ciruclos e circunferencia

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1. (Fuvest-gv 1991) A medida do ângulo ADC inscrito na
circunferência de centro O é:
a) 125°
b) 110°
c) 120°
d) 100°
e) 135°
2. (Fuvest 1993) Os pontos A, B e C pertencem a uma
circunferência ã e AC é lado de um polígono regular inscrito
em ã. Sabendo-se que o ângulo A C mede 18° podemos𝐵
^
concluir que o número de lados do polígono é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
3. (G1 1996) Observando a figura a seguir, determine (em
cm):
a) o valor de x.
b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do
triângulo ABC é 46 cm.
4. (G1 1996) (PUC)
O ângulo x, na figura a seguir, mede:
a) 60°
b) 80°
c) 90°
d) 100°
e) 120°
5. (G1 1996) Na figura a seguir, PA e PB são segmentos
tangentes à circunferência.
Determine:
a) as medidas dos segmentos PA e PB.
b) o perímetro do quadrilátero PAOB, sabendo que o raio
do círculo vale 7.
6. (Mackenzie 1996) Na figura a seguir, e são𝑀,  𝑁 𝑃
pontos de tangência e a medida de é Então o𝑂𝑀 16.
perímetro do triângulo assinalado é:
a) 32.
b) 34.
c) 36.
d) 38.
e) 40.
7. (G1 1996) Calcule o valor de x na figura a seguir
8. (G1 1996) Calcule o valor de x na figura a seguir
9. (Mackenzie 1998) Na figura a seguir, os arcos QMP e
MTQ medem, respectivamente, 170° e 130°. Então, o arco
MSN mede:
a) 60°
b) 70°
c) 80°
d) 100°
e) 110°
10. (Ufmg 1999) Observe a figura.
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos A D e AÊD𝐵
^
medem, respectivamente, 20° e 85°.
Assim sendo, o ângulo C D mede𝐵
^
a) 25°
b) 35°
c) 30°
d) 40°
11. (Mackenzie 2001)
O ângulo α da figura mede:
a) 60°
b) 55°
c) 50°
d) 45°
e) 40°
12. (Ufes 2001) Na figura, A, B, C e D são pontos de uma
circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo A B e as𝐶
^
cordas AB e AC têm o mesmo comprimento. Se o ângulo
BÂD mede 40°, a medida á do ângulo BÂC é
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
13. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os segmentos PB e PD são
secantes à circunferência, as cordas AD e BC são
perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é
a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
14. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular ABCDE,
constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal
forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência,
em B e E, respectivamente.
A medida do menor arco BE na circunferência construída é
a) 72°.
b) 108°.
c) 120°.
d) 135°.
e) 144°.
15. (Uerj 2012) A figura abaixo representa um círculo de
centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros.
Os pontos A, E e O pertencem à régua e os pontos B, C e D
pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência.
Considere os seguintes dados
Segmento
s
Medid
a
(cm)
𝐴𝐵 1,6
𝐸𝐷 2,0
𝐸𝐶 4,5
O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a:
a) 3,1
b) 3,3
c) 3,5
d) 3,6
16. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta
percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme
figura a seguir. A sua largada foi dada na posição
representada pela letra L, a chegada está representada pela
letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um
diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está
representado pela letra F.
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na
pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja oθ
ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo quando o segmento ACθ
medir R durante a corrida?
a) 15 graus
b) 30 graus
c) 60 graus
d) 90 graus
e) 120 graus
17. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem
centro O e BC = OA, então a razão entre as medidas dos
ângulos e é𝐴Ô𝐷 𝐶Ô𝐵
a)
5
2
b)
3
2
c) 2
d)
4
3
e) 3
18. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir
bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos
desse restaurante têm o formato representado na figura:
Considere que e que é a medida de um dos𝐴𝐶 = 75 𝐵𝐷 𝑙
lados da base da bandeja.
Qual deve ser o menor valor da razão para que uma
𝑙
𝐵𝐷
bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro
copos de uma só vez?
a) 2
b)
14
5
c) 4
d)
24
5
e)
28
5
19. (Fgv 2013) Na figura, e são tangentes à𝐴𝐵 𝐴𝐸
circunferência nos pontos B e E, respectivamente, e
𝐵𝐴
^
𝐸 = 60°.
Se os arcos e têm medidas iguais, a𝐵𝑃𝐶⌢𝐶𝑄𝐷⏜⏜ 𝐷𝑅𝐸⏜
medida do ângulo indicada na figura por é igual a𝐵𝐸
^
𝐶, α,
a) 20°
b) 40°
c) 45°
d) 60°
e) 80°
20. (Fgv 2016) As cordas e de uma circunferência de𝐴𝐵 𝐶𝐷
centro O são, respectivamente, lados de polígonos
regulares de e lados inscritos nessa circunferência. Na6 10
mesma circunferência, as cordas e se intersectam no𝐴𝐷 𝐵𝐶
ponto P, conforme indica a figura a seguir.
A medida do ângulo indicado na figura por é igual a𝐵𝑃
^
𝐷, α,
a) 120°.
b) 124°.
c) 128°.
d) 130°.
e) 132°.
21. (Eear 2016) Duas cordas se cruzam num ponto distinto
do centro da circunferência, conforme esboço.
A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a medida
do arco é𝑥
a) 40°
b) 70°
c) 110°
d) 120°
22. (G1 - epcar (Cpcar) 2017) Na figura, e são,𝐸 𝐹
respectivamente, pontos de tangência das retas e com a𝑟 𝑠
circunferência de centro e raio é ponto de tangência𝑂 𝑅. 𝐷
de com a mesma circunferência e𝐵𝐶 𝐴𝐸 = 20 𝑐𝑚.
O perímetro do triângulo (hachurado), em𝐴𝐵𝐶
centímetros, é igual a
a) 20
b) 10
c) 40
d) 15
23. (G1 - cftmg 2017) A figura a seguir mostra uma
circunferência, em que os arcos e são𝐴𝐷𝐶 𝐴𝐸𝐵
congruentes e medem cada um.160°
A medida, em graus, do ângulo é𝑥,
a) 10°.
b) 20°.
c) 30°.
d) 40°.
24. (Pucrj 2017) No círculo de centro seja um𝑂, 𝐴𝐷
diâmetro. Sejam e tais que e𝐵 𝐶 𝐴𝑂𝐶
^
= 90°
𝐴𝑂𝐵
^
= 12  𝐵𝑂𝐶
^
.
Assinale o valor de 𝑂𝐷𝐵
^
a) 12°
b) 15°
c) 18°
d) 22, 5°
e) 30°
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Resposta da questão 2:
[D]
Resposta da questão 3:
a) x = 20 cm
b) AN = 3 cm
Resposta da questão 4:
[B]
Resposta da questão 5:
a) PA = PB = 15 u.c.
b) 44 u.c.
Resposta da questão 6:
[A]
𝑂𝑀 = 𝑂𝑃 = 16𝐴𝑀 = 𝐴𝑁 = 𝑥𝐵𝑃 = 𝐵𝑁 = 𝑦𝑂𝐴 = 16 − 𝑥𝑂
Portanto, o perímetro do triângulo assinalado será dado
por:
𝑃 = 16 − 𝑥 + 16 − 𝑦 + 𝑥 + 𝑦
𝑃 = 32
Resposta da questão 7:
x = 75°
Resposta da questão 8:
x = 20°
Resposta da questão 9:
[A]
Resposta da questão 10:
[A]
Resposta da questão 11:
[C]
Resposta da questão 12:
[C]
Resposta da questão 13:
[A]
Sabendo que tem-se Além disso, os𝐴𝑃 = 𝐴𝐷, 𝐴𝐷
^
𝑃≡𝐵𝑃
^
𝐷.
ângulos inscritos e subentendem o mesmo arco,𝐴𝐵
^
𝐶 𝐴𝐷
^
𝐶
bem como os ângulos e Logo, e𝐵𝐴
^
𝐷 𝐵𝐶
^
𝐷. 𝐴𝐵
^
𝐶≡𝐴𝐷
^
𝐶
Por outro lado, é ângulo externo do𝐵𝐴
^
𝐷≡𝐵𝐶
^
𝐷. 𝐵𝐴
^
𝐷
triângulo e, portanto, Desse modo,𝐴𝐷𝑃 𝐵𝐴
^
𝐷 = 2⋅𝐴𝐷
^
𝑃.
como e sendo o ponto de interseção das cordas𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 𝑄
e vem, do triângulo𝐴𝐷 𝐵𝐶, 𝑄𝐶𝐷,
𝐴𝐷
^
𝐶 + 𝐵𝐶
^
𝐷 = 90° ⇔ 𝐴𝐷
^
𝑃 + 𝐵𝐴
^
𝐷 = 90°          ⇔ 𝐴𝐷
          ⇔ 𝐴𝐷
^
𝑃 = 30°.
Resposta da questão 14:
[E]
Resposta da questão 15:
[B]
Considere a figura abaixo.
Queremos calcular 2 · 𝑂𝐵.
Sabemos que e Logo,𝐸𝐷 = 2𝑐𝑚 𝐸𝐶 = 4, 5𝑐𝑚.
𝐷𝐶 = 𝐸𝐶 − 𝐸𝐷 = 4, 5 − 2 = 2, 5𝑐𝑚.
Sendo o ponto médio do segmento vem que𝑀 𝐷𝐶,
𝐷𝑀 = 𝐷𝐶2 =
2,5
2 = 1, 25𝑐𝑚.
Por outro lado, como temos𝐸𝐹 ‖ 𝐴𝐵,
𝐹𝐷 = 𝐸𝐷 − 𝐸𝐹 = 𝐸𝐷 − 𝐴𝐵 = 2 − 1, 6 = 0, 4𝑐𝑚.
Portanto,
2 · 𝑂𝐵 = 2 · (𝐹𝐷 + 𝐷𝑀) = 2 · (0, 4 + 1, 25) = 3, 3𝑐𝑚.
Resposta da questão 16:
[C]
Se AC = R, temos o triângulo AFC equilátero. Logo, θ = 60°.
Resposta da questão 17:
[E]
Considere a figura.
Sejam e𝐴𝑂
^
𝐷 = α 𝐶𝑂
^
𝐵 = β.
Sabendo que vem Daí, como𝐵𝐶 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶, 𝑂𝐵
^
𝐶 = β.
e encontramos𝐴𝐷⏜ = α 𝐶𝐸⏜ = β,
𝑂𝐵
^
𝐶 = 𝐴𝐷⏜−𝐶𝐸⏜2 ⇔ β =
α−β
2
        ⇔ βα = 3.
Resposta da questão 18:
[D]
Considere a figura, em que e𝐵𝐷 = 𝑥 𝐴𝐶 = 𝑦.
Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente
quatro copos de uma só vez, deve-se ter
𝑙 = 2 · (𝑥 + 𝑦) = 2 · 𝑥 + 75 𝑥( ) = 245 𝑥.
Portanto, o resultado pedido é dado por
𝑙
𝐵𝐷
=
24
5 𝑥
𝑥 =
24
5 .
Resposta da questão 19:
[B]
Seja um ponto do menor arco𝑆 𝐵𝐸⏜.
Como segue-se que𝐵𝑃𝐶⌢𝐶𝑄𝐷⏜𝐷𝑅𝐸⏜⏜Portanto, como é excêntrico𝐵𝑆𝐸⏜ = 360° − 6α. 𝐸𝐴
^
𝐵
exterior, temos
𝐸𝐴
^
𝐵 = 𝐵𝑄𝐸⏜−𝐵𝑆𝐸⏜2 ⇔ 60° =
6α−(360°−6α)
2          ⇔
         ⇔ α = 40°.
Resposta da questão 20:
[E]
Se o lado refere-se a um polígono regular de lados,𝐴𝐵 6
então o arco mede𝐴𝐵 60°.
Se o lado refere-se a um polígono regular de lados,𝐶𝐷 10
então o arco mede𝐶𝐷 36°.
A circunferência tem um total de logo o ângulo360°,
pedido será:
α = 360−60−362 ⇒ α = 132°
Resposta da questão 21:
[B]
Pela propriedade do ângulo interior à circunferência como
sendo a média aritmética dos arcos que ele determina
numa circunferência, podemos escrever que:
𝑥+50°
2 = 60° ⇒ 𝑥 + 50° = 120° ⇒ 𝑥 = 70°
Resposta da questão 22:
[C]
De acordo com a propriedade dos segmentos tangentes,
podemos escrever que:
𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 = 20 𝑐𝑚.
Considerando temos e, considerando𝐸𝐵 = 𝑥, 𝐵𝐷 = 𝑥
temos𝐶𝐷 = 𝑦, 𝐹𝐶 = 𝑦.
Temos, ainda que:
e𝐴𝐵 = 20 − 𝑥 𝐴𝐶 = 10 − 𝑦.
O perímetro do triângulo será dado por:𝑃 𝐴𝐵𝐶
𝑃 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 20 − 𝑥 + 20 − 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 40 𝑐𝑚
Resposta da questão 23:
[B]
O arco de extremos e determinado pelo ângulo na𝐶 𝐵, 𝑥
circunferência, mede Portanto,2𝑥.
2𝑥 + 160° + 160° = 360°2𝑥 = 40°
𝑥 = 20°
Resposta da questão 24:
[B]
Do enunciado e da figura, temos:
Se 𝐴𝑂
^
𝐵 = α,  𝐵𝑂
^
𝐶 = 2α.
 
^
= 
^
+ 
^
𝐶
Como e 
^
= 90°,  𝐴𝑂
^
𝐵 = α 𝐵𝑂
^
𝐶 = 2α,
90° = α + 2α90° = 3αα = 30°
Seja a medida do raio do círculo.𝑟
logo, o triângulo é isósceles. Então, se𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 = 𝑟, 𝑂𝐷𝐵
 
^
= β,  𝐷𝐵
^
𝑂 = β.
Note que é ângulo externo do triângulo portanto, 
^
𝐵 𝑂𝐷𝐵,
α = 2β
Como α = 30°,
β = 15°.
Assim, 
^
= 15°.