Atividade de Autoaprendizagem 3

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1. Pergunta 1
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Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:
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1. 
Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
2. 
Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
3. 
Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
4. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
Resposta correta
5. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
2. Pergunta 2
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As funções logarítmicas, principalmente na base ‘e’, logaritmo denominado logaritmo natural, são muito recorrentes em aplicações da matemática no dia a dia. Portanto, entender a dinâmica dessa função, qual sua derivada e integral auxilia nos processos de manipulação das funções. Sabe-se que a relação do logaritmo natural com uma integral é dada pela integral indefinida:

Com base nos seus conhecimentos de integrais logarítmicas e as informações do texto, analise as afirmativas a seguir:
I. Essa relação resolve um problema de derivação/integração da função polinomial x^(-1).
II. Calcula-se  aplicando essa relação, e obtém-se  .
III.Essa função é definida para quando x = 0.
IV. Calcula-se  aplicando essa relação, e obtém-se  .
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e III.
2. 
I e II.
3. 
II e IV.
4. 
I, II e IV.
Resposta correta
5. 
I e III.
3. Pergunta 3
0/0
No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4.
Porque:
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a).
A seguir, assinale a alternativa correta.
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1. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Resposta correta
2. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
5. 
As asserções I e II são proposições falsas.
4. Pergunta 4
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Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo conjunto domínio é D = [-6,0].
Porque:
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-3)(x+3)/(x+3), de forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em todo o intervalo [-6,0] e, integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x + C e, calculando a integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 + C – (18 + 18 + C) = -36.
A seguir, assinale a alternativa correta.
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1. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
4. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Resposta correta
5. 
As asserções I e II são proposições falsas.
5. Pergunta 5
0/0
Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos de Cálculo pelas limitações teóricas que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a integral definida funciona como uma ferramenta de mensuração de área para uma determinada curva, já a integral indefinida consegue identificar uma família de soluções para uma determinada situação.
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( )  é uma integral indefinida.
II. ( )  é uma integral definida.
III. ( )  é uma integral definida.
IV. ( )  é uma integral definida.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, F, V, V.
2. 
V, F, V, V.
Resposta correta
3. 
V, F, F, F.
4. 
V, V, V, F.
5. 
V, V, F, F.
6. Pergunta 6
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As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir do círculo trigonométrico. Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão relacionadas entre si.
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x).
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, V, F, V.
Resposta correta
2. 
F, V, F, F.
3. 
V, F, F, V.
4. 
V, F, V, F.
5. 
F, F, V, V.
7. Pergunta 7
0/0
Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral definida de f(x) = cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [π/3, π/2] é igual a 1.
Porque:
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função como f(x) = (1/sen(x))(cos(x)/sen(x)) = cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x) = -cossec(x) + C. Então, basta calcular F(π/2) – F(π/3).
A seguir, assinale a alternativa correta.
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1. 
As asserções I e II são proposições falsas.
2. Incorreta:
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
3. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
Resposta correta
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
8. Pergunta 8
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O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é muito importante por um outro fator.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamentaldo Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque:
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1. 
ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial.
Resposta correta
2. 
ele é o único teorema que envolve integrais.
3. 
ele torna dispensável a utilização das derivadas.
4. 
ele refuta a integral de Riemann.
5. 
ele permite o cálculo de integrais definidas.
9. Pergunta 9
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Funções exponenciais são importantes funções que modelam fenômenos naturais, econômicos e sociais e, por esse motivo, como sabemos que a derivada e a integral possuem significados práticos para esses modelos, o estudo do Cálculo se faz indispensável para a análise quantitativa e qualitativa desses fenômenos.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções exponenciais e logarítmicas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função f(x) = -e^(x) apresenta apenas valores negativos de integral, qualquer que seja o intervalo de integração.
II. ( ) A área entre o eixo x e o gráfico de g(x) = 4/x no intervalo [1, e] é igual a 4.
III. ( ) A integral indefinida de h(x) = 2e^(2x) resulta na primitiva H(x) = 4e^(2x).
IV. ( ) A integral indefinida de i(x) = x³ + e^x resulta na primitiva I(x) = 3x^4 + e^x + C.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, V, F, V.
2. 
V, V, V, F.
3. 
F, F, V, V.
4. 
V, V, F, F.
Resposta correta
5. 
V, F, F, F.
10. Pergunta 10
0/0
O Teorema Fundamental do Cálculo uniu o Cálculo Integral ao Diferencial, possibilitando o cálculo de integrais definidas a partir da seguinte igualdade: 

Utilizando os seus conhecimentos acerca das integrais definidas e o Teorema Fundamental do Cálculo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Diferente das integrais indefinidas, as definidas resultam em uma resposta apenas, e não uma família de soluções.
II. ( ) Esse teorema alia as antiderivadas às integrais.
III. ( ) Para utilizá-lo, não é necessário definir os limites de integração.
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, F, V, V.
2. 
V, V, F, V.
Resposta correta
3. 
V, V, V, F.
4. 
V, F, F, F.
5. 
V, F, V, V.