Exercicios_resolvidos_Cap_9

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Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 115 
 
FORMULÁRIO 
Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples) 
Taxa efetiva linear 
*
1
l
i
i
i n

 
 ; Taxa efetiva exponencial 1
* 1 1
1
n
ei
i n
 
  
  
 
Empréstimos a Longo Prazo 
Relações Básicas 
1 1
n
k
k
k
R
C
i
 ; 
  11k kS i S    
 ; 
k k kS S R 
 ; 
11k k kS i S R
 ; 
1k k kS S A 
1k k kA R i S
 ; 
k k kR A J
 (caso se tenha 
1k ki S R
); 
1 1min ; ;
c d
k k k k kJ R i S J i S
 ; 
 
Método Francês ou Tabela Price 
 
 
1 1
1
n
n n i
i
C R R a
i i
  
    
   
; 
 
 
1
1 1
n
n
n i
i i C
R C
ai
  
   
   
; 
 
1
1 1
n
n i
C i
A C
s i
 
    
   
1
1
1 ; 1,2, ,
k
k
A A i k n
 ; 
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 
0 C - - - 
1 
1 1S C A 
 
1
n i
C
A
s

 
1 1J i C R A   
 R 
2 
2 1 2S S A 
 
 2 11A i A  
 
2 1 2J i S R A   
 R 
3 
3 2 3S S A 
 
 3 21A i A  
 
3 2 3J i S R A   
 R 
: : : : : 
n 
1 0n n nS S A  
 
  11n nA i A   
 
1n n nJ i S R A   
 R 
 
Método Retrospectivo 
 1 2k k kS C A A A C A      
;
 
 
1 1
1 1
k
k i
k n
n i
i
C s
iA C
s i
i
  
 
   
  
 
 
;  
 
1 1
1
1 1
k
k n
i
S C
i
  
   
    
Método Prospectivo 
 
 
 1 1 1 1
1
n k k n
k n k n k i
i i
S R R R a
ii i
 
 
      
        
       
 ; 
k kS S R
 ; 
 
Método de Recorrência 
 
 
 
1 1
1 1
k
k k
k k i
i
S C i R C i R s
i
  
          
  
 
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Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 116 
 
FORMULÁRIO 
Juros Acumulados entre os períodos h e m 11 1
1
1 1
m h
n
i i
J m h R C
i 
Método Americano ou do “Sinking Fund” 
 
Período 
Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 
0 
C
 - - - 
1 
C
 - 
i C
 
i C
 
2 
C
 -
 
i C
 
i C
 
     
n-1 
C -
 
i C i C 
n 0 
C
 
i C
 
i C C 
 
 
Sinking Fund 
 1 1
n
i
q C
i
 
   
   
 ; 
 1 1
n
i
R C i q C i C
i
 
         
   
 
Método Alemão ou de Juros Antecipados 
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 
0 
C
 
0J C i 
 
C i
 
1 
1 1C A S 
 
 
1
1 1
n
A R i

  
 
1 1J R A 
 
 1 1
n
C i
R
i


 
 
2 
1 2 2S A S 
 
 
1
2 1
1
A
A
i


 
2 2J R A 
 
R
 
3 
2 3 3S A S 
 
 
1
3 2
1
A
A
i


 
3 3J R A 
 
R
 
: : : : : 
n-1 
2 1 1n n nS A S   
 
 
1
1 2
1
n n
A
A
i
 


 
1 1n nJ R A  
 
R
 
n 
1 0n n nS A S   
 
 
1
1
1
n n
A
A
i



 
0n nJ R A  
 
 
1
1
1
n n
A
R A
i

 

 
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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FORMULÁRIO 
Sistema de Amortizações Constantes 
1 2 nA A A A   
 ; 
C
A
n

 ; 
1k
k
S C
n
 
   
 
 ; 
1
1
1k k
k
J i S i C
n

 
      
  
 
1
1k
i C
R C i k
n n
   
        
   
 ; 
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 
0 
C
 - - - 
1 
 1 1C n
 
C n
 
i C
 
 1 1R C i n  
 
2 
 1 2C n
 
C n
 
 1 1i C n 
 
2 1R R i C n  
 
3 
 1 3C n
 
C n
 
 1 2i C n 
 
3 2R R i C n  
 
: : : : : 
n 0 
C n
 
 1 1i C n n    
 
 1nR C i n  
 
 
Sistema de Amortização Mista 
   ; 1 1 1 ;TP SAC TP SACk k k k k
n i
C C
R f R f i n k R R R
a n
 
              
 
 ; 
 
1
1
1 ;
k
k
n i
n f iC
A f
n s
   
    
  
 1 1n k ik
n i
f a k
S C f
a n

   
       
    
1
INT 1 1 1
n i
n
k n
a i
  
       
    
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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9.9 — Exercícios Propostos 
1) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos, 
em parcelas mensais, considerada a taxa de 12% a.a.c.m.. Construa o Quadro de 
Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização. 
a) Método Francês 
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
c) Método Alemão 
d) Sistema de Amortização Constante 
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
Solução 
a) Método Francês 
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
 
c) Método Alemão 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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d) SAC 
 
e) SAM (40% TP/ 60% SAC) 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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2) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos, 
em parcelas mensais, com carência de um ano, de amortização e juros, à taxa de 12% 
a.a.c.m.. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de 
amortização. 
a) Método Francês 
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
c) Método Alemão 
d) Sistema de Amortização Constante 
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
Solução 
a) Método Francês 
 
Nota 
Nas planilhas, estamos mostrando, ao longo do prazo de diferimento (isto é, ao longo do prazo 
de carência de amortização e de juros), os juros devidos; que, por não terem sido pagos, 
implicam em acréscimo do saldo devedor. 
Ao longo do prazo de diferimento, os juros contábeis são nulos; passando a coincidir com os 
juros devidos após o prazo de diferimento. 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
 
 
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c) Método Alemão 
 
Nota 
Optamos por dividir este exercício em duas partes. Na primeira parte, relativa ao prazo de 
carência, calculamos o saldo devedor (R$ 225.365,01) ao final do prazo de carência, como se 
nenhum juros fossem pagos. 
Na segunda parte, referente ao prazo de amortização, como no sistema alemão os juros são 
antecipados, o saldo ao final do prazo de carência deve ser utilizado para calcular os juros que 
devem ser pagos no inicio do 13º período (final do 12º período). Isto é, existem duas parcelasde juros: uma relativa ao 12º período de carência (R$ 2.231,34), que não é paga e incorporada 
ao saldo devedor, e outra relativa ao 13º período (R$2.253,65) que é paga ao final do 12º 
período (início do 13º período). 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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d) SAC 
 
e) SAM (40% TP/ 60% SAC) 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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3) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos, 
em parcelas mensais, com carência de um ano de amortização, à taxa de 12% a.a.c.m. 
Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização. 
a) Método Francês 
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
c) Método Alemão 
d) Sistema de Amortização Constante 
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
Solução 
Observando que, ao longo de todo o prazo de 24 meses, os juros contábeis coincidem 
com os juros devidos, temos: 
a) Método Francês 
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
 
 
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c) Método Alemão 
Mais uma vez, optamos por dividir o problema em duas partes. A primeira, com 12 
meses de carência, onde os juros são pagos ao final de cada mês; a segunda, relativa à 
fase de amortização, que se inicia no inicio do 13º período (final do 12º período). 
Logo, na época 12 existem dois pagamentos de juros: o relativo ao 12º período de 
carência e o juros relativos à antecipação do 13º mês (referente ao método alemão). 
Ou seja são pagos R$ 4.000,00 de juros ao final do 12º período. 
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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d) SAC 
 
e) SAM (40% TP/ 60% SAC) 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
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4) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos, 
em 24 parcelas mensais e 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, à taxa de 12% a.a.c.m. 
Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização. 
a) Método Francês 
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
c) Método Alemão 
d) Sistema de Amortização Constante 
e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
Solução 
A taxa semestral equivalente à taxa mensal de 1%, é: 
   
6 6
1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . .s mi i ou a s      
 
a) Método Francês 
O valor da prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor: 
 
 
 
 
24 4
24 4
1 0,01 1 1 0,06152 1
200000 20000
0,01 1 0,01 0,06152 1 0,06152
130938,4421
$ 6.163,727
21,243387
      
      
         
 
m
m
R
R R
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 130 
 
b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m. 
Neste caso, estamos considerando o pagamento das 4 semestrais, que podem ser 
entendidas como amortizações extraordinárias e o sinking fund para formar o saldo de 
R$ 120.000,00=200000-(4×20000). 
 
c) Método Alemão 
Primeiramente, devemos encontrar o valor que será pago pelas prestações mensais. 
Este valor será o valor financiado subtraído do valor presente das semestrais de 
R$ 20.000,00. Para tanto, iremos trabalhar com a correspondente taxa efetiva 
semestral. Como 
   
6 6
1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . .      s mi i ou a s
 
tem-se 
* *1 1 11 1 1 0,06555 6,555% .
1 1 1 0,06152
       
  
s s
s s
i i ou a s
i i
 
Podemos dividir o financiamento em duas partes. A primeira, Cs , a ser paga pelas 
parcelas semestrais e a segunda, Cm , pelas parcelas mensais. O valor de Cs pode ser 
obtido por: 
 
       
       
1 2 3 4
* * * *
1 2 3 4
20000 20000 20000 20000
1
1 1 1 1
1 20000 20000 20000 20000
1 0,06152 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555
1,06555 68429,95 $ 72.915,72
     
   
  
      
        
  
s s
s s s s
s
s
i C
i i i i
C
C R
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 131 
 
A planilha a seguir mostra o Quadro de Amortização da parte financiada pelas parcelas 
semestrais. Note que neste quadro as fórmulas utilizadas são as apresentadas no 
quadro esquemático da seção 9.4, apenas considerando o período como o semestre, e 
a taxa equivalente semestral. 
 
A segunda parte do financiamento será dada por: 
200000 72915,72 $127.084,28
m
C R  
 
 
Logo, a prestação mensal deve ser de: 
 
 
24
127084,28 0,01
$ 5.929,60
1 1 0,01
R R

 
  
A planilha a seguir é relativa ao financiamento da parte mensal. 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 132 
 
d) Sistema de Amortização Constante 
Serão pagas 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, que correspondem ao valor 
presente Cs , e dado por: 
 
 
4
4
1 0,06152 1
20000 $ 69.061,58
0,06152 1 0,06152
  
   
   
s
C R
 Portanto, o valor Cm que será resgatado pelas prestações mensais é: 
 
200000 69061,58 $130.938,42  
m
C R
 
Deste modo, teremos amortizações semestrais As e amortizações mensais Am , 
respectivamente iguais a: 
69061,58
$17.265,39
4
130938,42
$ 5.455,77
24
s
m
A R
A R
 
 
 
O que nos leva ao seguinte Quadro de Amortização (já consolidado) 
 
 
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 133 
 
e) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
Neste caso, estamos supondo que as parcelas semestrais serão rateadas na mesma 
proporção entre TP e SAC; ou seja, R$ 8.000,00 e R$ 12.000,00, respectivamente. 
No caso do SAC, temos que os financiamentos relativos às parcelas semestrais e 
trimestrais são, respectivamente: 
 
 
4
4
1 0,06152 1
12000 $ 41.436,95
0,06152 1 0,06152
120000 41436,95 $ 78.563,05
  
   
   
  
SAC
s
SAC
m
C R
C R 
Que correspondem a amortizações semestrais 
SAC
S
A
e amortizações mensais 
SAC
m
A
, de: 
41436,95
$10.359,24
4
78563,05
$ 3.273,46
24
SAC
s
SAC
m
A R
A R
 
 
 
Para a parcela do financiamento segundo a Tabela Price, teremos que o valor da 
prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor: 
 
 
 
 
24 4
24 4
1 0,01 1 1 0,06152 1
80000 8000
0,01 1 0,01 0,06152 1 0,06152
80000 27624,63272
$ 2.465,49
21,243387
      
      
         

 
m
m
R
R R
 
O cálculo feito para as duas partes do método é mostrado na planilha a seguir 
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – VersãoFinal Página 134 
 
Que consolidada é dada por: 
 
Nota 
 Observe-se que o Quadro de Amortização acima apresenta cada elemento como dado 
por 40% do correspondente elemento do caso da Tabela Price, somado com 60% do 
correspondente elemento do caso do SAC. 
5) Seja o caso de um empréstimo de R$ 200.000,00, à taxa de juros compostos de 6% a.a., a 
ser amortizado segundo o método francês por meio de 10 prestações anuais, a primeira 
vencendo-se um ano após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor 
resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª 
prestação, quanto terá de pagar? Resolva utilizando o método: 
a) Retrospectivo 
b) Prospectivo 
c) Recorrência 
 
Solução 
 
a) Método Retrospectivo 
O saldo devedor logo após o pagamento da 6ª prestação é dado por: 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 135 
 
 
 
6
6 10
1 0,06 1
200000 1 $ 94.159,36
1 0,06 1
S R
  
    
    
Já o saldo devedor logo antes do pagamento da 6ª prestação é dado por: 
 
 
 
5
6 10
1 0,06 1
200000 1 1 0,06 $121.332,96
1 0,06 1
  
       
   
S R
 
b) Método Prospectivo 
Precisamos primeiramente encontrar a prestação a ser paga no financiamento, que é 
dada por: 
 
 
 
10
10
0,06 1 0,06
200000 27173,59
1 0,06 1
R
  
   
    
Portanto, o saldo logo após o pagamento da 6ª prestação é: 
 
6 10
6
1 1 0,06
27173,59 $ 94.159,36
0,06
  
   
  
S R
 
E logo antes do pagamento da 6ª prestação é: 
 
6 6
94159,36 27173,59 $121.332,95     S S R R
 
c) Método de Recorrência 
Utilizando o valor da prestação calculada no item anterior, temos o saldo logo após o 
pagamento da 6ª prestação dado por: 
 
 
6
6
6
1 0,06 1
200000 1 0,06 27173,59 $ 94.159,36
0,06
S R
  
      
   
E logo antes do pagamento da 6ª prestação é: 
 
6 6
94159,36 27173,59 $121.332,95     S S R R
 6) Seja o caso de um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros compostos de 12% a.a., a 
ser amortizado por meio de 10 prestações anuais, a primeira vencendo-se 1 ano após a 
data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, de uma 
só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª prestação, quanto terá de pagar? 
Resolva, sem construir o Quadro de Amortização, utilizando o método de amortização: 
a) SAC 
b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
Solução 
a) SAC 
No caso do SAC a amortização do saldo é constante, e o saldo logo após o pagamento 
da 6ª prestação é: 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 136 
 
6
100000
$10.000,00 100000 6 10000 $ 40.000,00
10
C
A R S R
n
       
 
ou alternativamente 
6
6
100000 1 $ 40.000,00
10
S R
 
    
  
E o saldo logo antes 
   6 5
5
1 100000 1 1 0,12 $ 56.000,00
10
S S i R
 
          
  
b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) 
 
 
10 6 12%
6
10 12%
0,4 6
100000 1 1 0,4
10
0,4 3,037349
100000 0,4 0,6 $ 45.502,51
5,650223
a
S
a
R

   
       
   
 
     
 
 
     
   
10 5 12%
6 5
10 12%
0,4 5
1 100000 1 1 0,4 1 0,12
10
0,4 3,604776
100000 0,5 0,6 1 0,12 $ 62.181,87
5,650223
a
S S i
a
R

   
             
   
 
       
 
 
7) O banco Epsilon, para operações de empréstimo com prazo de 4 meses, está efetuando 
cobrança antecipada de juros, à taxa de 4% a.m. 
Se desejar ganhar, em termos reais, a taxa de 4% a.m., que proporção  do empréstimo 
deverá reter a título de saldo médio, se estima que a taxa mensal de inflação seja: 
a) de 2% a.m.? 
b) de 3% a.m.? 
Solução 
Sendo i a taxa mensal cobrada pelo banco, para um empréstimo de curto prazo com n 
meses, o fluxo de caixa, a preços correntes, que descreve a operação, pode ser 
esquematicamente representado como: 
 
Assim, sendo I a taxa mensal de inflação, temos que, a preços da data do empréstimo, o 
fluxo de caixa é: 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 137 
 
 
Portanto, em termos reais, a taxa efetiva mensal, denotada por 
*i
, é tal que: 
   
 
 
*
1
1 1
1
       

n
n
E
E i n i
I
 
Por conseguinte, fixados os valores de 
*, , e i n i I
, a proporção  de retenção deve 
ser tal que: 
   
 
 
     
 
 
         
         
     
   
* * *
* *
* *
*
*
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
 
 
 


 
              
 
             
               
    
       
  
   
n n n
n n
n nn n
n n n
n
n n
i n i i n i i
I I
i n i I i I
i n i I i I
i n i I
i I
 
a) Sendo i = 4% a.m., n = 4 meses, 
*i
= 4% a.m. e I = 2% a.m., tem-se: 
     
   
4
4
1 0,04 4 1 0,04 1 0,02 1
0,2392 23,92%
1 0,02 1 0,04 1
         
     
ou
 
Ou seja, o banco Epsilon deve reter 23,92% do valor do empréstimo, a título de formar 
saldo médio. 
b) Mantidos os demais parâmetros, e sendo I = 3% a.m., tem-se 
     
   
4
4
1 0,04 4 1 0,04 1 0,03 1
0,3348 33,48%
1 0,04 1 0,03 1
         
     
ou
 
Ou seja, o banco Epsilon deve reter 33,48% do valor do empréstimo. 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 138 
 
8) João, tendo obtido um financiamento de R$ 300.000,00, à taxa de 2,8% a.m, pelo prazo de 
20 anos, com prestações mensais constantes, recebeu uma herança no valor de 
R$ 75.000,00, 20 dias após o pagamento da 170ª prestação. 
Se, nesta mesma data, realizar uma amortização extraordinária com o valor total da 
herança, qual será a proporção de redução no valor de sua prestação, se forem mantidos o 
prazo original e a taxa de juros de 2,8% a.m.? 
Solução 
O valor das prestações originais, R, era tal que: 
 
 
240
240240 2,8%
300000 0,028 1 0,028
300000 $ 8.411,13
1 0,028 1
  
    
 
R a R R
 
Logo após o pagamento da prestação de ordem 170, seu saldo devedor era: 
 
 
70
170 70240 170 2,8%
8411,13 1 0,028 1
8.411,13 $ 256.928,65
0028 1 0,028
S a R

   
 
   
 
 
Portanto, 20 dias após, o saldo devedor era: 
 
20/30
256928,65 1 0,028 $ 261.702,54   S R
 
Assim, face à amortização extraordinária, seu saldo devedor ficou reduzido a: 
261702,54 75000 $186.702,54   S R
 
Mantendo-se a taxa de juros de 2,8% a.m. e o número 70 de prestações remanescentes, o 
novo valor da prestação mensal, R’, deve ser tal que: 
 
20/30 70 2,8%
186.702,54
1 0,028
R a 
 
ou 
 
   
70
20/30 30
186.702,54 1 0,028 1
$ 6.000,63
1 0,028 0,028 1 0,028
R R
   
   
   
 
 
Por conseguinte, as prestações originais seriam reduzidas de 
6000,63
1 0,2986 ou 29,86%
8411,13
 
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introduçãoà Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 139 
 
9) O banco Teta, para empréstimos com prazo de 2 meses, adota a seguinte sistemática: 
 Sendo E o valor do empréstimo solicitado, cobra juros antecipados, à taxa mensal i, 
pelos 2 meses (ou seja, retém a quantia 
2J i E  
); 
 retém a proporção 
E  do empréstimo, a título de composição de saldo médio; 
 no fim do primeiro mês, o tomador do financiamento deve pagar metade do valor 
solicitado, sendo simultaneamente liberada metade da exigência de saldo médio; 
 no fim do prazo de 2 meses, o tomador do empréstimo deve pagar a outra metade do 
valor emprestado, sendo simultaneamente liberada a segunda metade da exigência de 
saldo médio. 
Pede-se: 
a) especificar o fluxo de caixa que, do ponto de vista do banco Teta, caracteriza a 
operação; 
b) O valor da taxa efetiva mensal, se i = 3,5% a.m, 
15% 
 e E = R$ 10.000,00; 
Solução 
a) Do ponto de vista do banco TETA, o fluxo de caixa que caracteriza a operação é: 
 
 
 
0
1
2
1 2
1 2
1 2
a E J E E i
a E
a E
 


         
  
  
 
b) A taxa efetiva mensal 
i 
, será tal que: 
 
 
 
 
 
 
2* *
1 1
1 2
2 1 2 1
E E
E i
i i
         
   
 
ou 
        
2
* *2 4 2 1 1 1 1 0i i i            
Sendo 
3,5% . . e 15%i am  
e fazendo=se 
*1x i 
 tem-se: 
     2
2
2 4 0,035 2 0,15 1 0,15 1 0,15 0
1,56 0,85 0,85 0
x x
ou
x x
        
  
 
Resolvendo-se a equação do 2º grau temos: 
 2 1
2
0,85 0,85 4 1,56 0,85 1,0592610,85 6,0265
0,51442 1,56 3,12
x
x
x
     
   
  
 
Capitulo 9 – Resolução de Exercícios 
 
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 140 
 
Como *1x i  , só a primeira raiz é válida; ou seja, i*=5,9261%a.m. 
Considerando o valor do empréstimo, de R$ 10.000,00, o fluxo de caixa será: 
 
 
0
1 2
10000 1 2 0,035 0,15 $7.800,00
10000 1 0,15 2 $4.250,00
a R
a a R
       
   
 
b) Logo, fazendo uso da HP 12 C, tem-se: 
[f][REG]7800[g][CF0]4250[g][CFj][g][CFj][f][IRR]5,9261 
Ou seja, o banco Teta estará cobrando a taxa efetiva de 5,9261% a.m. 
10) Admita que o banco Teta, considerado no Exercício 9, esteja examinando mudar a 
sistemática de 2 pagamentos, para a de um único pagamento no final do prazo de 2 
meses. 
Considerando i = 3,5% a.m, 
15% 
 (a título de composição de saldo médio) e 
E = R$ 10.000,00, no caso de 2 pagamentos, e denotando por 

 a proporção de retenção 
no caso de pagamento final, determinar o valor de 
 
de modo que se mantenha a taxa 
efetiva mensal de 5,9261% a.m. 
Solução 
Do ponto de vista do banco Teta, o fluxo de caixa que caracteriza a operação, com um 
único pagamento, é: 
 
 
0
1
2
1 2
0
1
a E J E E i
a
a E
 

          

  
 
A taxa efetiva mensal 
i 
, será tal que: 
 
 
 
 
 
 
2
*
2
*
1
2
*
1 1
1 2 1 , 0 1 2 0
1 21
1
1
1 2
E
E i i para E e i
ii
i
i
  


   
           
 
 
    
 
Logo 
1
2
21 10,059261 1 1,059261
1 2 0,035 0,93
1 1,043492 1,122034 0,122034 0,043492
0,043492
0,356392 35,6392%
0,122034
ou
 
 
  

   
         
       
   
Ou seja, o banco Teta terá que subir a retenção para 35,6392%.