Aula de 22_08

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Introdução à Mecânica Quântica 
Movimento Rotacional 
 
 
Movimento rotacional bidimensional. “A PARTÍCULA EM UM ANEL” 
PROBLEMA: Movimento livre de uma partícula de massa “m” restrita a um caminho circular de 
raio constante e igual a “r” no plano xy com momento linear de magnitude p em um dado instante e 
energia potencial nula. 
 
Função de onda aceitável para o movimento da “partícula em um anel”. 
 
 
Função de onda genérica para um movimento ondulatório circular: 
Ψ = Ae(ikxϕ) ℏ⁄ 
Condições de contorno: 
(2 + ) = () 
 
Relação entre coordenadas cartesianas e polares: 
 
 
x = rSenCos; y = rSenSen; z = rCos; d = r2Sendrdd 
Equação de Schrödinger bidimensional e independente do tempo para um movimento ondulatório 
circular (em termos de coordenadas polares) com energia potencial nula: 
−
ℏ2
2m
1
r2
d2Ψ
dϕ2
= EΨ 
Ex 36. Aplicando as condições de contorno impostas para a resolução do problema do movimento livre de 
uma partícula de massa m restrita a um caminho circular de raio constante e igual a “r” no plano xy. Use a 
função de onda genérica para o movimento circular e as condições de contorno adequadas para expressar a 
função de onda aceitável. Caso surja algum número quântico durante a resolução do problema, denomine ml. 
Indique os possíveis números para esse número quântico. 
Dados: eiα = Cosα + iSenα. Resposta: Ψ𝜙 = Ae
(im𝑙ϕ) 
Ex 37. A partir da função de onda aceitável (Ex. 36), aplique a condição de normalização de Born. Dados: 
∮ 𝑒𝑖𝛼𝑑𝜏 = 1, onde  = variável independente. Resposta: Ψ𝜙 = √
1
2𝜋
e(im𝑙ϕ) 
Ex 38. Forneça a expressão genérica para os estados permitidos associados ao movimento livre de uma 
partícula de massa m restrita a um caminho circular de raio constante e igual a “r” no plano xy. I = mr2 
(momento de inércia de uma partícula). 
Resposta: 𝐸𝑚𝑙 =
ℏ2
2𝑚
1
𝑟2
𝑚𝑙
2 ∴ 𝑚𝑟2 = 𝐼 ⇒ 𝐸𝑚𝑙 =
ℏ2
2𝐼
𝑚𝑙
2