Lista de exercício 1

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Universidade Federal de Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
Prof. Jaime E. Muñoz Rivera
rivera@im.ufrj.br
http//www.im.ufrj.br/˜rivera
Primeira Lista de Exercicios de Cálculo I
Rio de Janeiro 12 de Setembro de 2022
1. Encontre o conjunto solução das desigualdades
x2 − 3x− 1 ≤ 0, x2 − x− 4 ≥ 0, x− 1
x+ 1
≤ 0, x
2 + 2x− 8
x+ 1
≤ 0, x− a
x+ a
≤ 0.
2. Calcule o limite quando n→∞ das seqüência dadas por
xn =
n2 − 2n− 1
4n2 − 3n− 1
, xn =
4n3 + 3n2 − 2n− 5
n3 + n2 − 3n− 4
, xn =
n4 + 4n3 + n2 + n− 6
n4 + n3 + 2n2 − n− 6
Resp: a)1/4, b)4, c)1
3. Assuma que o valor do limite da seqüência
lim
n→∞
(1 +
1
n
)n = e
Calcular o valor dos limites
lim
n→∞
(1 +
3
n
)n+1, lim
n→∞
(1 +
3
n+ 3
)3n−1, lim
n→∞
(5 +
2
n− 1
)3n+2
Resp: a)e3, b)e9, c)∞. Veja secção 3.7 do livro texto.
4. Sejam f : [a, b]→ R e g : [a, b]→ R funções tais que
lim
x→c
f(x) > lim
x→c
g(x)
Mostre que existe δ > 0 tal que
∀ 0 < |x− c| < δ ⇒ f(x) > g(x)
5. Verifique se as seguintes séries são convergentes:
∞∑
i=1
1
2n
,
∞∑
i=1
1
n2
,
∞∑
i=1
n22n,
∞∑
i=1
rn, .
6. Calcule o valor exato das seguintes séries (veja seções 3.10, 3.11)
∞∑
i=1
22n
7n
,
∞∑
i=1
1
n(n+ 1)
,
∞∑
i=1
n
n+ 1
− n+ 1
n+ 2
.
7. Verifique se as funções são injetoras ou sobrejetoras.
f(x) = x2 − 3x− 1, g(x) = x3 − 4, h(x) = x4 − 3x2 − 1.
1
8. Descreva a seqüência das áreas dos triângulos equiláteros seguindo a direção indicada e dos quadradados
mostradas nas figuras. Verifique que o limite das seqüências é zero (Veja a secção 3.3 do texto)
9. Encontre o ponto de interseção da reta y = 3x+ 2 com a parábola y = x2 − 2. Resp: (4, 14), (−1,−1).
10. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→1
3x2 − 2x− 1
4x2 − 3x− 1
, b) lim
x→1
4x3 + 3x2 − 2x− 5
3x3 + 4x2 − 3x− 4
, c) lim
x→1
x4 + 4x3 + 3x2 − 2x− 6
2x4 + 3x3 + 4x2 − 3x− 6
, d) lim
x→4
√
x− 2
x− 4
.
e) lim
x→0
sen (x2)
4x2
, f) lim
x→1
2− 2 cos(x2 − 1)
3x2 − 3
, g) lim
x→1
3− 3 cos(x2 − x)
2sen (x2 − x)
, h) lim
x→0
tan(x2 + x)
2x2 + 2x
i) lim
x→∞
3x2 + x− 1
4x2 − x− 1
, j) lim
x→∞
x3 + 3x2 − 2x− 5
3x3 + 4x2 − 3x− 4
, k) lim
x→∞
x4 + x3 + 3x2 − 2x− 6
2x4 + 3x3 + 4x2 − 3x− 6
l) lim
x→0
1− ex
x
, m) lim
x→0
x
ln(x)
, n) lim
x→0
e3x − 1
2x
, 0) lim
x→0
x2sen (
2
x
).
Resp: a) 4/5, b) 4/7, d) 1/4, e) 0, f) 0, g) 1/2, h) 3/4, i) 1/3, j) 1/2
11. Sejam f : [a, b]→ R e g : [a, b]→ R funções reais. Mostre que
lim
x→c
f(x)
g(x)
= 1, ⇒ lim
x→c
f(x) = lim
x→c
g(x)
para c ∈]a, b[.
12. Mostre que se f é uma função tal que
lim
x→∞
f(x) =∞.
Então existe um a > 0 tal que f(x) > 0 para todo x > a.
13. Sejam f, g : R→ R funções positivas. Mostre que
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= 0 ⇒ ∃c > 0 f(x) < g(x) ∀x ≥ c
14. Sejam f, g : R→ R funções positivas. Mostre que se existe 0 < α < 1 então
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= α ⇒ ∃c > 0 f(x) < g(x) ∀x ≥ c
15. Seja f : R→ R. Mostre que se
lim
x→0
f(x)
x
= α ∈ R ⇒ lim
x→0
f(x) = 0
16. Calcule as assintotas da curva dada por y = 3−
√
x2 + 1 e por y = 2 +
√
3x2 + 1 Resp: a) y = x+ 3 b)
y =
√
3x+ 2. (Veja seção 4.8 do texto)
17. Calcule as assintotas da hiperbola y2 − x2 = 1. Resp: y = ±x
18. Calcular os valores de a, b e c de tal forma que as funções sejam cont́ınuas
f(x) =
 ax− x
2 + b se x ≤ 1
2x− 2ax2 + 2b se 1 ≤ x ≤ 3
ax2 − ax− 2b se 3 ≤ x
, f(x) =
 ax
3 − x2 + bx se x ≤ 1
2x2 − 2ax+ 2b se 1 ≤ x ≤ 3
ax2 − ax− 2b se 3 ≤ x
Resp: a) a = −1/2, b = −9/2, b) Não Existe.
2
19. Usando a definição mostre que as funções
f(x) = 2x− 1, f(x) = x2 − 2x− 1, f(x) = sen (x), f(x) = cos(x)
são cont́ınuas no ponto x = 0.
20. Mostre que todo polinômio de grau três tem pelo menos uma raiz real.
21. Mostre que todo polinômio de grau impar tem pelo menos uma raiz real.
22. Utilizando a definição calcule a derivada das seguintes funções no ponto x = 1.
f(x) =
√
x, f(x) = sen (x), f(x) = ln(x), f(x) =
x
x+ 1
Resp: a)1/2
√
x, b) − cosx, c) 1/x, d) (x+ 1)−2
23. Faça o gráfico da função f(x) = x2/x+ 5. Quantas assintotas possui a curva. (Sug. Veja seção 4.8)
24. Numa comunidade de 10.000 pessoas a razão segundo a qual um boato se espalha é conjuntamente
proporcional (Diremos que uma função f é conjuntamente proporcional as variáveis xy, se existe uma
constante k tal que f = kxy) as pessoas que ouviram o boato e ao número de pessoas que não o ouviram.
Se o boato esta se espalhando a uma razão de 20 pessoas por hora quando 200 pessoas o ouviram, expresse
a taxa segundo o qual o boato está se espalhando como função do número de pessoas que o ouviram. Com
que rapidez o boato está se espalhando quando 500 pessoas o ouviram. Resp. f(x) = x(10000−x)/99800.
25. Laranjeiras no Paraná produzem 60 laranjas por ano se não for ultrapassado o número de 20 árvores por
acre. Para cada árvore a mais plantada por acre o rendimento baixa em 15 laranjas. Denote por x o
número de árvores plantadas por acre. Expresse o número de laranjas produzidas por ano em função de
x e mostre que ela é uma função cont́ınua. Resp. f(x) = x(60− 15x).
26. Utilizando a definição de derivada (não usar fórmulas) calcule a reta tangente a curva no ponto (2, 4) da
curva y = 1 +
√
4x+ 1. Resp: y = 2/3x+ 8/3
27. Encontre o valor de m de tal forma que a reta y = mx seja uma tangente a parábola de vértice no ponto
(2, 2) e distância focal igual a 1. Resp: m = −8± 12
√
12
28. Mostre que o raio de um ćırculo é sempre ortogonal a uma reta tangente no ponto de tangência.
29. Encontre o valor de b de tal forma que a reta y = 2x − b seja tangente a elipse centrada na origem com
eixo horizontal igual a 2 e vertical igual a 1. Resp: b = ±
√
17
30. Encontre os valores de h, k, e R de tal forma que o circulo (x−h)2 +(y−k)2 = R2 tenha o maior número
posśıvel de retas tangentes passando pela origem de coordenadas.
31. Calcular a derivada das seguintes funções
f(x) = (x− 1)20(x− 2)15, f(x) = x− 1
x3 + 3x2 + 2x+ 1
, f(x) =
(x− 1)20
(x− 2)15
, f(x) =
(
2x2 + 1
3x3 + 1
)3
.
Resp. a) 5(x−1)19(x−2)14(7x−11) b) (4x3+6x2−2x−1)/(x3+3x2+2x+1) c) 5(x−1)19(x−5)/(x−2)16
d) −3x(2x2 + 1)(6x3 − 9x− 4)/(3x3 + 1)3.
32. Uma escada com 7 metros está encostada em uma parede. Se a base da escada é arrastada em direção a
parede a 1.5m/seg, que tão rápido o topo da escada está subindo pela parede quando a base está a dois
metros dela. Resp. 1.5
√
49− a2/a (a é a posição inicial da escada)
33. Encontre a velocidade com que os ponteiros de um relógio de pulso se acercam as 14:00 horas. Assuma
que os comprimentos dos ponteros são 1cm e 1.5cm
34. Dois blocos estão munidos por uma corda de 6 m de comprimento, que passa por uma roldana situado
a 1.5 m de altura. Se o bloco da izquerda se movimenta a 2m/seg, com que velocidade se movimentará
o segundo bloco quando o comprimento da corda entre a roldana e o primeiro bloco seja igual a 2.5 m.
Considere nulas as forças de atrito.
3
35. Calcular os extremos relativos e os extremos absolutos das funções:
f(x) = x3 + 3x2 − 9x; em [−4, 4], f(x) = 6x1/3 − 2x2/3 em [−7, 7].
e verifique sua respostas utilizando os critérios de segunda derivadas quando for o caso. Faça um esboço
dos gráfico. Resp. a) x = 1 min, x = −3 Max. b) x = 27/8 Max.
Resp. A 15(
√
20−
√
15) metros de A.
36. A resistência de uma viga retangular é conjuntamente proporcional a sua largura e áltura. Encontre as
dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada de uma barra da forma de um cilindro circular
reto de raio 72 cm. Resp. x = y = 72
√
2
37. Uma lata fechada de volume de 27 cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto. Se a tampa e o
fundo circulares são cortados de pedasos quadrados da chapa encontre o raio e a altura de da lata para
que a quantidade de material a ser usado seja mı́nima. Inclua o metal gasto para se obter a tampa e o
fundo. Resp. a) r = 3/2, h = 12/π.
38. Desenhe uma parte do gráficode uma função cont́ınua através do ponto onde x = c se as seguintes
condições são satisfeitas
(a) f ′(c) = 0, f ′(x) < 0, se x < c; f ′′(x) > 0 se x > c.
(b) f ′′(c) = 0, f ′(c) = −1, f ′′(x) < 0 se x < c;
f ′′(x) > 0 se x > c.
Resp.
-�
?
6
c
f(c)
ppppa) -�
?
6
c
f(c)
pppppb)
39. Calcule a raiz no intervalo ]0, 1[ dos seguintes polinômios
p(x) = 3x3 − x2 − 7x+ 2, p(x) = x4 − 3x3 − 4x+ 1, p(x) = 3x5 − x2 − 6x+ 1.
4