CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL - Atividade A1

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CÁLCULO 
NUMÉRICO 
COMPUTACIONAL 
ATIVIDADE A1 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
JULIO ALAFE COPA 
UNIVERDADE ANHEMBI MORUMBI 
ENUNCIADO 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
O tempo que o objeto leva para atingir o solo é obtido quando a sua altura é equivalente a zero, ou 
seja, S(t) = 0. Portanto, esse tempo é encontrado quando calculamos a raiz da função S(t) para t > 0. Iremos 
encontrar esse tempo utilizando o método gráfico para isolar a raiz e o método da bisseção para refinamento 
do valor dentro da precisão esperada. Substituindo os valores apresentado na função, temos: 
 
𝑆(𝑡) = 𝑆0 −
𝑚 ∙ 𝑔
𝑘
∙ 𝑡 +
𝑚2 ∙ 𝑔
𝑘2
∙ (1 − 𝑒
−𝑘∙𝑡
𝑚 ) 
 
𝑆(𝑡) = 40 −
2 ∙ 9,81
0,6
. 𝑡 +
22 ∙ 9,81
0,62
. (1 − 𝑒
−0,6∙𝑡
2 ) 
 
𝑆(𝑡) = 40 − 32,7. 𝑡 + 109 ∙ (1 − 𝑒−0,3∙𝑡) 
 
𝑆(𝑡) = 149 − 32,7. 𝑡 − 109 ∙ 𝑒−0,3∙𝑡 
 
O primeiro passo na aplicação do método do gráfico é substituir a função S(t) por duas outras funções 
g(t) e h(t), de modo que: 
 
𝑆(𝑡) = 𝑔(𝑡) − ℎ(𝑡) 
 
Sendo assim, temos: 
 
𝑆(𝑡) = 149 − 32,7. 𝑡 − 109 ∙ 𝑒−0,3∙𝑡 
 
𝑔(𝑡) = 149 − 32,7. 𝑡 
 
ℎ(𝑡) = 109 ∙ 𝑒−0,3∙𝑡 
 
Montando o gráfico das duas funções: 
 
 
 
A raiz da função S(t) é obtida no ponto do eixo t para o qual g(t) = h(t). No gráfico, é possível observar 
que esse ponto está situado entre 3,0 e 3,5 segundos. 
 
O segundo passo é aplicar o método da bisseção para refinar o valor de t para o qual S(t)=0. Para 
calcular a quantidade de iterações que devemos fazer para atingir um erro menor que 0,001, temos: 
 
𝑛 ≥ 
ln (
𝑏 − 𝑎
𝐸 )
ln 2
− 1 
 
Onde: 
𝑛 − 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 
𝑏 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡, 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 3,5 
𝑎 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡, 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 3,0 
𝐸 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜, 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 0,001 
 
Substituindo os valores: 
 
𝑛 ≥ 
ln (
3,5 − 3,0
0,001 )
ln 2
− 1 → 𝑛 ≥ 
ln (
0,5
0,001)
ln 2
− 1 → 𝑛 ≥ 
ln (
1000
2 )
ln 2
− 1 
 
𝑛 ≥ 
ln 500
ln 2
− 1 → 𝑛 ≥ 7,96 
 
Portanto, para chegarmos ao resultado da raiz da função S(t) com erro de 0,001, precisamos calcular 
no mínimo 8 iterações. A planilha abaixo apresenta os cálculos das iterações até o resultado desejado: 
 
 
Portanto, o resultado para o cálculo da raiz com erro de 0,001 é equivalente a 3,32910. Esse é o 
tempo que o objeto leva para atingir o solo quando abandonado a 40 m de altura.