Unidade 8-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Matemática Básica 2016/1  Gabarito da Unidade 8 
 
Atividade 1: 
1) Determine o complemento e o suplemento de 45°45´. 
Solução: Complemento:44°15´. Suplemento: 134°15´. 
2) Calcule 4 × 18°45´22´´ 
Solução: 75°1`23``. 
3) Resolva a equação 3𝑥 − 51°46´36´´ = 𝑥 + 48°22´24´´. 
Solução:3𝑥 − 51°46´36´´ = 𝑥 + 48°22´24´´ ⟺ 2𝑥 = 100°9` ⟺ 𝑥 =
50°4`30``. 
4) Determine os ângulos da figura. ERRATA: y=x na figura 
 
Solução: 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 90° ⟺ 𝑥 =
90°
4
⟺ 𝑥 = 22°30` e 2𝑥 = 45° 
Atividade 2: 
1) Em cada figura, calcule o valor de 𝑥. 
a) b) 
 
Solução: a) x=45° b) 72° + 𝑥 + 2𝑥 − 6° = 180°. Logo, 3𝑥 = 114°, 
donde 𝑥 = 38°. 
. 
2) Calcule o valor de x, sabendo que AC=AB. 
 
Solução: Observe que o triângulo ABC é isósceles, logo o ângulo ACB, 
adjacente a 𝑥 é de 25°. Portanto, temos 90° + 𝑥 + 25° + 25° = 180° ⇒ 𝑥 =
40°. 
3) A hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 2𝑥 e os catetos 2 e √𝑥 . 
Detemine a medida da hipotenusa. 
Solução: Por Pitágoras, 4𝑥2 = 4 + 𝑥 ⟺ 4𝑥2 − 4 − 𝑥 = 0 e a única solução 
positiva é 𝑥 =
1+√65
8
 . Logo, os lados medem 
1+√65
4
 (hipot.) e √
1+√65
8
. 
 
4) Mostre que o único triângulo retângulo cujos lados são inteiros consecutivos 
possui lados medindo 3,4 e 5. A propósito, qual das três medidas é referente a 
hipotenusa deste triângulo? 
Solução: Chamemos os catetos de n e n+1 e a hipotenusa n+2. Por Pitágoras, 
(𝑛 + 2)2 = (𝑛 + 1)2 + 𝑛2 ⟺ 𝑛2 + 4𝑛 + 4 = 2𝑛2 + 2𝑛 + 1 ⟺ 
𝑛2 − 2𝑛 − 3 = 0, cujas raízes são n=-1( não serve, pois é negativo) e n=3. 
Logo, as dimensões são 5,4,3. 
 
5) Calcule as medidas dos lados de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro 
é igual a 6√2. 
Solução: Como é isósceles, os dois catetos são iguais, digamos 𝑥 e a hipotenusa ℎ. 
Por hipótese, ℎ + 2𝑥 = 6√2 . Logo, por Pitágoras, ℎ2 = 2𝑥2 = 2(3√2 −
ℎ
2
)2 =
2 (18 − 3ℎ√2 +
ℎ2
4
 ) ⟺ ℎ2 + 12ℎ√2 − 72 = 0, cuja única raiz positiva é ℎ =
12 − 6√2. Assim, as medidas são 𝑥 = 6√2 − 6 e ℎ = 12 − 6√2. 
 
Atividade3: 
1) Num triângulo ABC, retângulo em A, a hipotenusa é a=25cm e cosB=0,96. 
Calcule o perímetro do triângulo. 
Solução:0,96 = 𝑐𝑜𝑠𝐵 =
𝑐
25
⟹ 𝑐 = 25 × 0,96 = 24 . O cateto b oposto a B é tal 
que, 𝑏2 = 252 − 242 = 49 ⟹ 𝑏 = 7 . O perímetro é igual a 56cm. 
 
2) Num triângulo ABC, retângulo em A, temos b=4cm e a-c=2cm. Calcule 𝑡𝑔𝐶, 
sendo os lados a , b e c opostos, respectivamente, A , B e C. 
Solução: Por Pitágoras, 𝑎2 = 16 + (𝑎 − 2)2 ⟺ 𝑎 = 5. Assim, tgC =
c
b
=
3
4
. 
 
3) Calcule os valores de 𝑥 𝑒 𝑦 da figura. 
 
 
 
Solução: Por Pitágoras no triângulo ACD, temos 25 = 16 + 𝑥2 ⟹ 𝑥 = 3. 
Novamente Pitágoras no triângulo ACB, temos 𝑦2 = 16 + (𝑥 + 10)2 = 16 + 132 =
185 ⟹ 𝑦 = √185. 
 
Atividade 4: 
1) Com o auxílio de uma régua e um transferidor, aproxime os valores de sen70°, 
cos70° e tg70°. 
Solução: 𝑠𝑒𝑛70° ≅ 0,94 ; 𝑐𝑜𝑠70° ≅ 0,34 𝑒 𝑡𝑔70° =
𝑠𝑒𝑛70°
𝑐𝑜𝑠70°
≅
0,94
0,34
≅ 2,7. 
 
2) Num triângulo retângulo, um cateto mede 12 cm e o ângulo oposto é de 60°. 
Calcule a hipotenusa e o outro cateto. Faça um esboço. 
Solução: Seja x o cateto e h a hipotenusa, então √3 = 𝑡𝑔60° =
12
𝑥
 ⟹ 𝑥 = 4√3 , 
também 
√3
2
= 𝑠𝑒𝑛60° =
12
ℎ
 ⟹ ℎ = 8√3. 
 
3) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Quando tiver percorrido meio 
quilômetro, a que altura estará do solo? Faça um esboço. 
 Solução: Pela figura, 𝑠𝑒𝑛30° =
ℎ
0,5
 ⟹ ℎ = 0,5 × 0,5 = 0,25 𝑘𝑚 = 250 𝑚. 
 
 
4) Uma escada de 6m de comprimento está encostada a uma parede vertical, 
formando com ela um ângulo de 30° graus. Calcule a distância do pé da escada à 
parede. 
 Solução: A escada é a hipotenusa do triângulo retângulo e a distância à parede será 𝑥. 
Então, 𝑠𝑒𝑛30° =
𝑥
6
 . Como 𝑠𝑒𝑛30° =
1
2
, temos que 𝑥 = 3 𝑚. 
 
5) Quando o sol está a 60° acima da linha do horizonte, qual é o comprimento da 
sombra de um poste de 7,5m de altura? Aproxime o resultado em metros com uma casa 
decimal. 
 Solução: O comprimento da sombra é 𝑥, onde 𝑡𝑔60° =
7,5
𝑥
⟹ √3 =
7,5
𝑥
⟹ 𝑥 =
7,5
√3
≅
4,3 𝑚 . Veja a figura abaixo. 
 
 
Atividade 5: 
1) Calcule o comprimento do arco de uma circunferência de raio 2, cujo ângulo 
central é 30°. 
Solução: 𝑙 = 2.30.
𝜋
180
=
𝜋
3
. 
 
2) Dê a medida em radianos dos ângulos 72°, 210°, 270° e 315°. 
 Solução: 72° = 72.
𝜋
180
=
2𝜋
5
 ; 210° = 210.
𝜋
180
=
7𝜋
6
 ; 270° = 270.
𝜋
180
=
3𝜋
2
: 
315° = 315
𝜋
180
=
7𝜋
4
. 
 
3) Determine o valor do raio 𝑟, tal que o comprimento do arco 
subtendido ao ângulo de 60° seja 3𝜋. 
 Solução: 3𝜋 = 60
𝜋
180
. 𝑟 ⟹ 𝑟 = 9. 
 
Atividade 6: 
Complete a tabela e marque na figura o ângulo e,no respectivo eixo, o valor do cosseno 
e do seno de cada um. 
Solução: 
Ângulo 𝛼 Se𝑛 𝛼 Cos 𝛼 
0° 0 1 
30° 1/2 √3/2 
45° √2/2 √2/2 
60° √3/2 1/2 
90° 1 0 
120° √3/2 -1/2 
135° √2/2 -√2/2 
150° 1/2 -√3/2 
180° 0 -1 
 
 
 
 
Atividade 7: 
 
1) Num triângulo ABC, temos AC=8 cm, BC=6 cm, 𝛼 = 𝐵�̂�𝐶 e 𝛽 = 𝐴�̂�𝐶. Se 
𝛽 = 60°, calcule 𝑠𝑒𝑛𝛼. 
Solução: 
 
 
60sen 
8
sen 
6


, donde sen  = 
8
33
. 
 
2) Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 9 cm e formam um ângulo de 60°. 
Calcular o outro lado. 
Solução: 
Temos a
2
 = 81 + 36 – 54 = 63, donde a = 73 . 
 
3) Determine os ângulos do triângulo cujos lados medem 3 , √3 𝑒 2√3. 
Solução: Se  representa a medida do ângulo oposto ao lado de medida 2 3 , 
obtemos, aplicando a lei dos cossenos, cos  = 0, isto é,  = 90º. (O triângulo é 
retângulo) 
Se  representa a medida do ângulo oposto ao lado de medida 3 , temos cos  = 
2
3
32
3
 , donde  = 30º. 
Como a soma dos ângulos do triângulo é 180º, segue que o terceiro Ângulo mede 60º. 
 
4) Prove que , 
a) se 𝑎 é o maior lado do triângulo ABC e 𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2, então o triângulo é 
acutângulo; 
b) se 𝑎 é o maior lado do triângulo ABC e 𝑎2 > 𝑏2 + 𝑐2, então o triângulo é 
obtusângulo; 
De a) e b), segue que se 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, então o triângulo é ___________________. 
(Recíproca do teorema de Pitágoras.) 
Solução: 
a) a2 < b2 + c2  0 < a2 + b2 + c2 = 2bccos A  cos A > 0  A < 90º. 
Como A representa o ângulo maior, segue que os três ângulo são 
menores do que 90º, isto é, o triângulo é acutângulo. 
b) Trocando sinal, verifica-se que existe um ângulo de medida maior do 
que 90º, donde o triângulo é obtusângulo. 
c) Retângulo. 
 
5) Dados os lados dos triângulos, usando o exercício 4), verifique se o triângulo é 
acutângulo, obtusângulo ou retângulo. 
a) 10,24,26 
b) 10,15,20 
c) 9,40,41 
d) 16,33,30 
Solução: 
a) 262 = 676 e 102 + 242 = 676. Logo, o triângulo é retângulo. 
b) 202 = 400 e 102 + 152 = 325. Logo, o triângulo é obtusângulo. 
c) 412 = 1681 e 92 + 402 = 1681. Logo, o triângulo é retângulo. 
d) 332 = 1089 e 162 + 302 = 1156. Logo, o triângulo é acutângulo.