turmafevereiro-matemática2-Quadriláteros notáveis paralelogramos (definição e área)-26-02-2021-11f458565010e62aa6606ff196a27dfc

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Matemática 
 Quadriláteros notáveis: Paralelogramos (definição e área) 
Objetivo 
Compreender que tipos de quadriláteros são paralelogramos, quais suas propriedades e saber calcular sua 
área e perímetro. 
 
Se liga 
Para esse conteúdo, é interessante que você saiba o conteúdo de retas paralelas cortadas por uma 
transversal. Tem alguma dúvida sobre esse conteúdo? Assiste a essa aula clicando aqui. Além disso, o 
conteúdo de triângulos, nos últimos dois vídeos desta aula. 
 
Curiosidade 
O nome paralelogramo decorre de sua característica principal, de que os pares de lados opostos são 
paralelos. 
Teoria 
 
Quadriláteros são polígonos de 4 lados e que possuem certas características especiais: 
• Soma dos ângulos internos é igual a 360°; 
• Possuem apenas duas diagonais. 
 
Aqui, estudaremos o paralelogramo. 
 
Paralelogramo 
É o quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. 
 
Área: A b h=  
 
 
Propriedades: 
• Os lados opostos são congruentes, assim como os ângulos opostos. 
• Os ângulos adjacentes são suplementares. 
• As diagonais se cruzam em seus pontos médios. 
 
 
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2018/aulas/retas-paralelas-cortadas-por-uma-transversal-teorema-de-tales/videos/retas-paralelas-cortadas-por-uma-transversal./
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2019/aulas/triangulos-condicao-de-existencia-lei-angular-classificacao-e-area/videos/exercicio-sobre-condicao-de-existencia/
 
 
 
 
 
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Matemática 
Abaixo, veremos tipos especiais de paralelogramos: retângulo, quadrado e losango. 
 
Retângulo 
É o quadrilátero equiângulo, ou seja, possui os quatro ângulos iguais a 90°. 
 
Área: A b h=  
 
Propriedade: uma propriedade interessante do retângulo é que suas diagonais têm o mesmo comprimento, 
ou seja, AC BD= . 
 
 
Quadrado 
É um quadrilátero regular, ou seja, possui os quatro lados e os quatro ângulos iguais. 
 
Área do quadrado: 
2A l= 
 
 
Losango 
É o quadrilátero equilátero, ou seja, possui os quatro lados iguais. 
 
 
Sendo 𝐷 a diagonal maior e 𝑑 a diagonal menor, temos que 
 
Área: 
2
D d
A

= 
 
Propriedade: suas diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos, dividindo o losango 
em quatro triângulos retângulos. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Classifique as afirmativas abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F). Nesse último caso, justificando o 
porquê de as falsas serem classificadas dessa forma. 
I. Todo quadrilátero com os ângulos medindo 90° possui os quatro lados congruentes. 
II. Todo paralelogramo possui diagonais de mesmo tamanho. 
III. Em todo parelogramo as diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios. 
 
 
2. Um retângulo tem área 54 𝑐𝑚 e perímetro 48 𝑐𝑚. Determine suas duas dimensões. 
 
 
3. Dadas as afirmações: 
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. 
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto 
médio, então este paralelogramo é um losango. 
Podemos afirmar que: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Apenas I e II são verdadeiras 
c) Apenas II e III são verdadeiras 
d) Apenas II é verdadeira 
e) Apenas III é verdadeira 
 
 
4. O perímetro de um losango é igual 40 𝑐𝑚 e o valor do lado desse quadrilátero corresponde, 
numericamente, ao dobro de sua área. Dessa forma, determine qual o valor do produto entre as 
diagonais desse losango. 
 
 
5. Um retângulo possui lados medindo 6 𝑐𝑚 e 8 𝑐𝑚. Traçando suas duas diagonais, dividimos o retângulo 
em 4 triângulos. Determine os valores das áreas desses triângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
 
1. Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3 45x− , 2 10x+ , 2 15x+ e 20x+ graus. O menor 
ângulo mede: 
a) 90° 
b) 65° 
c) 45° 
d) 105° 
e) 80° 
 
 
2. Considere as afirmações: 
I. Todo retângulo é um paralelogramo. 
II. Todo o quadrado é um retângulo. 
III. Todo o losango é um quadrado. 
Associe a cada uma delas a letra 𝑉, se for verdadeira ou 𝐹, caso seja falsa. Na ordem apresentada 
temos: 
a) 𝐹 𝐹 𝐹 
b) 𝐹 𝐹 𝑉 
c) 𝑉 𝐹 𝐹 
d) 𝑉 𝑉 𝐹 
e) 𝐹 𝑉 𝐹 
 
 
3. Diariamente, uma residência consome 20160 𝑊ℎ. Essa residência possui 100 células solares 
retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 𝑐𝑚 por 
8 𝑐𝑚. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 𝑊ℎ por centímetro de diagonal. O 
proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que 
sua casa consome. 
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? 
a) Retirar 16 células. 
b) Retirar 40 células. 
c) Acrescentar 5 células. 
d) Acrescentar 20 células. 
e) Acrescentar 40 células. 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
4. Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1: 3. O ângulo 
menor desse paralelogramo mede 
a) 45° 
b) 50° 
c) 55° 
d) 60° 
e) 65° 
 
 
 
5. No retângulo a seguir, o valor, em graus, de 𝛼 + 𝛽 é: 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
 
6. José somou as medidas de três dos lados de um retângulo e obteve 40 𝑐𝑚. João somou as medidas 
de três dos lados do mesmo retângulo e obteve 44 𝑐𝑚. Com essas informações, pode-se afirmar 
corretamente que a medida, em 𝑐𝑚, do perímetro do retângulo é 
a) 48. 
b) 52. 
c) 46. 
d) 56. 
e) 58. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
7. A figura abaixo exibe um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 decomposto em quatro quadrados. O valor da razão 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
 é 
igual a 
 
 
 
 
 
 
a) 
5
3
 
b) 
5
2
 
c) 
4
3
 
d) 
3
2
 
e) 
8
5
 
 
 
 
8. (Ucs 2015) No losango abaixo dois ângulos medem 120° e o lado mede 4 𝑐𝑚. 
 
 
Qual das expressões a seguir, corresponde à soma das medidas das diagonais do losango? 
a) 4(1 + √3) 
b) 1 + √3 
c) 
1+√3
2
 
d) 
√3
4
 
e) 
1+√3
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
9. O proprietário de um restaurante deseja comprar um tampo de vidro retangular para a base de uma mesa, 
como ilustra a figura 
 
Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa, tem a forma de um retângulo, cujos lados 
medem 𝐴𝐶 = 105 𝑐𝑚 e 𝐴𝐵 = 120 𝑐𝑚. 
Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos de opções de tampos, de diferentes 
dimensões, e todos com a mesma espessura, sendo: 
 
Tipo 1: 110 𝑐𝑚 × 125 𝑐𝑚 
Tipo 2: 115 𝑐𝑚 × 125 𝑐𝑚 
Tipo 3: 115 𝑐𝑚 × 130 𝑐𝑚 
Tipo 4: 120 𝑐𝑚 × 130 𝑐𝑚 
Tipo 5: 120 𝑐𝑚 × 135 𝑐𝑚 
 
O proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se deve escolher o tampo de menor área 
possível que satisfaça a condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da borda externa da 
base da mesa, deve sobrar uma região, correspondendo a uma moldura em vidro, limitada por um 
mínimo de 4 𝑐𝑚 e máximo de 8 𝑐𝑚 fora da base da mesa, de cada lado. 
Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de vidro que o proprietário avaliou que deve 
ser escolhido? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
10. Em uma aula de geometria, o professor passou a seguinte instrução: 
Desenhe um retângulo de lados 8 𝑐𝑚 por 14 𝑐𝑚. Nomeie os vértices desse retângulo de 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷, 
sendo que 𝐴𝐵 deve ser um dos menores lados. Determine o ponto médio do lado 𝐴𝐵 e nomeie esse 
ponto pela letra 𝑀. A partir do ponto 𝑀 trace um segmento paralelo aos lados maiores e que tenha 
3 𝑐𝑚 de comprimento. Nomeie esse segmento de 𝑀𝑁. Determine a área do triângulo 𝐷𝐶𝑁. 
 
Natália e Mariana seguiram as instruções dadas, porém chegaram a resultados diferentes. Se o 
professor consideroucorreta as duas resoluções, a diferença, em 𝑐𝑚², entre as áreas obtidas por 
Natália a Mariana foi 
a) 16 
b) 18 
c) 20 
d) 24 
e) 28 
 
 
 
 
 
Sua específica é exatas e quer continuar estudando esse assunto? 
Clique aqui para fazer uma lista de exercícios extras. 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/24558
 
 
 
 
 
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Matemática 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
 
1. F – F – V 
A primeira alternativa é falsa. Para justificá-la, podemos pensar no retângulo, um quadrilátero cujos 
ângulos internos são todos retos, mas seus lados não necessariamente medem o mesmo tamanho. 
A segunda alternativa é falsa. O paralelogramo não possui necessariamente diagonais de mesmo 
tamanho. Isso acontece porque elas podem estar opostas a ângulos de diferentes medidas. Observe: 
 
 
 
 
2. As suas dimensões são 𝟑 𝒄𝒎 e 𝟏𝟖 𝒄𝒎. 
Se sua área é de 54 𝑐𝑚, podemos escrever que 𝑏 ∙ ℎ = 54. Já pelo fato de o perímetro ser 42 𝑐𝑚, 
escrevemos que 𝑏 + 𝑏 + ℎ + ℎ = 42 → 2𝑏 + 2ℎ = 42 → 2(𝑏 + ℎ) = 42 → 𝑏 + ℎ =
42
2
→ 𝑏 + ℎ = 21. 
Resolvendo um sistema com essas duas equações por substituição, temos: 
 
{
𝑏 ∙ ℎ = 54 
𝑏 + ℎ = 21 → 𝑏 = 21 − ℎ
→ (21 − ℎ) ∙ ℎ = 54 → 21ℎ − ℎ2 = 54 → ℎ2 − 21ℎ + 54 = 0 
 
ℎ =
−(−21) ± √(−21)2 − 4 ∙ 1 ∙ 54
2 ∙ 1
→ ℎ =
21 ± √225
2
→ ℎ =
21 ± 15
2
→ ℎ′ = 18; ℎ′′ = 3 
 
3. C 
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. Isso é falso: isso não 
acontece por exemplo, com os quadriláteros que não possuem os dois pares de lados opostos 
paralelos. 
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. Verdade! 
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, 
então esse paralelogramo é um losango. Verdade! 
 
4. O produto entre suas diagonais é igual a 𝟏𝟎 𝒄𝒎². 
Se o perímetro do losango é 40 𝑐𝑚, cada um dos seus lados mede 10 𝑐𝑚, uma vez que esse quadrilátero 
é equilátero. O lado desse losango corresponde, numericamente, ao dobro de sua área. Assim, 
 
𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 =
𝐷 ∙ 𝑑
2
→ 10 = 2 ∙ 𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 → 10 = 2 ∙
𝐷 ∙ 𝑑
2
→ 10 = 𝐷 ∙ 𝑑 
 
 
 
 
 
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Matemática 
5. A área de cada um dos triângulos é igual a 𝟏𝟐 𝒄𝒎². 
Como as diagonais se cruzam em seus pontos médios e ambas possuem mesmo comprimento, 
podemos fazer a seguinte construção: 
 
Nela, percebemos que dois dos triângulos formados possuem base 6 𝑐𝑚 e altura 4 𝑐𝑚. Os outros dois 
possuem base 8 𝑐𝑚 e altura 3 𝑐𝑚. As áreas desses triângulos são respectivamente calculadas por 
6 ∙ 4
2
=
12 𝑐𝑚² e 
8 ∙ 3
2
= 12 𝑐𝑚². Dessa forma, todos os quatro triângulos possuem área 12 𝑐𝑚². 
Não foi uma coincidência que todas áreas deram o mesmo valor! Isso acontece porque elas são sempre 
calculadas por 
𝑏
2
 ∙ ℎ
2
 ou por 
𝑏 ∙ 
ℎ
2
2
. 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. B 
3𝑥 − 45° + 2𝑥 + 10° + 2𝑥 + 15° + 𝑥 + 20° = 360° 
3𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 360 + 45 − 10 − 15 − 20 
8𝑥 = 360 
𝑥 = 45 
3𝑥 − 45° = 3. (45) − 45 = 135 − 45 = 90° 
2𝑥 + 10° = 2(45) + 10 = 90 + 10 = 100° 
2𝑥 + 15° = 2(45) + 15 = 90 + 105° 
𝑥 + 20° = 45 + 20 = 65° 
 
2. D 
I e II – VERDADEIRO. Paralelogramo é todo quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos. 
III – FALSO. Todo losango tem 2 ângulos maiores que 90º e dois menores que 90º, e no quadrado todos 
os ângulos tem 90º. 
 
3. A 
A cada retângulo de dimensões 6 cm x 8 cm, temos uma diagonal de 10 cm. Assim, por dia, cada célula 
produz 10 . 24 = 240 Wh e 100 células produzem 100 x 240 = 24000 Wh. Desse modo, temos 3840 Wh a 
mais que o consumo inicial, logo, percebemos que 3840 Wh / 240 Wh = 16. Assim, devemos retirar 16 
células. 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
4. A 
Se os ângulos estão em uma razão 1:3 , significa que um é o triplo do outro. Assim, sejam 𝑥 e 3𝑥 os 
ângulos internos consecutivos. Como sabemos, eles são complementares, ou seja 3 180x x+ =  . 
Resolvendo a equação, encontramos 45x =  . 
 
5. D 
Observe a figura: 
 
Como a soma dos ângulos internos de um qaudrilátero é sempre igual a 360°, podemos dizer que: 
40 + 180 – 𝛼 + 90 + 180 – 𝛽 = 360 
130 – 𝛼 – 𝛽 = 0 
𝛼 + 𝛽 = 130°. 
 
6. D 
Sejam a e b as medidas da base e da altura do retângulo, em centímetros. Logo, supondo a b, 
podemos escrever a 2b 40+ = e 2a b 44.+ = Dessa forma, somando as equações, encontramos 
3a 3b 84+ = e, assim, vem a b 28.+ = 
A resposta é 2a 2b 56.+ = 
 
Obs.: caso prefira, também pode descobrir as medidas dos lados por meio de um sistema para, enfim, 
achar seu perímetro. 
 
7. A 
Há três tipos de quadrados, com 1 2 3  sendo os seus lados. É possível ver que 2 12=  e que
3 1 2 13 .= + =  Portanto, temos que 
3 2
3
AB 5
.
3BC
+
= = 
 
8. A 
Se dois ângulos do losango medem 120 , então cada um dos outros dois mede 
360 2 120
60 .
2
 −  
=  
Logo, a diagonal menor divide o losango em dois triângulos equiláteros congruentes de lados 4cm. 
Portanto, a diagonal menor mede 4cm e a maior mede 
4 3
2 4 3 cm.
2
 = A resposta é 
4 4 3 4(1 3)cm.+ = + 
 
 
 
 
 
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Matemática 
9. C 
As medidas dos lados AC = 105 cm e AB = 120 cm poderão variar de 4 cm a 8 cm por cada lado. Logo, 
as medidas mínimas e máximas desses lados, serão respectivamente: AC = 113 cm (105 + 8) valor 
mínimo e AC = 119 cm (105 + 16) valor máximo. 
AB = 128 cm (120 + 8) valor mínimo e AC = 132 cm (120 + 16) valor máximo. Portanto, o único tipo que 
satisfaz essas condições é o tipo 3. 
 
10. D 
Natália e Mariana chegaram a resultados diferentes porque há duas construções possíveis seguindo as 
instruções do professor. Uma com 𝑁 no interior do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 e outra com ele no seu exterior. 
Observe: 
 
 
O primeiro triângulo tem base 8 𝑐𝑚 e altura 14 − 3 = 11 𝑐𝑚. Ou seja, área 
8 ∙ 11
2
= 44 𝑐𝑚². 
O segundo triângulo tem base 8 𝑐𝑚 e altura 14 + 3 = 17 𝑐𝑚. Ou seja, área 
8 ∙ 17
2
= 68 𝑐𝑚². 
Isto é, a diferença dos valores possíveis será de 68 − 44 = 24 𝑐𝑚².