TEORIA DAS FUNÇÕES FUNÇÃO PAR IMPAR COMPOSTA E INVERSA MATEMÁTICA 1 ANO ENSINO MÉDIO

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ESTUDO DAS FUNÇÕES 
NOTAÇÃO: f: A  B
A é denominado domínio da função
B é denominado contra domínio da função
Valor numérico 
1) Se f(x) = 2x – 1, calcule f(100).
f(x) = 2x – 1 
f(100) = 2(100) – 1 
f(100) = 200 – 1 
f(100) = 199
100
199
A
B
2) Se f(x) = x2 – 6x + 8, calcule
 os valores de x tal que 
 f(x) = 0
f(x) = x2 – 6x + 8
0 = x2 – 6x + 8
(Equação do 20 grau)
a = 1 b = - 6 c = 8
 = b2 – 4ac
 = (-6)2 – 4.1.8
 = 36 – 32 
 = 4
Logo temos: x1 = 2 e x2 = 4
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
 EXEMPLOS:
1) f(x) = x2 - 5x + 6 
 Valores de x para os quais existe y
Domínio: 
2) f(x) = 
Domínio: denominador  0
x – 3  0
x  3
3) f(x) = 
Domínio: 2x – 6  0
 2x  6 
 x  3 
4) f(x) = 
Domínio: radicando  0
x – 5  0
x  5
FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR
FUNÇÃO PAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS IGUAIS
FUNÇÃO ÍMPAR
VALORES SIMÉTRICOS DE X
IMAGENS SIMÉTRICAS
EXEMPLOS:
a) f(x) = x2 – 4 
f(-3) = (-3)2 – 4 =
f(3) = (3)2 – 4 = 
5
5
Logo f(x) é par
b) g(x) = 2x
g(-4) = 2(-4) =
g( 4) = 2(4) = 
-8
8
Logo g(x) é ímpar
 NOTAÇÕES 
f(g(x)) = fog (x)
g(f(x)) = gof (x)
f(f(x)) = fof(x) 
1) Dadas as funções f(x) = 2x + 1
 e g(x) = 4x – 3. Determinar
 f(g(x))
f(x) = 2x + 1
f(…) = 2(…) + 1
f(g(x)) = 2g(x) + 1
f(g(x)) = 2(4x – 3) + 1
f(g(x)) = 8x – 6 + 1
f(g(x)) = 8x – 5 
2) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x + 3, g(x) = 2x – 1. 
 O valor de f(g(5)) é:
1o Modo
Vamos obter primeiramente a f(g(x))
f(x) = x + 3
f(…) = (…) + 3
f(g(x)) = g(x) + 3
f(g(x)) = 2x – 1 + 3
f(g(x)) = 2x + 2
Se f(g(x)) = 2x + 2, então:
f(g(5)) = 2.5 + 2
f(g(5)) = 12
2o Modo
Vamos “abrir a função”
Como queremos calcular 
f(g(5)) ,procedemos assim: 
f(x) = x + 3 g(x) = 2x – 1 
g(5) = 2.5 – 1 
g(5) = 10 – 1 
g(5) = 9
f(9) = 9 + 3
f(9) = 12
Portanto f(g(5)) = 12
3) Sejam f(x) = 2x + 3, g(x) = x – 5 e h(x) = 3x – 1. 
Calcule f(g(h(3))
f(x) = 2x + 3 g(x) = x – 5 h(x) = 3x – 1 
h(3) = 3.3 – 1
h(3) = 9 – 1 
h(3) = 8 
g(8) = 8 – 5 
g(8) = 3
f(3) = 2.3 + 3
f(3) = 6 + 3
f(3) = 9
Portanto f(g(h(3)) = 9
4) ( CEFET – PR ) Sendo f(x) = x + 2 e f(g(x)) = 2x – 3, então g(x)
 é igual a: 
f(x) = x + 2
f(g(x)) = g(x) + 2 
2x – 3 = g(x) + 2
2x – 3 – 2 = g(x)
2x – 5 = g(x)
 Para encontra a inversa de uma função, 
 o processo prático é trocar x por y e em
 seguida isolar y.
1) Seja f(x) = 2x + 3. Obtenha f -1(x).
f(x) = 2x + 3 
x = 2y + 3
x – 3 = 2y
2) Encontre a inversa da função
 
x = 
x(y – 3) = 2y – 1 
xy – 3x = 2y – 1 
xy – 2y = 3x – 1 
xy – 2y = 3x – 1 
y(x – 2) = 3x – 1 
y = 
3) ( UFSC ) Seja a função f(x) = 
Determine f -1(2)
PASSO 1: determinar a inversa de f(x)
x(y – 2) = – 2y 
xy – 2x = – 2y
xy + 2y = 2x
xy + 2y = 2x
y(x + 2) = 2x
PASSO 2: determinar f-1 (2)
Portanto f-1(2) = 1
2
2
6
x
2a
b
x
±
=
D
±
-
=
3
x
5
-
6
2x
1
x
-
+
5
x
-
y
x
=
-
2
3
2
3
)
(
1
-
=
-
x
x
f
3
x
 
1
-
2x
f(x)
-
=
3
x
1
-
2x
f(x)
-
=
3
1
2
-
-
y
y
2
1
3
-
-
x
x
2
x
1
3x
(x)
f
1
-
-
=
-
2
x
2x
-
-
2
2
)
(
-
-
=
x
x
x
f
2
2
-
-
=
y
y
x
2
2
+
=
x
x
y
2
x
2x
(x)
f
1
+
=
-
2
2
+
=
-
2
.
2
)
2
(
1
f
4
4
)
2
(
1
=
-
f