SIMULADO MODELAGEM MATEMATICA

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Disc.: MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
Acertos: 8,0 de 10,0 17/04/2022 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Determine a raiz da função: f(x)=x4−2,4x3+1,03x2+0,6x−0,32 
Calcule, a partir de um método que não recorre ao cálculo de derivadas, 
utilizando um intervalo inicial [0,3;0,6] e com 9 iterações. 
 
 
0,50000 
 
0,60000 
 
0,45000 
 
0,48000 
 
0,31000 
Respondido em 17/04/2022 21:27:46 
 
Explicação: 
Gabarito: 0,50000 
Justificativa: Aplicando o método da secante: 
def f(x): 
return x**4 -2.4*x**3 + 1.03*x**2 +0.6*x -0.32 
 
def secante(a, b, iteracoes): 
x_0 = a 
x_1 = b 
for i in range(iteracoes): 
chute = x_0 - f(x_0) * (x_1 - x_0) / (f(x_1) - f(x_0)) 
x_0 = x_1 
x_1 = chute 
erro_rel = (x_1 - x_0)/ x_1 * 100 
return x_1, '{:.2f}%'.format(erro_rel) 
print(secante(0.3, 0.6, 8)) 
0.5000 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
A velocidade v de um foguete Saturno V, em voo vertical perto da superfície 
da Terra, pode ser medida por: 
v=uln(MM−mt)− 
onde 
u=2510m/s=velocidade de exaustão em relação ao foguete 
M=2,8×106kg=massa do foguete na decolagem 
m=13,3×103kg/s=taxa de consumo de combustível 
g=9,81m/s2=aceleração gravitacional 
t=tempo medido a partir da decolagem 
Determine o tempo em que o foguete atinge a velocidade do som (355m/s) 
. Utilize, para aproximação inicial, o intervalo [70,80] 
. 
 
 
73.8999999 
 
73.281758 
 
80.000000 
 
74.345781 
 
70.000000 
Respondido em 17/04/2022 21:28:13 
 
Explicação: 
Gabarito: 73.281758 
Justificativa: Substituindo os dados da questão e fazendo a t=x 
 
, temos a seguinte função, na qual desejamos encontrar a raiz: 
f(x)=2510ln(2.8×1062.8×106−13.3×103x)−9.81x−355 
Aplicando o método da bisseção: 
import math 
 
from numpy import sign 
def biss(f,x1,x2,switch=1,tol=1.0e-9): 
f1 = f(x1) 
if f1 == 0.0: return x1 
f2 = f(x2) 
if f2 == 0.0: return x2 
if sign(f1) == sign(f2): 
print('Raiz não existe nesse intervalo') 
n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - 
x1)/tol)/math.log(2.0))) 
for i in range(n): 
x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3) 
if (switch == 1) and (abs(f3) > abs(f1)) \ 
and (abs(f3) > abs(f2)): 
return None 
if f3 == 0.0: return x3 
if sign(f2)!= sign(f3): x1 = x3; f1 = f3 
else: x2 = x3; f2 = f3 
return (x1 + x2)/2.0 
 
def f(x): return 2510*math.log(2.8e6/(2.8e6 - 13.3e3*x)) - 
9.81*x -355 
x = biss(f, 70, 80) 
print('x =', '{:6.6f}'.format(x)) 
x = 73.281758 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O método de Gauss-Jordan transforma a matriz A do sistema Ax=b, em uma 
matriz: 
 
 
Pentadiagonal. 
 
Triangular superior. 
 
Triangular inferior. 
 
Identidade. 
 
Tridiagonal. 
Respondido em 17/04/2022 21:28:31 
 
Explicação: 
Por definição o método Gauss Jordan transforma a matriz A numa 
matriz identidade. 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Dado o sistema: 
∣∣ ∣ ∣ ∣∣224−2132131311342∣∣ ∣ ∣ ∣∣ 
∣∣ ∣ ∣ ∣∣x1x2x3x4∣∣ ∣ ∣ ∣∣= ∣∣ ∣ ∣ ∣∣10171827∣∣ ∣ ∣ ∣∣ 
Calcule a soma x1+x2+x3+x4 usando o método Gauss-Jordan 
 
 
12 
 
13 
 
11 
 
9 
 
10 
Respondido em 17/04/2022 21:28:42 
 
Explicação: 
No Python usando método Gauss Jordan: 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) 
no intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 
2: 
 
 
-0,36147 
 
-0,32147 
 
-0,38147 
 
-0,34147 
 
-0,30147 
Respondido em 17/04/2022 21:29:10 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo 
definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o 
código em Python indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.cos(x) 
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True) 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de sen2(x) no 
intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
0,23268 
 
0,21268 
 
0,29268 
 
0,25268 
 
0,27268 
Respondido em 17/04/2022 21:29:28 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo 
definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = sen2(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o 
código em Python indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: sp.sin(x)**2 
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True) 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da 
resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,10. 
Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
0,33 
 
0,31 
 
0,29 
 
0,27 
 
0,25 
Respondido em 17/04/2022 21:51:06 
 
Explicação: 
Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias 
de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos 
importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 
y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 1; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.249 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da 
resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. 
Utilize o método de Euler: 
 
 
15,748 
 
15,648 
 
15,548 
 
15,348 
 
15,448 
Respondido em 17/04/2022 21:42:40 
 
Explicação: 
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em 
equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
O ponto inicial; O ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho 
de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é 
y' = y2; O ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada 
intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução 
da EDO de 1ª ordem y' = y2,sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,10. Utilize o 
método de Runge-Kutta: 
 
 
0,469 
 
0,449 
 
0,489 
 
0,509 
 
0,429 
Respondido em 17/04/2022 21:37:17 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 1; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.428 . 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução 
da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. 
Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
2,609 
 
2,309 
 
2,709 
 
2,509 
 
2,409 
Respondido em 17/04/2022 21:36:59 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 
cos(y) + sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.308