Questão resolvida - Calcule, tanto o método das seções transversais quanto o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas funções f(x)3x e g(x)x ao re

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Questão 5) Calcule, tanto o método das seções transversais quanto o método das cascas 
cilíndricas, o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas funções 
 e ao redor:f x = 3x( ) g x = x( ) 2
 
(a) do eixo .x
 
(b) do eixo .y
Resolução:
 
O primeiro passo é encontrar a interseção entre as funções, para isso, vamos igualar as 
expressões de e e resover para ;f x( ) g x( ) x
 
x = 3x x - 3x = 0 x - 3 x = 02 → 2 → ( )
 
x = 0 ou x - 3 = 0 x = 3→
 
Assim, os pontos de intercessão são;
 
se x = 0 f 0 = 3 ⋅ 0 f 0 = 0 ponto 0, 0→ ( ) → ( ) → ( )
 
 
 
se x = 3 f 3 = 3 ⋅ 3 f 3 = 9 ponto 3, 9→ ( ) → ( ) → ( )
 
Graficamente, temos;
 
a)
 
Método das seções transversais
 
O método dos discos é um caso particular do uso do método das seções transversais, já que 
consideramos que as seções são círculos de raio , ou seja;r x( )
 
 
V = A x dx = 𝜋r x dx = 𝜋 r x dx
b
a
∫ ( )
b
a
∫ 2( )
b
a
∫ [ ( )]2
 
 
Fazendo , a fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução, girando F x = r x( ) ( )
em torno do eixo , é;x
 
V = 𝜋 F x dx
b
a
∫ [ ( )]2
 
Queremos o volume formado pela região de intercessão, esse volume é dado pela subtração 
do volume gerado pela curva de cima pela curva de baixo, o limite de integração vai de a 0
 
 
0, 0( )
3, 9( )
, com isso, o volume que queremos é dado por; 3
 
V = 𝜋 3 ⋅ 27 - = 𝜋 81 - = 𝜋 = 𝜋
243
5
243
5
405 - 243
5
162
5
 
 V = u. v.
162𝜋
5
 
Método das cascas cilíndricas
 
Usando o método das seções transversais para esse caso, devemos colocar e em f x( ) g x( )
função de ;y
 
f x = 3x y = 3x 3x = y x = f y =( ) → → →
y
3
→ ( )
y
3
 
 
g x = x y = x x = y x = g y =( ) 2 → 2 → 2 → y→ ( ) y
 
O método das cascas cilíndricas para um volume em que a área gira em torno de é dada x
por;
 
V = 2𝜋 yF y dy
b
a
∫ ( )
Veja, pelo gráfico, que os limites de integração vão em de a . Esse método fornece o y 0 9
volume pela soma infinitesimal da área lateral de cilindros, dessa forma, a altura de cada 
cilindro, em relação ao eixo , é dado pela subtração da curva se cima , menos a y y
 
 
V = 𝜋 3x - x dx = 𝜋 3x - x dx = 𝜋 9x - x dx
3
0
∫ ( )2 2 2
3
0
∫ ( )2 2 2
3
0
∫ 2 4
 V = 𝜋 - = 𝜋 3x -
9x
3
3 x
5
5 3
0
3 x
5
5 3
0
 
 V = 𝜋 3 3 - - 3 0 -( )3
3
5
( )5
( )3
0
5
( )5
0
(Resposta - a.1 )
curva de baixo (isso em relação ao eixo );
y
3
y
 
V = 2𝜋 y - dy = 2𝜋 y y - dy = 2𝜋 y ⋅ y - dy
9
0
∫ y y
3
9
0
∫
1
2
y
3
9
0
∫ 1
1
2
y
3
2
 
V = 2𝜋 y - dy = 2𝜋 y - dy = 2𝜋 y - dy
9
0
∫ +1
1
2
y
3
2 9
0
∫
1 + 2
2 y
3
2 9
0
∫
3
2
y
3
2
 
V = 2𝜋 - = 2𝜋 - = 2𝜋 -
y
+ 1
+1
3
2
3
2
y
3 ⋅ 3
3 9
0
y
3 + 2
2
3+2
2
y
9
3 9
0
y
5
2
5
2
y
3 ⋅ 3
3 9
0
 
V = 2𝜋 - 9 = 2𝜋 - 81 = 2𝜋 - 81 = 2𝜋 - 81
2
5
9
5
( )2
2 3
5
( )5 2 3
5
( )5 2 ⋅ 243
5
 
V = 2𝜋 - 81 = 2𝜋 = 2𝜋 ⋅
486
5
486 - 405
5
81
5
 
 V = u. v.
162𝜋
5
 
b)
 
Método das cascas cilíndricas
 
Usando o método das cascas cilíndricas, temos que o volume em torno do eixo é dado y
pela expressão;
V = 2𝜋 xF x dx
b
a
∫ ( )
 
 
V = 2𝜋 ⋅ - = 2𝜋 - = 2𝜋 - = 2𝜋 - 9
y
1
5
2 2
5
y
9
3 9
0
2y
5
5
2 y
9
3 9
0
2 9
5
( )
5
2 9
9
( )3 2
5
9
5
( )2
2
(Resposta - a.2)
Para nosso caso, como se trata de um volume formado por 2 curvas, girando em torno de , y
com limite de integração indo de a , temos que o volume é dado por;0 3
 
V = 2𝜋 x 3x - x dx = 2𝜋 3x - x dx = 2𝜋 - = 2𝜋 x -
3
0
∫ 2
3
0
∫ 2 3 3x
3
3 x
4
4 3
0
3
x
4
4 3
0
 V = u. v.
27𝜋
2
 
Método das seções transversais
 
 Com dito no item anterior, o método dos discos é um caso particular do método das seções 
tranversais. Com queremos, agora, o volume em torno do eixo , o método dos discos fica;y
 
V = 𝜋 F y dy
b
a
∫ [ ( )]2
Observe que as funções tevem estar em função de , temos do item que;y a)
 
f y = e g y =( )
y
3
( ) y
 
Aqui, representa a função de cima e a função de baixo, o limite de integração em g y( ) f y( )
 vai de a , dessa forma, o volume é dado por;y 0 9
V = u. v.
27𝜋
2
 
 
V = 2𝜋 3 - - 0 - = 2𝜋 27 - = 2𝜋 = 2𝜋( )3
3
4
( )4
( )3
0
4
( )4 81
4
108 - 81
4
108 - 81
4
 V = 2𝜋 = 𝜋
27
4
2 ⋅ 27
4
0
2
V = 𝜋 - dy = 𝜋 y - dy = 𝜋 y - dy = 𝜋 -
9
0
∫ y 2 y
3
2 9
0
∫ y
3
2
( )2
9
0
∫ y
9
2 y
2
2 y
3 ⋅ 9
3 3
0
 
V = 𝜋 - = 𝜋 - - - = 𝜋 - = 𝜋 - 27 = 𝜋
y
2
2 y
27
3 3
0
9
2
( )2 9
27
( )3 0
2
( )2 0
27
( )2 81
2
729
27
81
2
81 - 5
2
0
(Resposta - b.1)
(Resposta - b.2)