02 Lista de Exercícios de Álgebra Linear 2 sem 2019

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Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
2a Lista de Exerćıcios de Álgebra Linear - 2oSem/2019
Engenharia Mecânica
Questão 1. Se a matriz
A =
 4 + a a21 a31a b+ 2 a32
b c 2c− 8

é uma matriz anti-simétrica, calcule o valor do produto a12 · a13 · a23
Questão 2. Se para cada x real define uma matriz T (x) dada por
T (x) =
(
cosx − sinx
sinx cosx
)
a) Prove que T (α) · T (β) = T (α + β)
b) O traço de uma matriz é definido como sendo a soma dos elementos da diagonal principal e
denotado por tr A. Calcule o trT
(
5π
12
)
Questão 3. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, terrâneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pala matriz:
(Qualquer coincidência dos números com a realidade é mera coincidência.)
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material são empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respec-
tivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p.. Qual ´e o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual é o custo total do material empregado?
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Engenharia Mecânica
Questão 4. Prove se for verdadeiro e apresente um contra exemplo se for falso.
a) Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0
b) Se AB = 0, então BA = 0
c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.
Questão 5. Dizemos que uma matriz A, n × n, é simétrica se At = A e é anti-simétrica se
At = −A.
a) Mostre que se A é simétrica então aij = aji para i, j = 1, 2, · · ·n
b) Mostre que se A é anti-simétrica então todos os elementos da diagonal principal de A são nulos.
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Engenharia Mecânica
Respostas
1. 32
2. trT
(
5π
12
)
=
√
6−
√
2
3.
[
146 526 260 158 388
]
b)
[
492 528 465
]
c)
[
492 528 465
]  57
12
 = 11.736