O Cálculo Diferencial e Integral ATV 1

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O Cálculo Diferencial e Integral 
A palavra Cálculo vem do latim calculus, que significa pedregulho e é uma 
reminiscência da técnica primitiva de executar operações matemáticas simples 
por meio de pequenas pedras. Calculi eram as pessoas que 
contavam, calculones os professores. Escravos que tinham a função de 
contadores eram chamados de calculatores enquanto homens livres com a 
mesma tarefa recebiam a designação de numerarii. 
O Cálculo, como o estudo das operações de diferenciação e integração, é o nome 
de um sistema ou método desenvolvido independentemente em grande parte por 
Newton e Leibniz no século XVII. O termo cálculo foi usado pela primeira vez por 
Leibniz em seu livro publicado em 1680, Os Elementos de um novo Cálculo das 
Diferenças e Somas, Tangentes e Quadraturas, Máximos e Mínimos, Medidas de 
Linhas, Superfícies e Sólidos e outras coisas que transcendem o cálculo usual. 
O Cálculo é o resultado de uma longa série de avanços, iniciados com a geometria 
grega, na tentativa de estabelecer áreas de figuras com forma arbitrária, volumes 
de sólidos quaisquer, no estudo do movimento dos corpos e de sua velocidade 
instantânea bem como, no que consiste o problema inverso, o cálculo das 
distâncias percorridas conhecida sua velocidade a cada momento. A 
expressão Cálculo Infinitesimal foi usada por muitos anos como referência ao 
cálculo. O conceito de infinitesimal como uma quantidade arbitrariamente pequena 
foi amplamente empregado pelos matemáticos na ausência de uma teoria 
apropriada para os limites. Este desenvolvimento somente se deu no século XIX. 
Como conjunto de métodos matemáticos o cálculo se distingue da álgebra 
elementar e da geometria pela introdução da operação de passagem ao limite. As 
operações básicas do cálculo são a diferenciação e a integração, sendo ambos 
os conceitos utilizados em diversas situações tanto teóricas quanto em aplicações 
na física e engenharia, estatística, economia e em praticamente todas as áreas 
científicas modernas. 
 
Os Primórdios Gregos 
 
As ideias principais que formam a base do cálculo diferencial e integral foram 
desenvolvidas durante um longo intervalo de tempo, sendo que os primeiros 
passos foram dados pelos matemáticos gregos, em particular buscando soluções 
para problemas geométricos. Para os gregos, e em particular para a escola 
pitagórica que teve grande influência nas gerações posteriores de pensadores, o 
número um era considerado um átomo ou mônada formadora de todos os outros 
números. Desta forma os demais números eram compostos por uma quantidade 
de uns ou razões, entendidas como a divisão entre segmentos de comprimento 
inteiro. Daí o apreço pelos racionais e a dificuldade em aceitar números que não 
pertencem a este conjunto, como o número π ou 2–√. Neste sentido eles 
acreditavam que nem todos os comprimentos pudessem ser representados por 
números. Tampouco trabalhavam com números negativos e não possuiam grande 
desenvolvimento em álgebra. 
Zenão de Eléia (~450 a.C.) foi um dos primeiros pensadores a propor problemas 
baseados no conceito de infinito. Segundo um paradoxo famoso imaginado por 
ele, se uma flecha é atirada do ponto A até o ponto B ela deverá passar pela 
metade do caminho, digamos pelo ponto B1 , antes de chegar ao destino B. Mas, 
antes de chegar a B1 deverá passar por B2 , o ponto médio entre A e B1 , e assim 
sucessivamente, realizando um número infinito de etapas em um intervalo finito 
de tempo. Desta forma ele concluiu que o movimento era impossível. Sabemos 
hoje que o conceito de limite é o que falta para a plena compreensão do paradoxo. 
Leucipo, Demócrito e Antífon fizeram contribuições para o método de exaustão 
mais tarde aprimorado por Eudóxo (~370 a.C.) e Arquimedes. O método é assim 
chamado porque as áreas medidas são tomadas em aproximações sucessivas e 
crescentes até que cubram a figura considerada. 
Na visão de alguns historiadores o verdadeiro precursor do cálculo foi Arquimedes 
que viveu de 287 até 212 a.C. e, segundo se acredita, foi aluno de Euclides em 
Alexandria. Arquimedes aperfeiçoou o método da exaustão para a prática da 
integração buscando encontrar áreas de figuras planas. Em seu livro A Medida do 
Círculo ele mostrou que o valor exato do número π está entre 31071 e 317 , 
aproximação que obteve inscrevendo e circunscrevendo o círculo em um polígono 
regular de 96 lados. Ele também descreveu uma técnica para o cálculo de raízes 
e inventou um sistema para a expressão de números grandes. Em O Contador de 
Areia (ou O Arenário) ele sugeriu um sistema de notação numérica capaz de 
expressar números até 8×1063 argumentando que este é um número 
suficientemente grande para contar todos os grãos de areia do universo. Para 
estimar as dimensão do universo ele se baseava no sistema de Aristarco, que 
tinha o Sol no centro do sistema planetário que incluia a Terra. 
Arquimedes também enunciou teoremas fundamentais concernentes ao centro de 
gravidade de figuras planas e sólidos. Seu teorema mais famoso, o chamado 
Princípio de Arquimedes, permite o cálculo do peso de um objeto imerso em água. 
Mais tarde ele introduziu algumas das contribuições mais significativas feitas na 
Grécia. Em primeiro lugar mostrou que a área de um segmento de parábola 
é 43 da área de um triângulo de mesma base e vértice e 2/3 da área de um 
paralelogramo circunscrito. Arquimedes construiu uma sequência infinita de 
triângulos partindo de um triângulo com área A e somando repetidamente novos 
triângulos entre os existentes e a parábola, até chegar a 
A,A+14,A+14+116,A+14+116+164,… 
A área do segmento de parábola é, portanto 
 
A(1+14+142+143+…)=A∑n=0∞=14n=(43)A 
Este é o primeiro exemplo histórico da soma de uma série infinita. Arquimedes 
também usou o método da exaustão para calcular aproximadamente a área de 
um círculo, no que consiste em um exemplo bem antigo do uso da integração para 
uma avaliação aproximada do número π. 
Usando este método Arquimedes foi capaz de calcular o volume da esfera, o 
volume e a área do cone, a superfície subentendida por uma elipse, o volume 
obtido por revolução de qualquer segmento de uma parábola ou hipérbole. 
Arquimedes foi morto em 212 a.C. quando Siracusa foi tomada pelos soldados 
romanos durante a Segunda Guerra Púnica apesar da ordem expressa do 
imperador romano para que sua vida fosse poupada. Esta morte se tornou um 
símbolo da destruição da civilização grega e de seu ímpeto na busca de resposta 
para questões científicas e filosóficas. Estes eventos determinaram, pelo menos 
parcialmente, a entrada da civilização ocidental em um longo período de 
estagnação cultural durante os princípios da Idade Média. 
Desenvolvimento na Idade Média e Renascimento 
Com o progresso das invasões romanas e o declínio geral da civilização grega a 
matemática passou por longos anos sem receber aprimoramentos importantes. A 
civilização romana era voltada para o uso pragmático da matemática e poucas 
descobertas marcaram este período. Mais tarde, com a expansão do império, 
tornou-se difícil mantê-lo unificado, o que motivou sua separação em império do 
ocidente, dirigido por Roma, e império bizantino, com sede em Constantinopla. O 
enfraquecimento do poder de Roma, as invasões dos germanos e outros povos 
vindos do norte da Europa, e o fortalecimento da igreja romana deram origem ao 
período conhecido como Idade Média, durante o qual grande parte dos textos 
científicos e filosóficos foi destruída e a cultura clássica foi quase totalmente 
esquecida(1). Esta situação durou até o final do século XVI d.C. com o 
Renascimento, caracterizado pelo avivamento do interesse pelos problemas 
relacionados ao movimento, tais como o estudo dos corpos em queda livre e de 
centros de gravidade. As idéias principais que se sucederam na formação da base 
do cálculo foram desenvolvidas durante um longo intervalo de tempo. 
Luca Valério (1552-1618), um doutor em filosofia e teologia, publicou em Roma, 
1604, seu livro De centro gravitatis onde empregava os métodosde Arquimedes 
para calcular volumes e centros de gravidade de corpos sólidos. Em 1606 ele 
publicou De quadratura parabolae onde empregava os métodos gregos para 
calcular áreas de figuras planas. Valério se encontrou com Galileu Galilei na 
cidade de Pisa em 1590 e iniciou com ele uma troca de correspondência. Em 1916 
o Cardeal Belarmino, o principal teólogo da igreja Católica Romana da época, 
emitiu uma declaração oficial de que eram falsas as idéias de Copérnico e Valério 
se viu obrigado a interromper seu contato com Galilei, um dos principais 
defensores das idéias copernicanas. 
 
Kepler (1571-1630) também era um homem profundamente religioso que 
acreditava ser uma obrigação cristã a tarefa de compreender e revelar os 
segredos de Deus. Ele defendia que o ser humano, sendo feito a imagem de seu 
criador, deveria ser capaz de entender o Universo por ele criado e que a criação 
de tudo havia sido elaborada sobre um plano matemático. Uma vez que a 
matemática era, já na época, tida como um instrumento eficaz de se chegar à 
verdade, ele elaborou sua estratégia para a obtenção do conhecimento. 
Em seu estudo sobre o movimento planetário Kepler precisava encontrar a área 
de setores de uma elipse. Seu método consistia em considerar as áreas como 
uma soma de linhas, outra forma primitiva de abordar uma integração. No entanto 
Kepler não se esforçou para manter um grande rigor em seu trabalho, tendo 
cometido erros que, por sorte, se cancelavam permitindo a obtenção de resultados 
corretos. Há um relato de que, durante a cerimônia de seu segundo casamento 
em 1613, Kepler teria notado que o volume dos barris de vinho era calculado por 
meio de uma barra inserida pelo orifício do barril para medir sua diagonal. Ele 
passou a considerar como este método poderia funcionar e, como resultado de 
suas meditações, publicou diversos artigos sobre volumes de sólidos de 
revolução. Seus métodos foram aperfeiçoados por Cavalieri e constituem parte 
importante do legado ancestral do cálculo diferencial. 
As próximas contribuições importantes foram alcançadas por três matemáticos 
nascidos aproximadamente na mesma época: Cavalieri, Roberval e Fermat. O 
primeiro deles, Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647), se tornou jesuíta quando 
ainda era criança e estudou em um monastério de Pisa. Assim como ocorreu com 
Luca Valério, seu interesse pela matemática foi despertado pelo estudo das obras 
de Euclides e seu contato com Galileu, de quem ele se considerava discípulo. 
Em 1629 Cavalieri foi indicado como professor de matemática em Bologna. Nesta 
época ele já tinha desenvolvido seu método dos indivisíveis para o cálculo de 
áreas, um fator importante para o desenvolvimento do cálculo integral. A teoria 
dos indivisíveis de Cavalieri, apresentada em 1635 era um aprimoramento do 
método da exaustão de Arquimedes, incorporando a teoria das quantidades 
geométricas infinitesimalmente pequenas de Kepler. Por meio desta teoria 
Cavalieri podia calcular de forma prática e eficiente a área e volume de diversas 
figuras geométricas. Ele não era muito rigoroso em seu trabalho e não é fácil hoje 
entendermos como ele concebia seu método. Aparentemente Cavalieri 
considerava uma área como composta de componentes que eram retas e, a partir 
dai, somava um número infinito de “indivisíveis”. Usando esta técnica ele mostrou 
que a área sob a curva xn avaliada de 0 até um número 
arbitrário a era an+1/(n+1) mostrando inicialmente que o resultado valia para 
alguns valores de n e depois inferindo sua validade para o caso geral. 
 
Como resposta às críticas de que seus métodos não possuíam um embasamento 
teórico muito rigoroso Cavaliere publicou Exercitationes geometricae onde 
aperfeiçoava os fundamentos de sua teoria. Este texto se tornou a principal fonte 
de estudos dos matemáticos do século XVII. Cavalieri foi também um dos grandes 
responsáveis pela introdução dos logaritmos na Itália como um instrumento 
computacional, tendo publicado tabelas de logaritmos e funções trigonométricas 
para uso dos astrônomos da época. Cavalieri também escreveu sobre as seções 
cônicas, trigonometria, óptica, astronomia e astrologia. 
Gilles Personne de Roberval (1602-1675, França) iniciou seus estudos de 
matemática com 14 anos de idade. Ele viajou por toda a França fazendo contato 
com matemáticos da época e foi um dos pensadores sob influência do grupo de 
Mersenne(4). Roberval considerou problemas do mesmo tipo que os de Cavalieri 
embora procurasse manter maior rigor que ele. Assim como fazia Torricelli, ele 
procurou descrever uma curva plana como um movimento gerado por um ponto 
cujo movimento se pode decompor em dois movimentos conhecidos, o que 
corresponde à descrição moderna de uma curva sob forma paramétrica. A 
resultante das velocidades dos dois movimentos conhecidos fornece a tangente 
da curva em cada ponto. Roberval desenvolveu métodos para a integração 
escrevendo Traité des indivisibles onde apresenta o cálculo da integral definida da 
função sen x. Ele também calculou o comprimento de arco de uma espiral, 
trabalhou com ciclóides e apresentou a descrição de diversas curvas planas, 
desenvolvendo um método já sugerido por Torricelli para se traçar retas tangentes 
a curvas dadas. Ele considerava a área entre uma curva e uma reta como sendo 
composta por um grande número de faixas muito estreitas. Usando este processo 
na avaliação da área sob de xn de 0 até 1 ele obteve o valor aproximado de 
 
1nm+1(0m+1m+2m+…+(n−1)m) 
e mostrou depois, aplicando técnicas precursoras do conceito de limite, que este 
valor tendia para 1m+1, calculando desta forma a área procurada. 
Pierre de Fermat 
Pierre de Fermat (1601-1665, França) também procurou trabalhar com rigor, 
embora não tenha fornecido provas de suas afirmações e nem mostrado de forma 
clara quais foram os métodos empregados para se obter um determinado 
resultado. Ele se formou em Direito pela Universidade de Toulouse mas logo se 
interessou pela matemática praticamente como um amador, estudando em suas 
horas vagas. Em 1629 ele produziu uma restauração da obra de Apolônio, Plane 
loci e, na mesma época, escreveu um trabalho importante sobre máximos e 
mínimos de funções procurando pelos pontos onde as tangentes às suas curvas 
são paralelas ao eixo Ox. Ele escreveu a Descartes descrevendo seu método, que 
era essencialmente o mesmo usado hoje que consiste em encontrar pontos de 
derivada nula. Devido a este episódio Lagrange afirmou considerar Fermat o 
inventor do cálculo. 
Fermat considerou parábolas e hipérboles generalizadas do seguinte modo: 
Parábolas: ya=(xb)2 generalizando para (ya)n=(xb)m, 
Hipérboles: ya=bx generalizando para (ya)n=(bx)m.