Aula de 29_08

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Ex 39. Para o problema do movimento livre de uma partícula de massa m restrita a um caminho circular de 
raio constante e igual a “r” no plano xy (“partícula na superfície de um anel”), a condição de contorno aplicada 
restringe o comprimento de onda () a  = (2r)/ml, onde r e ml são, respectivamente o raio e um número 
quântico angular. Sabendo que a componente em z do momento angular, Jz, é dado por Jz = pr, onde p é o 
momento linear, mostre que o momento angular é quantizado e que pode apresentar rotações nos sentidos 
horário e anti-horário para todo ml  0. Atribua os sentidos de rotação aos valores positivos e negativos de ml. 
𝐽𝑧 = ℏ𝑚𝑙 
Ex 40. A partir da expressão de energia para o movimento livre de uma partícula de massa m restrita a um 
caminho circular de raio constante e igual a “r” no plano xy (“partícula na superfície de um anel”), mostre que 
todos os estados com ml  0 apresentam degenerescência. 
𝐸𝑚𝑙 =
ℏ
2𝑚𝑟2
𝑚𝑙
2 
Ex 41. Da física clássica, tem-se que a energia de uma partícula em movimento rotacional tridimensional é 
dada por E = (J2)/(2mr2). Considere a expressão da energia quantizada e expresse o vetor momento angular, J, 
em função do número quântico l. 𝐸𝑙 = 𝑙(𝑙 + 1)
ℏ2
2𝑚𝑟2
 ∴ 𝑙 = 0, 1, 2, 3 … 
l(l + 1)
ℏ2
2mr2
=
J2
2mr2
 ⇒ J = ℏ√l(l + 1) 
Ex 42. A figura abaixo mostra as orientações permitidas do vetor momento angular para l = 2. Justifique, 
usando o Princípio da Incerteza, porque a representação cônica é mais adequada. 
 
Resp.: Se o vetor J tivesse um valor definido, todas as componentes (Jx, Jy e Jz) teriam valores definidos o que 
tornaria possível a localização exata da partícula (contrário ao Princípio da Incerteza). Assim, apenas o módulo 
de J e uma componente (z) podem ser determinados. Por isso a representação cônica é mais próxima da 
realidade, ou seja, trata-se de uma região do espaço e não de um ponto determinado. 
Ex 43. Sabendo que o ângulo  (ilustração acima) nunca pode ser nulo, indique os valores possíveis para os 
números quânticos ml e l e a relação entre ambos. 
Resp.:   0  ml  l. ml = 0, l, ..., l – 1. 
 
 
 
 
 
Função de onda que envolve todos os movimentos: 
𝚿𝐫,𝛉,𝛟 = 𝐫𝚼𝛉,𝛟 
Equação de Schrödinger aplicável à parte radial da função de onda de um átomo hidrogênico: 
−
ℏ𝟐
𝟐𝝁
𝒅𝟐𝚷
𝒅𝒓𝟐
+ 𝑬𝒑𝚷 = 𝑬𝚷 ∴ 𝛍 =
𝒎𝒆𝒎𝒑
𝒎𝒆 + 𝒎𝒑
 
𝑬𝒑 = −
𝒁𝒆𝟐
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓
+
𝒍(𝒍 + 𝟏)ℏ𝟐
𝟐𝝁𝒓𝟐
 
Energia total (En) obtida a partir da aplicação da função de onda radial à Equação de Schrödinger: 
𝑬𝒏 = −
𝒎𝒆𝒆
𝟒
𝟖𝜺𝟎
𝟐𝒉𝟐𝒏𝟐
= −
𝒎𝒆𝒆
𝟒
𝟑𝟐𝝅𝟐𝜺𝟎
𝟐ℏ𝟐𝒏𝟐
 ∴ 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, . .. 
Função de distribuição radial (densidade de probabilidade radial): P(r). Probabilidade de se encontrar o elétron 
em uma casca esférica de raio r e espessura dr. 𝑃(𝑅) = Ψ
2𝑑𝑣 
 
 
https://www.quora.com/Can-the-2-electrons-of-2s-orbital-touch-the-sphere-of-1s-orbital 
 
http://shodor.org/succeed-1.0/programs/compchem98/labs/hydrogenic/ 
 
Ex 44. A partir da função de distribuição radial determine o valor mais provável do raio (r*) em função de a0 
para a função Ψ1,0,0. Dado: 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4
3
𝜋𝑟3. Resp.: r* = a0/Z. 
Ex 45. Usando a expressão de r* do exercício anterior, determine os valores de r* para os átomos hidrogênicos 
He+, Li2+, Be3+, B4+, C5+ e N6+. Comente o resultado. 
Ex 46. O valor médio, 〈𝑥〉, em um sistema mecânico-quântico é dado por 〈𝑥〉 = ∮ 𝑥(Ψ𝑥)
2𝑑𝜏. Determine o 
valor médio do raio em função de a0 para a função Ψ1,0,0 e compare com o resultado obtido no exercício 44. 
Justifique. Dado: ∮ 𝑥𝑛𝑒−𝑎𝑥𝑑𝑥 =
𝑛!
𝑎𝑛+1
 ; d = r2Sendrdd. Resp.: 〈𝑥〉 =
3𝑎0
2𝑍
 
Ex 47. Calcule a probabilidade de se localizar o elétron entre o núcleo e o raio de Bohr no átomo de hidrogênio. 
Dado: ∫ 𝑥2𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 = (
𝑥2
𝑎
−
2𝑥
𝑎2
+
2
𝑎3
) 𝑒𝑎𝑥. Resp.: 0,3233. 
 
http://shodor.org/succeed-1.0/programs/compchem98/labs/hydrogenic/
 
D. D. Fitts, Principles of Quantum Mechanics: as Applied to Chemistry and Chemical Physics. Cambridge 
University Press, 1999, NY.