1.58 Demuestre que si X y Y son ortogonales entre sí en Rn, entonces ||X Y ||2 ||X||2 ||Y ||2 Esto a veces se denomina teorema de Pitágoras en Rn.

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1.58. Demuestre que si X y Y son ortogonales entre śı en Rn, entonces
||X + Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2
Esto a veces se denomina teorema de Pitágoras en Rn.
Demostración: Sea X y Y vectores en Rn, los cuales son ortogonales entre si, es decir X · Y = 0, entonces:
(X + Y ) · (X + Y ) = X · (X + Y ) + Y · (X + Y )
= X ·X +X · Y + Y ·X + Y · Y
= ||X||2 + 2X · Y + ||Y ||2
Pero, como X y Y son ortogonales entre si, el término 2X · Y = 0 y (X + Y ) · (X + Y ) = ||X + Y ||2, por lo
tanto
||X + Y ||2 = ||X||2 + ||Y ||2.
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