Aula de 24_08

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Introdução à Mecânica Quântica 
 
Movimento rotacional bidimensional. “A PARTÍCULA EM UM ANEL” 
PROBLEMA: Movimento livre de uma partícula de massa “m” restrita a um caminho circular de 
raio constante e igual a “r” no plano xy com momento linear de magnitude p em um dado instante e 
energia potencial nula. 
Função de onda genérica para um movimento ondulatório circular: 
Ψ = Ae(ikx) ℏ⁄ 
Condições de contorno: 
(2 + ) = () 
 
Equação de Schrödinger bidimensional e independente do tempo para um movimento ondulatório 
circular (em termos de coordenadas polares) com energia potencial nula: 
−
ℏ2
2m
1
r2
d2Ψ
dϕ2
= EΨ 
Ex 39. Para o problema do movimento livre de uma partícula de massa m restrita a um caminho circular de 
raio constante e igual a “r” no plano xy (“partícula na superfície de um anel”), a condição de contorno aplicada 
restringe o comprimento de onda () a  = (2r)/ml, onde r e ml são, respectivamente o raio e um número 
quântico angular. Sabendo que a componente em z do momento angular, Jz, é dado por Jz = pr, onde p é o 
momento linear, mostre que o momento angular é quantizado e que pode apresentar rotações nos sentidos 
horário e anti-horário para todo ml  0. Atribua os sentidos de rotação aos valores positivos e negativos de ml. 
 
Ex 40. A partir da expressão de energia para o movimento livre de uma partícula de massa m restrita a um 
caminho circular de raio constante e igual a “r” no plano xy (“partícula na superfície de um anel”), mostre que 
todos os estados com ml  0 apresentam degenerescência. 
 
 
Movimento rotacional tridimensional. “A PARTÍCULA SOBRE A SUPERFÍCIE DE UMA ESFERA” 
PROBLEMA: Movimento livre de uma partícula de massa “m” sobre a superfície de uma esfera de 
raio “r” e caminho traçado sobre os polos e o equador em torno de um ponto central. 
Condição de contorno: Função de onda deve coincidir 
em um caminho que é traçado sobre os polos e o equador 
em torno de um ponto central  necessidade de um 
segundo número quântico angular (l). 
Função de onda aceitável e normalizada 
(HARMÔNICOS ESFÉRICOS): 
𝚼(𝝓,𝜽) → 𝚼(𝒍,𝒎𝒍) 
Aplicação dos HARMÔNICOS ESFÉRICOS na Eq. 
De Schrödinger (tridimensional e independente do 
tempo): 
𝑬𝒍 = 𝒍(𝒍 + 𝟏)
ℏ𝟐
𝟐𝒎𝒓𝟐
 
 
 
Ex 41. Da física clássica, tem-se que a energia de uma partícula em movimento rotacional tridimensional é 
dada por E = (J2)/(2mr2). Considere a expressão da energia quantizada e expresse o vetor momento angular, J, 
em função do número quântico l. 
Ex 42. A figura abaixo mostra as orientações permitidas do vetor momento angular para l = 2. Justifique, 
usando o Princípio da Incerteza, porque a representação cônica é mais adequada. 
 
Ex 43. Sabendo que o ângulo  (ilustração acima) nunca pode ser nulo, indique os valores possíveis para os 
números quânticos ml e l e a relação entre ambos.