AD1-CIII-2017-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Cálculo III – Gabarito – 2017-2
Nome: Matŕıcula:
Questão 1 (6,5 pontos)
Considere a função vetorial
r : λ ∈ R 7−→
(
6− 2
√
3 + λ
√
3, λ
)
∈ R2,
e seja C o ćırculo centrado em (2,2), que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta para-
metrizada por r.
(a) (4,0 pontos) Encontre uma parametrização de C;
(b) (1,5 ponto) Seja Q o ponto de interseção entre C e a reta parametrizada por r. Encontre a
equação vetorial da reta normal ao ćırculo C, que passa pelo ponto Q.
Solução:
(a) Consideremos a > 0 e seja C : (x − 2)2 + (y − 2)2 = a2 o ćırculo procurado. Ponhamos
x = x(λ) = 6− 2
√
3 + λ
√
3 e y = y(λ) = λ para cada λ ∈ R. Dáı, (x0, y0) ∈ R2 pertence à
reta parametrizada por r se, e somente se, existir λ0 ∈ R tal que
x0 − 6 + 2
√
3√
3
= λ0 = y0,
isto é,
x0 =
√
3y0 + 6− 2
√
3.
Em particular, supondo que (x0, y0) ∈ C, temos
(
√
3y0 + 4− 2
√
3)2 + (y0 − 2)2 = a2,
que equivale a
4y20 − (8
√
3− 16)y0 + (32− 16
√
3− a2) = 0.
Dáı, para que a reta parametrizada por r seja tangente à C no ponto (x0, y0), é necessário e
suficiente que o discriminante da última equação de segundo grau acima, dado por
∆ = (8
√
3− 16)2 − 4 · 4(32− 16
√
3− a2) = 16(−4 + a2),
seja igual a zero. Como
∆ = 0⇐⇒ a2 = 4
e a > 0, resulta que a = 2, ou seja, C é o ćırculo centrado P = (2, 2) que tem raio igual a 2.
Finalmente,
γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ (2 + 2 cos t, 2 + 2sen t) ∈ R2
é uma parametrização de C.
Cálculo III AD1 2
(b) Pelo item (a), o ponto Q = (x0, y0) no qual o ćırculo C é tangenciado pela reta parametrizada
por r, tem suas coordenadas satisfazendo
4y20 + (8
√
3− 16)y0 + (32− 16
√
3− a2) = 0.
e
x0 =
√
3y0 + 6− 2
√
3,
onde a = 2. Resolvendo a primeira dessas equações, temos
y0 =
−(8
√
3− 16)± 0
2 · 4 = 2−
√
3.
Consequentemente,
x0 =
√
3(2−
√
3) + 6− 2
√
3 = 3.
Dáı, Q = (3, 2 −
√
3). Agora, como a reta normal à curva C em Q é perpendicular à reta
parametrizada por r = r(λ), que tem vetor diretor ~u = (
√
3, 1), segue que tal reta normal
deve ter o vetor ~v = (1,−
√
3) como vetor diretor. Portanto, a equação vetorial da reta normal
ao ćırculo C, que passa pelo ponto Q, é dada por
r1(λ) = Q+ λ~v = (3, 2−
√
3) + λ(1,−
√
3) = (3 + λ, 2−
√
3− λ
√
3),
onde λ ∈ R.
Questão 2 (4,5 pontos) Seja C a curva obtida pela interseção das superf́ıcies S1 e S2, dadas por
3x− 2z3 = 0 e y − z2 = 0, respectivamente. Nessas condições:
(a) (1,5 ponto) Encontre uma parametrização para C, indicando o intervalo onde a mesma está
definida.
(b) (1,5 ponto) Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C, que passa pelo ponto
P = (18, 9, 3).
(c) (1,5 ponto) Calcule o comprimento de C, da origem até o ponto P = (18, 9, 3).
Solução:
(a) Para cada (x, y, z) ∈ C = S1 ∩ S2, sabemos que
x = 2z
3
3 e y = z
2.
Portanto, a função vetorial γ : R −→ R3, definida por
γ(t) =
(
2t3
3 , t
2, t
)
é uma parametrização para C.
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Cálculo III AD1 3
(b) Seja γ como no item anterior. Como γ(3) = (18, 9, 3) = P e
γ′(t) = (2t2, 2t, 1)
para todo t ∈ R, deduzimos que
r(λ) = γ(3) + λγ′(3) = (18, 9, 3) + λ(18, 6, 1) = (18 + 18λ, 9 + 6λ, 3 + λ)
(λ ∈ R) é a equação vetorial da reta tangente à curva C, que passa pelo ponto P .
(c) O comprimento do arco de C, que liga a origem ao ponto P , é dado por
`(C) =
∫ 3
0
‖γ′(t)‖dt =
∫ 3
0
√
4t4 + 4t2 + 1dt =
∫ 3
0
(2t2 + 1)dt = 21
(unidades de comprimento), observando que γ(0) = (0, 0, 0) e γ(3) = P .
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