Lista 4 - Derivadas II

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
MAT 140 - Cálculo I 2022/I
4a Lista de Exerćıcios: Derivada/II
1) Derive as funções abaixo, simplificando sempre que posśıvel.
a) f(x) = (
3
√
x2 + x)2
b) f(x) =
(
3x+
5
x
)
(x
√
x+ 1)
c) f(x) =
x
x2 − 4
d) f(x) = 3
√
1− x2
e) f(x) = (2x+ 1)3(x2 + 5)4
f) f(x) =
(x5 + 1)3
(1− x3)4
g) f(x) = sen(
√
x)
h) f(x) = cos3(3x2)
i) f(x) = tg
(
x√
x− 1
)
j) f(x) = ex
2
+ cossec(x3 + 1)
k) f(x) = ln
(
x+ 1
x− 1
)
l) f(x) = cos(4x lnx)
m) f(x) = ln(x+
√
x2 + 1)
n) f(x) = 3−x
2
o) f(x) = e2x arctg(3x)
p) f(x) =
x tg(x)
ln(x)
2) Seja f(x) =
1
ex2
. Determine, se existirem, as equações da reta tangente e normal à curva y = f(x) no
ponto cuja abcissa é 1.
3) Dada a curva f(x) = 3
√
3x+ 2, determine, se posśıvel:
(a) os pontos da curva onde a reta tangente é paralela a reta y = 2.
(b) a equação da reta tangente à curva nos pontos onde a inclinação é 45◦.
4) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f definida por f(x) =
1
x
que passa pelo
ponto (0, 4).
5) Determine y′ =
dy
dx
em que y = y(x) é dada implicitamente pela equação:
a) y7 + ln(sen(xy2)) = e2x
3+x
b) tg(y) = xy − 1
c) y3 − x−yx+y = 0
d) x3y − ysec(x) = 1x + x− y
e) exy = x+ y − 3
f) y2 + 4xy + x3 = 0
g) cos(x+ 2y) = y2e4x
h)
x
y
+ ln(xy) = 5x
6) Encontre a equação da reta tangente à curva e2y + xy + x = 3 que passa num ponto cuja ordenada é
nula.
7) Seja f : R →
(
−π2 ,
π
2
)
definida por f(x) = arctg(x). Sabendo que y = f(x) é derivável, mostre que
y′ =
1
1 + x2
.
1
8) Seja f : R → (0, π) definida por f(x) = arccotg(x). Sabendo que y = f(x) é derivável, mostre que
y′ = − 1
1 + x2
.
9) Seja f(x) = arcsec(x), definida para |x| ≥ 1. Sabendo que y = f(x) é derivável para |x| > 1, mostre
que y′ =
1
|x|
√
x2 − 1
.
10) Seja f(x) = arccossec(x), definida para |x| ≥ 1. Sabendo que y = f(x) é derivável para |x| > 1,
mostre que y′ = − 1
|x|
√
x2 − 1
.
11) Determine f (n) em cada caso:
(a) f(x) = eax, n = 100
(b) f(x) = ln(3x+ 1), n = 4
(c) y =
1
x+ a
, n = 4
12) Sejam f : R→ R uma função duas vezes diferenciável e g : R→ R dada por
g(x) = f(x+ 2cos(3x)).
(a) Calcule g′′(x).
(b) Supondo f ′(2) = 1 e f ′′(2) = 8, calcule g′′(0).
13) Considere a função g(x) = [f(x)]2cos(x), onde f : R → R é duas vezes diferenciável, f(0) = 3 e
f ′(0) = f ′′(0) = 2. Calcule g′′(0).
14) Determine o valor das constantes a e b para que a função y = asen(2x) + bcos(2x) satisfaça a equação
y′′ + y′ − 2y = sen(2x).
15) Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto indicado.
(a) ln(y) = x+ y2 no ponto P = (−1, 1).
(b) x3 = y2y no ponto em que a reta normal é vertical.
16) Obtenha o polinômio p(x) de grau 2 tal que p(1) = 5, p′(1) = 3 e p′′(1) = −4.
17) Determine os pontos cŕıticos e intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
a) f(x) =
x+ 2
x− 1
b) f(x) = x+
1
x
,
c) f(x) = 2− e−x,
d) f(x) =
x3 − x2 + 1
x
,
e) f(x) = ln
(
x− 1
x+ 2
)
f) f(x) = (x+ 1) ln(x+ 1)− x
g) f(x) = x3 − 3x2 + 1
h) f(x) =
ex
x
i) f(x) =
3x2 + 4x
1 + x2
j) f(x) = x7/3 + x4/3 − 3x1/3
18) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função f cuja derivada é dada por
f ′(x) = (x2 − 1)(x− 2)(x+ 3).
19) Determine os máximos e mı́nimos locais das seguintes funções, caso existam:
2
(a) f(x) =
x
1 + x2
,
(b) f(x) = ex − e−3x,
(c) f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x+ 3,
(d) f(x) = x3 + 2x2 − 4x+ 1,
(e) f(x) =
x+ 2
x− 2
,
(f) f(x) =
x2
x+ 3
.
20) Determine os pontos de máximo e mı́nimo globais de cada uma das seguintes funções nos intervalos
dados.
a) f(x) = x3 + 5x− 4; [−3,−1]
b) f(x) = x3 + 3x2 − 9x; [−4, 4]
c) f(x) = 2sen x; [−π, π]
d) f(x) = x4 − 8x2 + 16; [0, 3]
e) f(x) = x4 − 8x2 + 16; [−4, 0]
f) f(x) =
x
x+ 2
; [−1, 2]
g) f(x) =
x+ 1
2x− 3
; [0, 1]
h) f(x) = (x+ 1)2/3; [−2, 1]
i) f(x) =
{
2x− 7 se − 1 ≤ x ≤ 2
1− x2 se 2 < x ≤ 4
; [−1, 4].
21) Em cada item, faça o estudo de concavidade e determine os pontos de inflexão da função f dada.
a) f(x) = x3 − 3x2 − 9x
b) f(x) = x e−2x
c) f(x) =
x
1 + x2
d) f(x) = xe1/x,
e) f(x) = x ln(x).
f) f(x) = e−x − e−2x
g) f(x) =
x2
x2 − 2
h) f(x) = (x− 1)1/3
i) f(x) =
{
x2 − 1 se x < 2
7− x2 se 2 ≤ x
j) f(x) =
{
x3 se x < 0
x4 se 0 ≤ x
22) Se f(x) = ax3 + bx2 + cx, determine a, b, c de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em
(1, 2) e que a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão seja −2.
23) Se f(x) = ax3 + bx2 + cx+d, determine a, b, c e d de forma que o gráfico de f tenha um ponto extremo
relativo em (0, 3) e que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1,−1).
24) Se f(x) = ax2 + bx + c, use o teste da segunda derivada para mostrar que f tem um valor máximo
relativo, se a < 0. Ache onde ele ocorre.
25) Para cada uma das funçõe a seguir, determine:
(i) Os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente,
(ii) Os valores de máximo e mı́nimo local de f ,
(iii) Os intervalos nos quais f possui concavidade para baixo ou para cima e os pontos de inflexão, se
existirem.
a) f(x) = x4 − 2x2 + 3.
b) f(x) = senx+ cosx, o ≤ x ≤ 2π.
c) f(x) = e2x + e−x.
d) f(x) =
lnx√
x
.
3
26) Em cada item, dada a função f , faça o que se pede:
i) Determine seu domı́nio e determine seus pontos cŕıticos;
ii) Exiba os intervalos de crescimento e decrescimento;
iii) Determine os pontos de inflexão;
iv) Estude a concavidade de f;
v) Determine as asśıntotas verticais e horizontais;
vi) Esboce o gráfico de f .
a) f(x) =
x2 − x
1 + 3x2
;
b) f(x) =
x2
x2 − 1
;
c) f(x) = x3 − 3x2 + 1
d) f(x) = 8x3+30x2+24x+10
e) f(x) =
3x2 + 4x
1 + x2
f) f(x) = xex
g) f(x) =
ln(x)
x
.
h) f(x) =
4x+ 5
x2 − 1
i) f(x) =
x2
x2 − x− 2
j) f(x) =
ex
x2
k) f(x) = x ln(x)
l) f(x) = xx, x > 0
m) f(x) =
x2 + 3
x− 1
n) f(x) =
4x+ 3x2
1 + x2
o) f(x) =
x2 − x+ 1
x2
p) f(x) =
√
x2 + 2x+ 5
27) Mostre que |sen(a)− sen(b)| ≤ |a− b|, para todo a, b ∈ R.
28) Prove que a equação 5x4 − 8x3 + 3x2 − 2x+ 1 = 0 possui uma ráız real em (0, 1).
29) Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimensões do maior campo retangular
que pode ser fechado com 240m de cerca para os outros 3 lados.
30) Ache o número no intervalo [0, 1] tal que a diferença entre o número e seu quadrado seja máxima.
31) Ache a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo x e os dois outros vértices sobre a parábola
y = 9− x2 acima do eixo x.
32) Um pedaço de arame de 10m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada em forma de um triângulo
equilátero e a outra em forma de um quadrado. Como dividir o fio de tal forma que a área combinada
das duas figuras seja mı́nimo.
33) Um fabricante de caixas de papelão de base quadrada deseja fazer caixas abertas de pedaços de
papelão de 12m de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre
o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o maior
posśıvel.
Resp: x = 2m
34) Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se exige cerca ao longo do
rio. Se o material da cerca custa 2, 00 reais por metro para os extremos e 3, 00 reais por metro para
o lado paralelo ao rio, encontre as dimensões do campo de maior área posśıvel que pode ser cercado
com um custo de 480, 00 reais.
Resp: O lado paralelo ao rio deve ser de 80m e os outros dois de 60m.
35) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 3km de largura.
O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6km rio abaixo, de B. Uma companhia telefônica
deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por km de cabo é 25 porcento mais caro sob a água do
que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?
Resp: 5km por água e 2km por terra.
4
36) Se uma lata fechada de estanho, de volume espećıfico, deve ter a forma de um cilindro circular reto,
encontre o quociente daaltura pelo raio da base se em sua fabricação será usada a menor quantidade
de material posśıvel.
Resp:h = 2r = diâmetro.
37) Uma folha de papel para um cartaz tem 1 metro quadrado de área. As margens superior e inferior
valem 10cm e as margens laterais 5cm. Determine as dimensões da folha, sabendo que a área impressa
é máxima.
Resp: 100
√
2cm e 50
√
2cm.
38) Um chalé tem a forma de um triângulo isósceles de 12m de altura e 9m de base. A iluminação na
parede dos fundos é feita através de uma única janela retangular que vai até o chão. Ache as dimensões
para que a área da janela seja a maior posśıvel.
Res: 9/2m e 6m.
39) Deve-se construir um canteiro com a forma de um setor circular. Sabendo que dispomos de 360m de
fio para cercá-lo com três voltas, qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior
posśıvel? Qual é essa área máxima?
Resp: r = 30m e A = 900m2
5
Respostas
1) a) f ′(x) = 2(
3
√
x2 + x)
(
2
3 3
√
x
+ 1
)
b) f ′(x) =
15x3
√
x+ 5x
√
x+ 6x2 − 10
2x2
,
c) f ′(x) =
−x2 − 4
(x2 − 4)2
d) f ′(x) =
−2x
3 3
√
(1− x2)2
e) f ′(x) = (22x2 + 8x+ 30)(2x+ 1)2(x2 + 5)3
f) f ′(x) =
x2(x5 + 1)2(15x2 − 12x5 + 3)
(1− x3)5
g) f ′(x) =
cos(
√
x)
2
√
x
h) f ′(x) = −18xcos2(3x2) sen(3x2)
i) f ′(x) =
(
x− 2
2
√
x− 1(x− 1)
)
sec2
(
x√
x− 1
)
j) f ′(x) = 2xex
2
+cossec(x3 +1) cotg(x3 +1)3x2
k) f ′(x) =
−2
x2 − 1
l) f ′(x) = −sen(4x lnx) (4 lnx+ 4)
m) f ′(x) =
1√
x2 + 1
n) f ′(x) = −2x3−x2 ln 3
o) f ′(x) = 2e2x arctg(3x) + 3e
2x
1+9x2
p) f ′(x) =
ln(x) tg(x) + x ln(x)sec2(x)− tg(x)
(ln(x))2
2) Equação da reta tangente: y =
3
e
− 2x
e
. Equação da reta normal: y =
1
e
+
e
2
(x− 1).
3) a)Não há. b) Para x = −1/3, a equação da reta tangente é y = x+ 4
3
. Para x = −1 a equação da reta
tangente é y = x.
4) y = −4x+ 4.
5) a) y′ =
(6x2 + 1)e2x
3+x − y2cotg(xy2)
7y6 + 2xycotg(xy2)
b) y′ =
y
sec2(y)− x
c) y′ =
2y
3y2(x+ y)2 + 2x
d) y′ =
1
x3 + 1− sec(x)
(
1− 1/x2 + y sec(x)tg(x)− 3x2y
)
e) y′ =
yexy − 1
1− xexy
.
f) y′ =
−3x2 − 4y
2y + 4x
g) y′ =
sen(x+ 2y) + 4y2e4x
−2sen(x+ 2y)− 2ye4x
h) y′ =
5xy2 − xy − y2
xy − x2
6) y = −x
4
+
1
2
.
11) a) f (100)(x) = a100eax,
b) f (4)(x) = 346(3x− 1)−4
c) f (4)(x) = 24(x+ a)−5
6
12) a) g′′(x) = (1− 6 sen 3x)2f ′′(x+ 2cos 3x)− 18 cos 3x f ′(x+ 2cos 3x),
b) g′′(0) = −10.
13) g′′(0) = 11.
14) a= -3/20, b= -1/20.
15) a) Equação da reta tangente: y + x = 0, equação da reta normal: y − x− 2 = 0.
b) Equação da reta tangente: y=0, equação da reta normal: x=0.
16) p(x) = −2x2 + 7x.
17) a) Estritamente decrescente em: (−∞, 1) e (1,∞).
b) Estritamente crescente em: (−∞,−1] e [1,+∞). Estritamente decrescente em: [−1, 0) e (0, 1].
c) Estritamente crescente em R.
d) Estritamente crescente em: [1,+∞). Estritamente decrescente em: [−∞, 0) e (0, 1].
e) Estritamente crescente em: (−2, 1). Estritamente decrescente em: (−∞,−2) e (1,∞).
f) Estritamente crescente em: [0,∞). Estritamente decrescente em: (−1, 0].
g) Estritamente crescente em: (−∞, 0] e [2,∞). Estritamente decrescente em: [0, 2].
h) Estritamente crescente em: [1,+∞). Estritamente decrescente em: [−∞, 0) e (0, 1].
i) Estritamente crescente em: [−1/2, 2]. Estritamente decrescente em: [−∞,−1/2] e [2,∞).
j) Estritamente crescente em: (−∞,−1] e [3/7,∞). Estritamente decrescente em: [−1, 3/7] .
18) Estritamente crescente em: (−∞,−3], [−1, 1] e [2,∞). Estritamente decrescente em: [−3,−1] e [1, 2].
19) a) Mı́nimo local: (−1,−1/2); Máximo local: (1, 1/2)
b) Não admite extremos locais.
c) Mı́nimo local: (2, 7); Máximo local: (1, 8)
d) Mı́nimo local: (2/3,−13/27); Máximo local: (−2, 9)
e) Não admite extremos locais.
f) Mı́nimo local: (0, 0); Máximo local: (−6,−12).
20) a) Máximo global: (−1, f(−1)); Mı́nimo global: (−3, f(−3)).
b) Máximo global: (4, f(4)); Mı́nimo global: (1, f(1))
c) Máximo global: (π2 , f(
π
2 )); Mı́nimo global: (−
π
2 , f(−
π
2 ))
d) Máximo global: (3, f(3)); Mı́nimo global: (2, f(2))
e) Máximo global: (−4, f(−4)); Mı́nimo global: (−2, f(−2))
f) Máximo global: (2, f(2)); Mı́nimo global: (−1, f(−1))
g) Máximo global: (0, f(0)); Mı́nimo global: (1, f(1))
h) Máximo global: (1, f(1)); Mı́nimo global: (−1, f(−1))
i) Máximo global: (2, f(2)); Mı́nimo global: (4, f(4))
21) a) Côncavo para baixo: (−∞, 1); Côncavo para cima : (1,∞); Ponto de inflexão: (1,−11).
b) Côncavo para baixo: (−∞, 1); Côncavo para cima : (1,∞); Ponto de inflexão: (1, e−2).
7
c) Côncavo para baixo: (−∞,−
√
3) e (0,
√
3); Côncavo para cima : (−
√
3, 0) e (
√
3,∞); Pontos de
inflexão: (−
√
3,−
√
3/4), (0, 0) e (
√
3,
√
3/4).
d) Côncavo para baixo: (−∞, 0); Côncavo para cima : (0,∞); Ponto de inflexão: não há.
e) Côncavo para cima : (0,∞); Ponto de inflexão: não há.
f) Côncavo para baixo: (−∞, 2 ln(2)); Côncavo para cima : (2 ln(2),∞); Ponto de inflexão:
(2 ln(2), 316).
g) Côncavo para baixo: (−
√
2,
√
2); Côncavo para cima : (−∞,−
√
2) e (
√
2,∞); Ponto de inflexão:
não há.
h) Côncavo para baixo: (1,∞); Côncavo para cima : (−∞, 1); Ponto de inflexão: (1, 0).
i) Côncavo para baixo: (2,∞); Côncavo para cima : (−∞, 2); Ponto de inflexão: não há.
j) Côncavo para baixo: (−∞, 0); Côncavo para cima : (0,∞); Ponto de inflexão: (0, 0).
22) a = 4, b = −12 e c = 10.
23) a = 2, b = −6, c = 0 e d = 3.
24) (−b2a ,
−∆
4a )
25) a) (i) Decrescente: (−∞,−1) e (0, 1); Crescente: (−1, 0) e (1,∞).
(ii) Mı́nimo local: (−1, 2) e (1, 2); Máximo local: (0, 3).
(iii) Côncavo para cima: (−∞,−
√
1
3) e (
√
1
3 ,∞); Côncavo para baixo: (−
√
1
3 ,
√
1
3); Pontos de
inflexão: (−
√
1
3 ,
22
9 ) e (
√
1
3 ,
22
9 )
b) (i) Decrescente: (π4 + 2πn,
5π
4 + 2πn); Crescente: (2πn,
π
4 + 2πn) e (
5π
4 + 2πn, 2π + 2πn).
(ii) Mı́nimo local: (5π4 + 2πn,−
√
2); Máximo local: (π4 + 2πn,
√
2).
(iii) Côncavo para cima: (3π4 + 2πn,
7π
4 + 2πn); Côncavo para baixo: (2πn,
3π
4 + 2πn) e
(7π4 + 2πn, 2π + 2πn); Pontos de inflexão: (
3π
4 + 2πn, 0) e (
7π
4 + 2πn, 0)
c) (i) Decrescente: (−∞,−13 ln(2)); Crescente: (−
1
3 ln(2),∞).
(ii) Mı́nimo local: (− ln(2)3 , f
(
− ln(2)3
)
).
(iii) Côncavo para cima: R; Pontos de inflexão: não há.
d) (i) Decrescente: (e2,∞); Crescente: (0, e2).
(ii) Máximo local: (e2, 2e ).
(iii) Côncavo para cima: (e
8
3 ,∞); Côncavo para baixo: (0, e
8
3 ); Pontos de inflexão: (e
8
3 , f(e
8
3 )).
26) a) Domı́nio : R;
Crescente: (−∞,−1] e [1/3,∞); Decrescente: [−1, 1/3]
Máximo local: (−1, 1/2); Mı́nimo local: (1/3,−1/6)
Asśıntota horizontal: y = 1/3
8
b) Domı́nio : R\{−1, 1};
Crescente: (−∞,−1) e (−1, 0); Decrescente: (0, 1) e [1,∞)
Máximo local: (0, 0)
Asśıntota horizontal: y = 1; Asśıntotas verticais: x = 1 e x = −1.
Côncavo para cima: (−∞,−1) e (1,∞); Côncavo para baixo: (−1, 1)
c) Domı́nio : R
Crescente: (−∞, 0] e [2,∞); Decrescente: [0, 2]
Máximo local: (0, 1); Mı́nimo local: (2,−3)
Côncavo para baixo: (−∞, 1); Côncavo para cima: (1,∞)
Ponto de inflexão: (1,−1)
e) Domı́nio : R;
9
Crescente: (−1/2, 2) ; Decrescente: (−∞,−1/2) e [2,∞)
Máximo local: (2, 4); Mı́nimo local: (−1/2,−1)
Asśıntota horizontal: y = 3
f) Domı́nio : R;
Crescente: [−1,∞) ; Decrescente: (−∞,−1]
Mı́nimo local: (−1,−1/e)
Asśıntota horizontal: y = 0
g) Domı́nio : {x > 0};
Crescente: (0, e) ; Decrescente: (e,∞)
Máximo local: (e, 1/e)
Asśıntota horizontal: y = 0; Asśıntota vertical: x = 0
Ponto de inflexão: (e
3
2 , 3
2e
3
2
); Côncavo para baixo: (0, e
3
2 ); Côncavo para cima: (e
3
2 ,∞)
h) Domı́nio : R\{−1, 1};
Crescente: (−2,−1) e (−1,−1/2) ; Decrescente: (−1/2, 1) e (1,∞)
10
Máximo local: (−1/2,−4); Mı́nimo local: (−2,−1)
Asśıntota horizontal: y = 0; Asśıntota vertical: x = −1 e x = 1
i) Domı́nio : R\{−1, 2};
Crescente: (−4,−1) e (−1, 0) ; Decrescente: (−∞,−4), (0, 2) e (2,∞)
Máximo local: (0, 0); Mı́nimo local: (−4, 8/9)
Asśıntota horizontal: y = 1; Asśıntota vertical: x = −1 e x = 2
j)
11
k)
l)
m)
29) Fundo: 120m, Laterais: 60m.
30) x = 1/2
31) 12
√
3
32) Lado do quadrado: 10
√3
4
√
3+9
; Lado triângulo: 30
4
√
3+9
.
12