AOL 4 - CALCULO VETORIAL

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AOL 4 – CALCULO VETORIAL 
1. Pergunta 1 
O teorema da divergência substitui a avaliação da integral de uma superfície com 
a integral sobre o volume englobado pela superfície fechada. É necessário fazer a 
operação com cautela para não ter um resultado que não represente a soma desejada. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, 
ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os 
passos para a utilização do teorema: 
( ) Aplicar o operador divergente ao campo vetorial F. 
( ) Definir o elemento de volume no sistema de coordenadas apropriados. 
( ) Integrar sobre o volume V. 
( ) Avaliar se a superfície S e o campo vetorial F satisfazem os requisitos do teorema. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
2, 1, 3, 4. 
2. 
2, 3, 4, 1. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
3. 
4, 3, 1, 2. 
4. 
4, 1, 3, 2. 
5. 
3, 4, 1, 2. 
2. Pergunta 2 
As integrais de linha retomam conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo, 
possibilitando o cálculo de integrais em um contexto vetorial. Para isso, porém, deve-
se encontrar maneiras algébricas para se trabalhar com os objetos matemáticos, de 
modo a tornar viável o cálculo de integrais e derivadas. 
Uma das maneiras algébricas de se trabalhar com alguns objetos é efetuando a 
parametrização. Considerando essas informações e os conteúdos estudados, pode-se 
dizer que a parametrização é de extrema importância para o Cálculo Vetorial porque: 
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1. 
a parametrização é uma representação de uma função, ou seja, torna o 
objeto matemático integrável. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
2. 
a parametrização é uma estrutura algébrica nula. 
3. 
a parametrização é uma maneira de se definir limites integrativos. 
4. 
a parametrização faz com que a integral de linha independa de limites 
integrativos. 
5. 
a parametrização torna dispensável o trabalho com vetores. 
3. Pergunta 3 
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de 
Green. Lembrando que ambos relacionam uma integral de caminho com uma integral 
sobre uma superfície. Porém, eles não o fazem da mesma maneira. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, 
pode-se dizer que o teorema de Green e de Stokes são diferentes porque: 
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1. 
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador 
divergente. 
2. 
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos 
vetoriais. 
3. 
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada 
um dos teoremas. 
4. 
as superfícies de integração possuem orientações diferentes. 
5. 
a superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no 
plano do caminho é a superfície do teorema de Green. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
4. Pergunta 4 
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha 
do trabalho (W) de uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). 
Essa integral é definida da seguinte forma: 
. 
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem 
variar conforma o contexto algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do 
trabalho, analise as afirmativas a seguir. 
I. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
II. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
III. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
IV. é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I e II. 
2. 
I e III. 
3. 
I, II e IV. 
4. 
II e IV. 
5. 
I e IV. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
5. Pergunta 5 
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico 
com as integrais de linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, 
de modo que não se calcule as integrais de linha e superfície por definição.É 
interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. Observar as 
diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e 
Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas. 
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser 
utilizada pelo Teorema de Green. 
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
F, F, V, V. 
2. 
F, F, V, F. 
3. 
V, F, V, V. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
V, V, F, F. 
6. Pergunta 6 
Os teoremas de Green, Stokes e Gauss são extremamente relevantes para o Cálculo 
Vetorial. Eles possibilitam o trabalho com integrais seja mais simples, em vez de se 
realizar o trabalho direto com integrais de superfícies e curvas. Entender o que 
enunciam esses teoremas é fundamental para o aperfeiçoamento das habilidades 
técnicas em Cálculo Vetorial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e 
Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla 
sobre uma região R. 
II. ( ) O Teorema de Green possibilita o cálculo da integral através do gradiente de uma 
função. 
III. ( ) O Teorema de Gauss relaciona uma integral de superfície com uma integral tripla 
de um sólido. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha com uma integral de 
superfície. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, F, V, V. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
2. Incorreta: 
V, V, F, F. 
3. 
F, F, V, F. 
4. 
V, F, F, V. 
5. 
F, F, V, V. 
7. Pergunta 7 
O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho 
(W). Caso o campo seja conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados 
no campo vetorial tem o mesmo valor numérico do trabalho. Esse campo é definido em 
termos de um gradiente de uma função escalar: 
. 
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível 
descobrir se um campo é ou não conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir: 
. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, 
pode-se dizer que é um campo conservativo porque: 
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1. 
as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não 
suficiente. 
2. 
se verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
3. 
o gradiente dessa função é nulo. 
4. 
o divergente dessa função é nulo. 
5. 
as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos. 
8. Pergunta 8 
Ao aplicar o teorema da divergência, é necessário resolver uma integral tripla. Para 
resolver uma integral tripla, trata-se de fazer três integrais por vez, cujas variáveis são 
dependentes uma das outras. Para tal, é necessário entender bem a região de 
integração para escrever os limites de integração. Fora isso, as variáveis que não estão 
sendo integradas são consideradas constantes. 
Considerando essas informações e os estudos sobre divergente, analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Dado o campovetorial , a integral onde S é definido pela superfície do 
cilindro e . 
II. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é a esfera unitária . 
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é o cubo definido pelos 
planos , , , , , . 
IV. ( ) Dado o campo vetorial , a integral onde S é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
F, F, V, F. 
2. 
V, F, V, V. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
3. 
V, F, F, V. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
F, F, V, V. 
9. Pergunta 9 
O teorema de Stokes é bastante utilizado para simplificar o problema da integral 
de um campo vetorial sobre uma superfície para uma integral de linha. Ou seja, é 
utilizado no sentido contrário (da direita para a esquerda) de como temos escrito ele. 
Para tanto, é necessário que o campo vetorial em questão possa ser escrito como o 
rotacional de um outro campo. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, 
ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os 
passos para a utilização do teorema no sentido . 
( ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e a 
superfície satisfazem os requisitos do teorema. 
( ) Executar a integral de linha. 
( ) Parametrizar o caminho. 
( ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes. 
( ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
4, 3, 5, 2, 1. 
2. 
3, 4, 1, 2, 5. 
3. 
1, 5, 3, 4, 2. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
4. 
2, 1, 3, 4, 5. 
5. 
5, 4, 1, 3, 2. 
10. Pergunta 10 
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o 
cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em 
um contexto vetorial, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos 
como integrais de linha. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, 
pode-se afirmar que as integrais referentes ao teorema fundamental do cálculo e as 
integrais de linhas, apesar de distintas, se relacionam porque: 
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1. 
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais 
duplas e triplas, referentes ao outro contexto integrativo. 
Resposta correta (Se te ajudou, Curti pra me Ajudar!!) 
2. 
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja 
perda de informações. 
3. 
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e 
contradomínio representam conjuntos de pontos. 
4. 
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto 
matemático. 
5. 
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores.