
 
Tipos de filas
Processo de fila com um servidor e fila única 
Fonte: Akkari (2017).
Processo de fila com mais de um servidor e fila 
única 
Fonte: Akkari (2017).
Processo de fila com mais de um servidor e fila 
individual por servidor 
Fonte: Akkari (2017).
Exemplo
( )
λ
( )
( )
Em um lava jato, em média, chegam por hora três carros (λ
= 3). Após uma campanha publicitária, o proprietário quer
saber a probabilidade de começar a chegar 5 carros por hora
(x = 5).
Notações de fila
Notações de filas. Kendal:
A/B/c/K/Z ou (1/2/3/4/5)
• A ou 1: Processo de chegada (D, M, G)
(trata-se da distribuição de tempo entre chegadas)
• B ou 2: Processo de atendimento (D, M, G)
(distribuição de tempo de serviço)
Notações de filas. Kendal:
A/B/c/K/Z ou (1/2/3/4/5)
• c ou 3: Número de atendes (em paralelo)
(número de servidores ou postos de atendimento)
• K ou 4: capacidade da fila
• Z ou 5: modo de atendimento
Conceitos fundamentais das filas M/M/1
• Distribuição exponencial é consistente com chegadas
aleatórias;
• Processo de Poisson é um tipo especial de processo de
contagem de chegadas no qual algumas hipóteses devem
ser satisfeitas.
1. Incrementos independentes;
2. Independência do tempo;
3. Não ocorrem chegadas simultâneas.
Número de clientes esperado no sistema
Comprimento esperado da fila
Lei de Little 
Relação entre o número de usuários que estão no sistema
ou na fila e o tempo médio que eles gastam na fila.
Taxa de chegada e 
Taxa de Serviço
Taxa de chegada e serviço
• Razão entre a taxa de chegada e a taxa de serviço.
• Distribuição estacionária, representada por π.
 c
 + 
 
Distribuição estacionária
• Nos casos em que, 0 ≤ n < c a distribuição estacionária 
ficará:
• Caso n ≥ c , com: 
Processo recorrente positivo
Se λ < c também dizemos que o processo será recorrente
positivo, ou seja, o tempo médio recorrente será finito.
Número de clientes esperado no sistema (L)
Processo recorrente finito
Se λ < c também dizemos que o processo será recorrente
positivo, ou seja, o tempo médio recorrente será finito.
O tempo de espera para cada usuário, incluindo o 
tempo de serviço
.
O comprimento esperado da fila (Lq)
O tempo de espera para cada usuário na 
fila (excluindo o tempo de serviço)
. 
Situação-Problema 2
Chegam 25 automóveis a essa bomba de combustível por
hora e cada automóvel requer, em média, 2 minutos para ser
abastecido.
Qual o tempo de espera para 
cada usuário (incluindo e 
excluindo o tempo de serviço)?
Fonte: Google Imagens. Disponível encurtador.com.br/oGQSZ
Acesso em: 05 fev. 2021.
Resolvendo
Chegada
λ = 25 carros/hora
Atendimento 
µ = em média, 2 minutos, ou seja (60/2). 
Sendo assim, µ = 30 carros/hora.
Resolvendo
No sistema
.
= .
Resolvendo
Na fila
.
²
² = .
Kahoot
Recapitulando
 Elementos de uma fila
 Capacidade de sistema
 Desempenho de sistema
 Tipos de fila
 Notações de fila
 Taxa de chegada e serviço
Fonte: Google Imagens. Disponível : 
encurtador.com.br/psGNXAcesso em: 04 fev. 2021.
Recapitulando